बोरेल सबलजेब्रा: Difference between revisions
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चलो <math>\mathfrak g = \mathfrak{gl}(V)</math> सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित-आयामी सदिश स्थान V के एंडोमोर्फिज्म का झूठा बीजगणित हो। फिर V के ध्वज को निर्दिष्ट करने के लिए <math>\mathfrak g</math> राशियों का बोरेल उपबीजगणित निर्दिष्ट करने के लिए; एक फ़्लैग <math>V = V_0 | |||
\supset V_1 \supset \cdots \supset V_n = 0</math>, उप-स्थान <math>\mathfrak b = \{ x \in \mathfrak g \mid x(V_i) \subset V_i, 1 \le i \le n \}</math> एक बोरेल | \supset V_1 \supset \cdots \supset V_n = 0</math>, उप-स्थान<math>\mathfrak b = \{ x \in \mathfrak g \mid x(V_i) \subset V_i, 1 \le i \le n \}</math> एक बोरेल उपबीजगणित है,<ref>{{harvnb|Serre|2000|loc=Ch I, § 6.}}</ref> और इसके विपरीत, प्रत्येक बोरेल उपबीजगणित उसी का है लाइ के प्रमेय द्वारा फार्म। इसलिए, बोरेल उपबीजगणित को ''V'' की ध्वज विविधता द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। | ||
== जड़ प्रणाली के आधार के सापेक्ष बोरेल | == जड़ प्रणाली के आधार के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित == | ||
होने देना <math>\mathfrak g</math> एक जटिल [[अर्धसरल झूठ बीजगणित]] हो, <math>\mathfrak h</math> a [[Cartan subalgebra]] और R उनसे जुड़ी जड़ | होने देना <math>\mathfrak g</math> एक जटिल [[अर्धसरल झूठ बीजगणित|अर्धसरल लाइ बीजगणित]] हो, <math>\mathfrak h</math> a [[Cartan subalgebra|कार्टन उपबीजगणित]] और R उनसे जुड़ी जड़ प्रणाली है | R का आधार चुनने से सकारात्मक जड़ों की धारणा मिलती है। तब <math>\mathfrak g</math> अपघटन है <math>\mathfrak g = \mathfrak n^- \oplus \mathfrak h \oplus \mathfrak n^+</math> जहां <math>\mathfrak n^{\pm} = \sum_{\alpha > 0} \mathfrak{g}_{\pm \alpha}</math>. | ||
तब <math>\mathfrak b = \mathfrak h \oplus \mathfrak n^+</math> उपरोक्त सेटअप के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित है।<ref>{{harvnb|Serre|2000|loc=Ch VI, § 3.}}</ref> (यह व्युत्पन्न बीजगणित के बाद से हल करने योग्य है <math>[\mathfrak b, \mathfrak b]</math> शक्तिहीन है। यह हल करने योग्य उपबीजगणित की संयुग्मता पर बोरेल-मोरोज़ोव के एक प्रमेय द्वारा अधिकतम हल करने योग्य है।<ref>{{harvnb|Serre|2000|loc=Ch. VI, § 3. Theorem 5.}}</ref>) | |||
एक <math>\mathfrak g</math>-मॉड्यूल V को देखते हुए, V का एक आदिम तत्व एक (अशून्य) वेक्टर है जो (1) <math>\mathfrak h</math> के लिए एक वजन वेक्टर है और वह (2) <math>\mathfrak{n}^+</math>। यह एक <math>\mathfrak b</math>-वजन सदिश के समान है (प्रमाण: यदि <math>h \in \mathfrak h</math> और <math>e \in \mathfrak{n}^+</math> साथ <math>[h, e] = 2e</math> और यदि <math>\mathfrak{b} \cdot v</math> एक रेखा है, तो <math>0 = [h, e] \cdot v = 2 e \cdot v</math>। | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* बोरेल उपसमूह | * बोरेल उपसमूह | ||
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== संदर्भ == | == संदर्भ == |
Revision as of 10:54, 5 May 2023
गणित में, विशेष रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, लाइ बीजगणित का एक बोरेल उपबीजगणित एक अधिक से अधिक हल करने योग्य लाई बीजगणित उपबीजगणित है।[1] धारणा का नाम आर्मंड बोरेल के नाम पर रखा गया है।
यदि लाइ बीजगणित एक जटिल लाइ समूह का लाई बीजगणित है, तो एक बोरेल उपबीजगणित बोरेल उपसमूह का लाई बीजगणित है।
ध्वज से संबंधित बोरेल उपबीजगणित
चलो सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित-आयामी सदिश स्थान V के एंडोमोर्फिज्म का झूठा बीजगणित हो। फिर V के ध्वज को निर्दिष्ट करने के लिए राशियों का बोरेल उपबीजगणित निर्दिष्ट करने के लिए; एक फ़्लैग , उप-स्थान एक बोरेल उपबीजगणित है,[2] और इसके विपरीत, प्रत्येक बोरेल उपबीजगणित उसी का है लाइ के प्रमेय द्वारा फार्म। इसलिए, बोरेल उपबीजगणित को V की ध्वज विविधता द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।
जड़ प्रणाली के आधार के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित
होने देना एक जटिल अर्धसरल लाइ बीजगणित हो, a कार्टन उपबीजगणित और R उनसे जुड़ी जड़ प्रणाली है | R का आधार चुनने से सकारात्मक जड़ों की धारणा मिलती है। तब अपघटन है जहां .
तब उपरोक्त सेटअप के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित है।[3] (यह व्युत्पन्न बीजगणित के बाद से हल करने योग्य है शक्तिहीन है। यह हल करने योग्य उपबीजगणित की संयुग्मता पर बोरेल-मोरोज़ोव के एक प्रमेय द्वारा अधिकतम हल करने योग्य है।[4])
एक -मॉड्यूल V को देखते हुए, V का एक आदिम तत्व एक (अशून्य) वेक्टर है जो (1) के लिए एक वजन वेक्टर है और वह (2) । यह एक -वजन सदिश के समान है (प्रमाण: यदि और साथ और यदि एक रेखा है, तो ।
यह भी देखें
- बोरेल उपसमूह
- परवलयिक लाइ बीजगणित
संदर्भ
- ↑ Humphreys, Ch XVI, § 3.
- ↑ Serre 2000, Ch I, § 6.
- ↑ Serre 2000, Ch VI, § 3.
- ↑ Serre 2000, Ch. VI, § 3. Theorem 5.
- Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (2009) [1997], Representation Theory and Complex Geometry, Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8.
- Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7.
- Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [Complex Semisimple Lie Algebras] (in English), translated by Jones, G. A., Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.