बोरेल सबलजेब्रा

गणित में, विशेष रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, लाइ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ का एक बोरेल उपबीजगणित एक अधिक से अधिक हल करने योग्य लाई बीजगणित उपबीजगणित है। धारणा का नाम आर्मंड बोरेल के नाम पर रखा गया है।

यदि लाइ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ एक जटिल लाइ समूह का लाई बीजगणित है, तो एक बोरेल उपबीजगणित बोरेल उपसमूह का लाई बीजगणित है।

ध्वज से संबंधित बोरेल उपबीजगणित

चलो ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित-आयामी सदिश स्थान V के एंडोमोर्फिज्म का झूठा बीजगणित हो। फिर V के ध्वज को निर्दिष्ट करने के लिए ${\mathfrak {g}}$ राशियों का बोरेल उपबीजगणित निर्दिष्ट करने के लिए; एक फ़्लैग $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$, उप-स्थान${\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}$ एक बोरेल उपबीजगणित है, और इसके विपरीत, प्रत्येक बोरेल उपबीजगणित उसी का है लाइ के प्रमेय द्वारा फार्म। इसलिए, बोरेल उपबीजगणित को V की ध्वज विविधता द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।

जड़ प्रणाली के आधार के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित

होने देना ${\mathfrak {g}}$ एक जटिल अर्धसरल लाइ बीजगणित हो, ${\mathfrak {h}}$ a कार्टन उपबीजगणित और R उनसे जुड़ी जड़ प्रणाली है | R का आधार चुनने से सकारात्मक जड़ों की धारणा मिलती है। तब ${\mathfrak {g}}$ अपघटन है ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ जहां ${\mathfrak {n}}^{\pm }=\sum _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }$.

तब ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ उपरोक्त सेटअप के सापेक्ष बोरेल उपबीजगणित है। (यह व्युत्पन्न बीजगणित के बाद से हल करने योग्य है $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]$ शक्तिहीन है। यह हल करने योग्य उपबीजगणित की संयुग्मता पर बोरेल-मोरोज़ोव के एक प्रमेय द्वारा अधिकतम हल करने योग्य है।)

एक ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल V को देखते हुए, V का एक आदिम तत्व एक (अशून्य) वेक्टर है जो (1) ${\mathfrak {h}}$ के लिए एक वजन वेक्टर है और वह (2) ${\mathfrak {n}}^{+}$। यह एक ${\mathfrak {b}}$-वजन सदिश के समान है (प्रमाण: यदि $h\in {\mathfrak {h}}$ और $e\in {\mathfrak {n}}^{+}$ साथ $[h,e]=2e$ और यदि ${\mathfrak {b}}\cdot v$ एक रेखा है, तो $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$।

यदि लाइ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ एक जटिल लाइ समूह का लाई बीजगणित है, तो एक बोरेल उपबीजगणित बोरेल उपसमूह का लाई बीजगणित है।

यह भी देखें

• बोरेल उपसमूह
• परवलयिक लाइ बीजगणित

संदर्भ

• Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (2009) [1997], Representation Theory and Complex Geometry, Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8.
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [Complex Semisimple Lie Algebras] (in English), translated by Jones, G. A., Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.