सामान्यीकृत बहुभुज: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
[[File:Split Cayley Hexagon.png|thumb|क्रम 2 का विभाजित केली षट्भुज]]गणित में, | [[File:Split Cayley Hexagon.png|thumb|क्रम 2 का विभाजित केली षट्भुज]]गणित में, सामान्यीकृत बहुभुज 1959 में [[ जैक्स स्तन |जैक्स स्तन]] द्वारा प्रस्तुत की गई [[घटना संरचना]] है। = 4)। अनेक सामान्यीकृत बहुभुज [[झूठ प्रकार के समूह]]ों से उत्पन्न होते हैं, किन्तु ऐसे भी हैं जो इस तरह से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं। '[[रूथ मौफांग]] संपत्ति' के रूप में जानी जाने वाली तकनीकी स्थिति को संतुष्ट करने वाले सामान्यीकृत बहुभुजों को पूरी तरह से टिट्स और वीस द्वारा वर्गीकृत किया गया है। प्रत्येक सामान्यीकृत एन-गॉन एन सम के साथ भी निकट बहुभुज है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
सामान्यीकृत 2-गॉन (या डिगोन) कम से कम 2 बिंदुओं और 2 रेखाओं के साथ घटना संरचना है जहां प्रत्येक बिंदु प्रत्येक रेखा के लिए घटना है। | |||
के लिए<math>n \geq 3</math> | के लिए<math>n \geq 3</math>सामान्यीकृत एन-गॉन घटना संरचना है (<math>P,L,I</math>), कहाँ <math>P</math> बिंदुओं का समूह है, <math>L</math> लाइनों का सेट है और <math>I\subseteq P\times L</math> [[घटना संबंध]] है, जैसे कि: | ||
* यह [[आंशिक रैखिक स्थान]] है। | * यह [[आंशिक रैखिक स्थान]] है। | ||
* इसके लिए उपज्यामिति के रूप में कोई सामान्य एम-गॉन नहीं है<math>2 \leq m < n</math>. | * इसके लिए उपज्यामिति के रूप में कोई सामान्य एम-गॉन नहीं है<math>2 \leq m < n</math>. | ||
* इसमें | * इसमें उप-ज्यामिति के रूप में साधारण एन-गॉन है। | ||
* किसी के लिए <math> \{A_1, A_2\} \subseteq P \cup L </math> वहाँ | * किसी के लिए <math> \{A_1, A_2\} \subseteq P \cup L </math> वहाँ उपज्यामिति उपस्तिथ है (<math> P', L', I' </math>) साधारण एन-गॉन के लिए आइसोमॉर्फिक जैसे कि <math>\{A_1, A_2\} \subseteq P' \cup L' </math>. | ||
इन स्थितियों को व्यक्त करने का | इन स्थितियों को व्यक्त करने का समतुल्य किन्तु कभी-कभी सरल विधि है: शीर्ष सेट के साथ द्विदलीय ग्राफ घटना ग्राफ पर विचार करें <math>P \cup L</math> और बिंदुओं और रेखाओं के घटना युग्मों को जोड़ने वाले किनारे। | ||
* घटना ग्राफ का घेरा (ग्राफ सिद्धांत) घटना ग्राफ के [[व्यास (ग्राफ सिद्धांत)]] n से दोगुना है। | * घटना ग्राफ का घेरा (ग्राफ सिद्धांत) घटना ग्राफ के [[व्यास (ग्राफ सिद्धांत)]] n से दोगुना है। | ||
इससे यह स्पष्ट होना चाहिए कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ [[मूर ग्राफ]] हैं। | इससे यह स्पष्ट होना चाहिए कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ [[मूर ग्राफ]] हैं। | ||
सामान्यीकृत बहुभुज कोटि (s,t) का होता है यदि: | |||
* के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने <math>L</math> कुछ प्राकृतिक संख्या s के लिए समान डिग्री s + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक पंक्ति में बिल्कुल s + 1 अंक होते हैं, | * के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने <math>L</math> कुछ प्राकृतिक संख्या s के लिए समान डिग्री s + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक पंक्ति में बिल्कुल s + 1 अंक होते हैं, | ||
* के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने <math>P</math> किसी प्राकृत संख्या t के लिए समान घात t + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु ठीक t + 1 रेखा पर स्थित होता है। | * के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने <math>P</math> किसी प्राकृत संख्या t के लिए समान घात t + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु ठीक t + 1 रेखा पर स्थित होता है। | ||
हम कहते हैं कि | हम कहते हैं कि सामान्यीकृत बहुभुज मोटा होता है यदि प्रत्येक बिंदु (रेखा) कम से कम तीन रेखाओं (बिंदुओं) के साथ आपतित हो। सभी मोटे सामान्यीकृत बहुभुजों का क्रम होता है। | ||
सामान्यीकृत एन-गॉन का दोहरा (<math>P,L,I</math>), घटना संरचना है जिसमें बिंदुओं और रेखाओं की धारणा उलटी होती है और घटना संबंध को इसके [[विपरीत संबंध]] के रूप में लिया जाता है <math>I</math>. यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि यह फिर से | सामान्यीकृत एन-गॉन का दोहरा (<math>P,L,I</math>), घटना संरचना है जिसमें बिंदुओं और रेखाओं की धारणा उलटी होती है और घटना संबंध को इसके [[विपरीत संबंध]] के रूप में लिया जाता है <math>I</math>. यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि यह फिर से सामान्यीकृत एन-गॉन है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
* | * सामान्यीकृत डिगोन का आपतन ग्राफ [[पूर्ण द्विदलीय ग्राफ]] K है<sub>''s''+1,''t''+1</sub>. | ||
* किसी भी प्राकृतिक n ≥ 3 के लिए, n भुजाओं वाले साधारण [[बहुभुज]] की सीमा पर विचार करें। घटना संबंध के रूप में सेट समावेशन के साथ, बहुभुज के शीर्षों को बिंदु और भुजाओं को रेखाएँ घोषित करें। इसका परिणाम सामान्यीकृत एन-गॉन में एस = टी = 1 के साथ होता है। | * किसी भी प्राकृतिक n ≥ 3 के लिए, n भुजाओं वाले साधारण [[बहुभुज]] की सीमा पर विचार करें। घटना संबंध के रूप में सेट समावेशन के साथ, बहुभुज के शीर्षों को बिंदु और भुजाओं को रेखाएँ घोषित करें। इसका परिणाम सामान्यीकृत एन-गॉन में एस = टी = 1 के साथ होता है। | ||
* रैंक 2 के ली प्रकार जी के प्रत्येक समूह के लिए | * रैंक 2 के ली प्रकार जी के प्रत्येक समूह के लिए संबद्ध सामान्यीकृत एन-गॉन एक्स है जिसमें एन बराबर 3, 4, 6 या 8 है जैसे कि जी एक्स के झंडे के सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। परिमित स्थिति में, के लिए n=6, परिमित सरल समूहों#G2.28q.29 चेवेली समूहों की सूची के लिए क्रम (q, q) का स्प्लिट केली हेक्सागोन प्राप्त करता है। जी<sub>2</sub>(क्यू) और आदेश के मुड़ ट्रायलिटी हेक्सागोन (क्यू<sup>3</sup>, q) परिमित सरल समूहों की सूची के लिए#3D4.28q3.29 स्टाइनबर्ग समूह|<sup>3</sup>डी<sub>4</sub>(क्यू<sup>3</sup>), और n = 8 के लिए, व्यक्ति क्रम (q, q) का Ree-Tits अष्टकोना प्राप्त करता है<sup>2</sup>) परिमित सरल समूहों की सूची के लिए#3D4.28q3.29 स्टाइनबर्ग समूह|<sup>2</sup>एफ<sub>4</sub>(क्यू) क्यू = 2 के साथ<sup>2n+1</sup>. द्वैत तक, ये केवल ज्ञात मोटे परिमित सामान्यीकृत षट्भुज या अष्टकोना हैं। | ||
== मापदंडों पर प्रतिबंध == | == मापदंडों पर प्रतिबंध == | ||
[[वाल्टर फीट]] और [[ग्राहम हिगमैन]] ने सिद्ध किया कि ऑर्डर (एस, टी) के परिमित सामान्यीकृत एन-गॉन्स | [[वाल्टर फीट]] और [[ग्राहम हिगमैन]] ने सिद्ध किया कि ऑर्डर (एस, टी) के परिमित सामान्यीकृत एन-गॉन्स | ||
s ≥ 2, t ≥ 2 केवल n के निम्नलिखित मानों के लिए | s ≥ 2, t ≥ 2 केवल n के निम्नलिखित मानों के लिए उपस्तिथ हो सकता है: | ||
:2, 3, 4, 6 या 8. फिट-हिगमैन परिणाम का | :2, 3, 4, 6 या 8. फिट-हिगमैन परिणाम का अन्य प्रमाण किल्मॉयर और सोलोमन द्वारा दिया गया था। | ||
इन मूल्यों के लिए सामान्यीकृत n-गोंन्स को सामान्यीकृत डिगोन, त्रिकोण, चतुष्कोण, षट्कोण और अष्टकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है। | इन मूल्यों के लिए सामान्यीकृत n-गोंन्स को सामान्यीकृत डिगोन, त्रिकोण, चतुष्कोण, षट्कोण और अष्टकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है। | ||
| Line 41: | Line 41: | ||
जब फीट-हिगमैन प्रमेय को हेमर्स-रूस असमानताओं के साथ जोड़ा जाता है, तो हमें निम्नलिखित प्रतिबंध मिलते हैं, | जब फीट-हिगमैन प्रमेय को हेमर्स-रूस असमानताओं के साथ जोड़ा जाता है, तो हमें निम्नलिखित प्रतिबंध मिलते हैं, | ||
* यदि n = 2, आपतन ग्राफ | * यदि n = 2, आपतन ग्राफ पूर्ण द्विदलीय ग्राफ है और इस प्रकार s, t स्वेच्छ पूर्णांक हो सकते हैं। | ||
* यदि n = 3, संरचना | * यदि n = 3, संरचना परिमित प्रक्षेपी तल है, और s = t। | ||
* यदि n = 4, संरचना | * यदि n = 4, संरचना परिमित सामान्यीकृत चतुर्भुज है, और t<sup>1/2</sup> ≤ एस ≤ टी<sup>2</उप>। | ||
* यदि n = 6, तो st | * यदि n = 6, तो st [[वर्ग संख्या]] है, और t<sup>1/3</sup> ≤ एस ≤ टी<sup>3</उप>। | ||
* यदि n = 8, तो दूसरा | * यदि n = 8, तो दूसरा वर्ग है, और t<sup>1/2</sup> ≤ एस ≤ टी<sup>2</उप>। | ||
* यदि एस या टी को 1 होने की अनुमति है और संरचना सामान्य एन-गॉन नहीं है तो पहले से सूचीबद्ध एन के मूल्यों के | * यदि एस या टी को 1 होने की अनुमति है और संरचना सामान्य एन-गॉन नहीं है तो पहले से सूचीबद्ध एन के मूल्यों के अतिरिक्त, केवल एन = 12 संभव हो सकता है। | ||
s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत षट्भुज में क्रम होता है | s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत षट्भुज में क्रम होता है | ||
| Line 52: | Line 52: | ||
* (क्यू<sup>3</sup>, q): ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन, या | * (क्यू<sup>3</sup>, q): ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन, या | ||
* (क्यू, क्यू<sup>3</sup>): डुअल ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन, | * (क्यू, क्यू<sup>3</sup>): डुअल ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन, | ||
जहाँ q | जहाँ q प्रधान शक्ति है। | ||
s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत अष्टकोण में क्रम है | s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत अष्टकोण में क्रम है | ||
| Line 61: | Line 61: | ||
== अर्ध-परिमित सामान्यीकृत बहुभुज == | == अर्ध-परिमित सामान्यीकृत बहुभुज == | ||
यदि एस और टी दोनों अनंत हैं तो सामान्यीकृत बहुभुज प्रत्येक एन के लिए अधिक या बराबर 2 के लिए | यदि एस और टी दोनों अनंत हैं तो सामान्यीकृत बहुभुज प्रत्येक एन के लिए अधिक या बराबर 2 के लिए उपस्तिथ हैं। यह अज्ञात है कि सामान्यीकृत बहुभुज उपस्तिथ हैं या नहीं, जिनमें से पैरामीटर परिमित है (और 1 से बड़ा है) जबकि अन्य अनंत (ये स्थिति हैं अर्ध-परिमित कहा जाता है)। पीटर कैमरन (गणितज्ञ) ने प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के साथ अर्ध-परिमित सामान्यीकृत चतुष्कोणों के गैर-अस्तित्व को सिद्ध किया, जबकि [[एंड्रयू ब्रेवर]] और बिल कांटोर ने स्वतंत्र रूप से प्रत्येक पंक्ति पर चार बिंदुओं के स्थिति को सिद्ध किया। [[ मॉडल सिद्धांत |मॉडल सिद्धांत]] का उपयोग करके जी चेरलिन द्वारा प्रत्येक पंक्ति पर पांच बिंदुओं के लिए गैर-अस्तित्व का परिणाम सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite journal| doi=10.1016/j.disc.2004.04.021 | volume=291 | issue=1–3 | title=प्रति पंक्ति अधिकतम पांच बिंदुओं के साथ स्थानीय रूप से परिमित सामान्यीकृत चतुष्कोण| year=2005 | journal=Discrete Mathematics | pages=73–79 | last1 = Cherlin | first1 = Gregory| doi-access=free }}</ref> सामान्यीकृत षट्कोणों या अष्टकोणों के लिए कोई और धारणा बनाए बिना ऐसा कोई परिणाम ज्ञात नहीं है, यहां तक कि प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के सबसे छोटे स्थिति के लिए भी। | ||
== मिश्रित अनुप्रयोग == | == मिश्रित अनुप्रयोग == | ||
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ़ में महत्वपूर्ण गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम (s,s) का प्रत्येक सामान्यीकृत n-gon | जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ़ में महत्वपूर्ण गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम (s,s) का प्रत्येक सामान्यीकृत n-gon (s+1,2n) पिंजरा (ग्राफ़ सिद्धांत) है। वे [[विस्तारक ग्राफ]] से भी संबंधित हैं क्योंकि उनके पास अच्छे विस्तार गुण हैं।<ref>{{Cite journal | doi=10.1137/0605030|title = सामान्यीकृत एन-गॉन्स से स्पष्ट संकेंद्रक| journal=SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods| volume=5| issue=3| pages=287–293|year = 1984|last1 = Tanner|first1 = R. Michael| hdl=10338.dmlcz/102386| hdl-access=free}}</ref> सामान्यीकृत बहुभुजों से चरम विस्तारक ग्राफ के अनेक वर्ग प्राप्त किए जाते हैं।<ref>{{Cite arXiv |eprint = 1407.4562|last1 = Nozaki|first1 = Hiroshi|title = नियमित रेखांकन के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग सीमाएँ|class = math.CO|year = 2014}}</ref> [[रैमसे सिद्धांत]] में, सामान्यीकृत बहुभुज का उपयोग करके बनाए गए ग्राफ़ हमें विकर्ण रैमसे नंबरों पर सबसे अच्छी ज्ञात रचनात्मक निचली सीमाएँ देते हैं।<ref>{{cite journal| doi=10.1016/j.jctb.2010.01.003 | volume=100 | issue=5 | title=रैमसे नंबरों पर कुछ रचनात्मक सीमाएँ| year=2010 | journal=Journal of Combinatorial Theory, Series B | pages=439–445 | last1 = Kostochka | first1 = Alexandr | last2 = Pudlák | first2 = Pavel | last3 = Rödl | first3 = Vojtech| doi-access=free }}</ref> | ||
Revision as of 12:30, 6 May 2023
गणित में, सामान्यीकृत बहुभुज 1959 में जैक्स स्तन द्वारा प्रस्तुत की गई घटना संरचना है। = 4)। अनेक सामान्यीकृत बहुभुज झूठ प्रकार के समूहों से उत्पन्न होते हैं, किन्तु ऐसे भी हैं जो इस तरह से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं। 'रूथ मौफांग संपत्ति' के रूप में जानी जाने वाली तकनीकी स्थिति को संतुष्ट करने वाले सामान्यीकृत बहुभुजों को पूरी तरह से टिट्स और वीस द्वारा वर्गीकृत किया गया है। प्रत्येक सामान्यीकृत एन-गॉन एन सम के साथ भी निकट बहुभुज है।
परिभाषा
सामान्यीकृत 2-गॉन (या डिगोन) कम से कम 2 बिंदुओं और 2 रेखाओं के साथ घटना संरचना है जहां प्रत्येक बिंदु प्रत्येक रेखा के लिए घटना है।
के लिएसामान्यीकृत एन-गॉन घटना संरचना है (), कहाँ बिंदुओं का समूह है, लाइनों का सेट है और घटना संबंध है, जैसे कि:
- यह आंशिक रैखिक स्थान है।
- इसके लिए उपज्यामिति के रूप में कोई सामान्य एम-गॉन नहीं है.
- इसमें उप-ज्यामिति के रूप में साधारण एन-गॉन है।
- किसी के लिए वहाँ उपज्यामिति उपस्तिथ है () साधारण एन-गॉन के लिए आइसोमॉर्फिक जैसे कि .
इन स्थितियों को व्यक्त करने का समतुल्य किन्तु कभी-कभी सरल विधि है: शीर्ष सेट के साथ द्विदलीय ग्राफ घटना ग्राफ पर विचार करें और बिंदुओं और रेखाओं के घटना युग्मों को जोड़ने वाले किनारे।
- घटना ग्राफ का घेरा (ग्राफ सिद्धांत) घटना ग्राफ के व्यास (ग्राफ सिद्धांत) n से दोगुना है।
इससे यह स्पष्ट होना चाहिए कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ मूर ग्राफ हैं।
सामान्यीकृत बहुभुज कोटि (s,t) का होता है यदि:
- के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने कुछ प्राकृतिक संख्या s के लिए समान डिग्री s + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक पंक्ति में बिल्कुल s + 1 अंक होते हैं,
- के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने किसी प्राकृत संख्या t के लिए समान घात t + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु ठीक t + 1 रेखा पर स्थित होता है।
हम कहते हैं कि सामान्यीकृत बहुभुज मोटा होता है यदि प्रत्येक बिंदु (रेखा) कम से कम तीन रेखाओं (बिंदुओं) के साथ आपतित हो। सभी मोटे सामान्यीकृत बहुभुजों का क्रम होता है।
सामान्यीकृत एन-गॉन का दोहरा (), घटना संरचना है जिसमें बिंदुओं और रेखाओं की धारणा उलटी होती है और घटना संबंध को इसके विपरीत संबंध के रूप में लिया जाता है . यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि यह फिर से सामान्यीकृत एन-गॉन है।
उदाहरण
- सामान्यीकृत डिगोन का आपतन ग्राफ पूर्ण द्विदलीय ग्राफ K हैs+1,t+1.
- किसी भी प्राकृतिक n ≥ 3 के लिए, n भुजाओं वाले साधारण बहुभुज की सीमा पर विचार करें। घटना संबंध के रूप में सेट समावेशन के साथ, बहुभुज के शीर्षों को बिंदु और भुजाओं को रेखाएँ घोषित करें। इसका परिणाम सामान्यीकृत एन-गॉन में एस = टी = 1 के साथ होता है।
- रैंक 2 के ली प्रकार जी के प्रत्येक समूह के लिए संबद्ध सामान्यीकृत एन-गॉन एक्स है जिसमें एन बराबर 3, 4, 6 या 8 है जैसे कि जी एक्स के झंडे के सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। परिमित स्थिति में, के लिए n=6, परिमित सरल समूहों#G2.28q.29 चेवेली समूहों की सूची के लिए क्रम (q, q) का स्प्लिट केली हेक्सागोन प्राप्त करता है। जी2(क्यू) और आदेश के मुड़ ट्रायलिटी हेक्सागोन (क्यू3, q) परिमित सरल समूहों की सूची के लिए#3D4.28q3.29 स्टाइनबर्ग समूह|3डी4(क्यू3), और n = 8 के लिए, व्यक्ति क्रम (q, q) का Ree-Tits अष्टकोना प्राप्त करता है2) परिमित सरल समूहों की सूची के लिए#3D4.28q3.29 स्टाइनबर्ग समूह|2एफ4(क्यू) क्यू = 2 के साथ2n+1. द्वैत तक, ये केवल ज्ञात मोटे परिमित सामान्यीकृत षट्भुज या अष्टकोना हैं।
मापदंडों पर प्रतिबंध
वाल्टर फीट और ग्राहम हिगमैन ने सिद्ध किया कि ऑर्डर (एस, टी) के परिमित सामान्यीकृत एन-गॉन्स s ≥ 2, t ≥ 2 केवल n के निम्नलिखित मानों के लिए उपस्तिथ हो सकता है:
- 2, 3, 4, 6 या 8. फिट-हिगमैन परिणाम का अन्य प्रमाण किल्मॉयर और सोलोमन द्वारा दिया गया था।
इन मूल्यों के लिए सामान्यीकृत n-गोंन्स को सामान्यीकृत डिगोन, त्रिकोण, चतुष्कोण, षट्कोण और अष्टकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है।
जब फीट-हिगमैन प्रमेय को हेमर्स-रूस असमानताओं के साथ जोड़ा जाता है, तो हमें निम्नलिखित प्रतिबंध मिलते हैं,
- यदि n = 2, आपतन ग्राफ पूर्ण द्विदलीय ग्राफ है और इस प्रकार s, t स्वेच्छ पूर्णांक हो सकते हैं।
- यदि n = 3, संरचना परिमित प्रक्षेपी तल है, और s = t।
- यदि n = 4, संरचना परिमित सामान्यीकृत चतुर्भुज है, और t1/2 ≤ एस ≤ टी2</उप>।
- यदि n = 6, तो st वर्ग संख्या है, और t1/3 ≤ एस ≤ टी3</उप>।
- यदि n = 8, तो दूसरा वर्ग है, और t1/2 ≤ एस ≤ टी2</उप>।
- यदि एस या टी को 1 होने की अनुमति है और संरचना सामान्य एन-गॉन नहीं है तो पहले से सूचीबद्ध एन के मूल्यों के अतिरिक्त, केवल एन = 12 संभव हो सकता है।
s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत षट्भुज में क्रम होता है
- (क्यू, क्यू): विभाजित केली हेक्सागोन्स और उनके दोहरे,
- (क्यू3, q): ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन, या
- (क्यू, क्यू3): डुअल ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन,
जहाँ q प्रधान शक्ति है।
s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत अष्टकोण में क्रम है
- (क्यू, क्यू2): री-टिट्स ऑक्टागन या
- (क्यू2, q): दोहरी री-स्तन अष्टकोना,
जहाँ q 2 की विषम शक्ति है।
अर्ध-परिमित सामान्यीकृत बहुभुज
यदि एस और टी दोनों अनंत हैं तो सामान्यीकृत बहुभुज प्रत्येक एन के लिए अधिक या बराबर 2 के लिए उपस्तिथ हैं। यह अज्ञात है कि सामान्यीकृत बहुभुज उपस्तिथ हैं या नहीं, जिनमें से पैरामीटर परिमित है (और 1 से बड़ा है) जबकि अन्य अनंत (ये स्थिति हैं अर्ध-परिमित कहा जाता है)। पीटर कैमरन (गणितज्ञ) ने प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के साथ अर्ध-परिमित सामान्यीकृत चतुष्कोणों के गैर-अस्तित्व को सिद्ध किया, जबकि एंड्रयू ब्रेवर और बिल कांटोर ने स्वतंत्र रूप से प्रत्येक पंक्ति पर चार बिंदुओं के स्थिति को सिद्ध किया। मॉडल सिद्धांत का उपयोग करके जी चेरलिन द्वारा प्रत्येक पंक्ति पर पांच बिंदुओं के लिए गैर-अस्तित्व का परिणाम सिद्ध किया गया था।[1] सामान्यीकृत षट्कोणों या अष्टकोणों के लिए कोई और धारणा बनाए बिना ऐसा कोई परिणाम ज्ञात नहीं है, यहां तक कि प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के सबसे छोटे स्थिति के लिए भी।
मिश्रित अनुप्रयोग
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ़ में महत्वपूर्ण गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम (s,s) का प्रत्येक सामान्यीकृत n-gon (s+1,2n) पिंजरा (ग्राफ़ सिद्धांत) है। वे विस्तारक ग्राफ से भी संबंधित हैं क्योंकि उनके पास अच्छे विस्तार गुण हैं।[2] सामान्यीकृत बहुभुजों से चरम विस्तारक ग्राफ के अनेक वर्ग प्राप्त किए जाते हैं।[3] रैमसे सिद्धांत में, सामान्यीकृत बहुभुज का उपयोग करके बनाए गए ग्राफ़ हमें विकर्ण रैमसे नंबरों पर सबसे अच्छी ज्ञात रचनात्मक निचली सीमाएँ देते हैं।[4]
यह भी देखें
- बिल्डिंग (गणित)
- (बी, एन) जोड़ी
- री समूह
- मौफांग बहुभुज
- बहुभुज के पास
संदर्भ
- ↑ Cherlin, Gregory (2005). "प्रति पंक्ति अधिकतम पांच बिंदुओं के साथ स्थानीय रूप से परिमित सामान्यीकृत चतुष्कोण". Discrete Mathematics. 291 (1–3): 73–79. doi:10.1016/j.disc.2004.04.021.
- ↑ Tanner, R. Michael (1984). "सामान्यीकृत एन-गॉन्स से स्पष्ट संकेंद्रक". SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods. 5 (3): 287–293. doi:10.1137/0605030. hdl:10338.dmlcz/102386.
- ↑ Nozaki, Hiroshi (2014). "नियमित रेखांकन के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग सीमाएँ". arXiv:1407.4562 [math.CO].
- ↑ Kostochka, Alexandr; Pudlák, Pavel; Rödl, Vojtech (2010). "रैमसे नंबरों पर कुछ रचनात्मक सीमाएँ". Journal of Combinatorial Theory, Series B. 100 (5): 439–445. doi:10.1016/j.jctb.2010.01.003.
- Godsil, Chris; Royle, Gordon (2001), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 207, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4613-0163-9, ISBN 978-0-387-95220-8, MR 1829620.
- Feit, Walter; Higman, Graham (1964), "The nonexistence of certain generalized polygons", Journal of Algebra, 1 (2): 114–131, doi:10.1016/0021-8693(64)90028-6, MR 0170955.
- Haemers, W. H.; Roos, C. (1981), "An inequality for generalized hexagons", Geometriae Dedicata, 10 (1–4): 219–222, doi:10.1007/BF01447425, MR 0608143.
- Kantor, W. M. (1986). "Generalized polygons, SCABs and GABs". Buildings and the Geometry of Diagrams. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1181. Springer-Verlag, Berlin. pp. 79–158. CiteSeerX 10.1.1.74.3986. doi:10.1007/BFb0075513. ISBN 978-3-540-16466-1.
- Kilmoyer, Robert; Solomon, Louis (1973), "On the theorem of Feit-Higman", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 15 (3): 310–322, doi:10.1016/0097-3165(73)90076-9, MR 0357157
- Van Maldeghem, Hendrik (1998), Generalized polygons, Monographs in Mathematics, vol. 93, Basel: Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-0348-0271-0, ISBN 978-3-7643-5864-8, MR 1725957.
- Stanton, Dennis (1983), "Generalized n-gons and Chebychev polynomials", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 34 (1): 15–27, doi:10.1016/0097-3165(83)90036-5, MR 0685208.
- Tits, Jacques; Weiss, Richard M. (2002), Moufang polygons, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43714-7, MR 1938841.
