कैंटर स्पेस: Difference between revisions
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गणित में, कैंटर | गणित में, कैंटर स्पेस, जिसे [[जॉर्ज कैंटर]] के नाम पर रखा गया है, चिरसम्मत [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] का [[टोपोलॉजी|सांस्थितिक]] संक्षिप्तीकरण है- [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक अंतराल]] एक कैंटर स्पेस है, यदि यह कैंटर समुच्चय के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है। [[ समुच्चय सिद्धान्त |समुच्चय सिद्धांत]] में, सांस्थितिक अंतराल 2<sup>ω</sup> को "द" कैंटर स्पेस कहा जाता है। | ||
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कैंटर समुच्चय स्वयं एक कैंटर | कैंटर समुच्चय स्वयं एक कैंटर स्पेस है। लेकिन कैंटर स्पेस का प्रामाणिक उदाहरण असतत 2-बिंदु अंतराल {0, 1} का गणनीय अनंत [[उत्पाद टोपोलॉजी|सांस्थितिक गुणनफल]] है। यह प्रायः <math>2^\mathbb{N}</math> या 2<sup>ω</sup> के रूप में लिखा जाता है (जहां 2 [[असतत टोपोलॉजी]] के साथ 2-अल्पांश [[सेट (गणित)|समुच्चय]] {0,1} को दर्शाता है)। 2<sup>ω</sup> में बिंदु अनंत बाइनरी अनुक्रम है, जो कि अनुक्रम है जो केवल मान 0 या 1 मानता है। इस तरह के अनुक्रम को देखते हुए ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,..., इसे [[वास्तविक संख्या]] में मैप कर सकते हैं | ||
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यह मैपिंग 2<sup>ω</sup> से कैंटर समुच्चय पर होमियोमोर्फिज्म देता है, यह प्रदर्शित करता है कि 2<sup>ω</sup> वास्तव में कैंटर | यह मैपिंग 2<sup>ω</sup> से कैंटर समुच्चय पर होमियोमोर्फिज्म देता है, यह प्रदर्शित करता है कि 2<sup>ω</sup> वास्तव में कैंटर स्पेस है। | ||
कैंटर | कैंटर स्पेस [[वास्तविक विश्लेषण]] में बहुतायत से पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, वे प्रत्येक संपूर्ण, [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मापीय अंतराल]] में [[सबस्पेस टोपोलॉजी|उप-अंतराल]] के रूप में उपस्थित होते हैं। (इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि ऐसे अंतराल में, किसी भी [[खाली सेट|गैर-रिक्त]] [[सही सेट|पूर्ण समुच्चय]] में मनमाने ढंग से छोटे व्यास के दो [[अलग सेट|अलग-अलग]] गैर-रिक्त पूर्ण उपसमुच्चय होते हैं, और इसलिए कोई सामान्य कैंटर समुच्चय के निर्माण का अनुकरण कर सकता है।) इसके अतिरिक्त, प्रत्येक [[बेशुमार|असंख्य]], [[वियोज्य स्थान|वियोज्य]], पूरी तरह से मेट्रिजेबल अंतराल में कैंटर स्पेस को उपस्थान के रूप में सम्मिलित किया गया है। इसमें वास्तविक विश्लेषण में अधिकांश सामान्य अंतराल सम्मिलित हैं। | ||
== विशेषता == | == विशेषता == | ||
[[लुइट्ज़ेन एगबर्टस जान ब्रोवर|ब्रौवेर]] के प्रमेय द्वारा कैंटर | [[लुइट्ज़ेन एगबर्टस जान ब्रोवर|ब्रौवेर]] के प्रमेय द्वारा कैंटर स्पेस का सांस्थितिक लक्षण वर्णन दिया गया है-<ref>{{citation|first=L. E. J.|last=Brouwer|authorlink=L. E. J. Brouwer|title=On the structure of perfect sets of points|journal=Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen|volume=12|year=1910|pages=785–794|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00013496.pdf}}.</ref> | ||
{{block indent|[[अलग-अलग बिंदुओं]] के बिना कोई भी दो गैर-रिक्त [[कॉम्पैक्ट स्पेस|सघन]] [[हौसडॉर्फ अंतराल]] और [[क्लोपेन समुच्चय]] से युक्त गणनीय [[आधार (टोपोलॉजी)|आधार]] एक-दूसरे के लिए होमियोमोर्फिक हैं।}} | {{block indent|[[अलग-अलग बिंदुओं]] के बिना कोई भी दो गैर-रिक्त [[कॉम्पैक्ट स्पेस|सघन]] [[हौसडॉर्फ अंतराल]] और [[क्लोपेन समुच्चय]] से युक्त गणनीय [[आधार (टोपोलॉजी)|आधार]] एक-दूसरे के लिए होमियोमोर्फिक हैं।}} | ||
क्लॉपेन समुच्चय से युक्त आधार होने की सांस्थितिकीय गुण को कभी-कभी "शून्य-आयामीता" के रूप में जाना जाता है। ब्रौवर के प्रमेय को इस रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है- | क्लॉपेन समुच्चय से युक्त आधार होने की सांस्थितिकीय गुण को कभी-कभी "शून्य-आयामीता" के रूप में जाना जाता है। ब्रौवर के प्रमेय को इस रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है- | ||
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यह प्रमेय भी समतुल्य (बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के माध्यम से) है इस तथ्य के लिए कि कोई भी दो [[गणनीय परमाणु रहित बूलियन बीजगणित]] [[समरूप|समरूपी]] हैं। | यह प्रमेय भी समतुल्य (बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के माध्यम से) है इस तथ्य के लिए कि कोई भी दो [[गणनीय परमाणु रहित बूलियन बीजगणित]] [[समरूप|समरूपी]] हैं। | ||
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जैसा कि ब्रौवर के प्रमेय से आशा की जा सकती है, कैंटर | जैसा कि ब्रौवर के प्रमेय से आशा की जा सकती है, कैंटर स्पेस कई रूपों में दिखाई देते हैं। लेकिन कैंटर स्पेस के कई गुणों को 2<sup>ω</sup> का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है, क्योंकि गुणनफल के रूप में इसका निर्माण विश्लेषण के लिए उपयुक्त बनाता है। | ||
कैंटर | कैंटर स्पेस में निम्नलिखित गुण हैं- | ||
* किसी भी कैंटर | * किसी भी कैंटर स्पेस का [[प्रमुखता|गणनांक]] <math>2^{\aleph_0}</math> है, जो कि [[सातत्य की प्रमुखता|सातत्य का गणनांक]] है। | ||
* कैंटर | * कैंटर स्पेस के दो (या यहां तक कि किसी भी परिमित या गणनीय संख्या) का गुणनफल कैंटर स्पेस है। [[कैंटर समारोह|कैंटर फलन]] के साथ, इस तथ्य का उपयोग [[ जगह भरने वाला कर्व |स्थान-भरने वाले वक्र]] बनाने के लिए किया जा सकता है। | ||
* (गैर-रिक्त) हॉउसडॉर्फ सांस्थितिक अंतराल सघन मेट्रिजेबल है यदि और केवल अगर यह कैंटर | * (गैर-रिक्त) हॉउसडॉर्फ सांस्थितिक अंतराल सघन मेट्रिजेबल है यदि और केवल अगर यह कैंटर स्पेस का एक [[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)|सतत]] चित्र है।<ref>N.L. Carothers, ''A Short Course on Banach Space Theory'', London Mathematical Society Student Texts '''64''', (2005) Cambridge University Press. ''See Chapter 12''</ref><ref>Willard, ''op.cit.'', ''See section 30.7''</ref><ref>{{Cite web|url=https://imgur.com/a/UDgthQm|title=Pugh "Real Mathematical Analysis" Page 108-112 Cantor Surjection Theorem}}</ref> | ||
माना ''C''(''X'') सांस्थितिक अंतराल ''X'' पर सभी वास्तविक मान, परिबद्ध सतत फलनों की अंतराल को दर्शाता है। ''K'' सघन [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक अंतराल]] को निरूपित करते हैं, और Δ कैंटर समुच्चय को निरूपित करते हैं। तब कैंटर समुच्चय में निम्नलिखित गुण होते हैं- | माना ''C''(''X'') सांस्थितिक अंतराल ''X'' पर सभी वास्तविक मान, परिबद्ध सतत फलनों की अंतराल को दर्शाता है। ''K'' सघन [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक अंतराल]] को निरूपित करते हैं, और Δ कैंटर समुच्चय को निरूपित करते हैं। तब कैंटर समुच्चय में निम्नलिखित गुण होते हैं- | ||
* ''C''(''K'') ''C''(Δ) की [[बंद सेट|संवृत्त]] उपअंतराल के लिए [[आइसोमेट्री|सममितीय]] है।<ref>Carothers, ''op.cit.''</ref> | * ''C''(''K'') ''C''(Δ) की [[बंद सेट|संवृत्त]] उपअंतराल के लिए [[आइसोमेट्री|सममितीय]] है।<ref>Carothers, ''op.cit.''</ref> | ||
सामान्य रूप से, यह सममितीय अद्वितीय नहीं है, और इस प्रकार स्पष्ट रूप से [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक गुण]] नहीं है। | सामान्य रूप से, यह सममितीय अद्वितीय नहीं है, और इस प्रकार स्पष्ट रूप से [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक गुण]] नहीं है। | ||
*कैंटर | *कैंटर स्पेस के सभी होमियोमॉर्फिज़्म का [[समूह (गणित)|समूह]] सरल है।<ref>R.D. Anderson, ''The Algebraic Simplicity of Certain Groups of Homeomorphisms'', [[American Journal of Mathematics]] '''80''' (1958), pp. 955-963.</ref> | ||
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Revision as of 16:53, 10 May 2023
गणित में, कैंटर स्पेस, जिसे जॉर्ज कैंटर के नाम पर रखा गया है, चिरसम्मत कैंटर समुच्चय का सांस्थितिक संक्षिप्तीकरण है- सांस्थितिक अंतराल एक कैंटर स्पेस है, यदि यह कैंटर समुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। समुच्चय सिद्धांत में, सांस्थितिक अंतराल 2ω को "द" कैंटर स्पेस कहा जाता है।
उदाहरण
कैंटर समुच्चय स्वयं एक कैंटर स्पेस है। लेकिन कैंटर स्पेस का प्रामाणिक उदाहरण असतत 2-बिंदु अंतराल {0, 1} का गणनीय अनंत सांस्थितिक गुणनफल है। यह प्रायः या 2ω के रूप में लिखा जाता है (जहां 2 असतत टोपोलॉजी के साथ 2-अल्पांश समुच्चय {0,1} को दर्शाता है)। 2ω में बिंदु अनंत बाइनरी अनुक्रम है, जो कि अनुक्रम है जो केवल मान 0 या 1 मानता है। इस तरह के अनुक्रम को देखते हुए a0, a1, a2,..., इसे वास्तविक संख्या में मैप कर सकते हैं
यह मैपिंग 2ω से कैंटर समुच्चय पर होमियोमोर्फिज्म देता है, यह प्रदर्शित करता है कि 2ω वास्तव में कैंटर स्पेस है।
कैंटर स्पेस वास्तविक विश्लेषण में बहुतायत से पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, वे प्रत्येक संपूर्ण, पूर्ण मापीय अंतराल में उप-अंतराल के रूप में उपस्थित होते हैं। (इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि ऐसे अंतराल में, किसी भी गैर-रिक्त पूर्ण समुच्चय में मनमाने ढंग से छोटे व्यास के दो अलग-अलग गैर-रिक्त पूर्ण उपसमुच्चय होते हैं, और इसलिए कोई सामान्य कैंटर समुच्चय के निर्माण का अनुकरण कर सकता है।) इसके अतिरिक्त, प्रत्येक असंख्य, वियोज्य, पूरी तरह से मेट्रिजेबल अंतराल में कैंटर स्पेस को उपस्थान के रूप में सम्मिलित किया गया है। इसमें वास्तविक विश्लेषण में अधिकांश सामान्य अंतराल सम्मिलित हैं।
विशेषता
ब्रौवेर के प्रमेय द्वारा कैंटर स्पेस का सांस्थितिक लक्षण वर्णन दिया गया है-[1]
अलग-अलग बिंदुओं के बिना कोई भी दो गैर-रिक्त सघन हौसडॉर्फ अंतराल और क्लोपेन समुच्चय से युक्त गणनीय आधार एक-दूसरे के लिए होमियोमोर्फिक हैं।
क्लॉपेन समुच्चय से युक्त आधार होने की सांस्थितिकीय गुण को कभी-कभी "शून्य-आयामीता" के रूप में जाना जाता है। ब्रौवर के प्रमेय को इस रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है-
सांस्थितिक अंतराल कैंटर स्पेस है यदि और केवल अगर यह गैर-रिक्त, पूर्ण, सघन, पूर्ण रूप से असंबद्ध और मेट्रिज़ेबल है।
यह प्रमेय भी समतुल्य (बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के माध्यम से) है इस तथ्य के लिए कि कोई भी दो गणनीय परमाणु रहित बूलियन बीजगणित समरूपी हैं।
गुण
जैसा कि ब्रौवर के प्रमेय से आशा की जा सकती है, कैंटर स्पेस कई रूपों में दिखाई देते हैं। लेकिन कैंटर स्पेस के कई गुणों को 2ω का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है, क्योंकि गुणनफल के रूप में इसका निर्माण विश्लेषण के लिए उपयुक्त बनाता है।
कैंटर स्पेस में निम्नलिखित गुण हैं-
- किसी भी कैंटर स्पेस का गणनांक है, जो कि सातत्य का गणनांक है।
- कैंटर स्पेस के दो (या यहां तक कि किसी भी परिमित या गणनीय संख्या) का गुणनफल कैंटर स्पेस है। कैंटर फलन के साथ, इस तथ्य का उपयोग स्थान-भरने वाले वक्र बनाने के लिए किया जा सकता है।
- (गैर-रिक्त) हॉउसडॉर्फ सांस्थितिक अंतराल सघन मेट्रिजेबल है यदि और केवल अगर यह कैंटर स्पेस का एक सतत चित्र है।[2][3][4]
माना C(X) सांस्थितिक अंतराल X पर सभी वास्तविक मान, परिबद्ध सतत फलनों की अंतराल को दर्शाता है। K सघन मीट्रिक अंतराल को निरूपित करते हैं, और Δ कैंटर समुच्चय को निरूपित करते हैं। तब कैंटर समुच्चय में निम्नलिखित गुण होते हैं-
सामान्य रूप से, यह सममितीय अद्वितीय नहीं है, और इस प्रकार स्पष्ट रूप से सार्वभौमिक गुण नहीं है।
यह भी देखें
- अंतराल (गणित)
- कैंटर समुच्चय
- कैंटर घन
संदर्भ
- ↑ Brouwer, L. E. J. (1910), "On the structure of perfect sets of points" (PDF), Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen, 12: 785–794.
- ↑ N.L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, London Mathematical Society Student Texts 64, (2005) Cambridge University Press. See Chapter 12
- ↑ Willard, op.cit., See section 30.7
- ↑ "Pugh "Real Mathematical Analysis" Page 108-112 Cantor Surjection Theorem".
- ↑ Carothers, op.cit.
- ↑ R.D. Anderson, The Algebraic Simplicity of Certain Groups of Homeomorphisms, American Journal of Mathematics 80 (1958), pp. 955-963.
- Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory (Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.
