ज्यामितीय इकाई प्रणाली: Difference between revisions
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यह प्रणाली भौतिकी में विशेष रूप से सापेक्षता के विशेष सिद्धांत और सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में उपयोगी है। सभी [[भौतिक मात्रा]]ओं की पहचान ज्यामितीय मात्राओं जैसे कि क्षेत्र, लंबाई, आयाम रहित संख्या, पथ वक्रता या अनुभागीय वक्रता से की जाती है। | यह प्रणाली भौतिकी में विशेष रूप से सापेक्षता के विशेष सिद्धांत और सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में उपयोगी है। सभी [[भौतिक मात्रा]]ओं की पहचान ज्यामितीय मात्राओं जैसे कि क्षेत्र, लंबाई, आयाम रहित संख्या, पथ वक्रता या अनुभागीय वक्रता से की जाती है। | ||
ज्यामितीय इकाइयों में व्यक्त किए जाने पर सापेक्ष भौतिकी में कई समीकरण सरल दिखाई देते हैं, क्योंकि G और c की सभी घटनाएँ समाप्त हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, मास m के साथ एक गैर-घूर्णन अपरिवर्तित [[ब्लैक होल]] का स्च्वार्जस्चिल्ड {{nowrap|1=''r'' = 2''m''}} त्रिज्या बन जाता है | ज्यामितीय इकाइयों में व्यक्त किए जाने पर सापेक्ष भौतिकी में कई समीकरण सरल दिखाई देते हैं, क्योंकि G और c की सभी घटनाएँ समाप्त हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, मास m के साथ एक गैर-घूर्णन अपरिवर्तित [[ब्लैक होल]] का स्च्वार्जस्चिल्ड {{nowrap|1=''r'' = 2''m''}} त्रिज्या बन जाता है इस कारण से, आपेक्षिक भौतिकी पर कई पुस्तकें और पेपर ज्यामितीय इकाइयों का उपयोग करते हैं। ज्यामितीय इकाइयों की एक वैकल्पिक प्रणाली का उपयोग अक्सर [[कण भौतिकी]] और [[भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान]] में किया जाता है, जिसमें {{nowrap|1=8π''G'' = 1}} अतिरिक्त यह न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम में 8π के एक अतिरिक्त कारक का परिचय देता है किंतु संबंधित कारक को हटाकर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण, आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया, फ्रीडमैन समीकरण [[और]] न्यूटोनियन पॉइसन समीकरण को सरल करता है। | ||
प्रायोगिक माप और संगणना सामान्यतः | प्रायोगिक माप और संगणना सामान्यतः एसआई इकाइयों में की जाती है, किंतु रूपांतरण सामान्यतः अधिक सरल होते हैं। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
ज्यामितीय इकाइयों में, प्रत्येक समय अंतराल की व्याख्या उस समय अंतराल के समय प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी के रूप में की जाती है। अर्थात्, एक [[ दूसरा ]] की व्याख्या एक प्रकाश-सेकंड के रूप में की जाती है, इसलिए समय की [[लंबाई]] की ज्यामितीय इकाइयाँ होती हैं। यह आयामी रूप से इस धारणा के अनुरूप है कि, [[विशेष सापेक्षता]] के [[गति]] की नियमो के अनुसार, समय और दूरी एक समान स्तर पर हैं। | ज्यामितीय इकाइयों में, प्रत्येक समय अंतराल की व्याख्या उस समय अंतराल के समय प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी के रूप में की जाती है। अर्थात्, एक [[ दूसरा |दूसरा]] की व्याख्या एक प्रकाश-सेकंड के रूप में की जाती है, इसलिए समय की [[लंबाई]] की ज्यामितीय इकाइयाँ होती हैं। यह आयामी रूप से इस धारणा के अनुरूप है कि, [[विशेष सापेक्षता]] के [[गति]] की नियमो के अनुसार, समय और दूरी एक समान स्तर पर हैं। | ||
[[ऊर्जा]] और संवेग को चार-संवेग सदिश के घटकों के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, और [[द्रव्यमान]] इस सदिश का परिमाण है, इसलिए ज्यामितीय इकाइयों में इन सभी की लंबाई का आयाम होना चाहिए। हम रूपांतरण कारक G/c<sup>2 | [[ऊर्जा]] और संवेग को चार-संवेग सदिश के घटकों के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, और [[द्रव्यमान]] इस सदिश का परिमाण है, इसलिए ज्यामितीय इकाइयों में इन सभी की लंबाई का आयाम होना चाहिए। हम रूपांतरण कारक G/c<sup>2 से गुणा करके किलोग्राम में व्यक्त द्रव्यमान को मीटर में व्यक्त समतुल्य द्रव्यमान में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सूर्य का द्रव्यमान {{val|2.0|e=30|u=kg}} एसआई इकाइयों में समान है {{val|1.5|u=km}} . यह एक सौर द्रव्यमान वाले ब्लैक होल की श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या का आधा है। इन दोनों को मिलाकर अन्य सभी रूपांतरण कारकों पर काम किया जा सकता है। | ||
कुछ रूपांतरण कारकों का छोटा संख्यात्मक आकार इस तथ्य को दर्शाता है कि बड़े द्रव्यमान या उच्च गति पर विचार करने पर सापेक्ष प्रभाव केवल ध्यान देने योग्य होते हैं। | कुछ रूपांतरण कारकों का छोटा संख्यात्मक आकार इस तथ्य को दर्शाता है कि बड़े द्रव्यमान या उच्च गति पर विचार करने पर सापेक्ष प्रभाव केवल ध्यान देने योग्य होते हैं। | ||
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[[आइंस्टीन टेंसर]] जैसे वक्रता टेन्सर के घटकों में ज्यामितीय इकाइयों में [[अनुभागीय वक्रता]] के आयाम होते हैं। तो तनाव-ऊर्जा टेंसर के घटक करें। इसलिए, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण इन इकाइयों में आयामी रूप से सुसंगत है। | [[आइंस्टीन टेंसर]] जैसे वक्रता टेन्सर के घटकों में ज्यामितीय इकाइयों में [[अनुभागीय वक्रता]] के आयाम होते हैं। तो तनाव-ऊर्जा टेंसर के घटक करें। इसलिए, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण इन इकाइयों में आयामी रूप से सुसंगत है। | ||
पथ वक्रता एक वक्र के [[जियोडेसिक वक्रता]] के परिमाण का व्युत्क्रम है, इसलिए ज्यामितीय इकाइयों में इसकी व्युत्क्रम लंबाई का आयाम है। पथ वक्रता उस दर को मापती है जिस पर [[ अंतरिक्ष समय | स्थान समय]] में एक नॉनजियोडेसिक वक्र झुकता है, और यदि हम किसी [[अवलोकन]] की [[विश्व रेखा]] के रूप में एक [[समयबद्ध वेक्टर]] की व्याख्या करते हैं, तो इसके पथ वक्रता की व्याख्या उस पर्यवेक्षक द्वारा अनुभव किए गए [[त्वरण]] के परिमाण के रूप में की जा सकती है। भौतिक राशियाँ जिन्हें पथ वक्रता से पहचाना जा सकता है उनमें [[विद्युत चुम्बकीय टेंसर]] के घटक सम्मिलित | पथ वक्रता एक वक्र के [[जियोडेसिक वक्रता]] के परिमाण का व्युत्क्रम है, इसलिए ज्यामितीय इकाइयों में इसकी व्युत्क्रम लंबाई का आयाम है। पथ वक्रता उस दर को मापती है जिस पर [[ अंतरिक्ष समय |स्थान समय]] में एक नॉनजियोडेसिक वक्र झुकता है, और यदि हम किसी [[अवलोकन]] की [[विश्व रेखा]] के रूप में एक [[समयबद्ध वेक्टर]] की व्याख्या करते हैं, तो इसके पथ वक्रता की व्याख्या उस पर्यवेक्षक द्वारा अनुभव किए गए [[त्वरण]] के परिमाण के रूप में की जा सकती है। भौतिक राशियाँ जिन्हें पथ वक्रता से पहचाना जा सकता है उनमें [[विद्युत चुम्बकीय टेंसर]] के घटक सम्मिलित हैं। | ||
किसी भी [[वेग]] की व्याख्या वक्र के [[ढलान]] के रूप में की जा सकती है; ज्यामितीय इकाइयों में, ढलान स्पष्ट रूप से आयामहीन अनुपात हैं। भौतिक मात्राएँ जिन्हें आयाम रहित अनुपातों से पहचाना जा सकता है, उनमें विद्युत चुम्बकीय चार-संभावित चार-वेक्टर और [[चार-वर्तमान]] चार-वेक्टर के घटक सम्मिलित | किसी भी [[वेग]] की व्याख्या वक्र के [[ढलान]] के रूप में की जा सकती है; ज्यामितीय इकाइयों में, ढलान स्पष्ट रूप से आयामहीन अनुपात हैं। भौतिक मात्राएँ जिन्हें आयाम रहित अनुपातों से पहचाना जा सकता है, उनमें विद्युत चुम्बकीय चार-संभावित चार-वेक्टर और [[चार-वर्तमान]] चार-वेक्टर के घटक सम्मिलित हैं। | ||
द्रव्यमान और विद्युत आवेश जैसी भौतिक मात्राएँ जिन्हें एक समय सदृश सदिश के [[परिमाण (गणित)]] से पहचाना जा सकता है, लंबाई का ज्यामितीय आयाम है। भौतिक मात्राएँ जैसे कि कोणीय संवेग जिसे द्विभाजक के परिमाण से पहचाना जा सकता है, क्षेत्र का ज्यामितीय आयाम है। | द्रव्यमान और विद्युत आवेश जैसी भौतिक मात्राएँ जिन्हें एक समय सदृश सदिश के [[परिमाण (गणित)]] से पहचाना जा सकता है, लंबाई का ज्यामितीय आयाम है। भौतिक मात्राएँ जैसे कि कोणीय संवेग जिसे द्विभाजक के परिमाण से पहचाना जा सकता है, क्षेत्र का ज्यामितीय आयाम है। | ||
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Revision as of 16:17, 27 April 2023
एक ज्यामितीय इकाई प्रणाली, ज्यामितीय इकाई प्रणाली या ज्यामितीय इकाई प्रणाली[1][2] प्राकृतिक इकाइयों की एक प्रणाली है जिसमें माप की आधार इकाई को चुना जाता है जिससे निर्वात में प्रकाश की गति, c, और गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, G, एकता के समान स्थित हो।
ज्यामितीय इकाई प्रणाली पूरी तरह से परिभाषित प्रणाली नहीं है। कुछ प्रणालियाँ इस अर्थ में ज्यामितीय इकाई प्रणालियाँ हैं कि वे इन्हें अन्य भौतिक स्थिरांक के अतिरिक्त , एकता के लिए स्थित करती हैं, उदाहरण के लिए स्टोनी इकाइयाँ और प्लैंक इकाइयाँ है।
यह प्रणाली भौतिकी में विशेष रूप से सापेक्षता के विशेष सिद्धांत और सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में उपयोगी है। सभी भौतिक मात्राओं की पहचान ज्यामितीय मात्राओं जैसे कि क्षेत्र, लंबाई, आयाम रहित संख्या, पथ वक्रता या अनुभागीय वक्रता से की जाती है।
ज्यामितीय इकाइयों में व्यक्त किए जाने पर सापेक्ष भौतिकी में कई समीकरण सरल दिखाई देते हैं, क्योंकि G और c की सभी घटनाएँ समाप्त हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, मास m के साथ एक गैर-घूर्णन अपरिवर्तित ब्लैक होल का स्च्वार्जस्चिल्ड r = 2m त्रिज्या बन जाता है इस कारण से, आपेक्षिक भौतिकी पर कई पुस्तकें और पेपर ज्यामितीय इकाइयों का उपयोग करते हैं। ज्यामितीय इकाइयों की एक वैकल्पिक प्रणाली का उपयोग अक्सर कण भौतिकी और भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में किया जाता है, जिसमें 8πG = 1 अतिरिक्त यह न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम में 8π के एक अतिरिक्त कारक का परिचय देता है किंतु संबंधित कारक को हटाकर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण, आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया, फ्रीडमैन समीकरण और न्यूटोनियन पॉइसन समीकरण को सरल करता है।
प्रायोगिक माप और संगणना सामान्यतः एसआई इकाइयों में की जाती है, किंतु रूपांतरण सामान्यतः अधिक सरल होते हैं।
परिभाषा
ज्यामितीय इकाइयों में, प्रत्येक समय अंतराल की व्याख्या उस समय अंतराल के समय प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी के रूप में की जाती है। अर्थात्, एक दूसरा की व्याख्या एक प्रकाश-सेकंड के रूप में की जाती है, इसलिए समय की लंबाई की ज्यामितीय इकाइयाँ होती हैं। यह आयामी रूप से इस धारणा के अनुरूप है कि, विशेष सापेक्षता के गति की नियमो के अनुसार, समय और दूरी एक समान स्तर पर हैं।
ऊर्जा और संवेग को चार-संवेग सदिश के घटकों के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, और द्रव्यमान इस सदिश का परिमाण है, इसलिए ज्यामितीय इकाइयों में इन सभी की लंबाई का आयाम होना चाहिए। हम रूपांतरण कारक G/c2 से गुणा करके किलोग्राम में व्यक्त द्रव्यमान को मीटर में व्यक्त समतुल्य द्रव्यमान में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सूर्य का द्रव्यमान 2.0×1030 kg एसआई इकाइयों में समान है 1.5 km . यह एक सौर द्रव्यमान वाले ब्लैक होल की श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या का आधा है। इन दोनों को मिलाकर अन्य सभी रूपांतरण कारकों पर काम किया जा सकता है।
कुछ रूपांतरण कारकों का छोटा संख्यात्मक आकार इस तथ्य को दर्शाता है कि बड़े द्रव्यमान या उच्च गति पर विचार करने पर सापेक्ष प्रभाव केवल ध्यान देने योग्य होते हैं।
ज्यामितीय मात्राएँ
आइंस्टीन टेंसर जैसे वक्रता टेन्सर के घटकों में ज्यामितीय इकाइयों में अनुभागीय वक्रता के आयाम होते हैं। तो तनाव-ऊर्जा टेंसर के घटक करें। इसलिए, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण इन इकाइयों में आयामी रूप से सुसंगत है।
पथ वक्रता एक वक्र के जियोडेसिक वक्रता के परिमाण का व्युत्क्रम है, इसलिए ज्यामितीय इकाइयों में इसकी व्युत्क्रम लंबाई का आयाम है। पथ वक्रता उस दर को मापती है जिस पर स्थान समय में एक नॉनजियोडेसिक वक्र झुकता है, और यदि हम किसी अवलोकन की विश्व रेखा के रूप में एक समयबद्ध वेक्टर की व्याख्या करते हैं, तो इसके पथ वक्रता की व्याख्या उस पर्यवेक्षक द्वारा अनुभव किए गए त्वरण के परिमाण के रूप में की जा सकती है। भौतिक राशियाँ जिन्हें पथ वक्रता से पहचाना जा सकता है उनमें विद्युत चुम्बकीय टेंसर के घटक सम्मिलित हैं।
किसी भी वेग की व्याख्या वक्र के ढलान के रूप में की जा सकती है; ज्यामितीय इकाइयों में, ढलान स्पष्ट रूप से आयामहीन अनुपात हैं। भौतिक मात्राएँ जिन्हें आयाम रहित अनुपातों से पहचाना जा सकता है, उनमें विद्युत चुम्बकीय चार-संभावित चार-वेक्टर और चार-वर्तमान चार-वेक्टर के घटक सम्मिलित हैं।
द्रव्यमान और विद्युत आवेश जैसी भौतिक मात्राएँ जिन्हें एक समय सदृश सदिश के परिमाण (गणित) से पहचाना जा सकता है, लंबाई का ज्यामितीय आयाम है। भौतिक मात्राएँ जैसे कि कोणीय संवेग जिसे द्विभाजक के परिमाण से पहचाना जा सकता है, क्षेत्र का ज्यामितीय आयाम है।
यहाँ ज्यामितीय इकाइयों में उनके आयामों के अनुसार कुछ महत्वपूर्ण भौतिक राशियों को एकत्रित करने वाली एक तालिका है। वे SI इकाइयों के लिए उपयुक्त रूपांतरण कारक के साथ सूचीबद्ध हैं।
| मात्रा | एसआई आयाम | ज्यामितीय आयाम | गुणन कारक |
|---|---|---|---|
| लंबाई | L | L | 1 |
| समय | T | L | c |
| द्रव्यमान | M | L | G c−2 |
| वेग | L T−1 | 1 | c−1 |
| कोणीय वेग | T−1 | L−1 | c−1 |
| त्वरण | L T−2 | L−1 | c−2 |
| ऊर्जा | M L2 T−2 | L | G c−4 |
| ऊर्जा घनत्व | M L−1 T−2 | L−2 | G c−4 |
| कोनेदार गति | M L2 T−1 | L2 | G c−3 |
| बल | M L T−2 | 1 | G c−4 |
| शक्ति | M L2 T−3 | 1 | G c−5 |
| दबाव | M L−1 T−2 | L−2 | G c−4 |
| घनत्व | M L−3 | L−2 | G c−2 |
| विद्युत आवेश | T I | L | G1/2 c−2 ε0−1/2 |
| विद्युतीय संभाव्यता | M L2 T−3 I−1 | 1 | G1/2 c−2 ε01/2 |
| विद्युत क्षेत्र | M L T−3 I−1 | L−1 | G1/2 c−2 ε01/2 |
| चुंबकीय क्षेत्र | M T−2 I−1 | L−1 | G1/2 c−1 ε01/2 |
इस तालिका में तापमान को सम्मिलित करने के लिए संवर्धित किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर बताया गया है, साथ ही आगे की भौतिक मात्राएं जैसे कि विभिन्न क्षण (भौतिकी) है ।
इस तालिका में तापमान को सम्मिलित करने के लिए संवर्धित किया जा सकता है,
संदर्भ
- ↑ Lobo, Francisco S. N.; Rodrigues, Manuel E.; Silva, Marcos V. de S.; Simpson, Alex; Visser, Matt (2021). "Novel black-bounce spacetimes: Wormholes, regularity, energy conditions, and causal structure". Physical Review D. 103 (8): 084052. arXiv:2009.12057. Bibcode:2021PhRvD.103h4052L. doi:10.1103/PhysRevD.103.084052. S2CID 235581301.
- ↑ Hirose, Shigenobu; Krolik, Julian H.; De Villiers, Jean‐Pierre; Hawley, John F. (2004). "केर मेट्रिक में चुंबकीय रूप से संचालित अभिवृद्धि प्रवाह। द्वितीय। चुंबकीय क्षेत्र की संरचना". The Astrophysical Journal. 606 (2): 1083–1097. arXiv:astro-ph/0311500. Bibcode:2004ApJ...606.1083H. doi:10.1086/383184. S2CID 15317465.
- Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. See Appendix F
