बहुरेखीय रूप

अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, सदिश स्थान पर बहुरेखीय रूप $V$ क्षेत्र पर (गणित) $K$ मानचित्र (गणित) है

$f\colon V^{k}\to K$

जो अपने प्रत्येक $k$ तर्कों में अलग से $K$-रैखिक है। अधिक सामान्यतः , मॉड्यूल (गणित) पर क्रमविनिमेय वृत्त पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।

$\mathbb {R}$ पर $V$ पर बहुरेखीय $k$-रूप को (सहसंयोजक) ${\boldsymbol {k}}$-टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ या ${\mathcal {L}}^{k}(V)$निरूपित किया जाता है|

टेंसर उत्पाद

दिए गए $k$-टेंसर $f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)$ और $\ell$-टेंसर $g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)$, उत्पाद $f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)$, टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$(f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),$

सभी $v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V$ के लिए। बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; चूँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:

$f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})$, $(af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),$

और

$(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).$

यदि $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ $n$-आयामी सदिश स्थान $V$ के लिए आधार बनाता है और $(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})$ दोहरे स्थान $V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)$,के लिए संगत दोहरा आधार है, तो $1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n$ के साथ उत्पाद $\phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}$ के लिए आधार बनाते हैं। परिणामस्वरूप, ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ में आयाम $n^{k}$ है

उदाहरण

द्विरेखीय रूप

Main article: द्विरेखीय रूप

यदि $k=2$ $f:V\times V\to K$ को द्विरेखीय रूप कहा जाता है। (सममित) द्विरेखीय रूप का परिचित और महत्वपूर्ण उदाहरण सदिशों का मानक आंतरिक उत्पाद (डॉट उत्पाद) है।

वैकल्पिक बहुरेखीय रूप

Main article: वैकल्पिक बहु-रेखीय मानचित्र

बहुरेखीय रूपों का महत्वपूर्ण वर्ग वैकल्पिक बहुरेखीय रूप हैं, जिनके पास अतिरिक्त संपत्ति है

$f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k}),$

जहाँ $\sigma :\mathbf {N} _{k}\to \mathbf {N} _{k}$ क्रम परिवर्तन है और $\operatorname {sgn}(\sigma )$ क्रमचय के अपने चिह्न को दर्शाता है (+1 यदि सम है, -1 यदि विषम है)। परिणामस्वरूप, वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र बहुरेखीय रूप किसी भी दो तर्कों की अदला-बदली के संबंध में विषम हैं (अर्थात, $\sigma (p)=q,\sigma (q)=p$ और $\sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q$):

$f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{k})=-f(x_{1},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{k}).$

अतिरिक्त परिकल्पना के साथ कि विशेषता (क्षेत्र ) $K$ 2 नहीं है, सेटिंग $x_{p}=x_{q}=x$ परिणाम के रूप में तात्पर्य है कि $f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0$; अर्थात, जब भी इसके दो तर्क सामान्य होते हैं, तो प्रपत्र का मान 0 होता है। चूँकि, ध्यान दें कि कुछ लेखक वैकल्पिक रूपों की परिभाषित संपत्ति के रूप में इस अंतिम स्थिति का उपयोग करें। इस परिभाषा का तात्पर्य खंड की शुरुआत में दी गई संपत्ति से है, किन्तु जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, विपरीत निहितार्थ तभी होता है जब $\operatorname {char} (K)\neq 2$.

$\mathbb {R}$ पर $V$ पर एक वैकल्पिक मल्टीलाइनर $k$-फॉर्म को डिग्री $k$ या $k$-कोवेक्टर का मल्टीकोवेक्टर कहा जाता है, और ऐसे वैकल्पिक रूपों का वेक्टर स्पेस, एक सबस्पेस ${\mathcal {T}}^{k}(V)$, को आम तौर पर${\mathcal {A}}^{k}(V)$, या आइसोमॉर्फिक kth के लिए संकेतन का उपयोग करके निरूपित किया जाता है $V^{*}$($V$की दोहरी जगह) की बाहरी शक्ति ${\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}}$ ध्यान दें कि रैखिक कार्यात्मक $\mathbb {R}$ पर बहुरेखीय 1-रूप) तुच्छ रूप से वैकल्पिक हैं, जिससे ${\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}^{1}(V)=V^{*}$, जबकि, परिपाटी के अनुसार, 0-रूपों को अदिश ${\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}^{0}(V)=\mathbb {R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

निर्धारक चालू $n\times n$ मेट्रिसेस, के रूप में देखा $n$ स्तंभ वैक्टर का तर्क कार्य, वैकल्पिक बहुरेखीय रूप का महत्वपूर्ण उदाहरण है।

बाहरी उत्पाद

वैकल्पिक बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद, सामान्य रूप से, अब वैकल्पिक नहीं है। चूँकि, टेन्सर उत्पाद के सभी क्रम परिवर्तनों का योग करके, प्रत्येक शब्द की समानता को ध्यान में रखते हुए, बाहरी उत्पाद ($\wedge$, जिसे वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है) को मल्टीकोक्टर्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिससे यदि $f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)$ और $g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)$, तब $f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)$:

$(f\wedge g)(v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),$

जहां $k+\ell$ तत्वों, $S_{k+\ell }$ पर सभी क्रमपरिवर्तनों के समूहपर योग लिया जाता है। बाहरी उत्पाद द्विरेखीय, साहचर्य और श्रेणीबद्ध-वैकल्पिक है: यदि $f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)$ और $g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)$ फिर $f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f$ है।

$V$ के लिए आधार $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ और $(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})$ के लिए दोहरा आधार $V^{*}={\mathcal {A}}^{1}(V)$ दिया गया है, बाहरी उत्पाद $\phi ^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \phi ^{i_{k}}$, $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ के साथ ${\mathcal {A}}^{k}(V)$ के लिए एक आधार बनाते हैं। इसलिए, n-विम $V$ के लिए ${\mathcal {A}}^{k}(V)$ की विमीयता ${\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$ है।

विभेदक रूप

Main article: विभेदक रूप

विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और बहु-रेखीय रूपों के माध्यम से निर्मित होती हैं, जो कई तरह से व्यवहार करती हैं, जैसे मौलिक अर्थों में कार्य का अंतर। चूंकि संकल्पनात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी, अंतर कलन के इतिहास में प्रारंभिक रूप से विकसित अपरिमित मात्राओं की अ-परिभाषित धारणाओं पर आधारित हैं। विभेदक रूप लंबे समय से चले आ रहे इस विचार को आधुनिक बनाने के लिए गणितीय रूप से कठोर और स्पष्ट रूपरेखा प्रदान करते हैं। विभेदक रूप विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी कैलकुलस (विश्लेषण) और विभेदक ज्यामिति में उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके पास परिवर्तन गुण होते हैं जो उन्हें घटता, सतहों और उनके उच्च-आयामी एनालॉग्स (भिन्नात्मक मैनिफोल्ड ) पर एकीकृत करने की अनुमति देते हैं। दूरगामी अनुप्रयोग स्टोक्स प्रमेय का आधुनिक कथन है, उच्च आयामों के लिए कलन के मौलिक प्रमेय का व्यापक सामान्यीकरण है।

नीचे दिया गया सार मुख्य रूप से स्पिवक (1965) और तू (2011) पर आधारित है।

विभेदक k- रूपों की परिभाषा और 1-रूपों का निर्माण

विवर्त उपसमुच्चयों $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ पर विभेदक रूपों को परिभाषित करने के लिए, हमें सबसे पहले $p$ पर $\mathbb {R} ^{n}$ की स्पर्शरेखा स्थान की धारणा की आवश्यकता होती है, जिसे सामान्यतः $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ या $\mathbb {R} _{p}^{n}$। सदिश स्थान $\mathbb {R} _{p}^{n}$ को तत्वों के सेट के रूप में सबसे आसानी से परिभाषित किया जा सकता है $v_{p}$ ($v\in \mathbb {R} ^{n}$, $v_{p}+w_{p}:=(v+w)_{p}$ और $p\in \mathbb {R} ^{n}$ फिक्स्ड) सदिश जोड़ और स्केलर गुणन के साथ $a\cdot (v_{p}):=(a\cdot v)_{p}$, क्रमशः। इसके अतिरिक्त , यदि $(e_{1},\ldots ,e_{n})$$\mathbb {R} ^{n}$ के लिए मानक आधार है, तो $((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})$$\mathbb {R} _{p}^{n}$ के लिए समान मानक आधार है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान $\mathbb {R} _{p}^{n}$ को केवल $\mathbb {R} ^{n}$ (स्पर्शरेखा सदिशों का एक सेट) की एक प्रति के रूप में माना जा सकता है बिंदु $p$। $\mathbb {R} ^{n}$ की स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का संग्रह (विच्छिन्न संघ) बिल्कुल$p\in \mathbb {R} ^{n}$ को $\mathbb {R} ^{n}$ के स्पर्शरेखा बंडल के रूप में जाना जाता है। और सामान्यतः ${\textstyle T\mathbb {R} ^{n}:=\bigcup _{p\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} _{p}^{n}}$। जबकि यहाँ दी गई परिभाषा $\mathbb {R} ^{n}$ के स्पर्शरेखा स्थान का एक सरल विवरण प्रदान करती है, वहाँ अन्य, अधिक परिष्कृत निर्माण हैं जो सामान्य रूप से स्मूथ मैनिफोल्ड्स के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए बेहतर अनुकूल हैं (पर लेख देखें) विवरण के लिए स्पर्शरेखा रिक्त स्थान है)।

$U\subset \mathbb {R} ^{n}$ पर विभेदक ${\boldsymbol {k}}$-फॉर्म को एक फंक्शन $\omega$ के रूप में परिभाषित किया गया है जो टेंगेंट पर हर $p\in U$ a $k$-कोवेक्टोर को असाइन करता है। $p$ पर $\mathbb {R} ^{n}$ की जगह, आमतौर पर $\omega _{p}:=\omega (p)\in {\mathcal {A}}^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})$। संक्षेप में, एक विभेदक $k$-रूप एक $k$-वेक्टर क्षेत्र है। $U$ पर $k$-फॉर्म का स्थान आमतौर पर $\Omega ^{k}(U)$; इस प्रकार यदि $\omega$ एक विभेदक $k$-रूप है, तो हम $\omega \in \Omega ^{k}(U)$ लिखते हैं। परिपाटी के अनुसार, $U$ पर एक सतत फलन अवकल 0-रूप: $f\in C^{0}(U)=\Omega ^{0}(U)$ है।

हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल स्मूथ से निर्मित स्मूथ अंतर रूपों पर विचार करेंगे ($C^{\infty }$) कार्य करता है। होने देना $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं $df$ पर $U$ के लिए $p\in U$ और $v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}$ द्वारा $(df)_{p}(v_{p}):=Df|_{p}(v)$, जहाँ $Df|_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ का कुल योग है $f$ पर $p$. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) $\pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, द्वारा परिभाषित $x\mapsto x^{i}$, जहाँ $x^{i}$ का i मानक निर्देशांक है $x\in \mathbb {R} ^{n}$. 1-रूप $d\pi ^{i}$ मूलभूत 1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं $dx^{i}$. यदि मानक निर्देशांक $v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}$ हैं $(v^{1},\ldots ,v^{n})$, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग $df$ उत्पन्न $dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}$, जिससे $dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}$, जहाँ $\delta _{j}^{i}$ क्रोनकर डेल्टा है। इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में $\mathbb {R} _{p}^{n}$, $(dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})$ का आधार बनता है ${\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=(\mathbb {R} _{p}^{n})^{*}$. परिणामस्वरूप यदि $\omega$ 1-फॉर्म ऑन है $U$, तब $\omega$ रूप में लिखा जा सकता है ${\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}$ सुचारू कार्यों के लिए $a_{i}:U\to \mathbb {R}$. इसके अतिरिक्त , हम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं $df$ कुल अंतर के लिए मौलिक अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है:

$df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \over \partial x^{1}}\,dx^{1}+\cdots +{\partial f \over \partial x^{n}}\,dx^{n}.$

नोटेशन पर टिप्पणियाँ: इस लेख में, हम टेंसर गणना और विभेदक ज्योमेट्री के अधिवेशन का पालन करते हैं जिसमें मल्टीवैक्टर और मल्टीकोवेक्टर क्रमशः निचले और ऊपरी सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। चूंकि विभेदक रूप बहुवेक्टर क्षेत्र हैं, इसलिए उन्हें अनुक्रमित करने के लिए ऊपरी सूचकांकों को नियोजित किया जाता है। विपरीत नियम मल्टीवैक्टर और मल्टीकोक्टर के घटकों पर प्रयुक्त होता है, जो क्रमशः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, हम वेक्टर $v\in \mathbb {R} ^{n}$ के मानक निर्देशांक का$(v^{1},\ldots ,v^{n})$ प्रतिनिधित्व करते हैं जिससे ${\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}$ मानक आधार के संदर्भ में $(e_{1},\ldots ,e_{n})$. इसके अतिरिक्त, अभिव्यक्ति के भाजक में दिखाई देने वाली सुपरस्क्रिप्ट (जैसा कि ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$) को इस परिपाटी में निम्न सूचकांकों के रूप में माना जाता है। जब सूचकांकों को इस विधि से प्रयुक्त और व्याख्या किया जाता है, तो ऊपरी सूचकांकों की संख्या घटाकर अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द में निचले सूचकांकों की संख्या को संरक्षित किया जाता है, योग के अंदर और समान चिह्न के अंदर, सुविधा जो उपयोगी स्मरक उपकरण के रूप में कार्य करती है और मैन्युअल संगणना के समय की गई त्रुटियों को इंगित करने में सहायता करता है।

अंतर के-रूपों पर मूलभूत संचालन

बाहरी उत्पाद ($\wedge$) और बाहरी व्युत्पन्न ($d$) विभेदक रूपों पर दो मूलभूत संक्रियाएँ हैं। ए का बाहरी उत्पाद $k$-रूप और $\ell$-रूप है $(k+\ell )$-फॉर्म, जबकि ए के बाहरी व्युत्पन्न $k$-रूप है $(k+1)$-प्रपत्र इस प्रकार, दोनों संक्रियाएँ निम्न कोटि के उच्चतर कोटि के विभेदक रूपों को उत्पन्न करती हैं।

बाहरी उत्पाद $\wedge :\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)$ विभेदक रूपों का सामान्य रूप से बहुसंवाहकों के बाहरी उत्पाद का विशेष स्थिति है (ऊपर देखें)। जैसा कि बाहरी उत्पाद के लिए सामान्य रूप से सच है, अंतर रूपों का बाहरी उत्पाद द्विरेखीय, साहचर्य है, और वैकल्पिक बीजगणित है। और श्रेणीबद्ध-वैकल्पिक है।

अधिक ठोस रूप से, यदि $\omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$ और $\eta =a_{j_{1}\ldots i_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}$, तब

$\omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.$

इसके अतिरिक्त , सूचकांकों के किसी भी समुच्चय के लिए $\{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\}$,

$dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.$

यदि $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$, $J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}$, और $I\cap J=\varnothing$, फिर के सूचकांक $\omega \wedge \eta$ ऐसे स्वैप के (सीमित) अनुक्रम द्वारा आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है। तब से $dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0$, $I\cap J\neq \varnothing$ इसका आशय है $\omega \wedge \eta =0$. अंत में, द्विरेखीयता के परिणामस्वरूप, यदि $\omega$ और $\eta$ कई शब्दों का योग है, उनका बाहरी उत्पाद इनमें से प्रत्येक पद के संबंध में वितरण का पालन करता है।

मूलभूत 1-रूपों के बाहरी उत्पादों का संग्रह $\{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ अंतर के-रूपों के स्थान के लिए आधार का गठन करता है। इस प्रकार, कोई $\omega \in \Omega ^{k}(U)$ रूप में लिखा जा सकता है

$\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},\qquad (*)$

जहाँ $a_{i_{1}\ldots i_{k}}:U\to \mathbb {R}$ सहज कार्य हैं। सूचकांक के प्रत्येक सेट के साथ $\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ आरोही क्रम में रखा गया है, (*) को $\omega$ की मानक प्रस्तुति कहा जाता है।

पिछले अनुभाग में, 1-फ़ॉर्म $df$ 0-फॉर्म (निरंतर कार्य) $f$ के बाहरी व्युत्पन्न को लेकर परिभाषित किया गया था . अब हम एक्सटीरियर व्युत्पत्ति ऑपरेटर $d:\Omega ^{k}(U)\to \Omega ^{k+1}(U)$ को परिभाषित करके इसका विस्तार करते हैं यदि $k\geq 1$. यदि की मानक प्रस्तुति $k$-प्रपत्र $\omega$ (*) द्वारा दिया गया है $(k+1)$-प्रपत्र $d\omega$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$d\omega :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}da_{i_{1}\ldots i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.$

$d$ की एक संपत्ति जो सभी स्मूथ रूपों के लिए होती है, वह यह है कि किसी भी $\omega$ का दूसरा बाहरी व्युत्पन्न समान रूप से विलुप्त हो जाता है: $d^{2}\omega =d(d\omega )\equiv 0$ इसे सीधे $d$ की परिभाषा और $C^{2}$ कार्यों के मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पत्ति की समानता से स्थापित किया जा सकता है (विवरण के लिए बंद और स्पष्ट रूपों पर आलेख देखें)।

श्रृंखलाओं के लिए विभेदक रूपों और स्टोक्स प्रमेय का एकीकरण

पैरामिट्रीकृत डोमेन पर विभेदक फॉर्म को एकीकृत करने के लिए, हमें सबसे पहले विभेदक फॉर्म के पुलबैक की धारणा को प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। सामान्यतः बोलते हुए, जब विभेदक प्रपत्र एकीकृत होता है, तो पुलबैक को प्रयुक्त करने से यह तरह से बदल जाता है जो सही विधि से समन्वय के परिवर्तन के लिए खाता है।

एक अवकलनीय फलन दिया गया है$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ और k-रूप $\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{m})$ हम $f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ को $f$ द्वारा $\eta$ का पुलबैक कहते हैं और इसे $k$-रूप के रूप में परिभाषित करें जैसे कि

$(f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots ,f_{*}(v_{kp})),$

के लिए $v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbb {R} _{p}^{n}$, जहाँ $f_{*}:\mathbb {R} _{p}^{n}\to \mathbb {R} _{f(p)}^{m}$ नक्शा है $v_{p}\mapsto (Df|_{p}(v))_{f(p)}$.

यदि $\omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$ $n$-फॉर्म ऑन $\mathbb {R} ^{n}$ (अर्थात।, $\omega \in \Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n})$), हम इकाई पर इसके अभिन्न को परिभाषित करते हैं $n$-सेल पुनरावृत्त रीमैन के अभिन्न अंग के रूप में $f$:

$\int _{[0,1]^{n}}\omega =\int _{[0,1]^{n}}f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.$

इसके बाद, हम एक अलग-अलग फलन $c:[0,1]^{n}\to A\subset \mathbb {R} ^{m}$ जिसे n-घन के रूप में जाना जाता है, द्वारा पैरामीटर किए गए एकीकरण के एक डोमेन पर विचार करते हैं। $c$ के ऊपर $\omega \in \Omega ^{n}(A)$ के इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए, हम $A$ से इकाई n-सेल में "वापस खींचते हैं":

$\int _{c}\omega :=\int _{[0,1]^{n}}c^{*}\omega .$

अधिक सामान्य डोमेन पर एकीकृत करने के लिए, हम एक ${\boldsymbol {n}}$-श्रृंखला ${\textstyle C=\sum _{i}n_{i}c_{i}}$ को $n$-घन के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित करते हैं और सेट करते हैं

$\int _{C}\omega :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}}\omega .$

$(n-1)$-श्रृंखला $\partial C$ की एक उपयुक्त परिभाषा, जिसे $C$ की सीमा के रूप में जाना जाता है, हमें $\mathbb {R} ^{m}$ के सबसेट में श्रृंखला के लिए प्रसिद्ध स्टोक्स प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को बताने की अनुमति देती है।

यदि $\omega$ विवर्त समुच्चय $A\subset \mathbb {R} ^{m}$ पर एक स्मूथ $(n-1)$-फॉर्म है और $C$, $A$ में एक स्मूथ $n$-चेन है, तो $\int _{C}d\omega =\int _{\partial C}\omega$। .

अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, रोगाणु और व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान $T_{p}M$ किसी भी स्मूथ मैनिफोल्ड $M$ (जरूरी नहीं कि $\mathbb {R} ^{m}$ में एम्बेडेड किया गया हो) को परिभाषित किया जा सकता है। समान रूप से, सामान्य स्मूथ मैनिफोल्ड पर विभेदक रूप $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ एक मानचित्र है

$\omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)$ स्टोक्स के प्रमेय को और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है इच्छानुसार से स्मूथ मैनिफोल्ड-साथ-सीमा और यहां तक ​​कि कुछ "रफ" डोमेन (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)।

यह भी देखें

• बिलिनियर नक्शा
• बाहरी बीजगणित
• सजातीय बहुपद
• रेखीय रूप
• बहुरेखीय नक्शा