निलपोटेंट समूह

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, एक निलपोटेंट समूह G एक समूह (गणित) है जिसमें एक ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला होती है जो G के साथ समाप्त होती है। समतुल्य रूप से, इसकी केंद्रीय श्रृंखला परिमित लंबाई की है या इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला {1} के साथ समाप्त होती है।

सहज रूप से, एक नीलपोटेंट समूह एक ऐसा समूह है जो लगभग एबेलियन समूह है। यह विचार इस तथ्य से प्रेरित है कि नाइलपोटेंट समूह हल करने योग्य समूह हैं, और परिमित निलपोटेंट समूहों के लिए, अपेक्षाकृत प्रमुख क्रम वाले दो तत्वों को अवश्य ही कम्यूट करना चाहिए। यह भी सच है कि परिमित निलपोटेंट समूह सुपरसाल्वेबल समूह हैं। इस अवधारणा को 1930 के दशक में रूसी गणितज्ञ सर्गेई चेर्निकोव द्वारा काम करने का श्रेय दिया जाता है।

गैलोज़ सिद्धांत के साथ-साथ समूहों के वर्गीकरण में निलपोटेंट समूह उत्पन्न होते हैं। वे झूठ समूह के वर्गीकरण में भी प्रमुखता से दिखाई देते हैं।

लाई बीजगणित (वेक्टर क्षेत्र के लाई ब्रैकेट का उपयोग करके) के लिए समान शब्दों का उपयोग किया जाता है, जिसमें निलपोटेंट लाई बीजगणित, निचला केंद्रीय श्रृंखला और ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला सम्मिलित है।

परिभाषा

परिभाषा समूह के लिए केंद्रीय श्रृंखला के विचार का उपयोग करती है। निलपोटेंट समूह G के लिए निम्नलिखित समान परिभाषाएँ हैं :

• G has a central series of finite length. That is, a series of normal subgroups

  $\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$

  where $G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})$, or equivalently $[G,G_{i+1}]\leq G_{i}$.
• G has a lower central series terminating in the trivial subgroup after finitely many steps. That is, a series of normal subgroups

  $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$

  where $G_{i+1}=[G_{i},G]$.
• G has an upper central series terminating in the whole group after finitely many steps. That is, a series of normal subgroups

  $\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$

  where $Z_{1}=Z(G)$ and $Z_{i+1}$ is the subgroup such that $Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})$.

एक निलपोटेंट समूह के लिए, सबसे छोटा n जैसे कि G की लंबाई n की एक केंद्रीय श्रृंखला है जिसे G की निलपोटेंसी वर्ग कहलाती है; और G को वर्ग n का निलपोटेंट कहा जाता है . (परिभाषा के अनुसार, लंबाई n है तो यदि श्रृंखला में $n+1$ विभिन्न उपसमूह है जिसमे, तुच्छ उपसमूह और पूरे समूह सम्मिलित है ।)

समान रूप से, G की शून्यता वर्ग निचली केंद्रीय श्रृंखला या ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला की लंबाई के सामान होती है। यदि किसी समूह में सबसे अधिक n शून्यता वर्ग है , तो इसे कभी-कभी शून्य n समूह। कहा जाता है-

यह निलपोटेंसी की परिभाषा के उपरोक्त रूपों में से किसी से तुरंत अनुसरण करता है, कि तुच्छ समूह निलपोटेंसी वर्ग 0 का अनूठा समूह है, और शून्यता वर्ग 1 के समूह वास्तव में गैर-तुच्छ एबेलियन समूह हैं।

उदाहरण

असतत हाइजेनबर्ग समूह के केली ग्राफ का एक हिस्सा, एक प्रसिद्ध निलपोटेंट समूह।

* जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रत्येक एबेलियन समूह शून्य है।

• एक छोटे गैर-अबेलियन उदाहरण के लिए, चतुर्धातुक समूह Q₈पर विचार करें, जो सबसे छोटा नॉन-एबेलियन p-समूह है। इसका केंद्र क्रम 2 का {1, -1} है, और इसकी ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला {1}, {1, -1}, Q₈ है; इसलिए यह कक्षा 2 का शून्य है।
• दो निलपोटेंट समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद निलपोटेंट है।
• सभी परिमित p-समूह p-समूह वास्तव में निलपोटेंट ( p-समूह या गैर-तुच्छ केंद्र) हैं। क्रम pⁿ के समूह का अधिकतम वर्ग n है (उदाहरण के लिए, क्रम 2 का कोई भी समूह कक्षा 1 का शून्य है)। अधिकतम वर्ग के 2-समूह सामान्यीकृत चतुर्धातुक समूह, डायहेड्रल समूह और सेमीडायहेड्रल समूह हैं।
• इसके अतिरिक्त , प्रत्येक परिमित निलपोटेंट समूह p-समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है।* किसी भी क्षेत्र एफ पर ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह या यूनिट्रिएंगुलर आव्यूह n × n आव्यूह का गुणक समूह निलपोटेंसी वर्ग n - 1 का एक यूनिपोटेंट बीजगणितीय समूह है। विशेष रूप से, n = 3 लेने से हाइजेनबर्ग समूह एच उत्पन्न होता है, गैर का एक उदाहरण- एबेलियन अनंत निलपोटेंट समूह। इसमें केंद्रीय श्रृंखला 1, Z(H), H के साथ शून्यता वर्ग 2 है।
• क्षेत्र F पर बोरेल उपसमूह n × n आव्यूहों का गुणक समूह सामान्य रूप से शून्य नहीं है, किन्तु हल करने योग्य समूह है।
• कोई भी गैर-अबेलियन समूह G जैसे कि G/Z(G) एबेलियन है, उसकी केंद्रीय श्रृंखला {1}, Z(G), G के साथ निलपोटेंसी वर्ग 2 है।

प्राकृतिक संख्याएँ k जिसके लिए k कोटि का कोई भी समूह निलपोटेंट है, को अभिलक्षित किया गया है (sequence A056867 in the OEIS).

शब्द की व्याख्या

निलपोटेंट समूह को इसलिए कहा जाता है क्योंकि किसी भी तत्व की आसन्न क्रिया निलपोटेंट होती है, जिसका अर्थ है कि निलपोटेंट समूह के लिए $G$ शून्यता की डिग्री $n$ और एक तत्व $g$, कार्यक्रम $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G$ द्वारा परिभाषित $\operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ (जहाँ $[g,x]=g^{-1}x^{-1}gx$ का कम्यूटेटर है $g$ और $x$) इस मायने में नगण्य है कि $n$ कार्य का वें पुनरावृत्ति तुच्छ है: $\left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e$ सभी के लिए $x$ में $G$.

यह निलपोटेंट समूहों की एक परिभाषित विशेषता नहीं है: समूह जिसके लिए $\operatorname {ad} _{g}$ डिग्री का शून्य है $n$ (उपरोक्त अर्थ में) कहलाते हैं $n$-एंगेल समूह, और सामान्य तौर पर कमजोर होने की जरूरत नहीं है। यदि उनके पास परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) है तो वे शून्य साबित होते हैं, और जब तक वे अंतिम रूप से उत्पन्न समूह हैं, तब तक उन्हें शून्य होने का अनुमान लगाया जाता है.

एक एबेलियन समूह निश्चित रूप से एक है जिसके लिए आसन्न क्रिया न केवल शून्य है बल्कि तुच्छ (एक 1-एंगेल समूह) है।

गुण

चूंकि प्रत्येक क्रमिक कारक समूह Z_i+1/साथ_i केंद्रीय श्रृंखला में एबेलियन है, और श्रृंखला परिमित है, प्रत्येक नीलपोटेंट समूह अपेक्षाकृत सरल संरचना वाला एक हल करने योग्य समूह है।

वर्ग n के निलपोटेंट समूह का प्रत्येक उपसमूह अधिक से अधिक n वर्ग का निलपोटेंट है; इसके अतिरिक्त , यदि f वर्ग n के नीलपोटेंट समूह का एक समूह समरूपता है, तो f की छवि शून्य हैकक्षा के अधिकतम n.

निम्नलिखित बयान परिमित समूहों के लिए समकक्ष हैं, निलपोटेंसी के कुछ उपयोगी गुणों का खुलासा:

1. G is a nilpotent group.
2. If H is a proper subgroup of G, then H is a proper normal subgroup of N_G(H) (the normalizer of H in G). This is called the normalizer property and can be phrased simply as "normalizers grow".
3. Every Sylow subgroup of G is normal.
4. G is the direct product of its Sylow subgroups.
5. If d divides the order of G, then G has a normal subgroup of order d.

सबूत:

(ए) → (बी)

प्रेरण द्वारा | जी |। यदि G आबेली है, तो किसी भी H के लिए, N_G(एच) = जी। यदि नहीं, यदि जेड (जी) एच में निहित नहीं है, तो एच_ZH_Z^-1एच⁻¹ = hHh⁻¹ = एच, इसलिए एच·जेड(जी) नॉर्मलाइजर्स एच। यदि जेड(जी) एच में निहित है, तो एच/जेड(जी) जी/जेड(जी) में निहित है। ध्यान दें, G/Z(G) एक निलपोटेंट समूह है। इस प्रकार, G/Z(G) का एक उपसमूह मौजूद है जो H/Z(G) को सामान्य करता है और H/Z(G) इसका एक उचित उपसमूह है। इसलिए, इस उपसमूह को G के उपसमूह में वापस खींच लें और यह H को सामान्य कर देता है। (यह प्रमाण वही तर्क है जो p-समूहों के लिए है – हमें केवल एक तथ्य की आवश्यकता थी यदि G शून्य है तो G/Z(G) भी शून्य है। – इसलिए विवरण छोड़े गए हैं।)

(बी) → (सी)

चलो p₁, p₂,..., p_s इसके क्रम को विभाजित करने वाले विशिष्ट अभाज्य हों और P को जाने दें_i सिल में_{pi</उप>(जी), 1 ≤ आई ≤ एस। माना P = Pi कुछ के लिए मैं और चलो n = एनG( p)। चूँकि P, N का एक सामान्य सिल्लो उपसमूह है, P, N में विशेषता उपसमूह है। चूँकि P char N और N, N का एक सामान्य उपसमूह हैG(एन), हम पाते हैं कि p n का एक सामान्य उपसमूह हैG(एन)। इसका मतलब एनG(एन) n का एक उपसमूह है और इसलिए एनG(एन) = एन। (बी) द्वारा इसलिए हमारे पास n = जी होना चाहिए, जो (सी) देता है।}

(सी) → (डी)

चलो p₁, p₂,..., p_s इसके क्रम को विभाजित करने वाले विशिष्ट अभाज्य हों और P को जाने दें_i सिल में_{pi</उप>(जी), 1 ≤ आई ≤ एस। किसी भी t, 1 ≤ t ≤ s के लिए हम आगमनात्मक रूप से दिखाते हैं कि P1P2··· pt P के लिए आइसोमॉर्फिक है1×P2×···×Pt. पहले ध्यान दें कि प्रत्येक pi G में सामान्य है इसलिए P1P2··· pt G का एक उपसमूह है। मान लीजिए कि H उत्पाद P है1P2··· pt−1 और माना K = Pt, इसलिए इंडक्शन H द्वारा P के लिए आइसोमोर्फिक है1×P2×···×Pt−1. विशेष रूप से,|एच| = | p1|⋅| p2|⋅···⋅| pt−1|। चूंकि |के| = | pt|, एच और के के आदेश अपेक्षाकृत प्रमुख हैं। Lagrange के प्रमेय का अर्थ है H और K का प्रतिच्छेदन 1 के सामान है। परिभाषा के अनुसार, P1P2··· pt = HK, इसलिए HK, H×K के लिए तुल्याकारी है जो P के सामान है1×P2×···×Pt. यह इंडक्शन पूरा करता है। अब (डी) प्राप्त करने के लिए टी = एस लें।}

(डी) → (ई)

ध्यान दें कि क्रम p के p-समूह^k कोटि p का एक सामान्य उपसमूह है^m सभी के लिए 1≤m≤k. चूँकि G इसके सिलो उपसमूहों का एक प्रत्यक्ष उत्पाद है, और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद पर सामान्यता संरक्षित है, G के प्रत्येक विभाजक d के लिए क्रम d का एक सामान्य उपसमूह है।

(e)→(a)

किसी भी अभाज्य p विभाजन के लिए |G|, Sylow group|Sylow p-subgroup सामान्य है। इस प्रकार हम आवेदन कर सकते हैं (सी) (चूंकि हम पहले ही साबित कर चुके हैं (सी) → (ई))।

वक्तव्य (डी) को अनंत समूहों तक बढ़ाया जा सकता है: यदि जी एक निलपोटेंट समूह है, तो प्रत्येक साइलो उपसमूह जी_p जी का सामान्य है, और इन साइलो उपसमूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद जी में परिमित आदेश के सभी तत्वों का उपसमूह है (मरोड़ उपसमूह देखें)।

निलपोटेंट समूहों के कई गुण हाइपरसेंट्रल समूहों द्वारा साझा किए जाते हैं।

संदर्भ

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• Von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6.
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