कार्टन उप बीजगणित

गणित में, एक कार्टन subalgebra, जिसे अक्सर सीएसए के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, एक निलपोटेंट ले बीजगणित सबलजेब्रा है ${\mathfrak {h}}$ एक झूठ बीजगणित का ${\mathfrak {g}}$ यह स्व-सामान्यीकरण है (यदि $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$ सभी के लिए $X\in {\mathfrak {h}}$, तब $Y\in {\mathfrak {h}}$). उन्हें एली कार्टन ने अपने डॉक्टरेट थीसिस में पेश किया था। यह अर्धसरल लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को नियंत्रित करता है | अर्ध-सरल लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत ${\mathfrak {g}}$ विशेषता के एक क्षेत्र पर $0$.

एक परिमित-विम अर्ध-सरल में बीजगणित को अभिलाक्षणिक शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर ले जाइए (उदाहरण के लिए, $\mathbb {C}$), एक कार्टन सबलजेब्रा एक अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा के समान है जिसमें तत्व x होते हैं जैसे कि आसन्न एंडोमोर्फिज्म $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ अर्धसरल ऑपरेटर है (यानी, विकर्ण मैट्रिक्स)। कभी-कभी इस लक्षण वर्णन को कार्टन सबलजेब्रा की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।^{पृष्ठ 231}

सामान्य तौर पर, एक सबलजेब्रा को टॉरल सबलजेब्रा कहा जाता है, अगर इसमें सेमीसिंपल तत्व होते हैं। एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक toral subalgebra स्वचालित रूप से अबेलियन है। इस प्रकार, विशेषता शून्य के एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक कार्टन सबलजेब्रा को अधिकतम टॉरल सबलजेब्रा के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

केएसी-मूडी बीजगणित और सामान्यीकृत केसी-मूडी बीजगणित में भी उप-विषम होते हैं जो अर्ध-सरल ले बीजगणित (विशेषता शून्य के क्षेत्र में) के कार्टन उप-लजेब्रस के समान भूमिका निभाते हैं।

अस्तित्व और विशिष्टता

जब भी आधार क्षेत्र (गणित) अनंत होता है, कार्टन सबलजेब्रस परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए मौजूद होते हैं। कार्टन सबलजेब्रा बनाने का एक तरीका लाइ बीजगणित#ए कार्टन सबलजेब्रा के एक नियमित तत्व और एक नियमित तत्व के माध्यम से है। एक परिमित क्षेत्र में, अस्तित्व का प्रश्न अभी भी खुला है।

एक परिमित-विम अर्धसरल झूठ बीजगणित के लिए ${\mathfrak {g}}$ विशेषता शून्य के एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक सरल दृष्टिकोण है: परिभाषा के अनुसार, एक टोरल सबलजेब्रा एक सबलजेब्रा है ${\mathfrak {g}}$ जिसमें अर्ध-सरल तत्व होते हैं (एक तत्व अर्ध-सरल है यदि इसके द्वारा प्रेरित आसन्न एंडोमोर्फिज्म विकर्ण मैट्रिक्स है)। कार्टन सबलजेब्रा ${\mathfrak {g}}$ तब अधिकतम टोरल सबलजेब्रा के समान ही होता है और एक मैक्सिमल टोरल सबलजेब्रा के अस्तित्व को देखना आसान होता है।

विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित में, सभी कार्टन सबलजेब्रस बीजगणित के automorphism के तहत संयुग्मित होते हैं, और विशेष रूप से सभी समरूपतावाद हैं। कार्टन सबलजेब्रा के सामान्य आयाम को तब बीजगणित के लाइ बीजगणित की कोटि कहा जाता है।

एक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित के लिए, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप के अस्तित्व को मानते हुए, कार्टन सबलजेब्रा का अस्तित्व स्थापित करना बहुत आसान है। उस मामले में, ${\mathfrak {h}}$ कॉम्पैक्ट समूह के अधिकतम टोरस के लाई बीजगणित की जटिलता के रूप में लिया जा सकता है।

अगर ${\mathfrak {g}}$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक रेखीय झूठ बीजगणित (एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V के एंडोमोर्फिज्म के झूठ बीजगणित का झूठा उप बीजगणित) है, फिर कोई कार्टन उप बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के अधिक से अधिक तोरल लाई बीजगणित का केंद्रक है ${\mathfrak {g}}$. अगर ${\mathfrak {g}}$ सेमीसिम्पल है और फ़ील्ड में विशेषता शून्य है, तो एक अधिकतम टोरल सबलजेब्रा स्व-सामान्यीकरण है, और इसलिए संबंधित कार्टन सबलजेब्रा के बराबर है। अगर इसके अलावा ${\mathfrak {g}}$ सेमीसिंपल है, तो लाइ समूह का संलग्न प्रतिनिधित्व प्रस्तुत करता है ${\mathfrak {g}}$ एक रेखीय झूठ बीजगणित के रूप में, ताकि एक subalgebra का ${\mathfrak {g}}$ कार्टन है अगर और केवल अगर यह अधिकतम टोरल सबलजेब्रा है।

उदाहरण

• कोई भी निलपोटेंट लाई बीजगणित उसका अपना कार्टन सबलजेब्रा होता है।
• कार्टन सबलजेब्रा ${\mathfrak {gl}}_{n}$, वर्ग आव्यूह का झूठा बीजगणित| $n\times n$ एक क्षेत्र पर आव्यूह, सभी विकर्ण आव्यूहों का बीजगणित है।
• ट्रेसलेस के विशेष लाई बीजगणित के लिए $n\times n$ मैट्रिक्स ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$, इसमें कार्टन सबलजेब्रा है
  $${\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}$$
  कहाँ
  $$d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}$$
  उदाहरण के लिए, में ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ कार्टन सबलजेब्रा मेट्रिसेस का सबलजेब्रा है
  $${\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}$$
  मैट्रिक्स कम्यूटेटर द्वारा दिए गए लेट ब्रैकेट के साथ।
• झूठ बीजगणित ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )$ का $2$ द्वारा $2$ ट्रेस के मेट्रिसेस $0$ दो गैर-संयुग्मित कार्टन सबलजेब्रस हैं।
• कार्टन सबलजेब्रा का आयाम सामान्य रूप से एबेलियन सबलजेब्रा का अधिकतम आयाम नहीं है, यहां तक ​​कि जटिल सरल ले बीजगणित के लिए भी। उदाहरण के लिए, झूठ बीजगणित ${\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )$का $2n$ द्वारा $2n$ ट्रेस के मेट्रिसेस $0$ रैंक का कार्टन सबलजेब्रा है $2n-1$लेकिन आयाम का अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा है $n^{2}$ फॉर्म के सभी मैट्रिक्स से मिलकर ${\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}$ साथ $A$ कोई $n$ द्वारा $n$ आव्यूह। कोई सीधे देख सकता है कि यह एबेलियन सबलजेब्रा कार्टन सबलजेब्रा नहीं है, क्योंकि यह सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस के निलपोटेंट बीजगणित में समाहित है (या, चूंकि यह विकर्ण मैट्रिसेस द्वारा सामान्यीकृत है)।

== अर्ध-सरल झूठ बीजगणित == कार्टन सबलजेब्रस

See also: Semisimple Lie algebra § Structure

परिमित-विम अर्धसरल के लिए बीजगणित लीजिए ${\mathfrak {g}}$ विशेषता 0 के एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक कार्टन सबलजेब्रा ${\mathfrak {h}}$ निम्नलिखित गुण हैं:

• ${\mathfrak {h}}$ एबेलियन ले बीजगणित है,
• आसन्न प्रतिनिधित्व के लिए $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$, छवि $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ सेमीसिम्पल ऑपरेटर्स (यानी, विकर्ण योग्य मेट्रिसेस) होते हैं।

(जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक कार्टन सबलजेब्रा को वास्तव में एक सबलजेब्रा के रूप में चित्रित किया जा सकता है जो उपरोक्त दो गुणों वाले लोगों में अधिकतम है।)

इन दो गुणों का कहना है कि ऑपरेटरों में $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ एक साथ विकर्णीय हैं और इसका प्रत्यक्ष योग अपघटन है ${\mathfrak {g}}$ जैसा

${\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }$

कहाँ

${\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}$.

होने देना $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$. तब $\Phi$ एक मूल प्रक्रिया है और, इसके अलावा, ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$; यानी, का केंद्रीकरण ${\mathfrak {h}}$ के साथ मेल खाता है ${\mathfrak {h}}$. उपरोक्त अपघटन को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है:

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)$

जैसा कि यह निकला, प्रत्येक के लिए $\lambda \in \Phi$, ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$ आयाम एक और ऐसा है:

$\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$.

अधिक जानकारी के लिए सेमीसिंपल लाई बीजगणित#संरचना भी देखें।

=== दोहरे कार्टन सबलजेब्रा === के साथ प्रतिनिधित्व को विघटित करना एक झूठ बीजगणित दिया ${\mathfrak {g}}$ विशेषता के एक क्षेत्र पर $0$, और एक झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व

$$\sigma :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$$

इसके कार्टन सबलजेब्रा से लाई बीजगणित के अपघटन से संबंधित एक अपघटन है। अगर हम सेट करते हैं

$$V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma (h))(v)=\lambda (h)v{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}$$

साथ $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$, वजन के लिए वजन स्थान कहा जाता है $\lambda$, इन भार स्थानों के संदर्भ में प्रतिनिधित्व का अपघटन होता है

$$V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }$$

इसके अलावा जब भी $V_{\lambda }\neq \{0\}$ हम बुलाते है $\lambda$ का वजन ${\mathfrak {g}}$-प्रतिनिधित्व $V$.

वज़न का उपयोग करके अलघुकरणीय अभ्यावेदन का वर्गीकरण

Main article: Theorem of the highest weight

लेकिन, यह पता चला है कि इन भारों का उपयोग लाई बीजगणित के अलघुकरणीय अभ्यावेदन को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है ${\mathfrak {g}}$. एक परिमित आयामी अलघुकरणीय के लिए ${\mathfrak {g}}$-प्रतिनिधित्व $V$, एक अनूठा वजन मौजूद है $\lambda \in \Phi$ आंशिक आदेश देने के संबंध में ${\mathfrak {h}}^{*}$. इसके अलावा, एक दिया $\lambda \in \Phi$ ऐसा है कि $\langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N}$ हर सकारात्मक जड़ के लिए $\alpha \in \Phi ^{+}$, एक अद्वितीय अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व मौजूद है $L^{+}(\lambda )$. इसका मतलब रूट सिस्टम है $\Phi$ के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बारे में सभी जानकारी शामिल है ${\mathfrak {g}}$.^{pg 240}

कार्टन सबलजेब्रा को विभाजित करना

Main article: Splitting Cartan subalgebra

गैर-बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड पर, सभी कार्टन सबलजेब्रस संयुग्मी नहीं होते हैं। एक महत्वपूर्ण वर्ग कार्टन सबलजेब्रा को विभाजित कर रहा है: यदि कोई ले बीजगणित एक विभाजित कार्टन सबलजेब्रा को स्वीकार करता है ${\mathfrak {h}}$ तब इसे स्प्लिटेबल और पेयर कहा जाता है $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ स्प्लिट लाइ बीजगणित कहा जाता है; एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अर्ध-सरल लाई बीजगणित विभाजित करने योग्य है। कोई भी दो बंटवारे वाले कार्टन बीजगणित संयुग्मित होते हैं, और वे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर अर्ध-सरल लाई बीजगणित में कार्टन बीजगणित के समान कार्य को पूरा करते हैं, इसलिए विभाजित अर्ध-सरल लाई बीजगणित (वास्तव में, विभाजन रिडक्टिव लाइ बीजगणित) बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर अर्ध-सरल लाई बीजगणित के साथ कई गुण साझा करते हैं .

हालांकि, एक गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अर्ध-सरल लाई बीजगणित विभाजित करने योग्य नहीं है।

कार्टन उपसमूह

For a Cartan subgroup of a linear algebraic group, see Cartan subgroup.

लाई समूह का एक कार्टन उपसमूह उन उपसमूहों में से एक है जिसका लाई बीजगणित कार्टन उपलजेब्रा है। उपसमूह के पहचान घटक में समान झूठ बीजगणित होता है। कोई मानक परिपाटी नहीं है जिसके लिए इस गुण वाले उपसमूहों में से किसी एक को द कार्टन उपसमूह कहा जाता है, विशेष रूप से डिस्कनेक्ट किए गए समूहों के मामले में। एक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड लाई समूह का एक कार्टन उपसमूह एक अधिकतम जुड़ा हुआ एबेलियन उपसमूह (एक अधिकतम टोरस) है। इसका झूठ बीजगणित एक कार्टन सबलजेब्रा है।

डिस्कनेक्ट किए गए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के लिए कार्टन उपसमूह की कई असमान परिभाषाएँ हैं। डेविड वोगन द्वारा दिया गया सबसे आम प्रतीत होता है, जो एक कार्टन उपसमूह को तत्वों के समूह के रूप में परिभाषित करता है जो एक निश्चित अधिकतम टोरस को सामान्य करता है और मौलिक वेइल कक्ष को ठीक करता है। इसे कभी-कभी बड़ा कार्टन उपसमूह कहा जाता है। एक छोटा कार्टन उपसमूह भी है, जिसे अधिकतम टोरस के केंद्रक के रूप में परिभाषित किया गया है। इन कार्टन उपसमूहों को सामान्य रूप से एबेलियन होने की आवश्यकता नहीं है।

कार्टन उपसमूहों के उदाहरण

• जीएल में उपसमूह₂(आर) विकर्ण matrices से मिलकर।

संदर्भ

टिप्पणियाँ

• Lie algebras and their Representations
• Infinite-dimensional Lie algebras

संदर्भ

• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-63832-4, MR 0559927
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7
• Popov, V.L. (2001) [1994], "Cartan subalgebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Anthony William Knapp; David A. Vogan (1995). कोहोमोलॉजिकल इंडक्शन और एकात्मक प्रतिनिधित्व. ISBN 978-0-691-03756-1.

श्रेणी:झूठे बीजगणित