क्वांटेल

गणित में, क्वांटल निश्चित रूप से आंशिक रूप से निर्धारित बीजगणितीय संरचनाएं हैं जो स्थानीयकरण (व्यर्थ टोपोलॉजी) के साथ-साथ रिंग थ्योरी और कार्यात्मक विश्लेषण (C-star algebra|C*-algebras) से आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) के विभिन्न गुणात्मक जाली (ऑर्डर) को सामान्य करती हैं। , वॉन न्यूमैन बीजगणित)। क्वांटल को कभी-कभी 'पूर्ण अवशिष्ट जाली # अवशेष_सेमिलैटिस' के रूप में संदर्भित किया जाता है।

सिंहावलोकन

एक क्वांटाले एक सहयोगी बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक पूर्ण जाली 'क्यू' है ∗ : क्यू × क्यू → क्यू, इसके गुणा कहा जाता है, एक वितरण संपत्ति को संतुष्ट करता है जैसे कि

$x*\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i})$

और

$\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x)$

सभी एक्स, वाई के लिए_iक्यू में, मैं आई में (यहां मैं कोई सूचकांक सेट है)। क्वांटले 'यूनिटल' है यदि इसकी गुणा के लिए एक पहचान तत्व ई है:

$x*e=x=e*x$

क्यू में सभी एक्स के लिए। इस मामले में, क्वांटेल स्वाभाविक रूप से इसके गुणन के संबंध में एक मोनोइड है।

एक यूनिटल क्वांटले को समतुल्य रूप से एक मोनॉइड (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, श्रेणी में पूर्ण जाली # अर्ध-जाली में शामिल होने वाले पूर्ण जाली के रूप।

एक यूनिटल क्वांटेल जुड़ने और गुणन के तहत एक आदर्श मोटी हो जाओ है।

एक यूनिटल क्वांटले जिसमें पहचान अंतर्निहित जाली का सबसे बड़ा तत्व है, को 'सख्ती से दो तरफा' (या केवल अभिन्न) कहा जाता है।

एक 'विनिमेय क्वांटेल' एक क्वांटेल है जिसका गुणन कम्यूटिव है। मीट (गणित) ऑपरेशन द्वारा दिए गए गुणा के साथ एक पूर्ण हेटिंग बीजगणित, सख्ती से दो तरफा कम्यूटेटिव क्वांटले का एक विशिष्ट उदाहरण है। एक और सरल उदाहरण इकाई अंतराल द्वारा इसके सामान्य गुणन के साथ प्रदान किया जाता है।

एक 'इम्पोटेंट क्वांटेल' एक क्वांटेल है जिसका गुणन बेकार है। एक पूर्ण हेयटिंग बीजगणित एक समान रूप से दो तरफा क्वांटले के समान है।

एक 'अंतर्निहित क्वांटले' एक इनवोल्यूशन वाला क्वांटेल है

$(xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ }$

जो जुड़ता रहता है:

${\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }).$

एक क्वांटेल समरूपता एक मानचित्र (गणित) f : Q₁→ क्यू₂जो सभी x, y, x के लिए जोड़ और गुणन को संरक्षित करता है_iक्यू में₁, और मैं मैं में:

$f(xy)=f(x)f(y),$

$f\left(\bigvee _{i\in I}{x_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}).$

यह भी देखें

• संबंध बीजगणित

संदर्भ

• C.J. Mulvey (2001) [1994], "Quantale", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press [1]
• J. Paseka, J. Rosicky, Quantales, in: B. Coecke, D. Moore, A. Wilce, (Eds.), Current Research in Operational Quantum Logic: Algebras, Categories and Languages, Fund. Theories Phys., vol. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, pp. 245–262.
• M. Piazza, M. Castellan, Quantales and structural rules. Journal of Logic and Computation, 6 (1996), 709–724.
• K. Rosenthal, Quantales and Their Applications, Pitman Research Notes in Mathematics Series 234, Longman Scientific & Technical, 1990.