तर्कसंगत किस्म: Difference between revisions

Revision as of 01:29, 5 May 2023

गणित में, परिमेय विविधता एक दिए गए क्षेत्र (गणित) K पर बीजगणितीय विविधता है, जो K पर कुछ आयाम के प्रक्षेपी स्थान के बराबर है। इसका अर्थ यह है कि इसका कार्य क्षेत्र निम्नलिखित के लिए समरूपीय है

K(U_{1},\dots ,U_{d}),

कुछ सम्मुच्चय $\{U_{1},\dots ,U_{d}\}$ के लिए सभी तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र अनिश्चित (परिवर्तनशील) है, जहां d विविधता की बीजगणितीय विविधता का आयाम है।

तर्कसंगतता और पैरामीटरकरण

मान लीजिए कि V आयाम d की एक संबंद्ध बीजगणितीय विविधता है जो $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ में एक प्रमुख आदर्श I = ⟨f₁, ..., f_k⟩ द्वारा परिभाषित है। यदि V परिमेय है, तो $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ में n+1 बहुपद g₀, ..., g_n ऐसा है कि $f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0$ हैं। शब्दों के क्रम में, हमारे पास एक विवेकपूर्ण पैरामीटरकरण $x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})$ प्रकार का है।

इसके विपरीत, इस तरह के एक तर्कसंगत पैरामीटरकरण V के कार्यों के क्षेत्र के $K(U_{1},\dots ,U_{d})$ में एक क्षेत्र समरूपता को प्रेरित करता है। लेकिन यह समरूपता आवश्यक रूप से आच्छादक नहीं है। यदि इस तरह का एक पैरामीटर उपस्थित है, तो विविधता को यूनिरेशनल कहा जाता है। लूरोथ की प्रमेय (नीचे देखें) का तात्पर्य है कि अपरिमेय वक्र तर्कसंगत हैं। कैस्टेलनोवो के प्रमेय का अर्थ यह भी है कि, विशेषता शून्य में, प्रत्येक अपरिमेय सतह तर्कसंगत है।

तर्कसंगतता प्रश्न

तर्कसंगतता प्रश्न पूछता है कि क्या एक दिया गया क्षेत्र विस्तार 'तर्कसंगत' है, होने के अर्थ में (समरूपता तक) तर्कसंगत विविधता का कार्य क्षेत्र है; इस तरह के क्षेत्र विस्तार को भी विशुद्ध रूप से पारलौकिक के रूप में वर्णित किया गया है। अधिक यथार्थत:, क्षेत्र विस्तार के लिए तर्कसंगतता प्रश्न $K\subset L$ यह है कि: उत्कृष्टता घात द्वारा दिए गए अनिश्चितताओं की संख्या में $K$ के ऊपर एक तर्कसंगत फलन क्षेत्रक के लिए $L$ समरूपी है?

इस प्रश्न के कई अलग-अलग रूप हैं, जिस तरह से क्षेत्र $K$ और $L$ का निर्माण किया जाता है उससे उत्पन्न होता है।

उदाहरण के लिए, $K$ को एक क्षेत्र होने दें, और निम्नलिखित मान लीजिये

\{y_{1},\dots ,y_{n}\}

K पर अनिश्चित हो और L को उनके द्वारा K पर उत्पन्न क्षेत्र होने दें। एक परिमित समूह G पर विचार करें जो K पर उन अनिश्चित को क्रमित करता है। मानक गैलोज़ सिद्धांत के अनुसार, इस समूह क्रिया के निश्चित बिंदुओं का सेट $L$ का एक उपक्षेत्र है, जिसे सामान्यतः $L^{G}$ के रूप में दर्शाया जाता है। $K\subset L^{G}$ के लिए तर्कसंगतता प्रश्न को नोएदर की समस्या कहा जाता है और पूछता है कि क्या निश्चित बिंदुओं का यह क्षेत्र K का विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार है या नहीं। गैल्वा सिद्धांत पर लेख (नोएदर 1918) में उसने समस्या का अध्ययन किया दिए गए गाल्वा समूह के साथ समीकरणों का मानकीकरण, जिसे उन्होंने "नोएदर की समस्या" में घटाया। (उन्होंने पहली बार इस समस्या का उल्लेख (नोथेर 1913) में किया था, जहां उन्होंने ई. फिशर को समस्या के लिए जिम्मेदार ठहराया था।) उन्होंने दिखाया कि यह n = 2, 3, या 4 के लिए सही था। समस्या, n = 47 और G क्रम 47 का एक चक्रीय समूह है।

लुरोथ का प्रमेय

लुरोथ की समस्या एक चर्चित मामला है, जिसे जैकब लूरोथ ने उन्नीसवीं शताब्दी में हल किया। Lüroth की समस्या K(X) के उप-विस्तार L से संबंधित है, एकल अनिश्चित X में तर्कसंगत कार्य। ऐसा कोई भी क्षेत्र या तो K के बराबर है या तर्कसंगत भी है, यानी L = K(F) कुछ तर्कसंगत फलन F के लिए। ज्यामितीय शब्दों में यह कहा गया है कि प्रक्षेप्य रेखा से एक वक्र 'सी' तक एक गैर-निरंतर तर्कसंगत नक्शा केवल तभी हो सकता है जब 'सी' में वक्र 0 का जीनस भी हो। उस तथ्य को ज्यामितीय रूप से पढ़ा जा सकता है रीमैन-हर्विट्ज फॉर्मूला।

हालांकि लुरोथ के प्रमेय को अक्सर एक गैर प्राथमिक परिणाम के रूप में माना जाता है, कई प्राथमिक लघु प्रमाण लंबे समय से खोजे गए हैं। ये सरल प्रमाण आदिम बहुपदों के लिए केवल क्षेत्र सिद्धांत और गॉस के लेम्मा के मूल सिद्धांतों का उपयोग करते हैं (उदाहरण देखें।^[1]).

एकता

एक क्षेत्र K पर एक अपरिमेय विविधता V एक तर्कसंगत विविधता का प्रभुत्व है, इसलिए इसका कार्य क्षेत्र K(V) परिमित प्रकार के शुद्ध पारलौकिक क्षेत्र में निहित है (जिसे K(V) पर परिमित घात के रूप में चुना जा सकता है यदि K अनंत है)। लुरोथ की समस्या के समाधान से पता चलता है कि बीजगणितीय वक्रों के लिए, परिमेय और अपरिमेय समान हैं, और कैस्टेलनोवो के प्रमेय का अर्थ है कि जटिल सतहों के लिए अपरिमेय का तात्पर्य तर्कसंगत है, क्योंकि दोनों को अंकगणितीय जीनस और दूसरे प्लुरिजेनस दोनों के लुप्त होने की विशेषता है। जरिस्की सतह विशेषता p > 0 में कुछ उदाहरण (ज़ारिस्की सतहें) पाए जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं। Clemens & Griffiths (1972) ने दिखाया कि एक घन तीन गुना सामान्य रूप से एक तर्कसंगत विविधता नहीं है, जो तीन आयामों के लिए एक उदाहरण प्रदान करता है कि अतार्किकता का अर्थ तर्कसंगतता नहीं है। उनके काम में एक मध्यवर्ती जैकबियन का इस्तेमाल किया गया था।

Iskovskih & Manin (1971) ने दिखाया कि सभी गैर-एकवचन क्वार्टिक तीन गुना अपरिमेय हैं, हालांकि उनमें से कुछ अपरिमेय हैं। Artin & Mumford (1972) ने अपने तीसरे कोहोलॉजी समूह में गैर-तुच्छ मरोड़ के साथ कुछ अपरिमेय 3-गुना पाया, जिसका अर्थ है कि वे तर्कसंगत नहीं हैं।

किसी भी क्षेत्र K के लिए, जानोस कोल्लार ने 2000 में साबित किया कि कम से कम 2 आयाम की एक चिकनी घन सतह अपरिमेय है यदि इसमें K पर एक बिंदु परिभाषित है। यह क्यूबिक सतहों के मामले से शुरू होने वाले कई शास्त्रीय परिणामों में सुधार है (जो हैं एक बीजगणितीय बंद होने पर तर्कसंगत किस्में)। किस्मों के अन्य उदाहरण जिन्हें अपरिमेय दिखाया गया है, घटता के मोडुली स्पेस के कई मामले हैं।^[2]

तर्कसंगत रूप से जुड़ी विविधता

एक तर्कसंगत रूप से जुड़ी हुई विविधता (या अनरूल्ड वैरायटी) V एक बीजगणितीय किस्म है #बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रक्षेपी विविधता जैसे कि हर दो बिंदुओं के माध्यम से एक नियमित मानचित्र (बीजगणितीय ज्यामिति) की छवि को पास करती है 'वी' में प्रक्षेपी रेखा। समतुल्य रूप से, एक विविधता तर्कसंगत रूप से जुड़ी हुई है यदि प्रत्येक दो बिंदु विविधता में निहित तर्कसंगत वक्र से जुड़े हुए हैं।^[3] यह परिभाषा केवल पथ की प्रकृति से पथ जुड़ाव के रूप में भिन्न है, लेकिन बहुत भिन्न है, क्योंकि केवल बीजगणितीय वक्र जो तर्कसंगत रूप से जुड़े हुए हैं वे तर्कसंगत हैं।

प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान समेत प्रत्येक तर्कसंगत विविधता तर्कसंगत रूप से जुड़ी हुई है, लेकिन बातचीत झूठी है। तर्कसंगत रूप से जुड़ी किस्मों का वर्ग इस प्रकार तर्कसंगत किस्मों के वर्ग का सामान्यीकरण है। असमान किस्में तर्कसंगत रूप से जुड़ी हुई हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बातचीत होती है या नहीं।

निश्चित रूप से तर्कसंगत किस्में

एक किस्म V को स्थिर रूप से तर्कसंगत कहा जाता है यदि $V\times \mathbf {P} ^{m}$ कुछ के लिए तर्कसंगत है $m\geq 0$ . इस प्रकार कोई भी तर्कसंगत विविधता, परिभाषा के अनुसार, स्थायी रूप से तर्कसंगत है। द्वारा निर्मित उदाहरण Beauville et al. (1985) दिखाएँ, कि इसका विलोम असत्य है।

Schreieder (2018) ने दिखाया कि बहुत ही सामान्य ऊनविम पृष्ठ $V\subset \mathbf {P} ^{N+1}$ स्थायी रूप से तर्कसंगत नहीं हैं, बशर्ते कि वी की घात (बीजगणितीय ज्यामिति) कम से कम हो $\log _{2}N+2$ .

यह भी देखें

तर्कसंगत वक्र
तर्कसंगत सतह
सेवेरी-ब्रुएर किस्म
बिरेशनल ज्यामिति

↑ Bensimhoun, Michael (May 2004). "लुरोथ के प्रमेय का एक और प्रारंभिक प्रमाण" (PDF). Jerusalem. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
↑ János Kollár (2002). "क्यूबिक हाइपरसर्फ्स की एकरूपता". Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. 1 (3): 467–476. arXiv:math/0005146. doi:10.1017/S1474748002000117. MR 1956057. S2CID 6775041.
↑ Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag.

संदर्भ

Artin, Michael; Mumford, David (1972), "Some elementary examples of unirational varieties which are not rational", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 25: 75–95, CiteSeerX 10.1.1.121.2765, doi:10.1112/plms/s3-25.1.75, ISSN 0024-6115, MR 0321934
Beauville, Arnaud; Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques; Swinnerton-Dyer, Peter (1985), "Variétés stablement rationnelles non rationnelles", Annals of Mathematics, Second Series, 121 (2): 283–318, doi:10.2307/1971174, JSTOR 1971174, MR 0786350
Clemens, C. Herbert; Griffiths, Phillip A. (1972), "The intermediate Jacobian of the cubic threefold", Annals of Mathematics, Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550, doi:10.2307/1970801, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970801, MR 0302652
Iskovskih, V. A.; Manin, Ju. I. (1971), "Three-dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem", Matematicheskii Sbornik, Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode:1971SbMat..15..141I, doi:10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR 0291172
Kollár, János; Smith, Karen E.; Corti, Alessio (2004), Rational and nearly rational varieties, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 92, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787
Noether, Emmy (1913), "Rationale Funkionenkorper", J. Ber. D. DMV, 22: 316–319.
Noether, Emmy (1918), "Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe", Mathematische Annalen, 78 (1–4): 221–229, doi:10.1007/BF01457099, S2CID 122353858.
Swan, R. G. (1969), "Invariant rational functions and a problem of Steenrod", Inventiones Mathematicae, 7 (2): 148–158, Bibcode:1969InMat...7..148S, doi:10.1007/BF01389798, S2CID 121951942
Martinet, J. (1971), "Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);", Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364–381, Lecture Notes in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0272580
Schreieder, Stefan (2019), "Stably irrational hypersurfaces of small slopes", Journal of the American Mathematical Society, 32 (4): 1171–1199, arXiv:1801.05397, doi:10.1090/jams/928, S2CID 119326067

[1] Bensimhoun, Michael (May 2004). "लुरोथ के प्रमेय का एक और प्रारंभिक प्रमाण" (PDF). Jerusalem. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[2] János Kollár (2002). "क्यूबिक हाइपरसर्फ्स की एकरूपता". Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. 1 (3): 467–476. arXiv:math/0005146. doi:10.1017/S1474748002000117. MR 1956057. S2CID 6775041.

[3] Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag.

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 {{short description|Algebraic variety}}
-गणित में, एक परिमेय विविधता एक दिए गए [[क्षेत्र (गणित)]] ''K'' पर एक बीजगणितीय विविधता है, जो ''K'' पर कुछ आयाम के प्रक्षेपी स्थान के बराबर है। इसका मतलब यह है कि बीजगणितीय विविधता का इसका कार्य क्षेत्र आइसोमोर्फिक है
+गणित में, परिमेय विविधता एक दिए गए [[क्षेत्र (गणित)]] ''K'' पर बीजगणितीय विविधता है, जो ''K'' पर कुछ आयाम के प्रक्षेपी स्थान के बराबर है। इसका अर्थ यह है कि इसका कार्य क्षेत्र निम्नलिखित के लिए समरूपीय है
 :<math>K(U_1, \dots , U_d),</math>
-कुछ सेट के लिए सभी [[तर्कसंगत कार्य]]ों का क्षेत्र <math>\{U_1, \dots, U_d\}</math> अनिश्चित (वैरिएबल) का, जहां d विविधता की बीजगणितीय विविधता का आयाम है।
+कुछ सम्मुच्चय <math>\{U_1, \dots, U_d\}</math> के लिए सभी [[तर्कसंगत कार्य]]ों का क्षेत्र अनिश्चित (परिवर्तनशील) है, जहां d विविधता की बीजगणितीय विविधता का आयाम है।
 == तर्कसंगतता और पैरामीटरकरण ==
-मान लीजिए कि V आयाम d की एक संबंद्ध बीजगणितीय विविधता है जो एक प्रमुख आदर्श I = ⟨f द्वारा परिभाषित है<sub>1</sub>, ..., एफ<sub>''k''</sub>⟩  में <math>K[X_1, \dots , X_n]</math>. यदि V परिमेय है, तो n+1 बहुपद g हैं<sub>0</sub>, ..., जी<sub>''n''</sub> में <math>K(U_1, \dots , U_d)</math> ऐसा है कि <math>f_i(g_1/g_0, \ldots, g_n/g_0)=0. </math> शब्दों के क्रम में, हमारे पास एक है{{vanchor|rational parameterization}} <math>x_i=\frac{g_i}{g_0}(u_1,\ldots,u_d)</math> किस्म का।
+मान लीजिए कि V आयाम d की एक संबंद्ध बीजगणितीय विविधता है जो <math>K[X_1, \dots , X_n]</math> में एक प्रमुख आदर्श I = ⟨f<sub>1</sub>, ..., f<sub>''k''</sub>⟩ द्वारा परिभाषित है। यदि V परिमेय है, तो <math>K(U_1, \dots , U_d)</math> में n+1 बहुपद g<sub>0</sub>, ..., g<sub>''n''</sub>  ऐसा है कि <math>f_i(g_1/g_0, \ldots, g_n/g_0)=0 </math> हैं। शब्दों के क्रम में, हमारे पास एक {{vanchor|विवेकपूर्ण पैरामीटरकरण}} <math>x_i=\frac{g_i}{g_0}(u_1,\ldots,u_d)</math> प्रकार का है।
-इसके विपरीत, इस तरह के एक तर्कसंगत पैरामीटरकरण V के कार्यों के क्षेत्र के एक क्षेत्र समरूपता को प्रेरित करता है <math>K(U_1, \dots , U_d)</math>. लेकिन यह समरूपता आवश्यक रूप से आच्छादक नहीं है। यदि इस तरह का एक पैरामीटर मौजूद है, तो विविधता को #Unirationality कहा जाता है। लूरोथ की प्रमेय (नीचे देखें) का तात्[[पर]]्य है कि अपरिमेय वक्र तर्कसंगत हैं। Castelnuovo के प्रमेय का अर्थ यह भी है कि, विशेषता शून्य में, प्रत्येक अपरिमेय सतह तर्कसंगत है।
+इसके विपरीत, इस तरह के एक तर्कसंगत पैरामीटरकरण V के कार्यों के क्षेत्र के <math>K(U_1, \dots , U_d)</math> में एक क्षेत्र समरूपता को प्रेरित करता है। लेकिन यह समरूपता आवश्यक रूप से आच्छादक नहीं है। यदि इस तरह का एक पैरामीटर उपस्थित है, तो विविधता को यूनिरेशनल कहा जाता है। लूरोथ की प्रमेय (नीचे देखें) का तात्[[पर]]्य है कि अपरिमेय वक्र तर्कसंगत हैं। कैस्टेलनोवो के प्रमेय का अर्थ यह भी है कि, विशेषता शून्य में, प्रत्येक अपरिमेय सतह तर्कसंगत है।
 == तर्कसंगतता प्रश्न ==
-एक तर्कसंगतता प्रश्न पूछता है कि क्या एक दिया गया क्षेत्र विस्तार 'तर्कसंगत' है, होने के अर्थ में (समरूपता तक) एक तर्कसंगत विविधता का कार्य क्षेत्र है; इस तरह के क्षेत्र विस्तार को भी [[विशुद्ध रूप से पारलौकिक]] के रूप में वर्णित किया गया है। अधिक सटीक, क्षेत्र विस्तार के लिए तर्कसंगतता प्रश्न <math>K \subset L</math> यह है: है <math>L</math> एक तर्कसंगत फ़ंक्शन फ़ील्ड ओवर के लिए [[ समरूप ]] <math>K</math> [[श्रेष्ठता की डिग्री]] द्वारा दिए गए अनिश्चितताओं की संख्या में?
+तर्कसंगतता प्रश्न पूछता है कि क्या एक दिया गया क्षेत्र विस्तार 'तर्कसंगत' है, होने के अर्थ में (समरूपता तक) तर्कसंगत विविधता का कार्य क्षेत्र है; इस तरह के क्षेत्र विस्तार को भी [[विशुद्ध रूप से पारलौकिक]] के रूप में वर्णित किया गया है। अधिक यथार्थत:, क्षेत्र विस्तार के लिए तर्कसंगतता प्रश्न <math>K \subset L</math> यह है कि: उत्कृष्टता घात द्वारा दिए गए अनिश्चितताओं की संख्या में <math>K</math> के ऊपर एक तर्कसंगत फलन क्षेत्रक के लिए <math>L</math> समरूपी है?
-इस प्रश्न के कई अलग-अलग रूप हैं, जिस तरह से खेतों से उत्पन्न होते हैं <math>K</math> और <math>L</math> निर्मित हैं।
+इस प्रश्न के कई अलग-अलग रूप हैं, जिस तरह से क्षेत्र <math>K</math> और <math>L</math> का निर्माण किया जाता है उससे उत्पन्न होता है।
-उदाहरण के लिए, चलो <math>K</math> एक क्षेत्र बनो, और रहने दो
+उदाहरण के लिए, <math>K</math> को एक क्षेत्र होने दें, और निम्नलिखित मान लीजिये
 :<math>\{y_1, \dots, y_n \}</math>
-K पर अनिश्चित हो और L को उनके द्वारा K पर उत्पन्न क्षेत्र होने दें। [[परिमित समूह]] पर विचार करें <math>G</math> उन अनिश्चित (चर) को K पर अनुमति देना। मानक गैल्वा सिद्धांत द्वारा, इस [[समूह क्रिया (गणित)]] के [[निश्चित बिंदु (गणित)]] का सेट एक क्षेत्र विस्तार है <math>L</math>, आमतौर पर निरूपित <math>L^G</math>. के लिए तर्कसंगतता प्रश्न <math>K \subset L^G</math> नोथेर की समस्या कहलाती है और पूछती है कि क्या निश्चित बिंदुओं का यह क्षेत्र 'के' का विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार है या नहीं।
+K पर अनिश्चित हो और L को उनके द्वारा K पर उत्पन्न क्षेत्र होने दें। एक परिमित समूह G पर विचार करें जो K पर उन अनिश्चित को क्रमित करता है। मानक गैलोज़ सिद्धांत के अनुसार, इस समूह क्रिया के निश्चित बिंदुओं का सेट <math>L</math> का एक उपक्षेत्र है, जिसे सामान्यतः <math>L^G</math> के रूप में दर्शाया जाता है। <math>K \subset L^G</math> के लिए तर्कसंगतता प्रश्न को नोएदर की समस्या कहा जाता है और पूछता है कि क्या निश्चित बिंदुओं का यह क्षेत्र K का विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार है या नहीं। गैल्वा सिद्धांत पर लेख (नोएदर 1918) में उसने समस्या का अध्ययन किया दिए गए गाल्वा समूह के साथ समीकरणों का मानकीकरण, जिसे उन्होंने "नोएदर की समस्या" में घटाया। (उन्होंने पहली बार इस समस्या का उल्लेख (नोथेर 1913) में किया था, जहां उन्होंने ई. फिशर को समस्या के लिए जिम्मेदार ठहराया था।) उन्होंने दिखाया कि यह n = 2, 3, या 4 के लिए सही था। समस्या, n = 47 और G क्रम 47 का एक चक्रीय समूह है।
-कागज़ पर {{harv|Noether|1918}} गैलोज़ सिद्धांत पर उन्होंने दिए गए गैलोज़ समूह के साथ समीकरणों को पैरामीटर करने की समस्या का अध्ययन किया, जिसे उन्होंने नोथेर की समस्या में घटा दिया। (उसने पहली बार इस समस्या का उल्लेख किया {{harv|Noether|1913}} जहां उसने ई. फिशर को समस्या का श्रेय दिया।) उसने दिखाया कि यह n = 2, 3, या 4 के लिए सही था। {{harvs|first=R. G.|last= Swan|authorlink = Richard Swan|year=1969|txt}} ने नोथेर की समस्या का प्रति-उदाहरण पाया, जिसमें n = 47 और G क्रम 47 का एक चक्रीय समूह है।
 == लुरोथ का प्रमेय ==
 {{main|Lüroth's theorem}}
-लुरोथ की समस्या एक चर्चित मामला है, जिसे जैकब लूरोथ ने उन्नीसवीं शताब्दी में हल किया। Lüroth की समस्या ''K''(''X'') के उप-विस्तार ''L'' से संबंधित है, एकल अनिश्चित ''X'' में तर्कसंगत कार्य। ऐसा कोई भी क्षेत्र या तो ''K'' के बराबर है या तर्कसंगत भी है, यानी ''L'' = ''K''(''F'') कुछ तर्कसंगत फ़ंक्शन ''F'' के लिए। ज्यामितीय शब्दों में यह कहा गया है कि प्रक्षेप्य रेखा से एक वक्र 'सी' तक एक गैर-निरंतर [[तर्कसंगत नक्शा]] केवल तभी हो सकता है जब 'सी' में वक्र 0 का जीनस भी हो। उस तथ्य को ज्यामितीय रूप से पढ़ा जा सकता है रीमैन-हर्विट्ज फॉर्मूला।
+लुरोथ की समस्या एक चर्चित मामला है, जिसे '''जैकब लूरोथ ने उन्नीसवीं शताब्दी में हल किया। L'''üroth की समस्या ''K''(''X'') के उप-विस्तार ''L'' से संबंधित है, एकल अनिश्चित ''X'' में तर्कसंगत कार्य। ऐसा कोई भी क्षेत्र या तो ''K'' के बराबर है या तर्कसंगत भी है, यानी ''L'' = ''K''(''F'') कुछ तर्कसंगत फलन ''F'' के लिए। ज्यामितीय शब्दों में यह कहा गया है कि प्रक्षेप्य रेखा से एक वक्र 'सी' तक एक गैर-निरंतर [[तर्कसंगत नक्शा]] केवल तभी हो सकता है जब 'सी' में वक्र 0 का जीनस भी हो। उस तथ्य को ज्यामितीय रूप से पढ़ा जा सकता है रीमैन-हर्विट्ज फॉर्मूला।
 हालांकि लुरोथ के प्रमेय को अक्सर एक गैर प्राथमिक परिणाम के रूप में माना जाता है, कई प्राथमिक लघु प्रमाण लंबे समय से खोजे गए हैं। ये सरल प्रमाण आदिम बहुपदों के लिए केवल क्षेत्र सिद्धांत और गॉस के लेम्मा के मूल सिद्धांतों का उपयोग करते हैं (उदाहरण देखें।<ref>{{cite journal|first=Michael|last=Bensimhoun|url = https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AAnother_elementary_proof_of_Luroth's_theorem-06.2004.pdf| title = लुरोथ के प्रमेय का एक और प्रारंभिक प्रमाण|place=Jerusalem|date=May 2004}}</ref>).
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 == एकता ==
-एक क्षेत्र ''K'' पर एक अपरिमेय [[विविध]]ता ''V'' एक तर्कसंगत विविधता का प्रभुत्व है, इसलिए इसका कार्य क्षेत्र ''K''(''V'') परिमित प्रकार के शुद्ध पारलौकिक क्षेत्र में निहित है (जिसे ''K''(''V'') पर परिमित डिग्री के रूप में चुना जा सकता है यदि ''K'' अनंत है)। लुरोथ की समस्या के समाधान से पता चलता है कि बीजगणितीय वक्रों के लिए, परिमेय और अपरिमेय समान हैं, और Castelnuovo के प्रमेय का अर्थ है कि जटिल सतहों के लिए अपरिमेय का तात्पर्य तर्कसंगत है, क्योंकि दोनों को अंकगणितीय जीनस और दूसरे प्लुरिजेनस दोनों के लुप्त होने की विशेषता है। [[जरिस्की सतह]] विशेषता ''p'' > 0 में कुछ उदाहरण (ज़ारिस्की सतहें) पाए जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।  {{harvtxt|Clemens|Griffiths|1972}} ने दिखाया कि एक घन [[तीन गुना]] सामान्य रूप से एक तर्कसंगत विविधता नहीं है, जो तीन आयामों के लिए एक उदाहरण प्रदान करता है कि अतार्किकता का अर्थ तर्कसंगतता नहीं है। उनके काम में एक मध्यवर्ती जैकबियन का इस्तेमाल किया गया था।
+एक क्षेत्र ''K'' पर एक अपरिमेय [[विविध]]ता ''V'' एक तर्कसंगत विविधता का प्रभुत्व है, इसलिए इसका कार्य क्षेत्र ''K''(''V'') परिमित प्रकार के शुद्ध पारलौकिक क्षेत्र में निहित है (जिसे ''K''(''V'') पर परिमित घात के रूप में चुना जा सकता है यदि ''K'' अनंत है)। लुरोथ की समस्या के समाधान से पता चलता है कि बीजगणितीय वक्रों के लिए, परिमेय और अपरिमेय समान हैं, और कैस्टेलनोवो के प्रमेय का अर्थ है कि जटिल सतहों के लिए अपरिमेय का तात्पर्य तर्कसंगत है, क्योंकि दोनों को अंकगणितीय जीनस और दूसरे प्लुरिजेनस दोनों के लुप्त होने की विशेषता है। [[जरिस्की सतह]] विशेषता ''p'' > 0 में कुछ उदाहरण (ज़ारिस्की सतहें) पाए जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।  {{harvtxt|Clemens|Griffiths|1972}} ने दिखाया कि एक घन [[तीन गुना]] सामान्य रूप से एक तर्कसंगत विविधता नहीं है, जो तीन आयामों के लिए एक उदाहरण प्रदान करता है कि अतार्किकता का अर्थ तर्कसंगतता नहीं है। उनके काम में एक मध्यवर्ती जैकबियन का इस्तेमाल किया गया था।
   {{harvtxt|Iskovskih|Manin|1971}} ने दिखाया कि सभी गैर-एकवचन [[क्वार्टिक तीन गुना]] अपरिमेय हैं, हालांकि उनमें से कुछ अपरिमेय हैं। {{harvtxt|Artin|Mumford|1972}} ने अपने तीसरे कोहोलॉजी समूह में गैर-तुच्छ मरोड़ के साथ कुछ अपरिमेय 3-गुना पाया, जिसका अर्थ है कि वे तर्कसंगत नहीं हैं।
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 एक किस्म V को स्थिर रूप से तर्कसंगत कहा जाता है यदि <math>V \times \mathbf P^m</math> कुछ के लिए तर्कसंगत है <math>m \ge 0</math>. इस प्रकार कोई भी तर्कसंगत विविधता, परिभाषा के अनुसार, स्थायी रूप से तर्कसंगत है। द्वारा निर्मित उदाहरण {{harvtxt|Beauville|Colliot-Thélène|Sansuc|Swinnerton-Dyer|1985}} दिखाएँ, कि इसका विलोम असत्य है।
-{{harvtxt|Schreieder|2018}} ने दिखाया कि बहुत ही सामान्य [[ऊनविम पृष्ठ]] <math>V \subset \mathbf P^{N+1}</math> स्थायी रूप से तर्कसंगत नहीं हैं, बशर्ते कि वी की [[डिग्री (बीजगणितीय ज्यामिति)]] कम से कम हो <math>\log_2 N+2</math>.
+{{harvtxt|Schreieder|2018}} ने दिखाया कि बहुत ही सामान्य [[ऊनविम पृष्ठ]] <math>V \subset \mathbf P^{N+1}</math> स्थायी रूप से तर्कसंगत नहीं हैं, बशर्ते कि वी की [[डिग्री (बीजगणितीय ज्यामिति)|घात (बीजगणितीय ज्यामिति)]] कम से कम हो <math>\log_2 N+2</math>.
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तर्कसंगतता और पैरामीटरकरण

तर्कसंगतता प्रश्न

लुरोथ का प्रमेय

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तर्कसंगत रूप से जुड़ी विविधता

निश्चित रूप से तर्कसंगत किस्में

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