दीर्घवृत्त समन्वय प्रणाली

Not to be confused with Ecliptic coordinate system.

अण्डाकार समन्वय प्रणाली

ज्यामिति में, दीर्घवृत्त समन्वय प्रणाली एक द्वि-आयामी ऑर्थोगोनल निर्देशांक समन्वय प्रणाली है जिसमें समन्वय प्रणाली # समन्वय रेखा कॉन्फोकल शांकव खंड हैं। दो फोकस (ज्यामिति) $F_{1}$ और $F_{2}$ आम तौर पर तय करने के लिए लिया जाता है $-a$ और $+a$, क्रमशः, पर $x$कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का -अक्ष।

मूल परिभाषा

अण्डाकार निर्देशांक की सबसे आम परिभाषा $(\mu ,\nu )$ है

${\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}$

कहाँ $\mu$ एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है और $\nu \in [0,2\pi ].$ जटिल तल पर, एक समतुल्य संबंध है

$x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )$

ये परिभाषाएँ दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के अनुरूप हैं। त्रिकोणमितीय पहचान

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

दिखाता है कि निरंतर घटता है $\mu$ दीर्घवृत्त बनाते हैं, जबकि अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोणमितीय पहचान

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

दिखाता है कि निरंतर घटता है $\nu$ अतिशयोक्ति बनाते हैं।

स्केल कारक

एक ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली में बेस वैक्टर की लंबाई को स्केल फैक्टर के रूप में जाना जाता है। दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों के लिए स्केल कारक $(\mu ,\nu )$ के बराबर हैं

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.$

Hyperbolic_functions#Identities और Trigonometric_function#Identities के लिए डबल तर्क पहचान का उपयोग करके, स्केल कारकों को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.$

नतीजतन, क्षेत्र का एक अतिसूक्ष्म तत्व बराबर होता है

${\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}$

और लाप्लासियन पढ़ता है

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}$

अन्य अंतर ऑपरेटर जैसे $\nabla \cdot \mathbf {F}$ और $\nabla \times \mathbf {F}$ निर्देशांक में व्यक्त किया जा सकता है $(\mu ,\nu )$ ऑर्थोगोनल निर्देशांक में पाए जाने वाले सामान्य सूत्रों में स्केल कारकों को प्रतिस्थापित करके।

वैकल्पिक परिभाषा

अण्डाकार निर्देशांक का एक वैकल्पिक और ज्यामितीय रूप से सहज ज्ञान युक्त सेट $(\sigma ,\tau )$ कभी-कभी उपयोग किया जाता है, कहाँ $\sigma =\cosh \mu$ और $\tau =\cos \nu$. इसलिए, निरंतर वक्र $\sigma$ दीर्घवृत्त हैं, जबकि स्थिर के वक्र $\tau$ अतिपरवलय हैं। समन्वय $\tau$ अंतराल [-1, 1] से संबंधित होना चाहिए, जबकि $\sigma$ निर्देशांक एक से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।

निर्देशांक $(\sigma ,\tau )$ दूरियों का foci से सरल संबंध है $F_{1}$ और $F_{2}$. समतल में किसी भी बिंदु के लिए, योग $d_{1}+d_{2}$ foci के लिए इसकी दूरियों के बराबर है $2a\sigma$, जबकि उनका अंतर $d_{1}-d_{2}$ के बराबर होती है $2a\tau$. इस प्रकार, की दूरी $F_{1}$ है $a(\sigma +\tau )$, जबकि की दूरी $F_{2}$ है $a(\sigma -\tau )$. (याद करें कि $F_{1}$ और $F_{2}$ पर स्थित हैं $x=-a$ और $x=+a$, क्रमश।)

इन निर्देशांकों का एक दोष यह है कि कार्तीय निर्देशांक (x,y) और (x,-y) वाले बिंदुओं के निर्देशांक समान हैं $(\sigma ,\tau )$, इसलिए कार्टेशियन निर्देशांक में रूपांतरण एक फ़ंक्शन नहीं है, बल्कि एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन है।

$x=a\left.\sigma \right.\tau$

$y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).$

वैकल्पिक पैमाने के कारक

वैकल्पिक दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों के लिए स्केल कारक $(\sigma ,\tau )$ हैं

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.$

अत: अतिसूक्ष्म क्षेत्र तत्व बन जाता है

$dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau$

और लाप्लासियन बराबर है

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].$

अन्य अंतर ऑपरेटर जैसे $\nabla \cdot \mathbf {F}$ और $\nabla \times \mathbf {F}$ निर्देशांक में व्यक्त किया जा सकता है $(\sigma ,\tau )$ प्रतिस्थापित करके पैमाने कारक सामान्य सूत्रों में ऑर्थोगोनल निर्देशांक में पाया गया।

उच्च आयामों के लिए एक्सट्रपलेशन

अण्डाकार निर्देशांक त्रि-आयामी ऑर्थोगोनल निर्देशांक के कई सेटों के लिए आधार बनाते हैं:

1. अण्डाकार बेलनाकार निर्देशांक में प्रक्षेपित करके निर्मित होते हैं $z$-दिशा।
2. दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों को दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों को घुमाकर उत्पादित किया जाता है $x$-एक्सिस, यानी, फॉसी को जोड़ने वाली धुरी, जबकि अंडाकार गोलाकार निर्देशांक को अंडाकार निर्देशांक घुमाकर उत्पादित किया जाता है $y$-एक्सिस, यानी फॉसी को अलग करने वाली धुरी।
3. Ellipsoidal निर्देशांक 3-आयामों में अण्डाकार निर्देशांक का एक औपचारिक विस्तार है, जो एक और दो शीट के कॉन्फोकल दीर्घवृत्त, हाइपरबोलॉइड पर आधारित है।

अनुप्रयोग

अण्डाकार निर्देशांक के क्लासिक अनुप्रयोग आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने में हैं, उदाहरण के लिए, लाप्लास का समीकरण या हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण, जिसके लिए अण्डाकार निर्देशांक एक प्रणाली का एक प्राकृतिक विवरण है, इस प्रकार आंशिक अंतर समीकरणों में चरों को अलग करने की अनुमति देता है। कुछ पारंपरिक उदाहरण हल करने वाली प्रणालियाँ हैं जैसे इलेक्ट्रॉन एक अणु या ग्रहों की कक्षाओं की परिक्रमा करते हैं जिनका अंडाकार आकार होता है।

अण्डाकार निर्देशांक के ज्यामितीय गुण भी उपयोगी हो सकते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण शामिल हो सकता है वैक्टर के सभी जोड़े पर एक एकीकरण $\mathbf {p}$ और $\mathbf {q}$ वह राशि एक निश्चित वेक्टर के लिए $\mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q}$, जहां इंटीग्रैंड वेक्टर लंबाई के एक समारोह के रूप में $\left|\mathbf {p} \right|$ और $\left|\mathbf {q} \right|$. (ऐसे मामले में, कोई स्थिति करेगा $\mathbf {r}$ दो foci के बीच और साथ संरेखित $x$-अक्ष, यानी, $\mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}}$।) संक्षिप्तता के लिए, $\mathbf {r}$, $\mathbf {p}$ और $\mathbf {q}$ क्रमशः एक कण और उसके अपघटन उत्पादों की गति का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और इंटीग्रैंड में उत्पादों की गतिज ऊर्जा शामिल हो सकती है (जो संवेग की वर्ग लंबाई के आनुपातिक हैं)।

यह भी देखें

• वक्रीय निर्देशांक
• दीर्घवृत्त निर्देशांक
• सामान्यीकृत निर्देशांक

संदर्भ

• "Elliptic coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Cylindrical Coordinates." From MathWorld — A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html