प्रोजेक्टिव कनेक्शन: Difference between revisions

Revision as of 13:05, 26 April 2023

अंतर ज्यामिति में, एक प्रक्षेपण संबंध एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर कार्टन संबंध का एक प्रकार है।

एक प्रक्षेपण संबंध की संरचना प्रक्षेपण स्थान की ज्यामिति पर आधारित होती है, न कि एक एफ़िन संबंध से संबंधित एफ़िन स्थान के अतिरिक्त अधिक हद तक एफ़िन संबंध की तरह, प्रक्षेपण संबंध भी जियोडेसिक्स को परिभाषित करते हैं। चूँकि , ये जियोडेसिक्स एफ़िन पैरामीटर नहीं हैं। किंतु वे अनुमानित रूप से पैरामीट्रिज्ड हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पसंदीदा वर्ग के पैरामीटर को भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तनों के समूह द्वारा क्रियान्वित किया जाता है।

एफ़िन संबंध की तरह, प्रक्षेपण संबंध में मरोड़ और वक्रता जुड़ी होती है।

मॉडल ज्यामिति के रूप में प्रक्षेपी स्थान

किसी भी कार्टन संबंध को परिभाषित करने में पहला कदम समतल स्थिति पर विचार करना है: जिसमें संबंध एक सजातीय स्थान पर मौरर-कार्टन फॉर्म से मेल खाता है।

प्रोजेक्टिव सेटिंग में, सजातीय स्थान का अंतर्निहित कई गुना $M$ प्रोजेक्टिव स्थान RPⁿ है जिसे हम सजातीय निर्देशांक $[x_{0},\dots ,x_{n}]$ द्वारा प्रदर्शित करेंगे। $M$ का समरूपता समूह G = PSL(n+1,R) है।^[1] मान लीजिए H बिंदु $[1,0,0,\ldots ,0]$ का आइसोट्रॉपी समूह है। इस प्रकार, M = G/H $M$ को एक सजातीय स्थान के रूप में प्रस्तुत करता है।

होने देना ${\mathfrak {g}}$ G का झूठा बीजगणित हो, और ${\mathfrak {h}}$ एच। ध्यान दें कि ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}}(n+1,{\mathbb {R} })$ . सदिश स्थान के सजातीय आधार के सापेक्ष मेट्रिसेस के रूप में, ${\mathfrak {g}}$ ट्रेस-मुक्त होते हैं $(n+1)\times (n+1)$ आव्यूह:

\left({\begin{matrix}\lambda &v^{i}\\w_{j}&a_{j}^{i}\end{matrix}}\right),\quad (v^{i})\in {\mathbb {R} }^{1\times n},(w_{j})\in {\mathbb {R} }^{n\times 1},(a_{j}^{i})\in {\mathbb {R} }^{n\times n},\lambda =-\sum _{i}a_{i}^{i}

.

और ${\mathfrak {h}}$ में ये सभी मैट्रिक्स $(w_{j})=0$ के साथ होते हैं। उपरोक्त मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के सापेक्ष, G का मौरर-कार्टन रूप 1-रूपों की एक प्रणाली है $(\xi ,\alpha _{j},\alpha _{j}^{i},\alpha ^{i})$ संरचनात्मक समीकरणों को संतुष्ट करना ( आइंस्टीन संकेतन सम्मेलन का उपयोग करके लिखा गया):^[2]

d\xi +\alpha ^{i}\wedge \alpha _{i}=0

da_{j}+a_{j}\wedge \zeta +a_{j}^{k}\wedge a_{k}=0

da_{j}^{i}+a^{i}\wedge a_{j}+a_{k}^{i}\wedge a_{j}^{k}=0

da^{i}+\zeta \wedge a^{i}+a^{k}\wedge a_{k}^{i}=0

^[3]

कई गुना पर प्रक्षेपी संरचनाएं

एक प्रक्षेपी संरचना कई गुना पर एक रेखीय ज्यामिति है जिसमें दो पास के बिंदु एक अद्वितीय विधि से एक रेखा (जिससे , एक अप्रतिबंधित जियोडेसिक) से जुड़े होते हैं। इसके अतिरिक्त , प्रत्येक बिंदु का एक अतिसूक्ष्म निकट प्रक्षेपी फ्रेम के एक वर्ग से सुसज्जित है। कार्टन (1924) के अनुसार,

प्रक्षेपण संबंध के साथ एक मैनिफोल्ड (या स्थान ) एक न्यूमेरिकल मैनिफोल्ड है, जो प्रत्येक बिंदु के तत्काल आसपास के क्षेत्र में, एक प्रक्षेप्य फ्रेम की सभी विशेषताओं को प्रस्तुत करता है और एक से अधिक नियम के साथ संपन्न होता है, जिससे एक प्रक्षेपण स्थान में कनेक्ट करना संभव हो जाता है। दो छोटे टुकड़े जो दो अपरिमित रूप से निकट बिंदुओं को घेरते हैं। ...

विश्लेषणात्मक रूप से, हम कई गुना के प्रत्येक बिंदु 'a' से जुड़े प्रक्षेपण स्थान में, इच्छानुसार से चुनेंगे, एक फ्रेम जो प्रक्षेपण निर्देशांक की एक प्रणाली को परिभाषित करता है। ... दो अपरिमित रूप से समीप बिंदुओं 'a'और 'a' से जुड़े प्रक्षेपण स्थान के बीच का संबंध एक होमोग्राफिक परिवर्तन में विश्लेषणात्मक रूप से परिणाम देगा। ...^[4]

यह कार्टन की एक संबधित संबंध की धारणा के अनुरूप है, जिसमें आस-पास के बिंदु इस प्रकार जुड़े होते हैं और संदर्भ का एक सघन ढांचा होता है जिसे एक से दूसरे में ले जाया जाता है (कार्टन, 1923):

मैनिफोल्ड को एक एफ़िन संबंध कहा जाएगा जब हमने परिभाषित किया है, इच्छानुसार से, एक नियम दूसरे के संबंध में पहचान करना संभव बनाता है, जो किसी भी दो असीमित समीप बिंदुओं ' m ' और ' m ' से जुड़े एफ़िन रिक्त स्थान को पहचानना संभव बनाता है। विविधता का; यह नियम यह कहने की अनुमति देगा कि बिंदु ' m ' से जुड़ी एफ़िन स्थान का ऐसा बिंदु बिंदु ' m ' से जुड़े एफ़िन स्थान के ऐसे बिंदु से मेल खाता है, कि पहली जगह का ऐसा वेक्टर समानांतर या समकक्ष है दूसरी जगह का ऐसा वेक्टर है ।^[5]

आधुनिक भाषा में, n-मैनिफोल्ड m पर एक प्रक्षेपण स्ट्रक्चर प्रक्षेपण स्थान पर आधारित एक कार्टन ज्यामिति है, जहां बाद वाले को PSL(n+1,R) एक समान स्थान के रूप में देखा जाता है। दूसरे शब्दों में यह एक PSL(n+1,R)-बंडल से लैस है

एक PSL(n+1,'R')-संबंध (कार्टन संबंध )
प्रक्षेपण स्थान में एक बिंदु के स्टेबलाइजर के लिए संरचना समूह की कमी

ऐसा है कि इन आंकड़ों से प्रेरित सोल्डर फॉर्म एक आइसोमोर्फिज्म है।

जुड़े एफ़िन स्थान के ऐसे बिंदु से मेल खाता है, कि पहली जगह का ऐसा वेक्टर समानांतर या समकक्ष है दूसरी जगह का ऐसा वेक्टर है ।^[5]

↑ It is also possible to use PGL(n+1,R), but PSL(n+1,R) is more convenient because it is connected.
↑ Cartan's approach was to derive the structural equations from the volume-preserving condition on SL(n+1) so that explicit reference to the Lie algebra was not required.
↑ A point of interest is this last equation is completely integrable, which means that the fibres of $G\rightarrow G/H$ can be defined using only the Maurer-Cartan form, by the Frobenius integration theorem.
↑ A variety (or space) with projective connection is a numerical variety which, in the immediate neighbourhood of each point, possesses all the characters of a projective space and is moreover endowed with a law making it possible to connect in a single projective space the two small regions which surround two infinitely close points. Analytically, we choose, in a way otherwise arbitrary, a frame defining a projective frame of reference in the projective space attached to each point of the variety. .. The connection between the projective spaces attached to two infinitely close points a and a' will result analytically in a homographic (projective) transformation. ..
↑ ^5.0 ^5.1 The variety will be said to "affinely connected" when one defines, in a way otherwise arbitrary, a law making it possible to place the affine spaces, attached to two arbitrary infinitely close points m and m' of the variety, in correspondence with each other; this law will make it possible to say that a particular point of the affine space attached to the point m' corresponds to a particular point of the affine space attached to the point m, in such a way that a vector of the first space is parallel or equipollent with the corresponding vector of the second space.

संदर्भ

Cartan, Élie (1923). "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 40: 325–412. doi:10.24033/asens.751.
Cartan, Élie (1924). "Sur les varietes a connexion projective". Bulletin de la Société Mathématique. 52: 205–241. doi:10.24033/bsmf.1053.
Hermann, R., Appendix 1-3 in Cartan, E. Geometry of Riemannian Spaces, Math Sci Press, Massachusetts, 1983.
Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica, 48 (1–2): 1–42, doi:10.1007/BF02629755
Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9.

बाहरी संबंध

Ü. Lumiste (2001) [1994], "Projective connection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] It is also possible to use PGL(n+1,R), but PSL(n+1,R) is more convenient because it is connected.

[2] Cartan's approach was to derive the structural equations from the volume-preserving condition on SL(n+1) so that explicit reference to the Lie algebra was not required.

[3] A point of interest is this last equation is completely integrable, which means that the fibres of $G\rightarrow G/H$ can be defined using only the Maurer-Cartan form, by the Frobenius integration theorem.

[4] A variety (or space) with projective connection is a numerical variety which, in the immediate neighbourhood of each point, possesses all the characters of a projective space and is moreover endowed with a law making it possible to connect in a single projective space the two small regions which surround two infinitely close points. Analytically, we choose, in a way otherwise arbitrary, a frame defining a projective frame of reference in the projective space attached to each point of the variety. .. The connection between the projective spaces attached to two infinitely close points a and a' will result analytically in a homographic (projective) transformation. ..

[:0-5] 5.0 ^5.1 The variety will be said to "affinely connected" when one defines, in a way otherwise arbitrary, a law making it possible to place the affine spaces, attached to two arbitrary infinitely close points m and m' of the variety, in correspondence with each other; this law will make it possible to say that a particular point of the affine space attached to the point m' corresponds to a particular point of the affine space attached to the point m, in such a way that a vector of the first space is parallel or equipollent with the corresponding vector of the second space.

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-[[ अंतर ज्यामिति ]] में, एक प्रोजेक्टिव कनेक्शन एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर [[कार्टन कनेक्शन]] का एक प्रकार है।
+[[ अंतर ज्यामिति ]] में, एक प्रक्षेपण संबंध  एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर [[कार्टन कनेक्शन|कार्टन]] संबंध का एक प्रकार है।
-एक प्रोजेक्टिव कनेक्शन की संरचना [[ प्रक्षेपण स्थान ]] की ज्यामिति पर आधारित होती है, न कि एक एफ़िन कनेक्शन से संबंधित [[affine अंतरिक्ष]] के बजाय। काफी हद तक [[ affine कनेक्शन ]] की तरह, प्रोजेक्टिव कनेक्शन भी [[geodesics]] को परिभाषित करते हैं। हालाँकि, ये जियोडेसिक्स [[एफ़िन पैरामीटर]] नहीं हैं। बल्कि वे अनुमानित रूप से पैरामीट्रिज्ड हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पसंदीदा वर्ग के पैरामीटर को भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तनों के समूह द्वारा क्रियान्वित किया जाता है।
+एक प्रक्षेपण संबंध  की संरचना [[ प्रक्षेपण स्थान ]] की ज्यामिति पर आधारित होती है, न कि एक एफ़िन संबंध से संबंधित [[affine अंतरिक्ष|एफ़िन स्थान]]  के अतिरिक्त अधिक हद तक [[ affine कनेक्शन | एफ़िन संबंध]] की तरह, प्रक्षेपण संबंध  भी [[geodesics|जियोडेसिक्स]] को परिभाषित करते हैं। चूँकि , ये जियोडेसिक्स [[एफ़िन पैरामीटर]] नहीं हैं। किंतु वे अनुमानित रूप से पैरामीट्रिज्ड हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पसंदीदा वर्ग के पैरामीटर को भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तनों के समूह द्वारा क्रियान्वित किया जाता है।
-एफ़िन कनेक्शन की तरह, प्रोजेक्टिव कनेक्शन में मरोड़ और वक्रता जुड़ी होती है।
+एफ़िन संबंध की तरह, प्रक्षेपण संबंध  में मरोड़ और वक्रता जुड़ी होती है।
 == मॉडल ज्यामिति के रूप में प्रक्षेपी स्थान ==
-किसी भी कार्टन कनेक्शन को परिभाषित करने में पहला कदम फ्लैट मामले पर विचार करना है: जिसमें कनेक्शन एक [[सजातीय स्थान]] पर [[मौरर-कार्टन फॉर्म]] से मेल खाता है।
+किसी भी कार्टन संबंध को परिभाषित करने में पहला कदम समतल स्थिति पर विचार करना है: जिसमें संबंध एक [[सजातीय स्थान]] पर [[मौरर-कार्टन फॉर्म]] से मेल खाता है।
-प्रोजेक्टिव सेटिंग में, अंतर्निहित मैनिफोल्ड <math>M</math> सजातीय स्थान का प्रक्षेप्य स्थान RP है<sup>n</sup> जिसे हम [[सजातीय निर्देशांक]]ों द्वारा प्रदर्शित करेंगे <math>[x_0,\dots,x_n]</math>. समरूपता समूह <math>M</math> जी = पीएसएल (एन + 1, 'आर') है।<ref>It is also possible to use PGL(''n''+1,'''R'''), but PSL(''n''+1,'''R''') is more convenient because it is connected.</ref> बता दें कि H बिंदु का [[आइसोट्रॉपी समूह]] है <math>[1,0,0,\ldots,0]</math>. इस प्रकार, एम = जी/एच प्रस्तुत करता है <math>M</math> एक सजातीय स्थान के रूप में।
+प्रोजेक्टिव सेटिंग में, सजातीय स्थान का अंतर्निहित कई गुना <math>M</math> प्रोजेक्टिव स्थान  RP<sup>n</sup> है जिसे हम सजातीय निर्देशांक <math>[x_0,\dots,x_n]</math> द्वारा प्रदर्शित करेंगे। <math>M</math>का समरूपता समूह ''G'' = PSL(''n''+1,'''R''') है।<ref>It is also possible to use PGL(''n''+1,'''R'''), but PSL(''n''+1,'''R''') is more convenient because it is connected.</ref> मान लीजिए H बिंदु <math>[1,0,0,\ldots,0]</math> का आइसोट्रॉपी समूह है। इस प्रकार,  ''M'' = ''G''/''H'' <math>M</math> को एक सजातीय स्थान के रूप में प्रस्तुत करता है।
 होने देना <math>{\mathfrak g}</math> G का झूठा बीजगणित हो, और <math>{\mathfrak h}</math> एच। ध्यान दें कि <math>{\mathfrak g} = {\mathfrak s}{\mathfrak l}(n+1,{\mathbb R})</math>. सदिश स्थान के सजातीय आधार के सापेक्ष मेट्रिसेस के रूप में, <math>{\mathfrak g}</math> ट्रेस-मुक्त होते हैं <math>(n+1)\times(n+1)</math> आव्यूह:
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 </math>.
-और <math>{\mathfrak h}</math> इन सभी मैट्रिसेस से मिलकर बनता है <math>(w_j)=0</math>. उपरोक्त मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के सापेक्ष, G का मौरर-कार्टन रूप 1-रूपों की एक प्रणाली है <math>(\xi, \alpha_j, \alpha_j^i, \alpha^i)</math> संरचनात्मक समीकरणों को संतुष्ट करना ([[ आइंस्टीन संकेतन ]] का उपयोग करके लिखा गया):<ref>Cartan's approach was to derive the structural equations from the volume-preserving condition on ''SL''(''n''+1) so that explicit reference to the Lie algebra was not required.</ref>
+और <math>{\mathfrak h}</math> में ये सभी मैट्रिक्स<math>(w_j)=0</math>के साथ होते हैं। उपरोक्त मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के सापेक्ष, G का मौरर-कार्टन रूप 1-रूपों की एक प्रणाली है <math>(\xi, \alpha_j, \alpha_j^i, \alpha^i)</math> संरचनात्मक समीकरणों को संतुष्ट करना ([[ आइंस्टीन संकेतन | आइंस्टीन संकेतन]] सम्मेलन का उपयोग करके लिखा गया):<ref>Cartan's approach was to derive the structural equations from the volume-preserving condition on ''SL''(''n''+1) so that explicit reference to the Lie algebra was not required.</ref>
 :<math>d\xi + \alpha^i \wedge \alpha_i = 0</math>
 :<math>d a_j+a_j \wedge \zeta+a_{j}^{k}\wedge a_{k}=0</math>
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 == कई गुना पर प्रक्षेपी संरचनाएं ==
-एक प्रक्षेपी संरचना कई गुना पर एक रेखीय ज्यामिति है जिसमें दो पास के बिंदु एक अद्वितीय तरीके से एक रेखा (यानी, एक अप्रतिबंधित जियोडेसिक) से जुड़े होते हैं। इसके अलावा, प्रत्येक बिंदु का एक अतिसूक्ष्म पड़ोस प्रक्षेपी फ्रेम के एक वर्ग से सुसज्जित है। कार्टन (1924) के अनुसार,
+एक प्रक्षेपी संरचना कई गुना पर एक रेखीय ज्यामिति है जिसमें दो पास के बिंदु एक अद्वितीय विधि से एक रेखा (जिससे , एक अप्रतिबंधित जियोडेसिक) से जुड़े होते हैं। इसके अतिरिक्त , प्रत्येक बिंदु का एक अतिसूक्ष्म निकट प्रक्षेपी फ्रेम के एक वर्ग से सुसज्जित है। कार्टन (1924) के अनुसार,
-: प्रोजेक्टिव कनेक्शन के साथ एक मैनिफोल्ड (या स्पेस) एक न्यूमेरिकल मैनिफोल्ड है, जो प्रत्येक बिंदु के तत्काल आसपास के क्षेत्र में, एक [[प्रक्षेप्य फ्रेम]] की सभी विशेषताओं को प्रस्तुत करता है और एक से अधिक कानूनों के साथ संपन्न होता है, जिससे एक प्रोजेक्टिव स्पेस में कनेक्ट करना संभव हो जाता है। दो छोटे टुकड़े जो दो असीम रूप से निकट बिंदुओं को घेरते हैं। ...
+: प्रक्षेपण संबंध  के साथ एक मैनिफोल्ड (या स्थान ) एक न्यूमेरिकल मैनिफोल्ड है, जो प्रत्येक बिंदु के तत्काल आसपास के क्षेत्र में, एक [[प्रक्षेप्य फ्रेम]] की सभी विशेषताओं को प्रस्तुत करता है और एक से अधिक नियम के साथ संपन्न होता है, जिससे एक प्रक्षेपण  स्थान  में कनेक्ट करना संभव हो जाता है। दो छोटे टुकड़े जो दो अपरिमित रूप से निकट बिंदुओं को घेरते हैं। ...
-:विश्लेषणात्मक रूप से, हम कई गुना के प्रत्येक बिंदु 'ए' से जुड़े प्रोजेक्टिव स्पेस में, मनमाने ढंग से चुनेंगे, एक फ्रेम जो प्रोजेक्टिव निर्देशांक की एक प्रणाली को परिभाषित करता है। ... दो असीम रूप से करीबी बिंदुओं 'ए' और 'ए' से जुड़े प्रोजेक्टिव स्पेस के बीच का संबंध एक होमोग्राफिक परिवर्तन में विश्लेषणात्मक रूप से परिणाम देगा। ...<ref>A variety (or space) with projective connection is a numerical variety which, in the immediate neighbourhood of each point, possesses all the characters of a projective space and is moreover endowed with a law making it possible to connect in a single projective space the two small regions which surround two infinitely close points.
+:विश्लेषणात्मक रूप से, हम कई गुना के प्रत्येक बिंदु  'a' से जुड़े प्रक्षेपण  स्थान  में, इच्छानुसार से चुनेंगे, एक फ्रेम जो प्रक्षेपण  निर्देशांक की एक प्रणाली को परिभाषित करता है। ... दो अपरिमित रूप से समीप बिंदुओं  'a'और  'a' से जुड़े प्रक्षेपण  स्थान  के बीच का संबंध एक होमोग्राफिक परिवर्तन में विश्लेषणात्मक रूप से परिणाम देगा। ...<ref>A variety (or space) with projective connection is a numerical variety which, in the immediate neighbourhood of each point, possesses all the characters of a projective space and is moreover endowed with a law making it possible to connect in a single projective space the two small regions which surround two infinitely close points.
 Analytically, we choose, in a way otherwise arbitrary, a frame defining a projective frame of reference in the projective space attached to each point of the variety. .. The connection between the projective spaces attached to two infinitely close points '''a''' and '''a'''' will result analytically in a homographic (projective) transformation. ..</ref>
 यह कार्टन की एक संबधित संबंध की धारणा के अनुरूप है, जिसमें आस-पास के बिंदु इस प्रकार जुड़े होते हैं और संदर्भ का एक सघन ढांचा होता है जिसे एक से दूसरे में ले जाया जाता है (कार्टन, 1923):
-: मैनिफोल्ड को एक एफ़िन कनेक्शन कहा जाएगा जब हमने परिभाषित किया है, मनमाने ढंग से, एक कानून दूसरे के संबंध में पहचान करना संभव बनाता है, जो किसी भी दो असीमित करीबी बिंदुओं 'एम' और 'एम' से जुड़े एफ़िन रिक्त स्थान को पहचानना संभव बनाता है। विविधता का; यह कानून यह कहने की अनुमति देगा कि बिंदु 'एम' से जुड़ी एफ़िन स्पेस का ऐसा बिंदु बिंदु 'एम' से जुड़े एफ़िन स्पेस के ऐसे बिंदु से मेल खाता है, कि पहली जगह का ऐसा वेक्टर समानांतर या समकक्ष है दूसरी जगह का ऐसा वेक्टर।<ref>The variety will be said to "affinely connected" when one defines, in a way otherwise arbitrary, a law making it possible to place the affine spaces, attached to two arbitrary infinitely close points '''m''' and '''m'''' of the variety, in correspondence with each other; this law will make it possible to say that a particular point of the affine space attached to the point '''m'''' corresponds to a particular point of the affine space attached to the point '''m''', in such a way that a vector of the first space is parallel or equipollent with the corresponding vector of the second space.</ref>
+: मैनिफोल्ड को एक एफ़िन संबंध कहा जाएगा जब हमने परिभाषित किया है, इच्छानुसार  से, एक नियम दूसरे के संबंध में पहचान करना संभव बनाता है, जो किसी भी दो असीमित समीप बिंदुओं ' m ' और ' m ' से जुड़े एफ़िन रिक्त स्थान को पहचानना संभव बनाता है। विविधता का; यह नियम यह कहने की अनुमति देगा कि बिंदु ' m ' से जुड़ी एफ़िन स्थान  का ऐसा बिंदु बिंदु ' m ' से जुड़े एफ़िन स्थान  के ऐसे बिंदु से मेल खाता है, कि पहली जगह का ऐसा वेक्टर समानांतर या समकक्ष है दूसरी जगह का ऐसा वेक्टर है ।<ref name=":0">The variety will be said to "affinely connected" when one defines, in a way otherwise arbitrary, a law making it possible to place the affine spaces, attached to two arbitrary infinitely close points '''m''' and '''m'<nowiki/>''' of the variety, in correspondence with each other; this law will make it possible to say that a particular point of the affine space attached to the point '''m'''' corresponds to a particular point of the affine space attached to the point '''m''', in such a way that a vector of the first space is parallel or equipollent with the corresponding vector of the second space.</ref>
-आधुनिक भाषा में, एन-मैनिफोल्ड एम पर एक प्रोजेक्टिव स्ट्रक्चर प्रोजेक्टिव स्पेस पर आधारित एक [[कार्टन ज्यामिति]] है, जहां बाद वाले को पीएसएल (एन + 1, 'आर') के लिए एक समान स्थान के रूप में देखा जाता है। दूसरे शब्दों में यह एक PSL(n+1,'R')-बंडल से लैस है
+आधुनिक भाषा में, n-मैनिफोल्ड  m  पर एक प्रक्षेपण  स्ट्रक्चर प्रक्षेपण  स्थान  पर आधारित एक [[कार्टन ज्यामिति]] है, जहां बाद वाले को  PSL(''n''+1,'''R''') एक समान स्थान के रूप में देखा जाता है। दूसरे शब्दों में यह एक  PSL(''n''+1,'''R''')-बंडल से लैस है
-* एक PSL(n+1,'R')-कनेक्शन (कार्टन कनेक्शन)
+* एक PSL(n+1,'R')-संबंध (कार्टन संबंध )
-* प्रोजेक्टिव स्पेस में एक बिंदु के स्टेबलाइजर के लिए संरचना समूह की कमी
+* प्रक्षेपण  स्थान  में एक बिंदु के स्टेबलाइजर के लिए संरचना समूह की कमी
 ऐसा है कि इन आंकड़ों से प्रेरित [[सोल्डर फॉर्म]] एक आइसोमोर्फिज्म है।
+'''जुड़े एफ़िन स्थान  के ऐसे बिंदु से मेल खाता है, कि पहली जगह का ऐसा वेक्टर समानांतर या समकक्ष है दूसरी जगह का ऐसा वेक्टर है ।<ref name=":0" />'''
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