मुक्त मापांक

गणित में, मुक्त मापांक एक मापांक (गणित) है जिसका एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है - अर्थात, रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों से युक्त एक मापांक का जनक समुच्चय। प्रत्येक सदिश समष्टि एक मुक्त मापांक है, लेकिन, यदि गुणकों का वलय (गणित) एक विभाजन वलय नहीं है (क्रम विनिमय स्थिति में एक क्षेत्र (गणित) नहीं है), तो वहां गैर-मुक्त मापांक उपस्थित हैं।

किसी भी सेट (गणित) S और वलय R को देखते हुए, आधार S के साथ एक मुक्त $R$ मापांक है, जिसे S पर एक मुक्त मापांक या $S$ के तत्वों के औपचारिक R-रैखिक संयोजन का एक मापांक कहा जाता है।

एक मुक्त एबेलियन समूह पूर्णांकों के वलय Z पर सटीक रूप से एक मुक्त मापांक है।

परिभाषा

एक वलय $R$ और $R$-मापांक $M$ के लिए, सेट $E\subseteq M$ का आधार $M$ है अगर:

• $E$ के लिए जनक समुच्चय $M$ है; अर्थात्, $M$ का प्रत्येक तत्व $E$ के तत्वों का परिमित योग है जिसे $R$ में गुणांक से गुणा किया जाता है; और
• यदि प्रत्येक $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E$ के लिए $E$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है, $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ इसका आशय है $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ (जहाँ $0_{M}$, $M$ का शून्य तत्व है और $0_{R}$ , $R$ का शून्य तत्व है)

एक मुफ्त मापांक एक आधार वाला मापांक है।

परिभाषा की दूसरी छमाही का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि पहली छमाही में गुणांक $M$ के प्रत्येक तत्व के लिए अद्वितीय हैं।

अगर $R$ अपरिवर्तनीय आधार संख्या है, तो परिभाषा के अनुसार किसी भी दो आधारों में समान गणनांक होता है। उदाहरण के लिए, शून्येतर क्रमविनिमेय वलयों में परिवर्तनीय आधार संख्या होती है। किसी भी (और इसलिए हर) आधार के गणनांक को मुक्त मापांक $M$ की श्रेणि कहा जाता है। यदि यह गणनांक परिमित है, तो मुक्त मापांक को परिमित श्रेणि से मुक्त कहा जाता है, या श्रेणि n से मुक्त कहा जाता है, यदि श्रेणि n के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

माना R एक वलय है।

• R अपने ऊपर की श्रेणि का एक मुफ्त मापांक है (या तो बाएं या दाएं मापांक के रूप में); कोई भी इकाई तत्व एक आधार है।
• अधिक समान्यतः, यदि R क्रमविनिमेय है, तो R का एक गैर-शून्य आदर्श I मुक्त है और केवल अगर यह एक गैर-शून्यकारक द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख आदर्श है, जिसमें जनक एक आधार है।
• एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र पर (उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z}$), एक मुफ्त मापांक का एक उपमापांक मुफ्त है।
• यदि R क्रमविनिमेय है, तो बहुपद वलय $R[X]$ अनिश्चित X में संभावित आधार 1, X, X^{2 के साथ मुफ्त मापांक है।}
• मान लीजिए कि $A[t]$ क्रमविनिमेय वलय A पर एक बहुपद वलय हो, जहाँ डिग्री d का एक मोनिक बहुपद, $B=A[t]/(f)$ और $\xi$ B में T की छवि हो। फिर B में उपवलय के रूप में A होता है और आधार के साथ A-मापांक के रूप में मुक्त होता है $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$.
• किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए, $R^{n}=R\times \cdots \times R$, बाएँ R-मापांक के रूप में R की n प्रतियों का कार्तीय गुणन मुक्त है। यदि R में निश्चर आधार संख्या है, तो मापांक का श्रेणि n है।
• मुक्त मापांक का सीधा योग मुफ्त है, जबकि मुफ्त मापांक का एक अनंत कार्तीय गुणन समान्यतः मुफ्त नहीं होता है।
• एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक मुफ्त है अगर और केवल अगर यह ईमानदारी से सपाट है। इसके अतिरिक्त, कप्लान्स्की के प्रमेय में एक (संभवतः गैर-क्रमविनिमेयता) स्थानीय वलय पर एक प्रक्षेपीय मापांक बताया गया है।
• कभी-कभी, एक मापांक मुक्त है या नहीं, समुच्चय सिद्धांतपरक अर्थ में अनिर्णेय है। एक प्रसिद्ध उदाहरण व्हाइटहेड समस्या है, जो पूछती है कि व्हाइटहेड समूह मुक्त है या नहीं। जैसा कि यह पता लगा कि, समस्या ZFC से स्वतंत्र है।

औपचारिक रैखिक संयोजन

एक सेट दिया E और वलय R, एक मुफ़्त है R-मापांक जिसमें है E एक आधार के रूप में: अर्थात्, ई द्वारा अनुक्रमित आर की प्रतियों के मापांक का प्रत्यक्ष योग

$R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R$.

स्पष्ट रूप से, यह Direct_product#Direct_product_of_modules का सबमॉड्यूल है ${\textstyle \prod _{E}R}$ (आर को बाएं मापांक के रूप में देखा जाता है) जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जिनमें केवल बहुत से गैर-अक्षीय घटक होते हैं। कोई ई को एम्बेडिंग कर सकता है R^(E) के साथ एक तत्व ई की पहचान करके एक उपसमुच्चय के रूप में R^(E) जिसका ई-वाँ घटक 1 (आर की एकता) है और अन्य सभी घटक शून्य हैं। फिर प्रत्येक तत्व R^(E) के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$\sum _{e\in E}c_{e}e,$

जहाँ केवल बहुत सारे $c_{e}$ अशून्य हैं। इसे तत्वों का औपचारिक रैखिक संयोजन कहा जाता है E.

इसी तरह के एक तर्क से पता चलता है कि हर मुक्त लेफ्ट (रेस्प। राइट) आर-मापांक आइसोमोर्फिक है जो कि आर की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में लेफ्ट (रेस्प। राइट) मापांक है।

एक और निर्माण

मुफ्त मापांक R^(E) निम्नलिखित समतुल्य तरीके से भी बनाया जा सकता है।

एक वलय R और एक समुच्चय E दिया है, पहले एक समुच्चय के रूप में हम देते हैं

$R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.$

हम इसे बाएं मापांक की संरचना से लैस करते हैं जैसे कि इसके अतिरिक्त परिभाषित किया गया है: एक्स में ई के लिए,

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

और स्केलर गुणा द्वारा: आर में आर और एक्स में ई के लिए,

$(rf)(x)=r(f(x))$

अब, ई पर एक आर-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के रूप में, प्रत्येक एफ में $R^{(E)}$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}$

कहाँ $c_{e}$ आर में हैं और केवल उनमें से बहुत से गैर-शून्य और हैं $\delta _{e}$ के रूप में दिया जाता है

$\delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}$

(यह क्रोनकर डेल्टा का एक प्रकार है)। उपरोक्त का अर्थ है कि उपसमुच्चय $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ का $R^{(E)}$ का एक आधार है $R^{(E)}$. मानचित्रण $e\mapsto \delta _{e}$ के बीच आपत्ति है E और यह आधार। इस आक्षेप के माध्यम से, $R^{(E)}$ आधार ई के साथ एक मुफ्त मापांक है।

सार्वभौमिक संपत्ति

समावेशन मानचित्रण $\iota :E\to R^{(E)}$ ऊपर परिभाषित निम्नलिखित अर्थों में सार्वभौमिक संपत्ति है। एक मनमाना कार्य दिया $f:E\to N$ एक सेट से E बाईं ओर R-मापांक N, एक अद्वितीय मापांक समरूपता उपस्थित है ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ ऐसा है कि $f={\overline {f}}\circ \iota$; अर्थात्, ${\overline {f}}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)$

और ${\overline {f}}$ बढ़ाने से प्राप्त होना बताया गया है $f$ रैखिकता द्वारा। विशिष्टता का अर्थ है कि प्रत्येक आर-रैखिक मानचित्र $R^{(E)}\to N$ विशिष्ट रूप से इसके प्रतिबंध (गणित) द्वारा ई को निर्धारित किया जाता है।

हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के लिए, यह परिभाषित करता है R^(E) एक विहित समरूपता तक। का गठन भी $\iota :E\to R^{(E)}$ प्रत्येक सेट के लिए E एक ऑपरेटर निर्धारित करता है

$R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}$,

सेट की श्रेणी से बाईं ओर की श्रेणी में R-मापांक। इसे मुक्त कारक कहा जाता है और प्राकृतिक संबंध को संतुष्ट करता है: प्रत्येक सेट ई और बाएं मापांक एन के लिए,

$\operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}$

कहाँ $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ भुलक्कड़ कारक है, जिसका अर्थ है $R^{(-)}$ भुलक्कड़ फंक्‍टर का बायां जोड़ है।

सामान्यीकरण

मुफ्त मापांक के बारे में कई बयान, जो रिंगों पर सामान्य मापांक के लिए गलत हैं, मुक्त मापांक के कुछ सामान्यीकरणों के लिए अभी भी सही हैं। प्रोजेक्टिव मापांक मुफ्त मापांक के प्रत्यक्ष योग हैं, इसलिए कोई एक मुक्त मापांक में इंजेक्शन चुन सकता है और प्रोजेक्टिव मापांक के लिए कुछ साबित करने के लिए इसका आधार उपयोग कर सकता है। यहां तक ​​कि कमजोर सामान्यीकरण भी फ्लैट मापांक हैं, जिनके पास अभी भी संपत्ति है जो उनके साथ टेंसरिंग सटीक अनुक्रमों और मरोड़-मुक्त मापांक को संरक्षित करती है। यदि वलय में विशेष गुण हैं, तो यह पदानुक्रम ढह सकता है, उदाहरण के लिए, किसी भी संपूर्ण स्थानीय डेडेकाइंड वलय के लिए, प्रत्येक मरोड़-मुक्त मापांक सपाट, प्रक्षेपी और मुक्त भी है। एक क्रमविनिमेय पीआईडी ​​​​का एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मरोड़-मुक्त मापांक मुफ़्त है। एक निश्चित रूप से जेनरेट किया गया जेड-मापांक मुफ़्त है और केवल अगर यह फ्लैट है।

स्थानीय वलय, सही वलय और डेडेकाइंड वलय देखें।

यह भी देखें

• मुक्त वस्तु
• प्रक्षेप्य वस्तु
• मुफ्त प्रस्तुति
• मुक्त संकल्प
• क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय
• स्थिर रूप से मुक्त मापांक
• सामान्य निडरता

संदर्भ

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• Adamson, Iain T. (1972). Elementary Rings and Modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993.
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• Govorov, V. E. (2001) [1994], "Free module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
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