मुक्त मापांक

गणित में, मुक्त मापांक एक मापांक (गणित) है जिसका आधार (रैखिक बीजगणित) होता है - अर्थात, रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों से युक्त एक मापांक का जनक समुच्चय। प्रत्येक सदिश समष्टि मुक्त मापांक है, लेकिन, यदि गुणकों का वलय, विभाजन वलय नहीं है (क्रम विनिमय स्थिति में क्षेत्र नहीं है), तो वहां गैर-मुक्त मापांक उपस्थित हैं।

किसी भी समुच्चय (गणित) S और वलय R को देखते हुए, आधार S के साथ मुक्त $R$ मापांक है, जिसे S पर मुक्त मापांक या $S$ के तत्वों के औपचारिक R-रैखिक संयोजन का मापांक कहा जाता है।

एक मुक्त एबेलियन समूह पूर्णांकों के वलय Z पर सटीक रूप से मुक्त मापांक है।

परिभाषा

एक वलय $R$ और $R$-मापांक $M$ के लिए, समुच्चय $E\subseteq M$ का आधार $M$ है अगर:

• $E$ के लिए जनक समुच्चय $M$ है; अर्थात्, $M$ का प्रत्येक तत्व $E$ के तत्वों का परिमित योग है जिसे $R$ के गुणांक से गुणा किया जाता है; और
• यदि प्रत्येक $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E$ के लिए $E$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है, $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ इसका आशय है $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ (जहाँ $0_{M}$, $M$ का शून्य तत्व है और $0_{R}$ , $R$ का शून्य तत्व है)

मुफ्त मापांक आधार वाला मापांक है।

परिभाषा की दूसरे अर्ध परिणाम का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि $M$ के प्रत्येक तत्व के लिए पहले अर्ध परिणाम में गुणांक अद्वितीय हैं।

अगर $R$ निश्चर आधार संख्या है, तो परिभाषा के अनुसार किसी भी दो आधारों में समान गणनांक होता है। उदाहरण के लिए, शून्येतर क्रमविनिमेय वलयों में परिवर्तनीय आधार संख्या होती है। किसी भी (और इसलिए हर) आधार के गणनांक को मुक्त मापांक $M$ की श्रेणि कहा जाता है। यदि यह गणनांक परिमित है, तो मुक्त मापांक को परिमित श्रेणि से मुक्त कहा जाता है, या जब श्रेणि n से मुक्त है, तब श्रेणि को n के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

माना R एक वलय है।

• R अपने ऊपर की श्रेणि का एक मुफ्त मापांक है (या तो बाएं या दाएं मापांक के रूप में); कोई भी इकाई तत्व एक आधार है।
• अधिक समान्यतः, यदि R क्रमविनिमेय है, तो R का एक गैर-शून्य आदर्श I मुक्त है यदि और केवल यह गैर-शून्यकारक द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श है, जिसमें जनक एक आधार है।
• एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र पर (उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z}$), एक मुफ्त मापांक का एक उपमापांक मुफ्त है।
• यदि R क्रमविनिमेय है, तो बहुपद वलय $R[X]$ अनिश्चित X में संभावित आधार 1, X, X^{2 के साथ मुफ्त मापांक है।}
• मान लीजिए कि $A[t]$ क्रमविनिमेय वलय A पर बहुपद वलय है, जहाँ f डिग्री d का मोनिक बहुपद, $B=A[t]/(f)$ और $\xi$ B में t की छवि हो। फिर B में उपवलय के रूप में A होता है और आधार $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$ के साथ A-मापांक के रूप में मुक्त होता है
• किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए, $R^{n}=R\times \cdots \times R$, बाएँ R-मापांक के रूप में R की n प्रतियों का कार्तीय गुणन मुक्त है। यदि R में निश्चर आधार संख्या है, तो मापांक का श्रेणि n है।
• मुक्त मापांक का सीधा योग मुफ्त है, जबकि मुफ्त मापांक का एक अनंत कार्तीय गुणन समान्यतः मुफ्त नहीं होता है।
• एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापांक मुफ्त है अगर और केवल अगर यह ईमानदारी से सपाट है। इसके अतिरिक्त, कप्लान्स्की के प्रमेय में एक (संभवतः गैर-क्रमविनिमेयता) स्थानीय वलय पर प्रक्षेपीय मापांक बताया गया है।
• कभी-कभी, मापांक मुक्त है या नहीं, समुच्चय सिद्धांतपरक अर्थ में अनिर्णेय है। एक प्रसिद्ध उदाहरण व्हाइटहेड समस्या है, जो पूछती है कि व्हाइटहेड समूह मुक्त है या नहीं। जैसा कि यह पता लगा कि, ZFC समस्या से स्वतंत्र है।

औपचारिक रैखिक संयोजन

एक समुच्चय E और वलय R दिया गया है, मुफ़्त R-मापांक है जिसका आधार E है: अर्थात्, E द्वारा अनुक्रमित R की प्रतियों के मापांक का प्रत्यक्ष योग निम्न है

$R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R$.

स्पष्ट रूप से, यह कार्तीय गुणन ${\textstyle \prod _{E}R}$ का उपमापांक है (R को बाएं मापांक के रूप में देखा जाता है) जिसमें ऐसे तत्व उपस्थित है, जिनमें केवल बहुत से अशून्य घटक होते हैं। कोई E को R^(E) के साथ तत्व E की पहचान करके उपसमुच्चय के रूप में R^(E) में अंत:स्थापित कर सकता है जिसका E-वाँ घटक 1 (R की एकता) है और अन्य सभी घटक शून्य हैं। फिर तत्व R^(E) के प्रत्येक अवयव को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$\sum _{e\in E}c_{e}e,$

जहाँ केवल बहुत से $c_{e}$ अशून्य हैं। इसे E के तत्वों का औपचारिक रैखिक संयोजन कहा जाता है।

इसी तरह के एक तर्क से पता चलता है कि हर मुक्त बाएँ (रेस्प। दाएँ) R-मापांक समरूपी है जो कि R की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में बाएँ (रेस्प। दाएँ) मापांक है।

एक और निर्माण

मुफ्त मापांक R^(E) निम्नलिखित समतुल्य प्रकार से भी बनाया जा सकता है।

एक वलय R और समुच्चय E दिया है, पहले समुच्चय के रूप में हम देते हैं

$R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.$

हम इसे बाएं मापांक की संरचना के लिए सुसज्जित करते हैं जैसे कि इसके द्वारा परिभाषित किया गया है: X में E के लिए,

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

और अदिश गुणा द्वारा: r में R और x में E के लिए,

$(rf)(x)=r(f(x))$

अब, E पर एक R-मान फलन (गणित) के रूप में, प्रत्येक F में $R^{(E)}$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}$

जहाँ $c_{e}$ R में हैं और उनमें से बहुत से केवल अशून्य हैं और $\delta _{e}$ इस प्रकार दिया गया है

$\delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}$

(यह क्रोनकर डेल्टा का प्रकार है)। उपरोक्त का अर्थ है कि $R^{(E)}$ का उपसमुच्चय $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$, $R^{(E)}$का आधार है। प्रतिचित्रण $e\mapsto \delta _{e}$ E और इस आधार के बीच एकैक आच्छादन है। इस एकैक आच्छादन के माध्यम से, $R^{(E)}$ आधार E के साथ मुफ्त मापांक है।

सार्वभौमिक गुण

समावेशन प्रतिचित्रण $\iota :E\to R^{(E)}$ ऊपर परिभाषित निम्नलिखित अर्थों में सार्वभौमिक संपत्ति है। एक समुच्चय E से बाईं ओर R-मापांक N में मनमाना फलन $f:E\to N$ दिया गया है, एक अद्वितीय मापांक समरूपता ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ उपस्थित है, ऐसा है कि $f={\overline {f}}\circ \iota$; अर्थात्, ${\overline {f}}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)$

और ${\overline {f}}$ को रैखिकता द्वारा $f$ को विस्तारित करके प्राप्त किया जा सकता है। विशिष्टता का अर्थ है कि प्रत्येक R-रैखिक प्रतिचित्रण $R^{(E)}\to N$ विशिष्ट रूप से इसके प्रतिबंध (गणित) द्वारा E को निर्धारित किया जाता है।

हमेशा की तरह सार्वभौमिक गुणों के लिए, यह R^(E) को विहित समरूपता तक परिभाषित करता है। साथ ही $\iota :E\to R^{(E)}$ का गठन प्रत्येक समुच्चय के लिए

$R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}$,

E समुच्चय की श्रेणी से बाएं R-मापांक की श्रेणी में एक प्रकार्यक निर्धारित करता है। इसे मुक्त गुणक कहा जाता है और यह प्राकृतिक संबंध को संतुष्ट करता है: प्रत्येक समुच्चय E और बाएं मापांक N के लिए,

$\operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}$

जहाँ $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ विस्मरणता प्रकार्यक है, जिसका अर्थ है $R^{(-)}$ विस्मरणता प्रकार्यक का बायां संलग्न है।

सामान्यीकरण

मुफ्त मापांक के बारे में कई बयान, जो वलयों पर सामान्य मापांक के लिए गलत हैं, मुक्त मापांक के कुछ सामान्यीकरणों के लिए अभी भी सही हैं। प्रक्षेपी मापांक मुफ्त मापांक के प्रत्यक्ष योग हैं, इसलिए कोई भी एक मुक्त मापांक में अंतःक्षेपण चुन सकता है और कोई प्रक्षेपी मापांक के लिए कुछ प्रमाणित करने के लिए इसका आधार उपयोग कर सकता है। यहां तक ​​कि कमजोर सामान्यीकरण भी समतल मापांक हैं, जिनके पास अभी भी गुण है जो उनके प्रदिश सटीक अनुक्रमों और मरोड़-मुक्त मापांक को संरक्षित करती है। यदि वलय में विशेष गुण हैं, तो यह पदानुक्रम ढह सकता है, उदाहरण के लिए, किसी भी संपूर्ण स्थानीय डेडेकाइंड वलय के लिए, प्रत्येक मरोड़-मुक्त मापांक सपाट, प्रक्षेपी और मुक्त भी है। क्रमविनिमेय PID ​​​​का एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मरोड़-मुक्त मापांक मुफ़्त है। निश्चित रूप से जनक किया गया Z-मापांक मुफ़्त है और केवल अगर यह समतल है।

स्थानीय वलय, आदर्श वलय और डेडेकाइंड वलय देखें।

यह भी देखें

• मुक्त वस्तु
• प्रक्षेप्य वस्तु
• मुफ्त प्रस्तुति
• मुक्त संकल्प
• क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय
• स्थिर रूप से मुक्त मापांक
• सामान्य निडरता

संदर्भ

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• Adamson, Iain T. (1972). Elementary Rings and Modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993.
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