समचतुर्भुज: Difference between revisions

Revision as of 12:40, 27 April 2023

Rhombohedron

Type	prism
Faces	6 rhombi
Edges	12
Vertices	8
Symmetry group	C_i , [2⁺,2⁺], (×), order 2
Properties	convex, equilateral, zonohedron, parallelohedron

ज्यामिति में, समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है ^[1] या, गलत विधि से, समचतुर्भुज) छह चेहरों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग समकोण जाली प्रणाली, परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। समकोण कोशिकाओं के साथ मधुकोश (ज्यामिति) को घनक्षेत्र समचतुर्भुज का विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ वर्गाकार होती हैं।

सामान्यतः समचतुर्भुज में तीन प्रकार के विषमकोण रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े C_i समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।

समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रा इस तरह से बन सकते हैं।^[2]

समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन के चार कोने बनाते हैं,

विषमकोणीय जालक तंत्र

रॉमबोहेड्रल लैटिस सिस्टम में रॉमबोहेड्रल कोशिकाएं होती हैं, जिसमें 6 सर्वांगसम रोम्बिक रूप होते हैं जो त्रिकोणीय समलम्ब चतुर्भुज बनाते हैं:

समरूपता द्वारा विशेष मामले

समचतुर्भुज के विशेष मामले

Form	Cube	Trigonal trapezohedron	Right rhombic prism	Oblique rhombic prism
Angle constraints	$\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }$	$\alpha =\beta =\gamma$	$\alpha =\beta =90^{\circ }$	$\alpha =\beta$
Symmetry	O_h order 48	D_3d order 12	D_2h order 8	C_2h order 4
Faces	6 squares	6 congruent rhombi	2 rhombi, 4 squares	6 rhombi

क्यूब: ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ|O_hसममिति, कोटि 48. सभी फलक वर्गाकार हैं।
त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी isohedral rhombohedron कहा जाता है):^[3] डी के साथ_3d समरूपता, क्रम 12। चेहरों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह घन को उसके शरीर-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत चेहरों पर जुड़े दो नियमित टेट्राहेड्रा वाला नियमित अष्टफलक 60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
'राइट रोम्बिक प्रिज्म': डी के साथ_2h समरूपता, क्रम 8। यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण प्रिज्म (ज्यामिति) एक साथ जुड़े होने से 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
'ओब्लिक रोम्बिक प्रिज्म': चक्रीय समरूपता के साथ|सी_2hसमरूपता, क्रम 4। इसमें चार शीर्षों और छह समचतुर्भुज चेहरों के माध्यम से समरूपता का केवल एक तल है।

ठोस ज्यामिति

इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक,^[3]समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ $\theta ~$ , मूल बिंदु (0, 0, 0) पर शीर्ष के साथ, और एक्स-अक्ष के साथ स्थित किनारे के साथ, तीन उत्पन्न करने वाले वैक्टर हैं

इ₁ :

{\biggl (}1,0,0{\biggr )},

यह है₂ :

{\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},

यह है₃ :

{\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta  \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.

अन्य निर्देशांक सदिश योग से प्राप्त किए जा सकते हैं^[4] 3 दिशा सदिशों में से: e₁ + और₂ , यह है₁ + और₃ , यह है₂ + और₃, और ई₁ + और₂ + और₃।

आयतन $V$ आइसोहेड्रल रॉमबोहेड्रॉन की, इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में $a$ और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण $\theta ~$ , समानांतर चतुर्भुज के आयतन का सरलीकरण है, और इसके द्वारा दिया गया है

V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.

हम मात्रा व्यक्त कर सकते हैं $V$ एक और तरीका :

V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.

जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है $a^{2}\sin \theta ~$ , और चूंकि समचतुर्भुज की ऊंचाई इसके आयतन को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करके दी जाती है, ऊंचाई $h$ इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में समफलकीय समचतुर्भुज का $a$ और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण $\theta$ द्वारा दिया गया है

h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.

टिप्पणी:

h=a~z

₃ , कहाँ

z

₃ e का तीसरा निर्देशांक है₃।

तीव्र-कोण वाले शीर्षों के बीच का शरीर विकर्ण सबसे लंबा होता है। उस विकर्ण के बारे में घूर्णी समरूपता के द्वारा, अन्य तीन शरीर विकर्ण, विपरीत अधिक कोण वाले शीर्षों के तीन जोड़े के बीच, सभी समान लंबाई के होते हैं।

यह भी देखें

आकृतियों की सूची

संदर्भ

↑ "David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra".
↑ Court, N. A. (October 1934), "Notes on the orthocentric tetrahedron", American Mathematical Monthly, 41 (8): 499–502, doi:10.2307/2300415, JSTOR 2300415.
↑ ^3.0 ^3.1 Lines, L (1965). Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. Dover Publications.
↑ "वेक्टर जोड़". Wolfram. 17 May 2016. Retrieved 17 May 2016.

बाहरी संबंध

[1] "David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra".

[:1-2] Court, N. A. (October 1934), "Notes on the orthocentric tetrahedron", American Mathematical Monthly, 41 (8): 499–502, doi:10.2307/2300415, JSTOR 2300415.

[:0-3] 3.0 ^3.1 Lines, L (1965). Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. Dover Publications.

[4] "वेक्टर जोड़". Wolfram. 17 May 2016. Retrieved 17 May 2016.

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[2]

[3]

[4]

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 |bgcolor=#e7dcc3|Properties||[[convex set|convex]], [[Equilateral polygon|equilateral]], [[zonohedron]], [[parallelohedron]]
 |}
-[[ज्यामिति]] में, एक समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है <ref>{{Cite web|url=http://www.origamiheaven.com/rhombicpolyhedra.htm|title = David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra}}</ref> या, गलत विधि से, एक समचतुर्भुज) छह चेहरों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का एक विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग [[rhombohedral जाली प्रणाली|समकोण जाली प्रणाली]], परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।  समकोण कोशिकाओं के साथ एक [[मधुकोश (ज्यामिति)]] को एक [[ घनक्षेत्र ]] एक समचतुर्भुज का एक विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ [[वर्ग|वर्गा]]कार होती हैं।
+[[ज्यामिति]] में,  समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है <ref>{{Cite web|url=http://www.origamiheaven.com/rhombicpolyhedra.htm|title = David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra}}</ref> या, गलत विधि से,  समचतुर्भुज) छह चेहरों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का  विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग [[rhombohedral जाली प्रणाली|समकोण जाली प्रणाली]], परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।  समकोण कोशिकाओं के साथ  [[मधुकोश (ज्यामिति)]] को  [[ घनक्षेत्र ]]  समचतुर्भुज का  विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ [[वर्ग|वर्गा]]कार होती हैं।
-सामान्यतः एक ''समचतुर्भुज'' में तीन प्रकार के [[विषमकोण]] रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े ''C''<sub>''i''</sub> समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।
+सामान्यतः  ''समचतुर्भुज'' में तीन प्रकार के [[विषमकोण]] रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े ''C''<sub>''i''</sub> समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।
-एक समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से एक [[ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन]] के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रा इस तरह से बन सकते हैं।<ref name=":1">{{citation|last=Court|first=N. A.|author-link=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>
+समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से  [[ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन]] के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रा इस तरह से बन सकते हैं।<ref name=":1">{{citation|last=Court|first=N. A.|author-link=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>
-'''एक समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से एक [[ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन]] के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रा इस तरह से बन सकते हैं।<ref name=":1" /><br />'''
+'''समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से  [[ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन]] के चार कोने बनाते हैं, <br />'''
 == विषमकोणीय जालक तंत्र ==
 {{main|Rhombohedral lattice system}}
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 |}
 * क्यूब: ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ|O<sub>h</sub>सममिति, कोटि 48. सभी फलक वर्गाकार हैं।
-* त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी isohedral rhombohedron कहा जाता है):<ref name=":0">{{Cite book|title=Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals|last=Lines|first=L|publisher=Dover Publications|year=1965}}</ref> डी के साथ<sub>3d</sub> समरूपता, क्रम 12। चेहरों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह एक घन को उसके शरीर-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत चेहरों पर जुड़े दो नियमित [[टेट्राहेड्रा]] वाला एक नियमित [[अष्टफलक]] एक 60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
+* त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी isohedral rhombohedron कहा जाता है):<ref name=":0">{{Cite book|title=Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals|last=Lines|first=L|publisher=Dover Publications|year=1965}}</ref> डी के साथ<sub>3d</sub> समरूपता, क्रम 12। चेहरों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह  घन को उसके शरीर-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत चेहरों पर जुड़े दो नियमित [[टेट्राहेड्रा]] वाला  नियमित [[अष्टफलक]]  60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
-* 'राइट [[रोम्बिक प्रिज्म]]': डी के साथ<sub>2h</sub> समरूपता, क्रम 8। यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे एक घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण [[प्रिज्म (ज्यामिति)]] एक साथ जुड़े होने से 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
+* 'राइट [[रोम्बिक प्रिज्म]]': डी के साथ<sub>2h</sub> समरूपता, क्रम 8। यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे  घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण [[प्रिज्म (ज्यामिति)]] एक साथ जुड़े होने से 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
 * 'ओब्लिक रोम्बिक प्रिज्म': चक्रीय समरूपता के साथ|सी<sub>2h</sub>समरूपता, क्रम 4। इसमें चार शीर्षों और छह समचतुर्भुज चेहरों के माध्यम से समरूपता का केवल एक तल है।
 == ठोस ज्यामिति ==
-एक इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक,<ref name=":0" />समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ <math>\theta~</math>, मूल बिंदु (0, 0, 0) पर एक शीर्ष के साथ, और एक्स-अक्ष के साथ स्थित एक किनारे के साथ, तीन उत्पन्न करने वाले वैक्टर हैं
+इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक,<ref name=":0" />समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ <math>\theta~</math>, मूल बिंदु (0, 0, 0) पर  शीर्ष के साथ, और एक्स-अक्ष के साथ स्थित  किनारे के साथ, तीन उत्पन्न करने वाले वैक्टर हैं
 :''इ<sub>1</sub>'' : <math>\biggl(1, 0, 0\biggr),</math>
@@ Line 70: / Line 70: @@
 अन्य निर्देशांक सदिश योग से प्राप्त किए जा सकते हैं<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/VectorAddition.html|title=वेक्टर जोड़|date=17 May 2016|publisher=Wolfram|access-date=17 May 2016}}</ref> 3 दिशा सदिशों में से: ''e<sub>1</sub>'' + '' और<sub>2</sub>'' , ''यह है<sub>1</sub>'' + '' और<sub>3</sub>'' , ''यह है<sub>2</sub>'' + '' और<sub>3</sub>'', और '' ई<sub>1</sub>'' + '' और<sub>2</sub>'' + '' और<sub>3</sub>''।
-आयतन <math>V</math> एक आइसोहेड्रल रॉमबोहेड्रॉन की, इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में <math>a</math> और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण <math>\theta~</math>, एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन का सरलीकरण है, और इसके द्वारा दिया गया है
+आयतन <math>V</math>  आइसोहेड्रल रॉमबोहेड्रॉन की, इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में <math>a</math> और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण <math>\theta~</math>,  समानांतर चतुर्भुज के आयतन का सरलीकरण है, और इसके द्वारा दिया गया है
 :<math>V = a^3(1-\cos\theta)\sqrt{1+2\cos\theta} = a^3\sqrt{(1-\cos\theta)^2(1+2\cos\theta)} = a^3\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta}~.</math>
@@ Line 76: / Line 76: @@
 :<math>V = 2\sqrt{3} ~ a^3 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)  \sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}~.</math>
-जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है <math>a^2\sin\theta~</math>, और चूंकि समचतुर्भुज की ऊंचाई इसके आयतन को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करके दी जाती है, ऊंचाई <math>h</math> इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में एक समफलकीय समचतुर्भुज का <math>a</math> और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण <math>\theta</math> द्वारा दिया गया है
+जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है <math>a^2\sin\theta~</math>, और चूंकि समचतुर्भुज की ऊंचाई इसके आयतन को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करके दी जाती है, ऊंचाई <math>h</math> इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में  समफलकीय समचतुर्भुज का <math>a</math> और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण <math>\theta</math> द्वारा दिया गया है
 :<math>h = a~{(1-\cos\theta)\sqrt{1+2\cos\theta} \over \sin\theta} = a~{\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta} \over \sin\theta}~.</math>

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