कॉन्फ़्रेंस आव्यूह: Difference between revisions

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गणित में, एक कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स (जिसे C-मैट्रिक्स भी कहा जाता है) एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)]] ''C'' है, जिसमें विकर्ण पर 0 और विकर्ण पर +1 और -1 है, जैसे कि ''C''<sup>T</sup>C पहचान मैट्रिक्स I का गुणक है। इस प्रकार, यदि मैट्रिक्स का क्रम n, C है<sup>टी</sup>सी = (n−1)I.
गणित में, एक अधिवेशन आव्यूह (जिसे C-आव्यूह भी कहा जाता है) एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] ''C'' है, जिसमें विकर्ण पर 0 और विकर्ण पर +1 और -1 है, जैसे कि ''C''<sup>T</sup>C तत्समक आव्यूह का गुणक है। इस प्रकार, यदि आव्यूह का क्रम n, ''C''<sup>T</sup>''C'' = (''n''−1)''I'' हैI कुछ लेखक अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में एक 0 हो, लेकिन जरूरी नहीं कि विकर्ण पर हो।<ref>{{cite journal | doi = 10.1016/j.jcta.2005.05.005 | volume=113 | issue=4 | title= On the coexistence of conference matrices and near resolvable 2-(2k+1,k,k-1) designs | year=2006 | journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A | pages=703–711 | author=Greig Malcolm| doi-access=free }}</ref><ref name="Gropp">{{cite journal | author = Gropp Harald | year = 2004 | title = कक्षीय मेट्रिसेस पर अधिक| journal = Electronic Notes in Discrete Mathematics | volume = 17 | pages = 179–183 | doi = 10.1016/j.endm.2004.03.036 }}</ref>
कुछ लेखक अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में एक 0 हो, लेकिन जरूरी नहीं कि विकर्ण पर हो।<ref>{{cite journal | doi = 10.1016/j.jcta.2005.05.005 | volume=113 | issue=4 | title= On the coexistence of conference matrices and near resolvable 2-(2k+1,k,k-1) designs | year=2006 | journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A | pages=703–711 | author=Greig Malcolm| doi-access=free }}</ref><ref name="Gropp">{{cite journal | author = Gropp Harald | year = 2004 | title = कक्षीय मेट्रिसेस पर अधिक| journal = Electronic Notes in Discrete Mathematics | volume = 17 | pages = 179–183 | doi = 10.1016/j.endm.2004.03.036 }}</ref>
[[ टेलीफ़ोनी ]] में एक समस्या के संबंध में सबसे पहले कॉन्फ़्रेंस मैट्रिसेस सामने आए।<ref name="Belevitch" >Belevitch, pp. 231-244.</ref> उन्हें सबसे पहले [[विटोल्ड बेलेविच]] ने वर्णित किया, जिन्होंने उन्हें अपना नाम भी दिया। बेलेविच को आदर्श [[ट्रांसफार्मर]] से आदर्श [[टेलीफोन वार्ता]] नेटवर्क बनाने में दिलचस्पी थी और उन्होंने पाया कि इस तरह के नेटवर्क को कॉन्फ़्रेंस मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया था, इसलिए नाम।<ref>Colbourn and Dinitz, (2007), p.19<br />van Lint and Wilson, (2001), p.98<br />Stinson, (2004), p.200</ref> अन्य अनुप्रयोग सांख्यिकी में हैं,<ref name="Raghavarao">{{cite journal |author=Raghavarao, D. |year=1959 |title=कुछ इष्टतम वजन डिजाइन|journal=[[Annals of Mathematical Statistics]] |volume=30 |issue=2 |pages=295–303 |doi=10.1214/aoms/1177706253 |mr=0104322|doi-access=free }}</ref> और दूसरा [[अण्डाकार ज्यामिति]] में है।<ref name="vL">{{cite journal | author = van Lint J.H., Seidel J.J. | year = 1966 | title = अण्डाकार ज्यामिति में समबाहु बिंदु सेट| journal = Indagationes Mathematicae | volume = 28 | pages = 335–348 }}</ref>
n > 1 के लिए, कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स दो तरह के होते हैं। आइए सी को सामान्य करें, पहले (यदि अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है), पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि सभी शून्य विकर्ण पर हों, और फिर किसी भी पंक्ति या स्तंभ को अस्वीकार कर दें जिसकी पहली प्रविष्टि नकारात्मक है। (ये ऑपरेशन नहीं बदलते हैं कि मैट्रिक्स एक कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स है या नहीं।)
इस प्रकार, एक सामान्यीकृत सम्मेलन मैट्रिक्स में इसकी पहली पंक्ति और कॉलम में सभी 1 हैं, शीर्ष बाएं कोने में 0 को छोड़कर, और विकर्ण पर 0 है। S को वह मैट्रिक्स होने दें जो C की पहली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिए जाने पर बना रहता है। फिर या तो n एकल और दोगुना सम (4 का एक गुणक) है, और S प्रति[[सममित मैट्रिक्स]] है (जैसा कि सामान्यीकृत C है यदि इसकी पहली पंक्ति को नकारा गया है), या n एकल और दोगुना भी है (2 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप) और S सममित मैट्रिक्स है (जैसा सामान्यीकृत सी है)।


== सममित सम्मेलन मैट्रिसेस ==
[[ टेलीफ़ोनी |दूरभाषण]] में एक समस्या के संबंध में सबसे पहले अधिवेशन आव्यूह सामने आए।<ref name="Belevitch">Belevitch, pp. 231-244.</ref> उन्हें सबसे पहले [[विटोल्ड बेलेविच]] ने वर्णित किया, जिन्होंने उन्हें अपना नाम भी दिया। बेलेविच को आदर्श [[ट्रांसफार्मर|परिणामित्र]] से आदर्श [[टेलीफोन वार्ता]] संजाल बनाने में संबद्ध थी और उन्होंने पाया कि इस तरह के संजाल को अधिवेशन आव्यूह द्वारा दर्शा'''या गया था''' <ref>Colbourn and Dinitz, (2007), p.19<br />van Lint and Wilson, (2001), p.98<br />Stinson, (2004), p.200</ref> अन्य अनुप्रयोग सांख्यिकी में हैं,<ref name="Raghavarao">{{cite journal |author=Raghavarao, D. |year=1959 |title=कुछ इष्टतम वजन डिजाइन|journal=[[Annals of Mathematical Statistics]] |volume=30 |issue=2 |pages=295–303 |doi=10.1214/aoms/1177706253 |mr=0104322|doi-access=free }}</ref> और दूसरा [[अण्डाकार ज्यामिति]] में है।<ref name="vL">{{cite journal | author = van Lint J.H., Seidel J.J. | year = 1966 | title = अण्डाकार ज्यामिति में समबाहु बिंदु सेट| journal = Indagationes Mathematicae | volume = 28 | pages = 335–348 }}</ref>
n > 1 के लिए, अधिवेशन आव्यूह दो तरह के होते हैं। आइए सी को सामान्य करें, पहले (यदि अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है), पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि सभी शून्य विकर्ण पर हों, और फिर किसी भी पंक्ति या स्तंभ को अस्वीकार कर दें जिसकी पहली प्रविष्टि नकारात्मक है। (ये ऑपरेशन नहीं बदलते हैं कि आव्यूह एक अधिवेशन आव्यूह है या नहीं।)
इस प्रकार, एक सामान्यीकृत सम्मेलन आव्यूह में इसकी पहली पंक्ति और कॉलम में सभी 1 हैं, शीर्ष बाएं कोने में 0 को छोड़कर, और विकर्ण पर 0 है। S को वह आव्यूह होने दें जो C की पहली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिए जाने पर बना रहता है। फिर या तो n एकल और दोगुना सम (4 का एक गुणक) है, और S प्रति[[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] है (जैसा कि सामान्यीकृत C है यदि इसकी पहली पंक्ति को नकारा गया है), या n एकल और दोगुना भी है (2 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप) और S सममित आव्यूह है (जैसा सामान्यीकृत सी है)।


यदि C क्रम n > 1 का एक सममित कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स है, तो n को न केवल 2 (mod 4) के अनुरूप होना चाहिए, बल्कि n − 1 को भी दो वर्ग पूर्णांकों का योग होना चाहिए;<ref>Belevitch, p.240</ref> वैन लिंट और सेडेल में प्राथमिक मैट्रिक्स सिद्धांत द्वारा एक चतुर प्रमाण है।<ref name="vL" />  n हमेशा दो वर्गों का योग होगा यदि n − 1 एक अभाज्य शक्ति है।<ref>Stinson, p.78</ref>
== सममित सम्मेलन आव्यूह ==
एक सममित कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स को देखते हुए, मैट्रिक्स S को ग्राफ़ (असतत गणित) के सेडेल आसन्न मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है। ग्राफ़ में n − 1 शीर्ष हैं, जो S की पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप हैं, और यदि S में संगत प्रविष्टि ऋणात्मक है, तो दो शीर्ष आसन्न हैं। यह ग्राफ़ [[सम्मेलन ग्राफ]] (मैट्रिक्स के बाद) नामक प्रकार का [[दृढ़ता से नियमित ग्राफ]]़ है।


उपरोक्त प्रतिबंधों द्वारा अनुमत ऑर्डर n के कॉन्फ़्रेंस मैट्रिसेस का अस्तित्व केवल n के कुछ मानों के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि n = q + 1 जहां q 1 (मॉड 4) के अनुरूप एक प्रमुख शक्ति है, तो Paley ग्राफ़ S को Paley ग्राफ़ के सेडेल मैट्रिक्स होने के लिए आदेश n के सममित सम्मेलन मैट्रिसेस के उदाहरण प्रदान करते हैं।
यदि C क्रम n > 1 का एक सममित अधिवेशन आव्यूह है, तो n को न केवल 2 (mod 4) के अनुरूप होना चाहिए, बल्कि n − 1 को भी दो वर्ग पूर्णांकों का योग होना चाहिए;<ref>Belevitch, p.240</ref> वैन लिंट और सेडेल में प्राथमिक आव्यूह सिद्धांत द्वारा एक चतुर प्रमाण है।<ref name="vL" />  n हमेशा दो वर्गों का योग होगा यदि n − 1 एक अभाज्य शक्ति है।<ref>Stinson, p.78</ref>
एक सममित कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स के पहले कुछ संभावित आदेश हैं n = 2, 6, 10, 14, 18, (22 नहीं, क्योंकि 21 दो वर्गों का योग नहीं है), 26, 30, (34 नहीं क्योंकि 33 एक नहीं है दो वर्गों का योग), 38, 42, 46, 50, 54, (58 नहीं), 62 {{OEIS|id=A000952}}; इनमें से प्रत्येक के लिए, यह ज्ञात है कि उस क्रम का एक सममित सम्मेलन मैट्रिक्स मौजूद है। आदेश 66 एक खुली समस्या प्रतीत होती है।
एक सममित अधिवेशन आव्यूह को देखते हुए, आव्यूह S को ग्राफ़ (असतत गणित) के सेडेल आसन्न आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है। ग्राफ़ में n − 1 शीर्ष हैं, जो S की पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप हैं, और यदि S में संगत प्रविष्टि ऋणात्मक है, तो दो शीर्ष आसन्न हैं। यह ग्राफ़ [[सम्मेलन ग्राफ]] (आव्यूह के बाद) नामक प्रकार का [[दृढ़ता से नियमित ग्राफ]]़ है।
 
उपरोक्त प्रतिबंधों द्वारा अनुमत ऑर्डर n के अधिवेशन आव्यूह का अस्तित्व केवल n के कुछ मानों के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि n = q + 1 जहां q 1 (मॉड 4) के अनुरूप एक प्रमुख शक्ति है, तो Paley ग्राफ़ S को Paley ग्राफ़ के सेडेल आव्यूह होने के लिए आदेश n के सममित सम्मेलन आव्यूह के उदाहरण प्रदान करते हैं।
एक सममित अधिवेशन आव्यूह के पहले कुछ संभावित आदेश हैं n = 2, 6, 10, 14, 18, (22 नहीं, क्योंकि 21 दो वर्गों का योग नहीं है), 26, 30, (34 नहीं क्योंकि 33 एक नहीं है दो वर्गों का योग), 38, 42, 46, 50, 54, (58 नहीं), 62 {{OEIS|id=A000952}}; इनमें से प्रत्येक के लिए, यह ज्ञात है कि उस क्रम का एक सममित सम्मेलन आव्यूह मौजूद है। आदेश 66 एक खुली समस्या प्रतीत होती है।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
ऑर्डर 6 का [[अनिवार्य रूप से अद्वितीय]] सम्मेलन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है
ऑर्डर 6 का [[अनिवार्य रूप से अद्वितीय]] सम्मेलन आव्यूह द्वारा दिया गया है
:<math>\begin{pmatrix}0 &+1 &+1 &+1 &+1& +1\\+1& 0 &+1 &-1 &-1& +1\\+1& +1& 0 &+1 &-1& -1\\+1& -1& +1& 0 &+1& -1\\+1& -1& -1& +1& 0& +1\\+1& +1& -1& -1& +1& 0 \end{pmatrix}</math>,
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ऑर्डर 6 के अन्य सभी कॉन्फ़्रेंस मैट्रिसेस कुछ पंक्ति और/या कॉलम के संकेतों को फ़्लिप करके (और उपयोग में परिभाषा के अनुसार पंक्तियों और/या कॉलम के क्रमपरिवर्तन लेकर) प्राप्त किए जाते हैं।
ऑर्डर 6 के अन्य सभी अधिवेशन आव्यूह कुछ पंक्ति और/या कॉलम के संकेतों को फ़्लिप करके (और उपयोग में परिभाषा के अनुसार पंक्तियों और/या कॉलम के क्रमपरिवर्तन लेकर) प्राप्त किए जाते हैं।


== एंटीसिमेट्रिक कॉन्फ्रेंस मेट्रिसेस ==
== एंटीसिमेट्रिक कॉन्फ्रेंस मेट्रिसेस ==


पाले निर्माण द्वारा [[एंटीसिमेट्रिक मेट्रिसेस]] भी तैयार किए जा सकते हैं। क्यू को अवशेष 3 (मॉड 4) के साथ एक प्रमुख शक्ति होने दें। फिर ऑर्डर q का एक पाले ग्राफ है जो ऑर्डर n = q + 1 के एक एंटीसिमेट्रिक कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स की ओर जाता है। मैट्रिक्स S के लिए q × q मैट्रिक्स ले कर प्राप्त किया जाता है जिसकी स्थिति (i, j) में +1 है और −1 स्थिति में (j,i) यदि i से j तक डिग्राफ का एक चाप है, और शून्य विकर्ण है। फिर C का निर्माण S से ऊपर के रूप में किया गया है, लेकिन पहली पंक्ति के साथ सभी नकारात्मक, एक एंटीसिमेट्रिक कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स है।
पाले निर्माण द्वारा [[एंटीसिमेट्रिक मेट्रिसेस]] भी तैयार किए जा सकते हैं। क्यू को अवशेष 3 (मॉड 4) के साथ एक प्रमुख शक्ति होने दें। फिर ऑर्डर q का एक पाले ग्राफ है जो ऑर्डर n = q + 1 के एक एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह की ओर जाता है। आव्यूह S के लिए q × q आव्यूह ले कर प्राप्त किया जाता है जिसकी स्थिति (i, j) में +1 है और −1 स्थिति में (j,i) यदि i से j तक डिग्राफ का एक चाप है, और शून्य विकर्ण है। फिर C का निर्माण S से ऊपर के रूप में किया गया है, लेकिन पहली पंक्ति के साथ सभी नकारात्मक, एक एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह है।


यह निर्माण निर्णय लेने की समस्या का केवल एक छोटा सा हिस्सा हल करता है जिसके लिए समान रूप से n संख्याएँ n क्रम के एंटीसिमेट्रिक कॉन्फ़्रेंस मैट्रिसेस मौजूद हैं।
यह निर्माण निर्णय लेने की समस्या का केवल एक छोटा सा हिस्सा हल करता है जिसके लिए समान रूप से n संख्याएँ n क्रम के एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह मौजूद हैं।


== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
कभी-कभी क्रम n के कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स को केवल W(n, n−1) के रूप के भार मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां
कभी-कभी क्रम n के अधिवेशन आव्यूह को केवल W(n, n−1) के रूप के भार आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां
W(n,w) को भार w>0 और क्रम n का कहा जाता है, यदि यह आकार n का एक [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] है जिसमें {−1, 0, +1} की प्रविष्टियाँ W W को संतुष्ट करती हैं<sup>टी </सुप> = डब्ल्यू मैं।<ref name="Gropp" />इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, शून्य तत्व को विकर्ण पर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह देखना आसान है कि फिर भी प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्य तत्व होना चाहिए। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स
W(n,w) को भार w>0 और क्रम n का कहा जाता है, यदि यह आकार n का एक [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर आव्यूह]] है जिसमें {−1, 0, +1} की प्रविष्टियाँ W W को संतुष्ट करती हैं<sup>टी </सुप> = डब्ल्यू मैं।<ref name="Gropp" />इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, शून्य तत्व को विकर्ण पर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह देखना आसान है कि फिर भी प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्य तत्व होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आव्यूह
:<math>\begin{pmatrix}1& 0& 1& 1\\0& -1& -1& 1\\ 1& -1& 0& -1\\ 1& 1& -1& 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix}1& 0& 1& 1\\0& -1& -1& 1\\ 1& -1& 0& -1\\ 1& 1& -1& 0 \end{pmatrix}</math>
इस आराम की परिभाषा को संतुष्ट करेगा, लेकिन अधिक सख्त नहीं, जिसके लिए शून्य तत्वों को विकर्ण पर होना आवश्यक है।
इस आराम की परिभाषा को संतुष्ट करेगा, लेकिन अधिक सख्त नहीं, जिसके लिए शून्य तत्वों को विकर्ण पर होना आवश्यक है।


कॉन्फ़्रेंस डिज़ाइन गैर-आयताकार मैट्रिसेस के लिए कॉन्फ़्रेंस मैट्रिसेस का सामान्यीकरण है। एक सम्मेलन डिजाइन सी एक है <math>N \times k</math> मैट्रिक्स, {-1, 0, +1} से प्रविष्टियों के साथ संतोषजनक <math>W^T W = (N-1) I_k</math>, कहाँ
अधिवेशन डिज़ाइन गैर-आयताकार आव्यूह के लिए अधिवेशन आव्यूह का सामान्यीकरण है। एक सम्मेलन डिजाइन सी एक है <math>N \times k</math> आव्यूह, {-1, 0, +1} से प्रविष्टियों के साथ संतोषजनक <math>W^T W = (N-1) I_k</math>, कहाँ
<math>I_k</math> है <math>k \times k</math> पहचान मैट्रिक्स और प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम एक शून्य।
<math>I_k</math> है <math>k \times k</math> तत्समक आव्यूह और प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम एक शून्य।
कॉन्फ़्रेंस डिज़ाइनों के फोल्डओवर डिज़ाइनों को निश्चित स्क्रीनिंग डिज़ाइनों के रूप में उपयोग किया जा सकता है।<ref>Xiao et al. (2012)</ref><ref>Schoen et al. (2018)</ref>
अधिवेशन डिज़ाइनों के फोल्डओवर डिज़ाइनों को निश्चित स्क्रीनिंग डिज़ाइनों के रूप में उपयोग किया जा सकता है।<ref>Xiao et al. (2012)</ref><ref>Schoen et al. (2018)</ref>




== टेलीफोन कॉन्फ़्रेंस सर्किट ==
== टेलीफोन अधिवेशन सर्किट ==
[[File:Conference matrix 2-port.svg|thumb|100px|तुच्छ 2-पोर्ट सम्मेलन नेटवर्क]]बेलेविच ने 38 तक एन के सभी मूल्यों के लिए कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स के लिए पूर्ण समाधान प्राप्त किया और कुछ छोटे मैट्रिक्स के लिए सर्किट प्रदान किए। एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क वह है जहां सिग्नल का नुकसान पूरी तरह से कई कॉन्फ़्रेंस सब्सक्राइबर पोर्ट के बीच सिग्नल के विभाजन के कारण होता है। यही है, नेटवर्क के भीतर कोई अपव्यय हानि नहीं होती है। नेटवर्क में केवल आदर्श ट्रांसफार्मर होने चाहिए और कोई प्रतिरोध नहीं होना चाहिए। एक एन-पोर्ट आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क मौजूद है अगर और केवल तभी ऑर्डर एन के कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, टेलीफोन हैंडसेट और लाइन रिपीटर्स में 2-वायर से 4-वायर रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रसिद्ध [[हाइब्रिड ट्रांसफॉर्मर]] सर्किट के साथ 3-पोर्ट कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क का निर्माण किया जा सकता है। हालाँकि, कोई ऑर्डर 3 कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स नहीं है और यह सर्किट एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क नहीं बनाता है। मैचिंग के लिए एक रेजिस्टेंस की जरूरत होती है जो सिग्नल को खत्म कर देता है, वरना मिसमैच के कारण सिग्नल खो जाता है।<ref>Belevitch, pp.240-242</ref>
[[File:Conference matrix 2-port.svg|thumb|100px|तुच्छ 2-पोर्ट सम्मेलन संजाल]]बेलेविच ने 38 तक एन के सभी मूल्यों के लिए कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स के लिए पूर्ण समाधान प्राप्त किया और कुछ छोटे मैट्रिक्स के लिए सर्किट प्रदान किए। एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क वह है जहां सिग्नल का नुकसान पूरी तरह से कई कॉन्फ़्रेंस सब्सक्राइबर पोर्ट के बीच सिग्नल के विभाजन के कारण होता है। यही है, नेटवर्क के भीतर कोई अपव्यय हानि नहीं होती है। नेटवर्क में केवल आदर्श ट्रांसफार्मर होने चाहिए और कोई प्रतिरोध नहीं होना चाहिए। एक एन-पोर्ट आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क मौजूद है अगर और केवल तभी ऑर्डर एन के कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, टेलीफोन हैंडसेट और लाइन रिपीटर्स में 2-वायर से 4-वायर रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रसिद्ध [[हाइब्रिड ट्रांसफॉर्मर]] सर्किट के साथ 3-पोर्ट कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क का निर्माण किया जा सकता है। हालाँकि, कोई ऑर्डर 3 कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स नहीं है और यह सर्किट एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क नहीं बनाता है। मैचिंग के लिए एक रेजिस्टेंस की जरूरत होती है जो सिग्नल को खत्म कर देता है, वरना मिसमैच के कारण सिग्नल खो जाता है।<ref>Belevitch, pp.240-242</ref>
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जैसा ऊपर बताया गया है, सम्मेलन मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि n−1 दो वर्गों का योग होना चाहिए। जहां n-1 के लिए दो वर्गों का एक से अधिक संभावित योग है, वहां संबंधित कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क के लिए कई अनिवार्य रूप से अलग-अलग समाधान मौजूद होंगे। यह स्थिति 26 और 66 के n पर होती है। नेटवर्क विशेष रूप से सरल होते हैं जब n−1 एक पूर्ण वर्ग (n = 2, 10, 26, ...) होता है।<ref>Belevitch, p.242</ref>
जैसा ऊपर बताया गया है, सम्मेलन आव्यूह के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि n−1 दो वर्गों का योग होना चाहिए। जहां n-1 के लिए दो वर्गों का एक से अधिक संभावित योग है, वहां संबंधित अधिवेशन संजाल के लिए कई अनिवार्य रूप से अलग-अलग समाधान मौजूद होंगे। यह स्थिति 26 और 66 के n पर होती है। संजाल विशेष रूप से सरल होते हैं जब n−1 एक पूर्ण वर्ग (n = 2, 10, 26, ...) होता है।<ref>Belevitch, p.242</ref>




Revision as of 23:59, 10 May 2023

गणित में, एक अधिवेशन आव्यूह (जिसे C-आव्यूह भी कहा जाता है) एक वर्ग आव्यूह (गणित) C है, जिसमें विकर्ण पर 0 और विकर्ण पर +1 और -1 है, जैसे कि CTC तत्समक आव्यूह का गुणक है। इस प्रकार, यदि आव्यूह का क्रम n, CTC = (n−1)I हैI कुछ लेखक अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में एक 0 हो, लेकिन जरूरी नहीं कि विकर्ण पर हो।[1][2]

दूरभाषण में एक समस्या के संबंध में सबसे पहले अधिवेशन आव्यूह सामने आए।[3] उन्हें सबसे पहले विटोल्ड बेलेविच ने वर्णित किया, जिन्होंने उन्हें अपना नाम भी दिया। बेलेविच को आदर्श परिणामित्र से आदर्श टेलीफोन वार्ता संजाल बनाने में संबद्ध थी और उन्होंने पाया कि इस तरह के संजाल को अधिवेशन आव्यूह द्वारा दर्शाया गया था [4] अन्य अनुप्रयोग सांख्यिकी में हैं,[5] और दूसरा अण्डाकार ज्यामिति में है।[6] n > 1 के लिए, अधिवेशन आव्यूह दो तरह के होते हैं। आइए सी को सामान्य करें, पहले (यदि अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है), पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि सभी शून्य विकर्ण पर हों, और फिर किसी भी पंक्ति या स्तंभ को अस्वीकार कर दें जिसकी पहली प्रविष्टि नकारात्मक है। (ये ऑपरेशन नहीं बदलते हैं कि आव्यूह एक अधिवेशन आव्यूह है या नहीं।) इस प्रकार, एक सामान्यीकृत सम्मेलन आव्यूह में इसकी पहली पंक्ति और कॉलम में सभी 1 हैं, शीर्ष बाएं कोने में 0 को छोड़कर, और विकर्ण पर 0 है। S को वह आव्यूह होने दें जो C की पहली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिए जाने पर बना रहता है। फिर या तो n एकल और दोगुना सम (4 का एक गुणक) है, और S प्रतिसममित आव्यूह है (जैसा कि सामान्यीकृत C है यदि इसकी पहली पंक्ति को नकारा गया है), या n एकल और दोगुना भी है (2 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप) और S सममित आव्यूह है (जैसा सामान्यीकृत सी है)।

सममित सम्मेलन आव्यूह

यदि C क्रम n > 1 का एक सममित अधिवेशन आव्यूह है, तो n को न केवल 2 (mod 4) के अनुरूप होना चाहिए, बल्कि n − 1 को भी दो वर्ग पूर्णांकों का योग होना चाहिए;[7] वैन लिंट और सेडेल में प्राथमिक आव्यूह सिद्धांत द्वारा एक चतुर प्रमाण है।[6] n हमेशा दो वर्गों का योग होगा यदि n − 1 एक अभाज्य शक्ति है।[8] एक सममित अधिवेशन आव्यूह को देखते हुए, आव्यूह S को ग्राफ़ (असतत गणित) के सेडेल आसन्न आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है। ग्राफ़ में n − 1 शीर्ष हैं, जो S की पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप हैं, और यदि S में संगत प्रविष्टि ऋणात्मक है, तो दो शीर्ष आसन्न हैं। यह ग्राफ़ सम्मेलन ग्राफ (आव्यूह के बाद) नामक प्रकार का दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ है।

उपरोक्त प्रतिबंधों द्वारा अनुमत ऑर्डर n के अधिवेशन आव्यूह का अस्तित्व केवल n के कुछ मानों के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि n = q + 1 जहां q 1 (मॉड 4) के अनुरूप एक प्रमुख शक्ति है, तो Paley ग्राफ़ S को Paley ग्राफ़ के सेडेल आव्यूह होने के लिए आदेश n के सममित सम्मेलन आव्यूह के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक सममित अधिवेशन आव्यूह के पहले कुछ संभावित आदेश हैं n = 2, 6, 10, 14, 18, (22 नहीं, क्योंकि 21 दो वर्गों का योग नहीं है), 26, 30, (34 नहीं क्योंकि 33 एक नहीं है दो वर्गों का योग), 38, 42, 46, 50, 54, (58 नहीं), 62 (sequence A000952 in the OEIS); इनमें से प्रत्येक के लिए, यह ज्ञात है कि उस क्रम का एक सममित सम्मेलन आव्यूह मौजूद है। आदेश 66 एक खुली समस्या प्रतीत होती है।

उदाहरण

ऑर्डर 6 का अनिवार्य रूप से अद्वितीय सम्मेलन आव्यूह द्वारा दिया गया है

,

ऑर्डर 6 के अन्य सभी अधिवेशन आव्यूह कुछ पंक्ति और/या कॉलम के संकेतों को फ़्लिप करके (और उपयोग में परिभाषा के अनुसार पंक्तियों और/या कॉलम के क्रमपरिवर्तन लेकर) प्राप्त किए जाते हैं।

एंटीसिमेट्रिक कॉन्फ्रेंस मेट्रिसेस

पाले निर्माण द्वारा एंटीसिमेट्रिक मेट्रिसेस भी तैयार किए जा सकते हैं। क्यू को अवशेष 3 (मॉड 4) के साथ एक प्रमुख शक्ति होने दें। फिर ऑर्डर q का एक पाले ग्राफ है जो ऑर्डर n = q + 1 के एक एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह की ओर जाता है। आव्यूह S के लिए q × q आव्यूह ले कर प्राप्त किया जाता है जिसकी स्थिति (i, j) में +1 है और −1 स्थिति में (j,i) यदि i से j तक डिग्राफ का एक चाप है, और शून्य विकर्ण है। फिर C का निर्माण S से ऊपर के रूप में किया गया है, लेकिन पहली पंक्ति के साथ सभी नकारात्मक, एक एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह है।

यह निर्माण निर्णय लेने की समस्या का केवल एक छोटा सा हिस्सा हल करता है जिसके लिए समान रूप से n संख्याएँ n क्रम के एंटीसिमेट्रिक अधिवेशन आव्यूह मौजूद हैं।

सामान्यीकरण

कभी-कभी क्रम n के अधिवेशन आव्यूह को केवल W(n, n−1) के रूप के भार आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां W(n,w) को भार w>0 और क्रम n का कहा जाता है, यदि यह आकार n का एक स्क्वायर आव्यूह है जिसमें {−1, 0, +1} की प्रविष्टियाँ W W को संतुष्ट करती हैंटी </सुप> = डब्ल्यू मैं।[2]इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, शून्य तत्व को विकर्ण पर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह देखना आसान है कि फिर भी प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्य तत्व होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आव्यूह

इस आराम की परिभाषा को संतुष्ट करेगा, लेकिन अधिक सख्त नहीं, जिसके लिए शून्य तत्वों को विकर्ण पर होना आवश्यक है।

अधिवेशन डिज़ाइन गैर-आयताकार आव्यूह के लिए अधिवेशन आव्यूह का सामान्यीकरण है। एक सम्मेलन डिजाइन सी एक है आव्यूह, {-1, 0, +1} से प्रविष्टियों के साथ संतोषजनक , कहाँ है तत्समक आव्यूह और प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम एक शून्य। अधिवेशन डिज़ाइनों के फोल्डओवर डिज़ाइनों को निश्चित स्क्रीनिंग डिज़ाइनों के रूप में उपयोग किया जा सकता है।[9][10]


टेलीफोन अधिवेशन सर्किट

तुच्छ 2-पोर्ट सम्मेलन संजाल

बेलेविच ने 38 तक एन के सभी मूल्यों के लिए कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स के लिए पूर्ण समाधान प्राप्त किया और कुछ छोटे मैट्रिक्स के लिए सर्किट प्रदान किए। एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क वह है जहां सिग्नल का नुकसान पूरी तरह से कई कॉन्फ़्रेंस सब्सक्राइबर पोर्ट के बीच सिग्नल के विभाजन के कारण होता है। यही है, नेटवर्क के भीतर कोई अपव्यय हानि नहीं होती है। नेटवर्क में केवल आदर्श ट्रांसफार्मर होने चाहिए और कोई प्रतिरोध नहीं होना चाहिए। एक एन-पोर्ट आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क मौजूद है अगर और केवल तभी ऑर्डर एन के कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, टेलीफोन हैंडसेट और लाइन रिपीटर्स में 2-वायर से 4-वायर रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रसिद्ध हाइब्रिड ट्रांसफॉर्मर सर्किट के साथ 3-पोर्ट कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क का निर्माण किया जा सकता है। हालाँकि, कोई ऑर्डर 3 कॉन्फ़्रेंस मैट्रिक्स नहीं है और यह सर्किट एक आदर्श कॉन्फ़्रेंस नेटवर्क नहीं बनाता है। मैचिंग के लिए एक रेजिस्टेंस की जरूरत होती है जो सिग्नल को खत्म कर देता है, वरना मिसमैच के कारण सिग्नल खो जाता है।[11]

  • Belevitch's implementation of the 6-port ideal conference network

    Belevitch's implementation of the 6-port ideal conference network

  • Belevitch's implementation of the 10-port ideal conference network

    Belevitch's implementation of the 10-port ideal conference network

जैसा ऊपर बताया गया है, सम्मेलन आव्यूह के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि n−1 दो वर्गों का योग होना चाहिए। जहां n-1 के लिए दो वर्गों का एक से अधिक संभावित योग है, वहां संबंधित अधिवेशन संजाल के लिए कई अनिवार्य रूप से अलग-अलग समाधान मौजूद होंगे। यह स्थिति 26 और 66 के n पर होती है। संजाल विशेष रूप से सरल होते हैं जब n−1 एक पूर्ण वर्ग (n = 2, 10, 26, ...) होता है।[12]


टिप्पणियाँ

  1. ↑ Greig Malcolm (2006). "On the coexistence of conference matrices and near resolvable 2-(2k+1,k,k-1) designs". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 113 (4): 703–711. doi:10.1016/j.jcta.2005.05.005.
  2. ↑ 2.0 2.1 Gropp Harald (2004). "कक्षीय मेट्रिसेस पर अधिक". Electronic Notes in Discrete Mathematics. 17: 179–183. doi:10.1016/j.endm.2004.03.036.
  3. ↑ Belevitch, pp. 231-244.
  4. ↑ Colbourn and Dinitz, (2007), p.19
    van Lint and Wilson, (2001), p.98
    Stinson, (2004), p.200
  5. ↑ Raghavarao, D. (1959). "कुछ इष्टतम वजन डिजाइन". Annals of Mathematical Statistics. 30 (2): 295–303. doi:10.1214/aoms/1177706253. MR 0104322.
  6. ↑ 6.0 6.1 van Lint J.H., Seidel J.J. (1966). "अण्डाकार ज्यामिति में समबाहु बिंदु सेट". Indagationes Mathematicae. 28: 335–348.
  7. ↑ Belevitch, p.240
  8. ↑ Stinson, p.78
  9. ↑ Xiao et al. (2012)
  10. ↑ Schoen et al. (2018)
  11. ↑ Belevitch, pp.240-242
  12. ↑ Belevitch, p.242


संदर्भ

  • Belevitch V (1950). "Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony". Electrical Communication. 27: 231–244.
  • Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). "Orthogonal matrices with zero diagonal". Canadian Journal of Mathematics. 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. S2CID 197456608.
  • Lili Xiao and Dennis K. J. Lin and Fengshan Bai (2012). "Constructing Definitive Screening Designs Using Conference Matrices". Journal of Quality Technology. 44 (1): 2–8. doi:10.1080/00224065.2012.11917877. S2CID 116145147.
  • Seidel, J.J. (1991), ed. D.G. Corneil and R. Mathon, Geometry and Combinatorics: Selected Works of J.J. Seidel. Boston: Academic Press. Several of the articles are related to conference matrices and their graphs.
  • Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007) Handbook of Combinatorial Designs, Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-506-8.
  • van Lint, Jacobus Hendricus; Wilson, Richard Michael (2001) A Course in Combinatorics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-00601-5.
  • Stinson, Douglas Robert (2004) Combinatorial Designs: Constructions and Analysis, New York: Springer, ISBN 0-387-95487-2.
  • Eric D. Schoen, Pieter T. Eendebak, Peter Goos (2018). "A Classification Criterion for Definitive Screening Designs". Annals of Statistics.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)


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