बीजगणितीय स्टैक

गणित में, एक बीजगणितीय ढेर बीजगणितीय रिक्त स्थान, या योजना (गणित) का एक विशाल सामान्यीकरण है, जो मॉड्यूल सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए आधारभूत हैं। बीजगणितीय स्टैक के लिए विशिष्ट तकनीकों का उपयोग करके कई मोडुली रिक्त स्थान बनाए जाते हैं, जैसे कि आर्टिन की कसौटी | आर्टिन की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय, जिसका उपयोग बीजगणितीय वक्रों के मोडुली स्थान के निर्माण के लिए किया जाता है। ${\mathcal {M}}_{g,n}$ और अण्डाकार वक्रों का मोडुली ढेर। मूल रूप से, उन्हें ग्रोथेंडिक द्वारा पेश किया गया था मोडुली स्पेस पर ऑटोमोर्फिज्म का ट्रैक रखने के लिए, एक तकनीक जो इन मोडुली स्पेस को ट्रीट करने की अनुमति देती है जैसे कि उनकी अंतर्निहित योजनाएं या बीजगणितीय स्पेस चिकनी योजना हैं। लेकिन, कई सामान्यीकरणों के माध्यम से माइकल आर्टिन द्वारा अंततः बीजगणितीय स्टैक की धारणा की खोज की गई।

परिभाषा

प्रेरणा

एक बीजगणितीय स्टैक के प्रेरक उदाहरणों में से एक ग्रुपॉइड योजना पर विचार करना है $(R,U,s,t,m)$ एक निश्चित योजना पर $S$. उदाहरण के लिए, अगर $R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$ (कहाँ $\mu _{n}$ एकता की जड़ों की समूह योजना है), $U=\mathbb {A} _{S}^{n}$, $s={\text{pr}}_{U}$ प्रक्षेपण मानचित्र है, $t$ समूह क्रिया <ब्लॉककोट> है$\zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})$और $m$ गुणन मानचित्र <ब्लॉककोट> है$m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$चालू $\mu _{n}$. फिर, एक दिया $S$-योजना $\pi :X\to S$, ग्रुपॉयड योजना $(R(X),U(X),s,t,m)$ एक ग्रुपॉइड बनाता है (जहाँ $R,U$ उनके संबद्ध कारक हैं)। इसके अलावा, यह निर्माण कार्यात्मक है $(\mathrm {Sch} /S)$ एक प्रतिपरिवर्ती 2-फंक्शन <ब्लॉककोट> बनाना$(R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}$कहाँ ${\text{Cat}}$ 2 श्रेणी है | छोटी श्रेणी की 2-श्रेणी है। इसे देखने का एक अन्य तरीका रेशेदार श्रेणी के रूप में है $[U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)$ ग्रोथेंडिक निर्माण के माध्यम से। ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी जैसी सही तकनीकी स्थितियां प्राप्त करना $(\mathrm {Sch} /S)$, एक बीजगणितीय ढेर की परिभाषा देता है। उदाहरण के लिए, के संबद्ध समूह में $k$-एक क्षेत्र के लिए अंक $k$, मूल वस्तु पर $0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)$ ऑटोमोर्फिज्म का समूह है $\mu _{n}(k)$. ध्यान दें कि एक बीजगणितीय स्टैक प्राप्त करने के लिए $[U/R]$, और न केवल एक ढेर, इसके लिए आवश्यक अतिरिक्त तकनीकी परिकल्पनाएँ हैं $[U/R]$</यू>।

बीजगणितीय ढेर

यह Fppf टोपोलॉजी|fppf-topology का उपयोग करके निकलता है (ईमानदारी से सपाट और स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति)। $(\mathrm {Sch} /S)$, निरूपित $(\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$, बीजगणितीय ढेर को परिभाषित करने के लिए आधार बनाता है। फिर, एक बीजगणितीय ढेर एक फाइबरयुक्त श्रेणी <ब्लॉककोट> है$p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$ऐसे कि

1. ${\mathcal {X}}$ ग्रुपोइड्स में रेशेदार श्रेणी है, जिसका अर्थ है कुछ के लिए अतिश्रेणी $\pi :X\to S$ एक समूह है
2. विकर्ण नक्शा $\Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}$ फाइबर वाली श्रेणियों की संख्या बीजगणितीय रिक्त स्थान के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है
3. एक मौजूद है $fppf$ योजना $U\to S$ और फाइबरयुक्त श्रेणियों का एक संबद्ध 1-रूपवाद ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ जो आच्छादनशील और चिकना होता है उसे एटलस कहा जाता है।

तकनीकी स्थितियों की व्याख्या

एफपीपीएफ टोपोलॉजी का प्रयोग करना

सबसे पहले, एफपीपीएफ-टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह वंश सिद्धांत के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, यदि योजनाएं हैं $X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)$ और $X\to Y$के एफपीपीएफ-कवर में परिष्कृत किया जा सकता है $Y$, अगर $X$ समतल, स्थानीय रूप से परिमित प्रकार, या स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति है, तब $Y$ यह संपत्ति है। इस तरह के विचार को या तो लक्ष्य पर या आकारिकी के स्रोत पर स्थानीय गुणों पर विचार करके आगे बढ़ाया जा सकता है $f:X\to Y$. एक कवर के लिए $\{X_{i}\to X\}_{i\in I}$ हम संपत्ति कहते हैं ${\mathcal {P}}$ स्रोत पर स्थानीय है if

$f:X\to Y$ है ${\mathcal {P}}$ अगर और केवल अगर प्रत्येक $X_{i}\to Y$ है ${\mathcal {P}}$

लक्ष्य पर स्थानीय नामक लक्ष्य पर एक समान धारणा है। इसका मतलब है कि एक कवर दिया गया है $\{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}$<ब्लॉककोट>$f:X\to Y$ है ${\mathcal {P}}$ अगर और केवल अगर प्रत्येक $X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}$ है ${\mathcal {P}}$FPPF ​​टोपोलॉजी के लिए, विसर्जन होना लक्ष्य पर स्थानीय है। एफपीपीएफ टोपोलॉजी के लिए स्रोत पर स्थानीय पिछले गुणों के अलावा, $f$ सार्वभौमिक रूप से खुला होना भी स्रोत पर स्थानीय है। इसके अलावा, स्थानीय रूप से नोथेरियन और जैकबसन स्रोत पर स्थानीय हैं और एफपीपीएफ टोपोलॉजी के लिए लक्षित हैं। यह fpqc टोपोलॉजी में नहीं है, जो इसे तकनीकी गुणों के मामले में उतना अच्छा नहीं बनाता है। हालांकि यह सच है, fpqc टोपोलॉजी पर बीजगणितीय ढेर का उपयोग करना अभी भी इसका उपयोग है, जैसे रंगीन होमोटोपी सिद्धांत में। यह औपचारिक समूह कानूनों के मोडुली स्टैक के कारण है ${\mathcal {M}}_{fg}$ एक एफपीक्यूसी-बीजगणितीय ढेर है^{पेज 40}.

प्रतिनिधित्व योग्य विकर्ण

परिभाषा के अनुसार, एक 1-रूपवाद $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ ग्रुपॉयड्स में फाइबर की गई श्रेणियों की संख्या बीजगणितीय स्थानों द्वारा प्रदर्शित की जा सकती है अगर किसी एफपीपीएफ आकारिकी के लिए $U\to S$ योजनाओं की और कोई 1-मोर्फिज्म $y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}$, संबंधित श्रेणी Groupoids

में फाइबर की गई है$(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$

एक बीजगणितीय स्थान के रूप में प्रदर्शित करने योग्य है, मतलब बीजगणितीय स्थान <ब्लॉककोट> मौजूद है$F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$जैसे कि संबंधित फाइबरयुक्त श्रेणी ${\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}$ के बराबर है $(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$. विकर्ण के प्रतिनिधित्व के लिए कई समतुल्य शर्तें हैं जो इस तकनीकी स्थिति के लिए अंतर्ज्ञान देने में मदद करते हैं, लेकिन मुख्य प्रेरणाओं में से एक निम्नलिखित है: एक योजना के लिए $U$ और वस्तुएं $x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})$ पुलिया $\operatorname {Isom} (x,y)$ एक बीजगणितीय स्थान के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है। विशेष रूप से, स्टैक पर किसी भी बिंदु के लिए स्टेबलाइज़र समूह $x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}$ एक बीजगणितीय स्थान के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है।

एक प्रतिनिधित्व योग्य विकर्ण होने का एक अन्य महत्वपूर्ण समकक्ष तकनीकी स्थिति है कि एक बीजगणितीय ढेर में किसी भी दो बीजगणितीय रिक्त स्थान का प्रतिच्छेदन एक बीजगणितीय स्थान है। फाइबर उत्पादों <ब्लॉककोट> का उपयोग करके पुन: तैयार किया गया${\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}$विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता इसके बराबर है $Y\to {\mathcal {X}}$ एक बीजगणितीय स्थान के लिए प्रतिनिधित्व योग्य होना $Y$. ऐसा इसलिए है क्योंकि दिए गए आकारिकी $Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}$ बीजगणितीय स्थानों से, वे मानचित्रों तक विस्तारित होते हैं ${\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}$ विकर्ण मानचित्र से। बीजगणितीय रिक्त स्थान के लिए एक समान कथन है जो एक शीफ की प्रतिनिधित्व क्षमता देता है $(F/S)_{fppf}$ एक बीजगणितीय स्थान के रूप में। ध्यान दें कि उच्च ढेर के कुछ योगों के लिए विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता की एक समान स्थिति होती है जहां फाइबर उत्पाद एक है $(n-1)$-एक के लिए ढेर $n$-ढेर ${\mathcal {X}}$.

विशेषण और चिकनी एटलस

2-योनेदा लेम्मा

एक का अस्तित्व $fppf$ योजना $U\to S$ और फाइबरयुक्त श्रेणियों का 1-मोर्फिज्म ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ जो विशेषण और चिकना है, फाइबरयुक्त श्रेणियों के एक चिकने और विशेषण आकारिकी को परिभाषित करने पर निर्भर करता है। यहाँ ${\mathcal {U}}$ प्रतिनिधित्व करने योग्य मज़ेदार से बीजगणितीय ढेर है $h_{U}$ पर $h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$ ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली श्रेणी में अपग्रेड किया गया जहां श्रेणियों में केवल तुच्छ आकारिकी होती है। इसका मतलब है सेट <ब्लॉककोट>$h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)$को एक श्रेणी के रूप में माना जाता है, निरूपित $h_{\mathcal {U}}(T)$, वस्तुओं के साथ $h_{U}(T)$ जैसा $fppf$ आकारिकी <ब्लॉककोट>$f:T\to U$और morphisms पहचान morphism हैं। इसलिए <ब्लॉककोट>$h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids$ग्रुपॉइड्स का 2-फ़ंक्टर है। इस 2-फंक्टर को एक शीफ दिखाना 2-योनेदा लेम्मा की सामग्री है। ग्रोथेंडिक कंस्ट्रक्शन का उपयोग करते हुए, ग्रुपॉयड्स में एक संबंधित श्रेणी को फाइबर किया गया है ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$.

ग्रुपोइड्स में फाइबर की गई श्रेणियों के प्रतिनिधित्व योग्य आकार

यह रूपवाद कहने के लिए ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ चिकनी या प्रक्षेपण है, हमें प्रतिनिधित्व योग्य morphisms पेश करना है। एक रूपवाद $p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ ग्रुपॉयड्स ओवर में फाइबर की गई श्रेणियों की संख्या $(Sch/S)_{fppf}$ यदि कोई वस्तु दी जाए तो प्रतिनिधित्व योग्य कहा जाता है $T\to S$ में $(Sch/S)_{fppf}$ और एक वस्तु $t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})$ 2-फाइबर वाला उत्पाद

$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}$

एक योजना द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य है। फिर, हम कह सकते हैं कि ग्रुपोइड्स में रेशे वाली श्रेणियों का आकारिकी $p$ यदि संबंधित आकृतिवाद <ब्लॉकक्वोट> है, तो यह चिकना और विशेषण है$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}$योजनाओं का सहज और विशेषण है।

डेलिग्न-ममफोर्ड ढेर

बीजगणितीय ढेर, जिसे आर्टिन ढेर के रूप में भी जाना जाता है, परिभाषा के अनुसार एक चिकनी विशेषण एटलस से सुसज्जित हैं ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$, कहाँ ${\mathcal {U}}$ किसी योजना से जुड़ा ढेर है $U\to S$. अगर एटलस ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ अधिक सुस्त है, फिर ${\mathcal {X}}$ Deligne-ममफोर्ड ढेर कहा जाता है। Deligne-Mumford स्टैक का उपवर्ग उपयोगी है क्योंकि यह माना जाने वाले कई प्राकृतिक स्टैक के लिए सही सेटिंग प्रदान करता है, जैसे कि बीजगणितीय वक्रों का मोडुली स्टैक। इसके अलावा, वे काफी सख्त हैं कि Deligne-Mumford स्टैक में बिंदुओं द्वारा दर्शाई गई वस्तु में अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज्म नहीं है। यह बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज्म आर्टिन स्टैक के विरूपण सिद्धांत का अध्ययन करना बहुत कठिन बना देता है। उदाहरण के लिए, आर्टिन स्टैक का विरूपण सिद्धांत $BGL_{n}=[*/GL_{n}]$, रैंक का मोडुली ढेर $n$ सदिश बंडलों में आंशिक रूप से लाई बीजगणित द्वारा नियंत्रित अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज्म होते हैं ${\mathfrak {gl}}_{n}$. यह सामान्य रूप से विकृतियों और अवरोधों के अनंत अनुक्रम की ओर जाता है, जो स्थिर बंडलों के मोडुली स्थान का अध्ययन करने के लिए प्रेरणाओं में से एक है। केवल लाइन बंडलों के विरूपण सिद्धांत के विशेष मामले में $[*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]$ विरूपण सिद्धांत सुगम्य है, चूंकि संबद्ध लाई बीजगणित एबेलियन लाई बीजगणित है।

ध्यान दें कि कई ढेर स्वाभाविक रूप से Deligne-Mumford ढेर के रूप में प्रदर्शित नहीं किए जा सकते हैं क्योंकि यह केवल सीमित कवर, या सीमित कवर वाले बीजगणितीय ढेर की अनुमति देता है। ध्यान दें कि क्योंकि प्रत्येक एटाले कवर सपाट है और स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति है, एफपीपीएफ-टोपोलॉजी के साथ परिभाषित बीजगणितीय ढेर इस सिद्धांत को समाहित करते हैं; लेकिन, यह अभी भी उपयोगी है क्योंकि प्रकृति में पाए जाने वाले कई ढेर इस रूप के हैं, जैसे कि बीजगणितीय वक्रों के मोडुली ${\mathcal {M}}_{g}$. इसके अलावा, इस तरह के ढेर के अंतर-ज्यामितीय एनालॉग को orbifold ्स कहा जाता है। एटाले स्थिति का तात्पर्य 2-फ़ंक्टर <ब्लॉककोट> से है$B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}$स्कीम को इसके groupoid of में भेजना $\mu _{n}$-टोर्सर (बीजगणितीय ज्यामिति) एटाले टोपोलॉजी पर एक ढेर के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है, लेकिन पिकार्ड-स्टैक $B\mathbb {G} _{m}$ का $\mathbb {G} _{m}$-टॉर्सर्स (समान रूप से लाइन बंडलों की श्रेणी) प्रतिनिधित्व योग्य नहीं है। इस फॉर्म के ढेर एफपीपीएफ-टोपोलॉजी पर ढेर के रूप में प्रदर्शित किए जा सकते हैं। एफपीपीएफ-टोपोलॉजी बनाम ईटेल टोपोलॉजी पर विचार करने का एक अन्य कारण विशेषता से अधिक है $p$ द शोक क्रम<ब्लॉककोट>$0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0$ केवल fppf ढेरों के अनुक्रम के रूप में सटीक है, लेकिन ईटेल ढेरों के अनुक्रम के रूप में नहीं।

अन्य टोपोलॉजी पर बीजगणितीय ढेर को परिभाषित करना

अन्य ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी का उपयोग करना $(F/S)$ बीजगणितीय स्टैक के वैकल्पिक सिद्धांत देता है जो या तो पर्याप्त सामान्य नहीं हैं, या कवर के आधार से कवर के कुल स्थान तक गुणों का आदान-प्रदान करने के संबंध में अच्छा व्यवहार नहीं करते हैं। यह याद रखना उपयोगी है कि सामान्यीकरण <ब्लॉककोट> के निम्नलिखित पदानुक्रम हैं${\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}$</blockquot>बड़ी टोपोलॉजी पर $(F/S)$.

संरचना शीफ ​​

एक बीजगणितीय ढेर का संरचना शीफ ​​एक सार्वभौमिक संरचना शीफ ​​से वापस खींची गई वस्तु है ${\mathcal {O}}$ स्थल पर $(Sch/S)_{fppf}$. यह सार्वभौमिक संरचना शीफ

के रूप में परिभाषित किया गया है${\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$

और ग्रुपोइड्स

में फाइबर की गई श्रेणी पर संबंधित संरचना शीफ$p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}$

को

के रूप में परिभाषित किया गया है${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}$

कहाँ $p^{-1}$ ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के मानचित्र से आता है। विशेष रूप से इसका अर्थ है $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})$ पड़ा हुआ है $U$, इसलिए $p(x)=U$, तब ${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$. एक विवेक जांच के रूप में, यह एक से आने वाले ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली श्रेणी से तुलना करने लायक है $S$-योजना $X$ विभिन्न टोपोलॉजी के लिए। उदाहरण के लिए, यदि

$({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})$

ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली एक श्रेणी है $(Sch/S)_{fppf}$, एक खुली उपयोजना के लिए संरचना शीफ $U\to X$ देता है${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$इसलिए यह परिभाषा एक योजना पर क्लासिक संरचना शीफ ​​को पुनः प्राप्त करती है। इसके अलावा, एक भागफल ढेर के लिए ${\mathcal {X}}=[X/G]$, संरचना शीफ ​​यह सिर्फ देता है $G$-इनवेरिएंट सेक्शन <ब्लॉककोट>${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}$के लिए $u:U\to X$ में $(Sch/S)_{fppf}$.

उदाहरण

ढेर का वर्गीकरण

See also: Quotient stack

बीजगणितीय समूहों के लिए कई वर्गीकृत ढेर बीजगणितीय ढेर हैं। वास्तव में, एक बीजगणितीय समूह स्थान के लिए $G$ एक योजना के ऊपर $S$ जो परिमित प्रस्तुति का सपाट है, ढेर $BG$ बीजीय है^{प्रमेय 6.1 ।}

यह भी देखें

• पुलिंदा
• एक ढेर का चाउ समूह
• स्टैक की कोहोलॉजी
• भागफल ढेर
• एक बीजगणितीय स्टैक पर शीफ
• टोरिक ढेर
• आर्टिन की कसौटी
• पीछा ढेर
• व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

बाहरी संबंध

आर्टिन के स्वयंसिद्ध

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - अभिगृहीत और बीजगणितीय ढेर देखें
• आर्टिन बीजगणित और भागफल ढेर - जैरोड एल्पर

कागजात

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• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "हिल्बर्ट ढेर". Advances in Mathematics. 253: 194–233. arXiv:1011.5484. doi:10.1016/j.aim.2013.12.002. S2CID 55936583.
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अनुप्रयोग

• Lafforgue, Vincent (2014). "रिडक्टिव ग्रुप्स के लिए चटौकास का परिचय और वैश्विक लैंगलैंड्स पैरामीटराइजेशन के लिए". arXiv:1404.6416 [math.AG].
• Deligne, P.; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". एक चर II के मॉड्यूलर कार्य. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 349. pp. 143–316. doi:10.1007/978-3-540-37855-6_4. ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "स्थिर वक्रों के मोडुली स्थान की प्रोजेक्टिविटी, II: ढेर ${\mathcal {M}}_{g,n}$". Mathematica Scandinavica. 52: 161. doi:10.7146/math.scand.a-12001.
• Jiang, Yunfeng (2019). "सतहों पर प्रोजेक्टिव हिग्स बंडलों के मोडुली स्टैक के निर्माण पर". arXiv:1911.00250 [math.AG].

मैथोवरफ्लो धागे

• क्या बीजगणितीय स्टैक fpqc डिसेंट को संतुष्ट करते हैं?
• fpqc टोपोलॉजी में ढेर
• fpqc ढेर के कवर

अन्य

• ढेर के उदाहरण
• arxiv:math/0412512|ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी, फाइबर्ड कैटेगरी और डिसेंट थ्योरी पर नोट्स
• बीजीय ढेर पर नोट्स

श्रेणी:बीजगणितीय वक्र श्रेणी:मोडुली सिद्धांत श्रेणी:बीजगणितीय ज्यामिति