बीजगणितीय स्टैक

गणित में, एक बीजगणितीय स्टैक बीजगणितीय रिक्त स्थान या योजनाओं (गणित) का एक विशाल सामान्यीकरण है, जो मॉडुलि सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए मूलभूत हैं। बीजगणितीय स्टैक के लिए विशिष्ट तकनीकों का उपयोग करके कई मोडुली रिक्त स्थान बनाए जाते हैं, जैसे कि आर्टिन की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय, जिसका उपयोग नुकीले बीजगणितीय वक्र ${\mathcal {M}}_{g,n}$ के मोडुली स्पेस के निर्माण के लिए किया जाता है। अण्डाकार वक्र। मूल रूप से, उन्हें ग्रोथेंडिक द्वारा मोडुली स्पेस पर ऑटोमोर्फिज्म का ट्रैक रखने के लिए पेश किया गया था एक ऐसी तकनीक जो इन मोडुली स्पेस को ट्रीट करने की अनुमति देती है जैसे कि उनकी अंतर्निहित योजनाएं या बीजगणितीय स्पेस स्मूद हैं। लेकिन, कई सामान्यीकरणों के माध्यम से बीजगणितीय स्टैक की धारणा अंततः माइकल आर्टिन द्वारा खोजी गई थी।

परिभाषा

प्रेरणा

एक बीजगणितीय स्टैक के प्रेरक उदाहरणों में से एक है एक निश्चित योजना $S$ के ऊपर एक समूह योजना$(R,U,s,t,m)$ पर विचार करना। उदाहरण के लिए, यदि $R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$$U=\mathbb {A} _{S}^{n}$, $s={\text{pr}}_{U}$ प्रक्षेपण मानचित्र है, $t$ समूह क्रिया है

$\zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})$

और $m$ गुणन मानचित्र है

$m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$

$\mu _{n}$ पर। फिर, एक $S$-योजना $\pi :X\to S$ दिए जाने पर, ग्रुपॉइड स्कीम $(R(X),U(X),s,t,m)$ एक ग्रुपॉइड बनाता है जहाँ $R,U$ उनके संबंधित फ़ैक्टर हैं इसके अलावा, यह निर्माण $(\mathrm {Sch} /S)$ पर क्रियात्मक है जो एक प्रतिपरिवर्ती 2-फ़ंक्टर बनाता है:

$(R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}$

जहाँ ${\text{Cat}}$ छोटी श्रेणियों की छोटी श्रेणी है। इसे देखने का एक अन्य तरीका ग्रोथेंडिक निर्माण के माध्यम से एक रेशेदार श्रेणी $[U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)$ के रूप में है। सही तकनीकी स्थितियां प्राप्त करना, जैसे $(\mathrm {Sch} /S)$ पर ग्रोग्रोथेंडिक टोपोलॉजी, एक बीजगणितीय स्टैक की परिभाषा देता है। उदाहरण के लिए, मूल वस्तु $0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)$ पर फ़ील्ड $k$ के लिए k-बिंदुओं के संबद्ध समूह में ऑटोमोर्फिज़्म का समूह होता है $\mu _{n}(k)$ ध्यान दें कि $[U/R]$ से एक बीजगणितीय स्टैक प्राप्त करने के लिए, न कि केवल एक स्टैक के लिए, $[U/R]$ के लिए अतिरिक्त तकनीकी परिकल्पनाओं की आवश्यकता होती है।

बीजगणितीय स्टैक

यह $(\mathrm {Sch} /S)$ पर fppf-topology[4] (ईमानदारी से फ्लैट और स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति) का उपयोग करके निकलता है, $(\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$ बीजगणितीय स्टैक को परिभाषित करने के लिए आधार बनाता है। फिर, एक बीजगणितीय स्टैक एक रेशेदार श्रेणी है

$p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$

ऐसा है कि

1. ${\mathcal {X}}$ ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली एक श्रेणी है, जिसका अर्थ है कि कुछ $\pi :X\to S$ के लिए ओवरकैटेगरी एक ग्रुपॉइड है।
2. विकर्ण नक्शा $\Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}$ फाइबर वाली श्रेणियों की संख्या बीजगणितीय रिक्त स्थान के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है
3. एक $fppf$ स्कीम $U\to S$ मौजूद है और फाइबर वाली श्रेणियों ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ से जुड़ी एक 1-मोर्फिज्म मौजूद है, जो विशेषण है और चिकने को एटलस कहते हैं।

तकनीकी स्थितियों की व्याख्या

एफपीपीएफ टोपोलॉजी का प्रयोग करना

सबसे पहले, एफपीपीएफ-टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह वंश सिद्धांत के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, यदि स्कीमें हैं $X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)$ और $X\to Y$ को $Y$ के fppf-कवर में परिशोधित किया जा सकता है, यदि $X$ सपाट है, स्थानीय रूप से परिमित प्रकार, या स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति, तो $Y$ के पास यह गुण है। इस तरह के विचार को लक्ष्य पर स्थानीय गुणों या आकारिकी $f:X\to Y$ के स्रोत पर विचार करके आगे बढ़ाया जा सकता है। $\{X_{i}\to X\}_{i\in I}$ हम कहते हैं कि एक संपत्ति ${\mathcal {P}}$ स्रोत पर स्थानीय है यदि

$f:X\to Y$में ${\mathcal {P}}$ है अगर और केवल अगर प्रत्येक $X_{i}\to Y$ में ${\mathcal {P}}$ है।

लक्ष्य पर स्थानीय नामक लक्ष्य पर एक समान धारणा है। इसका मतलब है कि $\{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}$ को एक कवर दिया गया है।

$f:X\to Y$ में ${\mathcal {P}}$ है अगर और केवल अगर प्रत्येक $X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}$ में ${\mathcal {P}}$ है।

एफ़पीपीएफ टोपोलॉजी के लिए, एक निमज्जन लक्ष्य पर स्थानीय है। एफपीपीएफ टोपोलॉजी एफ के लिए स्रोत पर पिछले गुणों के अलावा सार्वभौमिक रूप से खुला होने के कारण स्रोत पर भी स्थानीय है। इसके अलावा, स्थानीय रूप से नोथेरियन और जैकबसन स्रोत पर स्थानीय हैं और एफपीपीएफ टोपोलॉजी के लिए लक्ष्य हैं। यह एफपीक्यूसी टोपोलॉजी में नहीं है, तकनीकी गुणों के मामले में यह "अच्छा" नहीं है। हालांकि यह सच है, fpqc टोपोलॉजी पर बीजगणितीय ढेर का उपयोग करना अभी भी इसका उपयोग है, जैसे रंगीन होमोटोपी सिद्धांत में। ऐसा इसलिए है क्योंकि औपचारिक समूह कानूनों का मोडुली स्टैक ${\mathcal {M}}_{fg}$ एक fpqc-बीजगणितीय स्टैक है।^{पेज 40}

प्रतिनिधित्व योग्य विकर्ण

परिभाषा के अनुसार, 1-मोर्फिज्म$f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ ग्रुपोइड्स में फाइबर की गई श्रेणियां बीजगणितीय रिक्त स्थान द्वारा प्रस्तुत की जा सकती हैं यदि किसी fppf आकारिकी के लिए स्कीमों का $U\to S$ और कोई भी 1-मोर्फिज्म $y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}$ ग्रुपॉयड्स में फाइबर की गई संबद्ध श्रेणी

में फाइबर की गई है$(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$

एक बीजगणितीय स्थान के रूप में प्रदर्शित करने योग्य है, मतलब बीजगणितीय स्थान <ब्लॉककोट> मौजूद है$F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$जैसे कि संबंधित फाइबरयुक्त श्रेणी ${\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}$ के बराबर है $(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$. विकर्ण के प्रतिनिधित्व के लिए कई समतुल्य शर्तें हैं जो इस तकनीकी स्थिति के लिए अंतर्ज्ञान देने में मदद करते हैं, लेकिन मुख्य प्रेरणाओं में से एक निम्नलिखित है: एक योजना के लिए $U$ और वस्तुएं $x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})$ पुलिया $\operatorname {Isom} (x,y)$ एक बीजगणितीय स्थान के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है। विशेष रूप से, स्टैक पर किसी भी बिंदु के लिए स्टेबलाइज़र समूह $x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}$ एक बीजगणितीय स्थान के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है।

एक प्रतिनिधित्व योग्य विकर्ण होने का एक अन्य महत्वपूर्ण समकक्ष तकनीकी स्थिति है कि एक बीजगणितीय स्टैक में किसी भी दो बीजगणितीय रिक्त स्थान का प्रतिच्छेदन एक बीजगणितीय स्थान है। फाइबर उत्पादों <ब्लॉककोट> का उपयोग करके पुन: तैयार किया गया${\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}$विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता इसके बराबर है $Y\to {\mathcal {X}}$ एक बीजगणितीय स्थान के लिए प्रतिनिधित्व योग्य होना $Y$. ऐसा इसलिए है क्योंकि दिए गए आकारिकी $Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}$ बीजगणितीय स्थानों से, वे मानचित्रों तक विस्तारित होते हैं ${\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}$ विकर्ण मानचित्र से। बीजगणितीय रिक्त स्थान के लिए एक समान कथन है जो एक शीफ की प्रतिनिधित्व क्षमता देता है $(F/S)_{fppf}$ एक बीजगणितीय स्थान के रूप में। ध्यान दें कि उच्च स्टैक के कुछ योगों के लिए विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता की एक समान स्थिति होती है जहां फाइबर उत्पाद एक है $(n-1)$-एक के लिए स्टैक $n$-स्टैक ${\mathcal {X}}$.

विशेषण और चिकनी एटलस

2-योनेदा लेम्मा

एक का अस्तित्व $fppf$ योजना $U\to S$ और फाइबरयुक्त श्रेणियों का 1-मोर्फिज्म ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ जो विशेषण और चिकना है, फाइबरयुक्त श्रेणियों के एक चिकने और विशेषण आकारिकी को परिभाषित करने पर निर्भर करता है। यहाँ ${\mathcal {U}}$ प्रतिनिधित्व करने योग्य मज़ेदार से बीजगणितीय स्टैक है $h_{U}$ पर $h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$ ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली श्रेणी में अपग्रेड किया गया जहां श्रेणियों में केवल तुच्छ आकारिकी होती है। इसका मतलब है सेट <ब्लॉककोट>$h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)$को एक श्रेणी के रूप में माना जाता है, निरूपित $h_{\mathcal {U}}(T)$, वस्तुओं के साथ $h_{U}(T)$ जैसा $fppf$ आकारिकी <ब्लॉककोट>$f:T\to U$और morphisms पहचान morphism हैं। इसलिए <ब्लॉककोट>$h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids$ग्रुपॉइड्स का 2-फ़ंक्टर है। इस 2-फंक्टर को एक शीफ दिखाना 2-योनेदा लेम्मा की सामग्री है। ग्रोथेंडिक कंस्ट्रक्शन का उपयोग करते हुए, ग्रुपॉयड्स में एक संबंधित श्रेणी को फाइबर किया गया है ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$.

ग्रुपोइड्स में फाइबर की गई श्रेणियों के प्रतिनिधित्व योग्य आकार

यह रूपवाद कहने के लिए ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ चिकनी या प्रक्षेपण है, हमें प्रतिनिधित्व योग्य morphisms पेश करना है। एक रूपवाद $p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ ग्रुपॉयड्स ओवर में फाइबर की गई श्रेणियों की संख्या $(Sch/S)_{fppf}$ यदि कोई वस्तु दी जाए तो प्रतिनिधित्व योग्य कहा जाता है $T\to S$ में $(Sch/S)_{fppf}$ और एक वस्तु $t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})$ 2-फाइबर वाला उत्पाद

$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}$

एक योजना द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य है। फिर, हम कह सकते हैं कि ग्रुपोइड्स में रेशे वाली श्रेणियों का आकारिकी $p$ यदि संबंधित आकृतिवाद <ब्लॉकक्वोट> है, तो यह चिकना और विशेषण है$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}$योजनाओं का सहज और विशेषण है।

डेलिग्न-ममफोर्ड स्टैक

बीजगणितीय स्टैक, जिसे आर्टिन स्टैक के रूप में भी जाना जाता है, परिभाषा के अनुसार एक चिकनी विशेषण एटलस से सुसज्जित हैं ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$, कहाँ ${\mathcal {U}}$ किसी योजना से जुड़ा स्टैक है $U\to S$. अगर एटलस ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ अधिक सुस्त है, फिर ${\mathcal {X}}$ Deligne-ममफोर्ड स्टैक कहा जाता है। Deligne-Mumford स्टैक का उपवर्ग उपयोगी है क्योंकि यह माना जाने वाले कई प्राकृतिक स्टैक के लिए सही सेटिंग प्रदान करता है, जैसे कि बीजगणितीय वक्रों का मोडुली स्टैक। इसके अलावा, वे काफी सख्त हैं कि Deligne-Mumford स्टैक में बिंदुओं द्वारा दर्शाई गई वस्तु में अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज्म नहीं है। यह बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज्म आर्टिन स्टैक के विरूपण सिद्धांत का अध्ययन करना बहुत कठिन बना देता है। उदाहरण के लिए, आर्टिन स्टैक का विरूपण सिद्धांत $BGL_{n}=[*/GL_{n}]$, रैंक का मोडुली स्टैक $n$ सदिश बंडलों में आंशिक रूप से लाई बीजगणित द्वारा नियंत्रित अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज्म होते हैं ${\mathfrak {gl}}_{n}$. यह सामान्य रूप से विकृतियों और अवरोधों के अनंत अनुक्रम की ओर जाता है, जो स्थिर बंडलों के मोडुली स्थान का अध्ययन करने के लिए प्रेरणाओं में से एक है। केवल लाइन बंडलों के विरूपण सिद्धांत के विशेष मामले में $[*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]$ विरूपण सिद्धांत सुगम्य है, चूंकि संबद्ध लाई बीजगणित एबेलियन लाई बीजगणित है।

ध्यान दें कि कई स्टैक स्वाभाविक रूप से Deligne-Mumford स्टैक के रूप में प्रदर्शित नहीं किए जा सकते हैं क्योंकि यह केवल सीमित कवर, या सीमित कवर वाले बीजगणितीय स्टैक की अनुमति देता है। ध्यान दें कि क्योंकि प्रत्येक एटाले कवर सपाट है और स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति है, एफपीपीएफ-टोपोलॉजी के साथ परिभाषित बीजगणितीय स्टैक इस सिद्धांत को समाहित करते हैं; लेकिन, यह अभी भी उपयोगी है क्योंकि प्रकृति में पाए जाने वाले कई स्टैक इस रूप के हैं, जैसे कि बीजगणितीय वक्रों के मोडुली ${\mathcal {M}}_{g}$. इसके अलावा, इस तरह के स्टैक के अंतर-ज्यामितीय एनालॉग को orbifold ्स कहा जाता है। एटाले स्थिति का तात्पर्य 2-फ़ंक्टर <ब्लॉककोट> से है$B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}$स्कीम को इसके groupoid of में भेजना $\mu _{n}$-टोर्सर (बीजगणितीय ज्यामिति) एटाले टोपोलॉजी पर एक स्टैक के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है, लेकिन पिकार्ड-स्टैक $B\mathbb {G} _{m}$ का $\mathbb {G} _{m}$-टॉर्सर्स (समान रूप से लाइन बंडलों की श्रेणी) प्रतिनिधित्व योग्य नहीं है। इस फॉर्म के स्टैक एफपीपीएफ-टोपोलॉजी पर स्टैक के रूप में प्रदर्शित किए जा सकते हैं।

एफपीपीएफ-टोपोलॉजी बनाम ईटेल टोपोलॉजी पर विचार करने का एक अन्य कारण विशेषता से अधिक है $p$ द शोक क्रम<ब्लॉककोट>$0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0$ केवल fppf स्टैकों के अनुक्रम के रूप में सटीक है, लेकिन ईटेल स्टैकों के अनुक्रम के रूप में नहीं।

अन्य टोपोलॉजी पर बीजगणितीय स्टैक को परिभाषित करना

अन्य ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी का उपयोग करना $(F/S)$ बीजगणितीय स्टैक के वैकल्पिक सिद्धांत देता है जो या तो पर्याप्त सामान्य नहीं हैं, या कवर के आधार से कवर के कुल स्थान तक गुणों का आदान-प्रदान करने के संबंध में अच्छा व्यवहार नहीं करते हैं। यह याद रखना उपयोगी है कि सामान्यीकरण के निम्नलिखित पदानुक्रम हैं

${\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}$

बड़ी टोपोलॉजी पर $(F/S)$.

संरचना शीफ ​​

बीजगणितीय स्टैक का संरचना शीफ साइट$(Sch/S)_{fppf}$ पर सार्वभौमिक संरचना शीफ ${\mathcal {O}}$ से वापस खींची गई वस्तु है। इस सार्वभौमिक संरचना शीफ ​​[20] को इस रूप में परिभाषित किया गया है:

${\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$

और संबंधित संरचना शीफ ​​ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली श्रेणी पर $p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}$ को ${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

जहां $p^{-1}$ ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के मानचित्र से आता है। विशेष रूप से, इसका अर्थ है $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})$ $U$के ऊपर स्थित है, इसलिए $p(x)=U$ फिर {\${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$ विवेक जांच के रूप में, विभिन्न टोपोलॉजी के लिए $S$-स्कीम $X$ से आने वाले ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली श्रेणी से इसकी तुलना करना उचित है। उदाहरण के लिए, यदि

$({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})$

$(Sch/S)_{fppf}$ पर ग्रुपोइड्स में फाइबर वाली एक श्रेणी है, एक खुली उपयोजना के लिए संरचना शीफ ​​$U\to X$ देता है

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$

इसलिए यह परिभाषा एक योजना पर क्लासिक संरचना शीफ ​​को पुनः प्राप्त करती है। इसके अलावा, भागफल स्टैक के लिए ${\mathcal {X}}=[X/G]$ संरचना शीफ ​​यह सिर्फ $G$-इनवेरिएंट सेक्शन देता है

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}$

के लिए $u:U\to X$ में $(Sch/S)_{fppf}$.

उदाहरण

स्टैक का वर्गीकरण

See also: भागफल स्टैक

बीजगणितीय समूहों के लिए कई वर्गीकृत स्टैक बीजगणितीय स्टैक हैं। वास्तव में, एक बीजगणितीय समूह स्थान $G$ के लिए एक योजना $S$ पर जो परिमित प्रस्तुति का सपाट है, स्टैक $BG$बीजगणितीय है।^{प्रमेय 6.1}

यह भी देखें

• गेर्बर नियम
• चाउ समूह स्टैक
• सह-समरूपता स्टैक
• भागफल स्टैक
• बीजगणितीय शीफ स्टैक
• टोरिक स्टैक
• आर्टिन मानदंड
• पश्च स्टैक
• व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

बाहरी संबंध

आर्टिन के स्वयंसिद्ध

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - अभिगृहीत और बीजगणितीय स्टैक देखें
• आर्टिन बीजगणित और भागफल स्टैक - जैरोड एल्पर

कागजात

• Alper, Jarod (2009). "बीजगणितीय ढेर पर साहित्य के लिए एक गाइड" (PDF). S2CID 51803452. Archived from the original (PDF) on 2020-02-13. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "हिल्बर्ट ढेर". Advances in Mathematics. 253: 194–233. arXiv:1011.5484. doi:10.1016/j.aim.2013.12.002. S2CID 55936583.
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अनुप्रयोग

• Lafforgue, Vincent (2014). "रिडक्टिव ग्रुप्स के लिए चटौकास का परिचय और वैश्विक लैंगलैंड्स पैरामीटराइजेशन के लिए". arXiv:1404.6416 [math.AG].
• Deligne, P.; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". एक चर II के मॉड्यूलर कार्य. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 349. pp. 143–316. doi:10.1007/978-3-540-37855-6_4. ISBN 978-3-540-06558-6.
• Knudsen, Finn F. (1983). "स्थिर वक्रों के मोडुली स्थान की प्रोजेक्टिविटी, II: ढेर ${\mathcal {M}}_{g,n}$". Mathematica Scandinavica. 52: 161. doi:10.7146/math.scand.a-12001.
• Jiang, Yunfeng (2019). "सतहों पर प्रोजेक्टिव हिग्स बंडलों के मोडुली स्टैक के निर्माण पर". arXiv:1911.00250 [math.AG].

मैथोवरफ्लो धागे

• क्या बीजगणितीय स्टैक fpqc डिसेंट को संतुष्ट करते हैं?
• fpqc टोपोलॉजी में स्टैक
• fpqc स्टैक के कवर

अन्य

• स्टैक के उदाहरण
• arxiv:math/0412512|ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी, फाइबर्ड कैटेगरी और डिसेंट थ्योरी पर नोट्स
• बीजीय स्टैक पर नोट्स

श्रेणी:बीजगणितीय वक्र श्रेणी:मोडुली सिद्धांत श्रेणी:बीजगणितीय ज्यामिति