सह समुच्चय: Difference between revisions

Revision as of 22:37, 30 April 2023

G

समूह है

(ℤ/8ℤ, +)

, पूर्णांक मॉड्यूल n अतिरिक्त के अनुसार। उपसमूह

H

में केवल 0 और 4 होते हैं। के चार बाएँ सहसमुच्चय हैं

H

:

H

अपने आप,

1 + H

,

2 + H

, और

3 + H

(योगात्मक संकेतन का उपयोग करते हुए लिखा गया है क्योंकि यह योगात्मक समूह है)। वे सब मिलकर पूरे समूह का विभाजन करते हैं

G

समान-बनावट, गैर-अतिव्यापी सेट में। एक उपसमूह का सूचकांक

[G : H]

4 है।

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत, एक उपसमूह {{mvar|H}एक समूह का } (गणित) $G$ का उपयोग अंतर्निहित सेट (गणित) को विघटित करने के लिए किया जा सकता है $G$ असंयुक्त सबसेट में, समान बनावट के उपसमुच्चय को सहसमुच्चय कहा जाता है। बाएं सहसमुच्चय और दाएं सहसमुच्चय हैं। कोसेट्स (बाएं और दाएं दोनों) में समान संख्या में तत्व (प्रमुखता) होते हैं $H$ . आगे, $H$ स्वयं एक बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय दोनों है। के बाएं कोसेट की संख्या $H$ में $G$ के सही कोसेट की संख्या के बराबर है $H$ में $G$ . इस सामान्य मान को उपसमूह का सूचकांक कहा जाता है $H$ में $G$ और सामान्यतः द्वारा निरूपित किया जाता है $[G : H]$ .

समूहों के अध्ययन में सहसमुच्चय एक बुनियादी उपकरण हैं; उदाहरण के लिए, वे Lagrange के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | Lagrange के प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं जो बताता है कि किसी भी परिमित समूह के लिए $G$ , प्रत्येक उपसमूह के तत्वों की संख्या $H$ का $G$ के तत्वों की संख्या को विभाजित करता है $G$ . एक विशेष प्रकार के उपसमूह (एक सामान्य उपसमूह) के सहसमुच्चय का उपयोग दूसरे समूह के तत्वों के रूप में किया जा सकता है जिसे भागफल समूह कहा जाता है। कोसेट गणित के अन्य क्षेत्रों में भी दिखाई देते हैं जैसे वेक्टर रिक्त स्थान और त्रुटि सुधार कोड।

परिभाषा

होने देना $H$ समूह का एक उपसमूह हो $G$ जिसका संक्रिया गुणक रूप से लिखा गया है (जुगलबंदी समूह संक्रिया को दर्शाता है)। एक तत्व दिया $g$ का $G$ , के बाएं कोसेट $H$ में $G$ के प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त सेट हैं $H$ एक निश्चित तत्व द्वारा $g$ का $G$ (कहाँ $g$ बायां कारक है)। प्रतीकों में ये हैं,

gH = {gh : h an element of H}

for

g

in

G

.

सही सहसमुच्चय समान रूप से परिभाषित किए गए हैं, सिवाय इसके कि तत्व $g$ अब एक सही कारक है, अर्थात,

Hg = {hg : h an element of H}

for

g

in

G

.

जैसा $g$ समूह के माध्यम से भिन्न होता है, ऐसा प्रतीत होता है कि कई सहसमुच्चय (दाएं या बाएं) उत्पन्न होंगे। फिर भी, यह पता चला है कि कोई भी दो बाएं सहसमुच्चय (क्रमशः दाएं सहसमुच्चय) या तो असंयुक्त हैं या समुच्चय के रूप में समरूप हैं।^[1] यदि समूह संक्रिया योगात्मक रूप से लिखी जाती है, जैसा कि अधिकांशतः होता है जब समूह आबेली समूह होता है, तो प्रयुक्त अंकन बदल जाता है $g + H$ या $H + g$ , क्रमश।

पहला उदाहरण

होने देना $G$ ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह हो। इसके तत्वों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है ${I, a, a 2, b, ab, a 2 b}$ . इस समूह में, $a 3 = b 2 = I$ और $ba = a 2 b$ . संपूर्ण केली तालिका भरने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है:

∗	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$I$	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$a$	$a$	$a 2$	$I$	$ab$	$a 2 b$	$b$
$a 2$	$a 2$	$I$	$a$	$a 2 b$	$b$	$ab$
$b$	$b$	$a 2 b$	$ab$	$I$	$a 2$	$a$
$ab$	$ab$	$b$	$a 2 b$	$a$	$I$	$a 2$
$a 2 b$	$a 2 b$	$ab$	$b$	$a 2$	$a$	$I$

होने देना $T$ उपसमूह हो ${I, b}$ . (भिन्न) के बाएं कोसेट $T$ हैं:

$IT = T = {I, b}$ ,
$aT = {a, ab}$ , और
$a 2 T = {a 2, a 2 b}$ .

चूंकि सभी तत्व $G$ अब इनमें से किसी एक सहसमुच्चय में प्रकट हो गए हैं, कोई और उत्पन्न करने से नए सहसमुच्चय नहीं मिल सकते हैं, क्योंकि एक नए सहसमुच्चय में इनमें से किसी एक सहसमुच्चय के साथ एक तत्व होना चाहिए और इसलिए इन सहसमुच्चयों में से एक के समान होना चाहिए। उदाहरण के लिए, $abT = {ab, a} = aT$ .

का सही कोसेट $T$ हैं:

$TI = T = {I, b}$ ,
$Ta = {a, ba} = {a, a 2 b}$ , और
$Ta 2 = {a 2, ba 2} = {a 2, ab}$ .

इस उदाहरण में, को छोड़कर $T$ , कोई बायाँ सहसमुच्चय भी दायाँ सहसमुच्चय नहीं है।

होने देना $H$ उपसमूह हो ${I, a, a 2}$ . के बाएं कोसेट $H$ हैं $IH = H$ और $bH = {b, ba, ba 2}$ . का सही कोसेट $H$ हैं $HI = H$ और $Hb = {b, ab, a 2 b} = {b, ba 2, ba}$ . इस स्थिति में, का प्रत्येक बायाँ सहसमुच्चय $H$ का भी एक सही सहसमुच्चय है $H$ .^[2] होने देना $H$ किसी समूह का उपसमूह हो $G$ और मान लीजिए $g 1$ , $g 2 \in G$ . निम्न कथन समतुल्य हैं:^[3]

$g 1 H = g 2 H$
$Hg 1 -1 = Hg 2 -1$
$g 1 H \subset g 2 H$
$g 2 \in g 1 H$
$g 1 -1 g 2 \in H$

गुण

गैर-समरूप सहसमुच्चयों की असंगति इस तथ्य का परिणाम है कि यदि $x$ से संबंधित $gH$ तब $gH = xH$ . यदि $x \in gH$ तो वहाँ एक उपलब्ध होना चाहिए $a \in H$ ऐसा है कि $ga = x$ . इस प्रकार $xH = (ga) H = g (aH)$ . इसके अतिरिक्त, चूंकि $H$ एक समूह है, बाएँ गुणन द्वारा $a$ एक आपत्ति है, और $aH = H$ .

इस प्रकार का हर तत्व $G$ उपसमूह के ठीक एक बाएं सहसमुच्चय से संबंधित है $H$ ,^[1]और $H$ अपने आप में एक बायां सहसमुच्चय है (और वह जिसमें पहचान है)।^[2]

एक ही बाएँ सहसमुच्चय में होने वाले दो तत्व भी एक प्राकृतिक तुल्यता संबंध प्रदान करते हैं। के दो तत्वों को परिभाषित कीजिए $G$ , $x$ और $y$ , उपसमूह के संबंध में समतुल्य होना $H$ यदि $xH = yH$ (या समकक्ष यदि $x -1 y$ से संबंधित $H$ ). इस संबंध के तुल्यता वर्ग के बाएँ सहसमुच्चय हैं $H$ .^[4] तुल्यता वर्गों के किसी भी सेट के साथ, वे अंतर्निहित सेट का एक विभाजन (सेट सिद्धांत) बनाते हैं। समतुल्य वर्ग के अर्थ में एक कोसेट प्रतिनिधि एक प्रतिनिधि (गणित) है। सभी कोसेट्स के प्रतिनिधियों के एक सेट को ट्रांसवर्सल (कॉम्बिनेटरिक्स) कहा जाता है। एक समूह में अन्य प्रकार के तुल्यता संबंध होते हैं, जैसे कि संयुग्मन, जो विभिन्न वर्गों का निर्माण करते हैं जिनमें यहां चर्चा किए गए गुण नहीं होते हैं।

समान कथन सही कोसेट पर लागू होते हैं।

यदि $G$ तब एक एबेलियन समूह है $g + H = H + g$ प्रत्येक उपसमूह के लिए $H$ का $G$ और हर तत्व $g$ का $G$ . सामान्य समूहों के लिए, एक तत्व दिया गया $g$ और एक उपसमूह $H$ समूह का $G$ , का सही कोसेट $H$ इसके संबंध में $g$ संयुग्मी उपसमूह का बायां सहसमुच्चय भी है $g -1 Hg$ इसके संबंध में $g$ , वह है, $Hg = g (g -1 Hg)$ .

सामान्य उपसमूह

एक उपसमूह $N$ समूह का $G$ का एक सामान्य उपसमूह है $G$ यदि और केवल यदि सभी तत्वों के लिए $g$ का $G$ संबंधित बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय बराबर हैं, अर्थात, $gN = Ng$ . यही स्थिति उपसमूह की है $H$ उपरोक्त पहले उदाहरण में। इसके अतिरिक्त, के cosets $N$ में $G$ एक समूह बनाते हैं जिसे भागफल समूह कहा जाता है $G / N$ .

यदि $H$ सामान्य उपसमूह नहीं है $G$ , तब इसके बाएँ कोसेट इसके दाएँ कोसेट से भिन्न होते हैं। अर्थात एक है $a$ में $G$ ऐसा है कि कोई तत्व नहीं $b$ संतुष्ट करता है $aH = Hb$ . इसका मतलब है कि का विभाजन $G$ के बाएं कोसेट में $H$ के विभाजन से भिन्न विभाजन है $G$ के सही कोसेट में $H$ . यह उपसमूह द्वारा सचित्र है $T$ उपरोक्त पहले उदाहरण में। (कुछ सहसमुच्चय संपाती हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $a$ के केंद्र (समूह सिद्धांत) में है $G$ , तब $aH = Ha$ .)

दूसरी ओर, यदि उपसमूह $N$ सामान्य है सभी सहसमुच्चयों का समुच्चय एक समूह बनाता है जिसे भागफल समूह कहा जाता है $G / N$ ऑपरेशन के साथ $*$ द्वारा परिभाषित $(aN) * (bN) = abN$ . चूँकि प्रत्येक दायाँ सहसमुच्चय एक बायाँ सहसमुच्चय होता है, इसलिए बाएँ सहसमुच्चय को दाएँ सहसमुच्चय से भिन्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

एक उपसमूह का सूचकांक

के प्रत्येक बाएँ या दाएँ कोसेट $H$ में तत्वों की संख्या समान होती है (या अनंतता के स्थिति में कार्डिनैलिटी $H$ ) जैसा $H$ अपने आप। इसके अतिरिक्त, बाएं कोसेट की संख्या सही कोसेट की संख्या के बराबर होती है और इसे इंडेक्स के रूप में जाना जाता है $H$ जी में, के रूप में लिखा $[G : H]$ . लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज का प्रमेय हमें उस स्थिति में सूचकांक की गणना करने की अनुमति देता है जहां $G$ और $H$ परिमित हैं:

|G|=[G:H]|H|.

यह समीकरण उस स्थिति में भी लागू होता है जहां समूह अनंत हैं, चूंकि अर्थ कम स्पष्ट हो सकता है।

अधिक उदाहरण

पूर्णांक

होने देना $G$ पूर्णांकों का योज्य समूह हो, $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ और $H$ उपसमूह $(3 Z, +) = ({..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, +)$ . फिर के cosets $H$ में $G$ तीन सेट हैं $3 Z$ , $3 Z + 1$ , और $3 Z + 2$ , कहाँ $3 Z + a = {..., -6 + a, -3 + a, a, 3 + a, 6 + a, ...}$ . ये तीन सेट सेट को विभाजित करते हैं $Z$ , इसलिए इसका कोई अन्य सही सहसमुच्चय नहीं है $H$ . जोड़ की क्रमविनिमेयता के कारण $H + 1 = 1 + H$ और $H + 2 = 2 + H$ . अर्थात्, का प्रत्येक बायाँ सहसमुच्चय $H$ भी एक सही कोसेट है, इसलिए $H$ एक सामान्य उपसमूह है।^[5] (इसी तर्क से पता चलता है कि एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है।^[6])

यह उदाहरण सामान्यीकृत किया जा सकता है। फिर से चलो $G$ पूर्णांकों का योज्य समूह हो, $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ , और अब चलो $H$ उपसमूह $(m Z, +) = ({..., -2 m, - m, 0, m, 2 m, ...}, +)$ , कहाँ $m$ एक सकारात्मक पूर्णांक है। फिर के cosets $H$ में $G$ हैं $m$ सेट $m Z$ , $m Z + 1$ , ..., $m Z + (m - 1)$ , कहाँ $m Z + a = {..., -2 m + a, - m + a, a, m + a, 2 m + a, ...}$ . से अधिक नहीं हैं $m$ सहसमुच्चय, क्योंकि $m Z + m = m (Z + 1) = m Z$ . कोसेट $(m Z + a, +)$ का मॉड्यूलर अंकगणित है $a$ मापांक $m$ .^[7] उपसमूह $m Z$ में सामान्य है $Z$ , और इसलिए, भागफल समूह बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है $Z / m Z$ इंटीग्रर्स मॉड एन का समूह।

वेक्टर

सहसमुच्चय का एक और उदाहरण वेक्टर रिक्त स्थान के सिद्धांत से आता है। वेक्टर स्पेस के तत्व (वैक्टर) वेक्टर जोड़ के अनुसार एक एबेलियन समूह बनाते हैं। सदिश समष्टि की रैखिक उपसमष्टि इस समूह के उपसमूह हैं। एक वेक्टर स्थान के लिए $V$ , एक उप-स्थान $W$ , और एक निश्चित वेक्टर $a$ में $V$ , सेट

\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}

affine उपक्षेत्र कहलाते हैं, और कोसेट हैं (बाएं और दाएं दोनों, चूंकि समूह एबेलियन है)। 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष वैक्टर के संदर्भ में, ये एफ़िन सबस्पेस सभी लाइनें या विमान हैं जो सबस्पेस के समानांतर (ज्यामिति) हैं, जो मूल के माध्यम से जाने वाली रेखा या विमान है। उदाहरण के लिए, विमान (ज्यामिति) पर विचार करें

R 2

. यदि

m

मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा है

O

, तब

m

एबेलियन समूह का एक उपसमूह है

R 2

. यदि

P

में है

R 2

, फिर कोसेट

P + m

एक रेखा है

m'

इसके समानांतर

m

और गुजर रहा है

P

.^[8]

मैट्रिक्स

होने देना $G$ आव्यूहों का गुणक समूह हो,^[9]

G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},

और उपसमूह

H

का

G

,

H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.

के एक निश्चित तत्व के लिए

G

बाएं सहसमुच्चय पर विचार करें

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}

अर्थात्, बाएँ सहसमुच्चय में सभी आव्यूह होते हैं

G

वही ऊपरी-बाएँ प्रविष्टि है। यह उपसमूह

H

में सामान्य है

G

, लेकिन उपसमूह

T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}

में सामान्य नहीं है

G

.

एक समूह कार्रवाई की कक्षाओं के रूप में

एक उपसमूह $H$ समूह का $G$ का उपयोग समूह क्रिया को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है $H$ पर $G$ दो प्राकृतिक विधियों से। एक सही क्रिया, $G \times H \to G$ द्वारा दिए गए $(g, h) \to gh$ या एक बाईं क्रिया, $H \times G \to G$ द्वारा दिए गए $(h, g) \to hg$ . की कक्षा (समूह सिद्धांत)। $g$ दाएँ क्रिया के अंतर्गत बायाँ सहसमुच्चय है $gH$ , जबकि बाएँ क्रिया के अंतर्गत कक्षा दाएँ सहसमुच्चय है $Hg$ .^[10]

इतिहास

कोसेट की अवधारणा 1830-31 के गाल्वा के काम की है। उन्होंने एक अंकन प्रस्तुत किया लेकिन अवधारणा के लिए कोई नाम नहीं दिया। को-सेट शब्द पहली बार 1910 में जीए मिलर के पेपर में क्वार्टरली जर्नल ऑफ मैथेमेटिक्स (वॉल्यूम 41, पृष्ठ 382) में दिखाई देता है। जर्मन नेबेनग्रुपपेन (एडवर्ड रिटर वॉन वेबर) और संयुग्म समूह (विलियम बर्नसाइड) सहित कई अन्य शब्दों का उपयोग किया गया है।^[11] गाल्वा का संबंध यह तय करने से था कि कब एक दिया गया बहुपद समीकरण मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है। एक उपकरण जिसे उन्होंने विकसित किया वह एक उपसमूह को ध्यान में रखते हुए था $H$ क्रमचय के एक समूह की $G$ के दो अपघटन को प्रेरित किया $G$ (जिसे अब हम बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय कहते हैं)। यदि ये अपघटन एक साथ होते हैं, अर्थात, यदि बाएं सहसमुच्चय दाएं सहसमुच्चय के समान हैं, तो समस्या को कम करने का एक विधि था $H$ के अतिरिक्त $G$ . केमिली जॉर्डन ने 1865 और 1869 में गैलोज़ के काम पर अपनी टिप्पणियों में इन विचारों पर विस्तार से बताया और सामान्य उपसमूहों को परिभाषित किया जैसा कि हमने ऊपर किया है, चूंकि उन्होंने इस शब्द का उपयोग नहीं किया।^[6]

कोसेट बुला रहा है $gH$ का बायां सहसमुच्चय $g$ इसके संबंध में $H$ , जबकि आज सबसे आम है,^[10]अतीत में सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं रहा है। उदाहरण के लिए, Hall (1959) बुलाएंगे $gH$ एक दायां सहसमुच्चय, दाहिनी ओर होने वाले उपसमूह पर जोर देता है।

== कोडिंग सिद्धांत == से एक आवेदन

एक बाइनरी लीनियर कोड एक है $n$ -आयामी उप-स्थान $C$ की एक $m$ -आयामी वेक्टर अंतरिक्ष $V$ बाइनरी फ़ील्ड पर $GF(2)$ . जैसा $V$ एक योज्य एबेलियन समूह है, $C$ इस समूह का एक उपसमूह है। ट्रांसमिशन में होने वाली त्रुटियों को ठीक करने के लिए कोड का उपयोग किया जा सकता है। जब एक कोडवर्ड (का तत्व $C$ ) प्रेषित किया जाता है, इसके कुछ बिट्स को प्रक्रिया में बदला जा सकता है और रिसीवर का कार्य सबसे संभावित कोडवर्ड निर्धारित करना है जो दूषित प्राप्त शब्द के रूप में प्रारंभ हो सकता है। इस प्रक्रिया को डिकोडिंग कहा जाता है और यदि प्रसारण में केवल कुछ त्रुटियां की जाती हैं तो इसे बहुत ही कम गलतियों के साथ प्रभावी ढंग से किया जा सकता है। डिकोडिंग के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि के तत्वों की व्यवस्था का उपयोग करती है $V$ (एक प्राप्त शब्द का कोई भी तत्व हो सकता है $V$ ) एक मानक सरणी में। एक मानक सरणी का एक कोसेट अपघटन है $V$ एक निश्चित तरीके से सारणीबद्ध रूप में रखें। अर्थात्, सरणी की शीर्ष पंक्ति में तत्व होते हैं $C$ , किसी भी क्रम में लिखा जाता है, सिवाय इसके कि शून्य वेक्टर को पहले लिखा जाना चाहिए। फिर, का एक तत्व $V$ उन लोगों की न्यूनतम संख्या के साथ जो पहले से ही शीर्ष पंक्ति में दिखाई नहीं दे रहे हैं और का कोसेट चुना गया है $C$ इस तत्व को दूसरी पंक्ति के रूप में लिखा जाता है (अर्थात, इस तत्व के प्रत्येक तत्व के साथ योग करके पंक्ति बनाई जाती है $C$ सीधे इसके ऊपर)। इस तत्व को कोसेट नेता कहा जाता है और इसे चुनने में कुछ विकल्प हो सकते हैं। अब प्रक्रिया दोहराई जाती है, एक नवीनतम सदिश जिसकी न्यूनतम संख्या पहले से प्रकट नहीं होती है, एक नए सहसमुच्चय नेता के रूप में चुना जाता है और सहसमुच्चय $C$ युक्त यह अगली पंक्ति है। प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब सभी वैक्टर $V$ कोसेट्स में क्रमबद्ध किया गया है।

2-आयामी कोड के लिए मानक सरणी का एक उदाहरण $C = {00000, 01101, 10110, 11011}$ 5-आयामी अंतरिक्ष में $V$ (32 सदिशों के साथ) इस प्रकार है:

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
00100	01001	10010	11111
00010	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	00011
10001	11100	00111	01010

डिकोडिंग प्रक्रिया तालिका में प्राप्त शब्द को खोजने के लिए है और फिर इसमें पंक्ति के कोसेट लीडर को जोड़ना है। चूंकि बाइनरी अंकगणितीय जोड़ना घटाने के समान ही ऑपरेशन है, यह निरंतर एक तत्व में परिणाम देता है $C$ . इस घटना में कि संचरण त्रुटियां कोसेट लीडर की गैर-शून्य स्थिति में हुई हैं, परिणाम सही कोडवर्ड होगा। इस उदाहरण में, यदि एक एकल त्रुटि होती है, तो विधि निरंतर इसे ठीक करेगी, क्योंकि सभी संभावित सहसमुच्चय नेता एक एकल के साथ सरणी में दिखाई देते हैं।

इस पद्धति की दक्षता में सुधार के लिए सिंड्रोम डिकोडिंग का उपयोग किया जा सकता है। यह सही सहसमुच्चय (पंक्ति) की गणना करने की एक विधि है जिसमें एक प्राप्त शब्द होगा $n$ -आयामी कोड $C$ एक में $m$ -डायमेंशनल बाइनरी वेक्टर स्पेस, एक समता जांच मैट्रिक्स एक है $(m - n) \times m$ आव्यूह $H$ जिसके पास संपत्ति है $x H T = 0$ यदि और केवल यदि $x$ में है $C$ .^[12] सदिश $x H T$ का सिंड्रोम कहलाता है $x$ , और रैखिकता से, एक ही सहसमुच्चय में प्रत्येक वेक्टर का एक ही सिंड्रोम होगा। डिकोड करने के लिए, खोज अब कोसेट लीडर को खोजने के लिए कम हो गई है जिसमें प्राप्त शब्द के समान सिंड्रोम है।^[13]

डबल कोसेट्स

दो उपसमूहों को देखते हुए, $H$ और $K$ (जो भिन्न होने की जरूरत नहीं है) एक समूह के $G$ , के डबल कोसेट $H$ और $K$ में $G$ फॉर्म के सेट हैं $HgK = {hgk : h an element of H, k an element of K}$ . ये के बाएँ सहसमुच्चय हैं $K$ और सही कोसेट $H$ कब $H = 1$ और $K = 1$ क्रमश।^[14] दो डबल कोसेट $HxK$ और $HyK$ या तो असंयुक्त या समरूप हैं।^[15] निश्चित के लिए सभी डबल कोसेट का सेट $H$ और $K$ का एक विभाजन बनाते हैं $G$ .

एक डबल कोसेट $HxK$ के पूर्ण दाएँ सहसमुच्चय सम्मलित हैं $H$ (में $G$ ) फॉर्म का $Hxk$ , साथ $k$ का एक तत्व $K$ और का पूरा बायां कोसेट $K$ (में $G$ ) फॉर्म का $hxK$ , साथ $h$ में $H$ .^[15]

अंकन

होने देना $G$ उपसमूहों के साथ एक समूह बनें $H$ और $K$ . इन सेटों के साथ काम करने वाले कई लेखकों ने अपने काम के लिए एक विशेष संकेतन विकसित किया है, जहाँ^[16]^[17]

$G / H$ बाएं कोसेट के सेट को दर्शाता है ${gH : g in G}$ का $H$ में $G$ .
$H\G$ सही कोसेट के सेट को दर्शाता है ${Hg : g in G}$ का $H$ में $G$ .
$K\G/H$ डबल कोसेट के सेट को दर्शाता है ${KgH : g in G}$ का $H$ और $K$ में $G$ , जिसे कभी-कभी डबल कोसेट स्पेस कहा जाता है।
$G // H$ डबल कोसेट स्पेस को दर्शाता है $H\G/H$ उपसमूह का $H$ में $G$ .

अधिक आवेदन

के कोसेट $Q$ में $R$ का उपयोग विटाली सेट के निर्माण में किया जाता है, एक प्रकार का गैर-मापने योग्य सेट।
स्थानांतरण (समूह सिद्धांत) की परिभाषा में कोसेट केंद्रीय हैं।
कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत में कोसेट महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, रुबिक के घन के लिए इष्टतम समाधान # थीस्टलेथवाइट के एल्गोरिदम|
ज्यामिति में, क्लिफोर्ड-क्लेन फॉर्म एक डबल कोसेट स्पेस है $Γ\G/H$ , कहाँ $G$ एक रिडक्टिव लाइ ग्रुप है, $H$ एक बंद उपसमूह है, और $Γ$ एक असतत उपसमूह है (का $G$ ) जो सजातीय स्थान पर ठीक से काम करता है $G / H$ .

यह भी देखें

ढेर (गणित)
कोसेट गणना

↑ ^1.0 ^1.1 Rotman 2006, p. 156
↑ ^2.0 ^2.1 Dean 1990, p. 100
↑ "AATA Cosets".
↑ Rotman 2006, p.155
↑ Fraleigh 1994, p. 117
↑ ^6.0 ^6.1 Fraleigh 1994, p. 169
↑ Joshi 1989, p. 323
↑ Rotman 2006, p. 155
↑ Burton 1988, pp. 128, 135
↑ ^10.0 ^10.1 Jacobson 2009, p. 52
↑ Miller 2012, p. 24 footnote
↑ The transpose matrix is used so that the vectors can be written as row vectors.
↑ Rotman 2006, p. 423
↑ Scott 1987, p. 19
↑ ^15.0 ^15.1 Hall 1959, pp. 14–15
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↑ Duckworth, W. Ethan (2004), "Infiniteness of double coset collections in algebraic groups", Journal of Algebra, Elsevier, 273 (2): 718–733, arXiv:math/0305256, doi:10.1016/j.jalgebra.2003.08.011, S2CID 17839580

संदर्भ

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Joshi, K. D. (1989), "§5.2 Cosets of Subgroups", Foundations of Discrete Mathematics, New Age International, pp. 322 ff, ISBN 81-224-0120-1
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Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
Scott, W.R. (1987), "§1.7 Cosets and index", Group Theory, Courier Dover Publications, pp. 19 ff, ISBN 0-486-65377-3

अग्रिम पठन

Zassenhaus, Hans J. (1999), "§1.4 Subgroups", The Theory of Groups, Courier Dover Publications, pp. 10 ff, ISBN 0-486-40922-8

बाहरी संबंध

Nicolas Bray. "Coset". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Left Coset". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Right Coset". MathWorld.
Ivanova, O.A. (2001) [1994], "Coset in a group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Coset at PlanetMath.
Illustrated examples
"Coset". groupprops. The Group Properties Wiki.

[Rotman2006-1] 1.0 ^1.1 Rotman 2006, p. 156

[Dean-2] 2.0 ^2.1 Dean 1990, p. 100

[3] "AATA Cosets".

[4] Rotman 2006, p.155

[5] Fraleigh 1994, p. 117

[Fraleigh-6] 6.0 ^6.1 Fraleigh 1994, p. 169

[7] Joshi 1989, p. 323

[8] Rotman 2006, p. 155

[9] Burton 1988, pp. 128, 135

[Jacobson-10] 10.0 ^10.1 Jacobson 2009, p. 52

[11] Miller 2012, p. 24 footnote

[12] The transpose matrix is used so that the vectors can be written as row vectors.

[13] Rotman 2006, p. 423

[14] Scott 1987, p. 19

[Hall-15] 15.0 ^15.1 Hall 1959, pp. 14–15

[16] Seitz, Gary M. (1998), "Double Cosets in Algebraic Groups", in Carter, R.W.; Saxl, J. (eds.), Algebraic Groups and their Representation, Springer, pp. 241–257, doi:10.1007/978-94-011-5308-9_13, ISBN 978-0-7923-5292-1

[17] Duckworth, W. Ethan (2004), "Infiniteness of double coset collections in algebraic groups", Journal of Algebra, Elsevier, 273 (2): 718–733, arXiv:math/0305256, doi:10.1016/j.jalgebra.2003.08.011, S2CID 17839580

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 {{distinguish|Cosette}}
-[[File:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|thumb|{{mvar|G}} समूह है {{math|[[Integers_modulo_n#Integers_modulo_n|(ℤ/8ℤ, +)]]}}, पूर्णांक मॉड्यूल n अतिरिक्त के तहत। उपसमूह {{mvar|H}} में केवल 0 और 4 होते हैं। के चार बाएँ सहसमुच्चय हैं {{mvar|H}}: {{mvar|H}} अपने आप, {{math|1 + ''H''}}, {{math|2 + ''H''}}, और {{math|3 + ''H''}} (योगात्मक संकेतन का उपयोग करते हुए लिखा गया है क्योंकि यह योगात्मक समूह है)। वे सब मिलकर पूरे समूह का विभाजन करते हैं {{mvar|G}} समान-आकार, गैर-अतिव्यापी सेट में। [[एक उपसमूह का सूचकांक]] {{math|[''G'' : ''H'']}} 4 है।]]गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]], एक [[उपसमूह]] {{mvar|H}एक समूह का } (गणित) {{mvar|G}} का उपयोग अंतर्निहित [[सेट (गणित)]] को विघटित करने के लिए किया जा सकता है {{mvar|G}} असंयुक्त [[सबसेट]] में, समान आकार के उपसमुच्चय को सहसमुच्चय कहा जाता है। ''बाएं सहसमुच्चय'' और ''दाएं सहसमुच्चय'' हैं। कोसेट्स (बाएं और दाएं दोनों) में समान संख्या में तत्व ([[प्रमुखता]]) होते हैं {{mvar|H}}. आगे, {{mvar|H}} स्वयं एक बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय दोनों है। के बाएं कोसेट की संख्या {{mvar|H}} में {{mvar|G}} के सही कोसेट की संख्या के बराबर है {{mvar|H}} में {{mvar|G}}. इस सामान्य मान को उपसमूह का सूचकांक कहा जाता है {{mvar|H}} में {{mvar|G}} और आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|[''G'' : ''H'']}}.
+[[File:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|thumb|{{mvar|G}} समूह है {{math|[[Integers_modulo_n#Integers_modulo_n|(ℤ/8ℤ, +)]]}}, पूर्णांक मॉड्यूल n अतिरिक्त के अनुसार। उपसमूह {{mvar|H}} में केवल 0 और 4 होते हैं। के चार बाएँ सहसमुच्चय हैं {{mvar|H}}: {{mvar|H}} अपने आप, {{math|1 + ''H''}}, {{math|2 + ''H''}}, और {{math|3 + ''H''}} (योगात्मक संकेतन का उपयोग करते हुए लिखा गया है क्योंकि यह योगात्मक समूह है)। वे सब मिलकर पूरे समूह का विभाजन करते हैं {{mvar|G}} समान-बनावट, गैर-अतिव्यापी सेट में। [[एक उपसमूह का सूचकांक]] {{math|[''G'' : ''H'']}} 4 है।]]गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]], एक [[उपसमूह]] {{mvar|H}एक समूह का } (गणित) {{mvar|G}} का उपयोग अंतर्निहित [[सेट (गणित)]] को विघटित करने के लिए किया जा सकता है {{mvar|G}} असंयुक्त [[सबसेट]] में, समान बनावट के उपसमुच्चय को सहसमुच्चय कहा जाता है। ''बाएं सहसमुच्चय'' और ''दाएं सहसमुच्चय'' हैं। कोसेट्स (बाएं और दाएं दोनों) में समान संख्या में तत्व ([[प्रमुखता]]) होते हैं {{mvar|H}}. आगे, {{mvar|H}} स्वयं एक बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय दोनों है। के बाएं कोसेट की संख्या {{mvar|H}} में {{mvar|G}} के सही कोसेट की संख्या के बराबर है {{mvar|H}} में {{mvar|G}}. इस सामान्य मान को उपसमूह का सूचकांक कहा जाता है {{mvar|H}} में {{mvar|G}} और सामान्यतः द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|[''G'' : ''H'']}}.
 समूहों के अध्ययन में सहसमुच्चय एक बुनियादी उपकरण हैं; उदाहरण के लिए, वे Lagrange के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | Lagrange के प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं जो बताता है कि किसी भी [[परिमित समूह]] के लिए {{mvar|G}}, प्रत्येक उपसमूह के तत्वों की संख्या {{mvar|H}} का {{mvar|G}} के तत्वों की संख्या को विभाजित करता है {{mvar|G}}. एक विशेष प्रकार के उपसमूह (एक [[सामान्य उपसमूह]]) के सहसमुच्चय का उपयोग दूसरे समूह के तत्वों के रूप में किया जा सकता है जिसे [[भागफल समूह]] कहा जाता है। कोसेट गणित के अन्य क्षेत्रों में भी दिखाई देते हैं जैसे वेक्टर रिक्त स्थान और [[त्रुटि सुधार कोड]]।
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 जैसा {{mvar|g}} समूह के माध्यम से भिन्न होता है, ऐसा प्रतीत होता है कि कई सहसमुच्चय (दाएं या बाएं) उत्पन्न होंगे। फिर भी, यह पता चला है कि कोई भी दो बाएं सहसमुच्चय (क्रमशः दाएं सहसमुच्चय) या तो असंयुक्त हैं या समुच्चय के रूप में समरूप हैं।<ref name=Rotman2006>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 156}}</ref>
-यदि समूह संक्रिया योगात्मक रूप से लिखी जाती है, जैसा कि अक्सर होता है जब समूह आबेली समूह होता है, तो प्रयुक्त अंकन बदल जाता है {{math|''g'' + ''H''}} या {{math|''H'' + ''g''}}, क्रमश।
+यदि समूह संक्रिया योगात्मक रूप से लिखी जाती है, जैसा कि अधिकांशतः होता है जब समूह आबेली समूह होता है, तो प्रयुक्त अंकन बदल जाता है {{math|''g'' + ''H''}} या {{math|''H'' + ''g''}}, क्रमश।
 === पहला उदाहरण ===
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 |{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}} ||{{math|''ab''}} ||{{mvar|b}} || {{math|''a''<sup>2</sup>}} ||{{mvar|a}} || {{mvar|I}}
 |}
-होने देना {{mvar|T}} उपसमूह हो {{math|{''I'', ''b''}<nowiki/>}}. (अलग) के बाएं कोसेट {{mvar|T}} हैं:
+होने देना {{mvar|T}} उपसमूह हो {{math|{''I'', ''b''}<nowiki/>}}. (भिन्न) के बाएं कोसेट {{mvar|T}} हैं:
 *{{math|1=''IT'' = ''T'' = {{mset|''I'', ''b''}}}},
 *{{math|1=''aT'' = {{mset|''a'', ''ab''}}}}, और
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 == गुण ==
-गैर-समरूप सहसमुच्चयों की असंगति इस तथ्य का परिणाम है कि यदि {{mvar|x}} से संबंधित {{math|''gH''}} तब {{math|1=''gH'' = ''xH''}}. यदि {{math|''x'' ∈ ''gH''}} तो वहाँ एक मौजूद होना चाहिए {{math|''a'' ∈ ''H''}} ऐसा है कि {{math|1=''ga'' = ''x''}}. इस प्रकार {{math|1=''xH'' = (''ga'')''H'' = ''g''(''aH'')}}. इसके अलावा, चूंकि {{math|''H''}} एक समूह है, बाएँ गुणन द्वारा {{mvar|a}} एक आपत्ति है, और {{math|1=''aH'' = ''H''}}.
+गैर-समरूप सहसमुच्चयों की असंगति इस तथ्य का परिणाम है कि यदि {{mvar|x}} से संबंधित {{math|''gH''}} तब {{math|1=''gH'' = ''xH''}}. यदि {{math|''x'' ∈ ''gH''}} तो वहाँ एक उपलब्ध होना चाहिए {{math|''a'' ∈ ''H''}} ऐसा है कि {{math|1=''ga'' = ''x''}}. इस प्रकार {{math|1=''xH'' = (''ga'')''H'' = ''g''(''aH'')}}. इसके अतिरिक्त, चूंकि {{math|''H''}} एक समूह है, बाएँ गुणन द्वारा {{mvar|a}} एक आपत्ति है, और {{math|1=''aH'' = ''H''}}.
 इस प्रकार का हर तत्व {{math|''G''}} उपसमूह के ठीक एक बाएं सहसमुच्चय से संबंधित है {{math|''H''}},<ref name=Rotman2006 />और {{math|''H''}} अपने आप में एक बायां सहसमुच्चय है (और वह जिसमें पहचान है)।<ref name=Dean />
-एक ही बाएँ सहसमुच्चय में होने वाले दो तत्व भी एक प्राकृतिक [[तुल्यता संबंध]] प्रदान करते हैं। के दो तत्वों को परिभाषित कीजिए {{mvar|G}}, {{mvar|x}} और {{mvar|y}}, उपसमूह के संबंध में समतुल्य होना {{mvar|H}} अगर {{math|1=''xH'' = ''yH''}} (या समकक्ष अगर {{math|''x''<sup>−1</sup>''y''}} से संबंधित {{mvar|H}}). इस संबंध के तुल्यता वर्ग के बाएँ सहसमुच्चय हैं {{mvar|H}}.<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p.155}}</ref> तुल्यता वर्गों के किसी भी सेट के साथ, वे अंतर्निहित सेट का एक [[विभाजन (सेट सिद्धांत)]] बनाते हैं। समतुल्य वर्ग के अर्थ में एक कोसेट प्रतिनिधि एक [[प्रतिनिधि (गणित)]] है। सभी कोसेट्स के प्रतिनिधियों के एक सेट को [[ट्रांसवर्सल (कॉम्बिनेटरिक्स)]] कहा जाता है। एक समूह में अन्य प्रकार के तुल्यता संबंध होते हैं, जैसे कि संयुग्मन, जो विभिन्न वर्गों का निर्माण करते हैं जिनमें यहां चर्चा किए गए गुण नहीं होते हैं।
+एक ही बाएँ सहसमुच्चय में होने वाले दो तत्व भी एक प्राकृतिक [[तुल्यता संबंध]] प्रदान करते हैं। के दो तत्वों को परिभाषित कीजिए {{mvar|G}}, {{mvar|x}} और {{mvar|y}}, उपसमूह के संबंध में समतुल्य होना {{mvar|H}} यदि {{math|1=''xH'' = ''yH''}} (या समकक्ष यदि {{math|''x''<sup>−1</sup>''y''}} से संबंधित {{mvar|H}}). इस संबंध के तुल्यता वर्ग के बाएँ सहसमुच्चय हैं {{mvar|H}}.<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p.155}}</ref> तुल्यता वर्गों के किसी भी सेट के साथ, वे अंतर्निहित सेट का एक [[विभाजन (सेट सिद्धांत)]] बनाते हैं। समतुल्य वर्ग के अर्थ में एक कोसेट प्रतिनिधि एक [[प्रतिनिधि (गणित)]] है। सभी कोसेट्स के प्रतिनिधियों के एक सेट को [[ट्रांसवर्सल (कॉम्बिनेटरिक्स)]] कहा जाता है। एक समूह में अन्य प्रकार के तुल्यता संबंध होते हैं, जैसे कि संयुग्मन, जो विभिन्न वर्गों का निर्माण करते हैं जिनमें यहां चर्चा किए गए गुण नहीं होते हैं।
 समान कथन सही कोसेट पर लागू होते हैं।
-अगर {{math|''G''}} तब एक एबेलियन समूह है {{math|1=''g'' + ''H'' = ''H'' + ''g''}} प्रत्येक उपसमूह के लिए {{math|''H''}} का {{math|''G''}} और हर तत्व {{mvar|g}} का {{math|''G''}}. सामान्य समूहों के लिए, एक तत्व दिया गया {{mvar|g}} और एक उपसमूह {{math|''H''}} समूह का {{math|''G''}}, का सही कोसेट {{math|''H''}} इसके संबंध में {{mvar|g}} संयुग्मी उपसमूह का बायां सहसमुच्चय भी है {{math|''g''<sup>−1</sup>''Hg''}} इसके संबंध में {{mvar|g}}, वह है, {{math|1=''Hg'' = ''g''(''g''<sup>−1</sup>''Hg'')}}.
+यदि {{math|''G''}} तब एक एबेलियन समूह है {{math|1=''g'' + ''H'' = ''H'' + ''g''}} प्रत्येक उपसमूह के लिए {{math|''H''}} का {{math|''G''}} और हर तत्व {{mvar|g}} का {{math|''G''}}. सामान्य समूहों के लिए, एक तत्व दिया गया {{mvar|g}} और एक उपसमूह {{math|''H''}} समूह का {{math|''G''}}, का सही कोसेट {{math|''H''}} इसके संबंध में {{mvar|g}} संयुग्मी उपसमूह का बायां सहसमुच्चय भी है {{math|''g''<sup>−1</sup>''Hg''}} इसके संबंध में {{mvar|g}}, वह है, {{math|1=''Hg'' = ''g''(''g''<sup>−1</sup>''Hg'')}}.
 === सामान्य उपसमूह ===
-एक उपसमूह {{math|''N''}} समूह का {{math|''G''}} का एक सामान्य उपसमूह है {{math|''G''}} अगर और केवल अगर सभी तत्वों के लिए {{mvar|g}} का {{math|''G''}} संबंधित बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय बराबर हैं, अर्थात, {{math|1=''gN'' = ''Ng''}}. यही स्थिति उपसमूह की है {{mvar|H}} उपरोक्त पहले उदाहरण में। इसके अलावा, के cosets {{math|''N''}} में {{math|''G''}} एक समूह बनाते हैं जिसे भागफल समूह कहा जाता है {{math|''G''/''N''}}.
+एक उपसमूह {{math|''N''}} समूह का {{math|''G''}} का एक सामान्य उपसमूह है {{math|''G''}} यदि और केवल यदि सभी तत्वों के लिए {{mvar|g}} का {{math|''G''}} संबंधित बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय बराबर हैं, अर्थात, {{math|1=''gN'' = ''Ng''}}. यही स्थिति उपसमूह की है {{mvar|H}} उपरोक्त पहले उदाहरण में। इसके अतिरिक्त, के cosets {{math|''N''}} में {{math|''G''}} एक समूह बनाते हैं जिसे भागफल समूह कहा जाता है {{math|''G''/''N''}}.
-अगर {{math|''H''}} सामान्य उपसमूह नहीं है {{math|''G''}}, तब इसके बाएँ कोसेट इसके दाएँ कोसेट से भिन्न होते हैं। यानी एक है {{mvar|a}} में {{math|''G''}} ऐसा है कि कोई तत्व नहीं {{mvar|b}} संतुष्ट करता है {{math|1=''aH'' = ''Hb''}}. इसका मतलब है कि का विभाजन {{math|''G''}} के बाएं कोसेट में {{math|''H''}} के विभाजन से भिन्न विभाजन है {{math|''G''}} के सही कोसेट में {{math|''H''}}. यह उपसमूह द्वारा सचित्र है {{mvar|T}} उपरोक्त पहले उदाहरण में। (कुछ सहसमुच्चय संपाती हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|a}} के [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] में है {{math|''G''}}, तब {{math|1=''aH'' = ''Ha''}}.)
+यदि {{math|''H''}} सामान्य उपसमूह नहीं है {{math|''G''}}, तब इसके बाएँ कोसेट इसके दाएँ कोसेट से भिन्न होते हैं। अर्थात एक है {{mvar|a}} में {{math|''G''}} ऐसा है कि कोई तत्व नहीं {{mvar|b}} संतुष्ट करता है {{math|1=''aH'' = ''Hb''}}. इसका मतलब है कि का विभाजन {{math|''G''}} के बाएं कोसेट में {{math|''H''}} के विभाजन से भिन्न विभाजन है {{math|''G''}} के सही कोसेट में {{math|''H''}}. यह उपसमूह द्वारा सचित्र है {{mvar|T}} उपरोक्त पहले उदाहरण में। (कुछ सहसमुच्चय संपाती हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|a}} के [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] में है {{math|''G''}}, तब {{math|1=''aH'' = ''Ha''}}.)
-दूसरी ओर, यदि उपसमूह {{math|''N''}} सामान्य है सभी सहसमुच्चयों का समुच्चय एक समूह बनाता है जिसे भागफल समूह कहा जाता है {{math|''G'' / ''N''}} ऑपरेशन के साथ {{math|∗}} द्वारा परिभाषित {{math|1=(''aN'') ∗ (''bN'') = ''abN''}}. चूँकि प्रत्येक दायाँ सहसमुच्चय एक बायाँ सहसमुच्चय होता है, इसलिए बाएँ सहसमुच्चय को दाएँ सहसमुच्चय से अलग करने की कोई आवश्यकता नहीं है।
+दूसरी ओर, यदि उपसमूह {{math|''N''}} सामान्य है सभी सहसमुच्चयों का समुच्चय एक समूह बनाता है जिसे भागफल समूह कहा जाता है {{math|''G'' / ''N''}} ऑपरेशन के साथ {{math|∗}} द्वारा परिभाषित {{math|1=(''aN'') ∗ (''bN'') = ''abN''}}. चूँकि प्रत्येक दायाँ सहसमुच्चय एक बायाँ सहसमुच्चय होता है, इसलिए बाएँ सहसमुच्चय को दाएँ सहसमुच्चय से भिन्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है।
 === एक उपसमूह का सूचकांक ===
 {{Main|Index of a subgroup}}
-के प्रत्येक बाएँ या दाएँ कोसेट {{math|''H''}} में तत्वों की संख्या समान होती है (या [[अनंतता]] के मामले में कार्डिनैलिटी {{math|''H''}}) जैसा {{math|''H''}} अपने आप। इसके अलावा, बाएं कोसेट की संख्या सही कोसेट की संख्या के बराबर होती है और इसे इंडेक्स के रूप में जाना जाता है {{math|''H''}} जी में, के रूप में लिखा {{math|[''G'' : ''H'']}}. लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज का प्रमेय हमें उस मामले में सूचकांक की गणना करने की अनुमति देता है जहां {{math|''G''}} और {{math|''H''}} परिमित हैं:
+के प्रत्येक बाएँ या दाएँ कोसेट {{math|''H''}} में तत्वों की संख्या समान होती है (या [[अनंतता]] के स्थिति में कार्डिनैलिटी {{math|''H''}}) जैसा {{math|''H''}} अपने आप। इसके अतिरिक्त, बाएं कोसेट की संख्या सही कोसेट की संख्या के बराबर होती है और इसे इंडेक्स के रूप में जाना जाता है {{math|''H''}} जी में, के रूप में लिखा {{math|[''G'' : ''H'']}}. लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज का प्रमेय हमें उस स्थिति में सूचकांक की गणना करने की अनुमति देता है जहां {{math|''G''}} और {{math|''H''}} परिमित हैं:
 <math display="block">|G| = [G : H]|H|.</math>
-यह समीकरण उस मामले में भी लागू होता है जहां समूह अनंत हैं, हालांकि अर्थ कम स्पष्ट हो सकता है।
+यह समीकरण उस स्थिति में भी लागू होता है जहां समूह अनंत हैं, चूंकि अर्थ कम स्पष्ट हो सकता है।
 == अधिक उदाहरण ==
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 === वेक्टर ===
-सहसमुच्चय का एक और उदाहरण वेक्टर रिक्त स्थान के सिद्धांत से आता है। वेक्टर स्पेस के तत्व (वैक्टर) [[वेक्टर जोड़]] के तहत एक एबेलियन समूह बनाते हैं। सदिश समष्टि की रैखिक उपसमष्टि इस समूह के उपसमूह हैं। एक वेक्टर स्थान के लिए {{math|''V''}}, एक उप-स्थान {{math|''W''}}, और एक निश्चित वेक्टर {{math|'''a'''}} में {{math|''V''}}, सेट
+सहसमुच्चय का एक और उदाहरण वेक्टर रिक्त स्थान के सिद्धांत से आता है। वेक्टर स्पेस के तत्व (वैक्टर) [[वेक्टर जोड़]] के अनुसार एक एबेलियन समूह बनाते हैं। सदिश समष्टि की रैखिक उपसमष्टि इस समूह के उपसमूह हैं। एक वेक्टर स्थान के लिए {{math|''V''}}, एक उप-स्थान {{math|''W''}}, और एक निश्चित वेक्टर {{math|'''a'''}} में {{math|''V''}}, सेट
 <math display="block">\{\mathbf{x} \in V \mid \mathbf{x} = \mathbf{a} + \mathbf{w}, \mathbf{w} \in W\}</math>
-[[ affine उपक्षेत्र ]] कहलाते हैं, और कोसेट हैं (बाएं और दाएं दोनों, चूंकि समूह एबेलियन है)। 3-आयामी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] वैक्टर के संदर्भ में, ये एफ़िन सबस्पेस सभी लाइनें या विमान हैं जो सबस्पेस के [[समानांतर (ज्यामिति)]] हैं, जो मूल के माध्यम से जाने वाली रेखा या विमान है। उदाहरण के लिए, विमान (ज्यामिति) पर विचार करें {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}. अगर {{mvar|m}} मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा है {{mvar|O}}, तब {{mvar|m}} एबेलियन समूह का एक उपसमूह है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}. अगर {{mvar|P}} में है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, फिर कोसेट {{math|''P'' + ''m''}} एक रेखा है {{math|''m''′}} इसके समानांतर {{mvar|m}} और गुजर रहा है {{mvar|P}}.<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 155}}</ref>
+[[ affine उपक्षेत्र | affine उपक्षेत्र]] कहलाते हैं, और कोसेट हैं (बाएं और दाएं दोनों, चूंकि समूह एबेलियन है)। 3-आयामी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] वैक्टर के संदर्भ में, ये एफ़िन सबस्पेस सभी लाइनें या विमान हैं जो सबस्पेस के [[समानांतर (ज्यामिति)]] हैं, जो मूल के माध्यम से जाने वाली रेखा या विमान है। उदाहरण के लिए, विमान (ज्यामिति) पर विचार करें {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}. यदि {{mvar|m}} मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा है {{mvar|O}}, तब {{mvar|m}} एबेलियन समूह का एक उपसमूह है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}. यदि {{mvar|P}} में है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, फिर कोसेट {{math|''P'' + ''m''}} एक रेखा है {{math|''m''′}} इसके समानांतर {{mvar|m}} और गुजर रहा है {{mvar|P}}.<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 155}}</ref>
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 {{main|Group action}}
-एक उपसमूह {{mvar|H}} समूह का {{mvar|G}} का उपयोग [[समूह क्रिया]] को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है {{mvar|H}} पर {{mvar|G}} दो प्राकृतिक तरीकों से। एक सही क्रिया, {{math|''G'' × ''H'' → ''G''}} द्वारा दिए गए {{math|(''g'', ''h'') → ''gh''}} या एक बाईं क्रिया, {{math|''H'' × ''G'' → ''G''}} द्वारा दिए गए {{math|(''h'', ''g'') → ''hg''}}. की [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]]। {{mvar|g}} दाएँ क्रिया के अंतर्गत बायाँ सहसमुच्चय है {{mvar|gH}}, जबकि बाएँ क्रिया के अंतर्गत कक्षा दाएँ सहसमुच्चय है {{mvar|Hg}}.<ref name=Jacobson>{{harvnb|Jacobson|2009|loc=p. 52}}</ref>
+एक उपसमूह {{mvar|H}} समूह का {{mvar|G}} का उपयोग [[समूह क्रिया]] को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है {{mvar|H}} पर {{mvar|G}} दो प्राकृतिक विधियों से। एक सही क्रिया, {{math|''G'' × ''H'' → ''G''}} द्वारा दिए गए {{math|(''g'', ''h'') → ''gh''}} या एक बाईं क्रिया, {{math|''H'' × ''G'' → ''G''}} द्वारा दिए गए {{math|(''h'', ''g'') → ''hg''}}. की [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]]। {{mvar|g}} दाएँ क्रिया के अंतर्गत बायाँ सहसमुच्चय है {{mvar|gH}}, जबकि बाएँ क्रिया के अंतर्गत कक्षा दाएँ सहसमुच्चय है {{mvar|Hg}}.<ref name=Jacobson>{{harvnb|Jacobson|2009|loc=p. 52}}</ref>
 == इतिहास ==
 कोसेट की अवधारणा 1830-31 के गाल्वा के काम की है। उन्होंने एक अंकन प्रस्तुत किया लेकिन अवधारणा के लिए कोई नाम नहीं दिया। को-सेट शब्द पहली बार 1910 में जीए मिलर के पेपर में क्वार्टरली जर्नल ऑफ मैथेमेटिक्स (वॉल्यूम 41, पृष्ठ 382) में दिखाई देता है। जर्मन नेबेनग्रुपपेन ([[एडवर्ड रिटर वॉन वेबर]]) और संयुग्म समूह ([[विलियम बर्नसाइड]]) सहित कई अन्य शब्दों का उपयोग किया गया है।<ref>{{harvnb|Miller|2012|loc=p. 24 footnote}}</ref>
-गाल्वा का संबंध यह तय करने से था कि कब एक दिया गया [[बहुपद समीकरण]] मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है। एक उपकरण जिसे उन्होंने विकसित किया वह एक उपसमूह को ध्यान में रखते हुए था {{mvar|H}} क्रमचय के एक समूह की {{mvar|G}} के दो अपघटन को प्रेरित किया {{mvar|G}} (जिसे अब हम बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय कहते हैं)। यदि ये अपघटन एक साथ होते हैं, अर्थात, यदि बाएं सहसमुच्चय दाएं सहसमुच्चय के समान हैं, तो समस्या को कम करने का एक तरीका था {{mvar|H}} के बजाय {{mvar|G}}. [[केमिली जॉर्डन]] ने 1865 और 1869 में गैलोज़ के काम पर अपनी टिप्पणियों में इन विचारों पर विस्तार से बताया और सामान्य उपसमूहों को परिभाषित किया जैसा कि हमने ऊपर किया है, हालांकि उन्होंने इस शब्द का इस्तेमाल नहीं किया।<ref name=Fraleigh />
+गाल्वा का संबंध यह तय करने से था कि कब एक दिया गया [[बहुपद समीकरण]] मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है। एक उपकरण जिसे उन्होंने विकसित किया वह एक उपसमूह को ध्यान में रखते हुए था {{mvar|H}} क्रमचय के एक समूह की {{mvar|G}} के दो अपघटन को प्रेरित किया {{mvar|G}} (जिसे अब हम बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय कहते हैं)। यदि ये अपघटन एक साथ होते हैं, अर्थात, यदि बाएं सहसमुच्चय दाएं सहसमुच्चय के समान हैं, तो समस्या को कम करने का एक विधि था {{mvar|H}} के अतिरिक्त {{mvar|G}}. [[केमिली जॉर्डन]] ने 1865 और 1869 में गैलोज़ के काम पर अपनी टिप्पणियों में इन विचारों पर विस्तार से बताया और सामान्य उपसमूहों को परिभाषित किया जैसा कि हमने ऊपर किया है, चूंकि उन्होंने इस शब्द का उपयोग नहीं किया।<ref name=Fraleigh />
 कोसेट बुला रहा है {{mvar|gH}} का बायां सहसमुच्चय {{mvar|g}} इसके संबंध में {{mvar|H}}, जबकि आज सबसे आम है,<ref name=Jacobson />अतीत में सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं रहा है। उदाहरण के लिए, {{harvtxt|Hall|1959}} बुलाएंगे {{mvar|gH}} एक दायां सहसमुच्चय, दाहिनी ओर होने वाले उपसमूह पर जोर देता है।
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 == कोडिंग सिद्धांत == से एक आवेदन
 {{main|Standard array}}
-एक बाइनरी लीनियर कोड एक है {{mvar|n}}-आयामी उप-स्थान {{mvar|C}} की एक {{mvar|m}}-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष {{mvar|V}} बाइनरी फ़ील्ड पर {{math|GF(2)}}. जैसा {{mvar|V}} एक योज्य एबेलियन समूह है, {{mvar|C}} इस समूह का एक उपसमूह है। ट्रांसमिशन में होने वाली त्रुटियों को ठीक करने के लिए कोड का उपयोग किया जा सकता है। जब एक कोडवर्ड (का तत्व {{mvar|C}}) प्रेषित किया जाता है, इसके कुछ बिट्स को प्रक्रिया में बदला जा सकता है और रिसीवर का कार्य सबसे संभावित कोडवर्ड निर्धारित करना है जो दूषित प्राप्त शब्द के रूप में शुरू हो सकता है। इस प्रक्रिया को डिकोडिंग कहा जाता है और यदि प्रसारण में केवल कुछ त्रुटियां की जाती हैं तो इसे बहुत ही कम गलतियों के साथ प्रभावी ढंग से किया जा सकता है। डिकोडिंग के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि के तत्वों की व्यवस्था का उपयोग करती है {{mvar|V}} (एक प्राप्त शब्द का कोई भी तत्व हो सकता है {{mvar|V}}) एक [[मानक सरणी]] में। एक मानक सरणी का एक कोसेट अपघटन है {{mvar|V}} एक निश्चित तरीके से सारणीबद्ध रूप में रखें। अर्थात्, सरणी की शीर्ष पंक्ति में तत्व होते हैं {{mvar|C}}, किसी भी क्रम में लिखा जाता है, सिवाय इसके कि शून्य वेक्टर को पहले लिखा जाना चाहिए। फिर, का एक तत्व {{mvar|V}} उन लोगों की न्यूनतम संख्या के साथ जो पहले से ही शीर्ष पंक्ति में दिखाई नहीं दे रहे हैं और का कोसेट चुना गया है {{mvar|C}} इस तत्व को दूसरी पंक्ति के रूप में लिखा जाता है (अर्थात, इस तत्व के प्रत्येक तत्व के साथ योग करके पंक्ति बनाई जाती है {{mvar|C}} सीधे इसके ऊपर)। इस तत्व को [[ कोसेट नेता ]] कहा जाता है और इसे चुनने में कुछ विकल्प हो सकते हैं। अब प्रक्रिया दोहराई जाती है, एक नया सदिश जिसकी न्यूनतम संख्या पहले से प्रकट नहीं होती है, एक नए सहसमुच्चय नेता के रूप में चुना जाता है और सहसमुच्चय {{mvar|C}} युक्त यह अगली पंक्ति है। प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब सभी वैक्टर {{mvar|V}} कोसेट्स में क्रमबद्ध किया गया है।
+एक बाइनरी लीनियर कोड एक है {{mvar|n}}-आयामी उप-स्थान {{mvar|C}} की एक {{mvar|m}}-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष {{mvar|V}} बाइनरी फ़ील्ड पर {{math|GF(2)}}. जैसा {{mvar|V}} एक योज्य एबेलियन समूह है, {{mvar|C}} इस समूह का एक उपसमूह है। ट्रांसमिशन में होने वाली त्रुटियों को ठीक करने के लिए कोड का उपयोग किया जा सकता है। जब एक कोडवर्ड (का तत्व {{mvar|C}}) प्रेषित किया जाता है, इसके कुछ बिट्स को प्रक्रिया में बदला जा सकता है और रिसीवर का कार्य सबसे संभावित कोडवर्ड निर्धारित करना है जो दूषित प्राप्त शब्द के रूप में प्रारंभ हो सकता है। इस प्रक्रिया को डिकोडिंग कहा जाता है और यदि प्रसारण में केवल कुछ त्रुटियां की जाती हैं तो इसे बहुत ही कम गलतियों के साथ प्रभावी ढंग से किया जा सकता है। डिकोडिंग के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि के तत्वों की व्यवस्था का उपयोग करती है {{mvar|V}} (एक प्राप्त शब्द का कोई भी तत्व हो सकता है {{mvar|V}}) एक [[मानक सरणी]] में। एक मानक सरणी का एक कोसेट अपघटन है {{mvar|V}} एक निश्चित तरीके से सारणीबद्ध रूप में रखें। अर्थात्, सरणी की शीर्ष पंक्ति में तत्व होते हैं {{mvar|C}}, किसी भी क्रम में लिखा जाता है, सिवाय इसके कि शून्य वेक्टर को पहले लिखा जाना चाहिए। फिर, का एक तत्व {{mvar|V}} उन लोगों की न्यूनतम संख्या के साथ जो पहले से ही शीर्ष पंक्ति में दिखाई नहीं दे रहे हैं और का कोसेट चुना गया है {{mvar|C}} इस तत्व को दूसरी पंक्ति के रूप में लिखा जाता है (अर्थात, इस तत्व के प्रत्येक तत्व के साथ योग करके पंक्ति बनाई जाती है {{mvar|C}} सीधे इसके ऊपर)। इस तत्व को [[ कोसेट नेता |कोसेट नेता]] कहा जाता है और इसे चुनने में कुछ विकल्प हो सकते हैं। अब प्रक्रिया दोहराई जाती है, एक नवीनतम सदिश जिसकी न्यूनतम संख्या पहले से प्रकट नहीं होती है, एक नए सहसमुच्चय नेता के रूप में चुना जाता है और सहसमुच्चय {{mvar|C}} युक्त यह अगली पंक्ति है। प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब सभी वैक्टर {{mvar|V}} कोसेट्स में क्रमबद्ध किया गया है।
 -आयामी कोड के लिए मानक सरणी का एक उदाहरण {{math|1=''C'' = {{mset|00000, 01101, 10110, 11011}}}} 5-आयामी अंतरिक्ष में {{mvar|V}} (32 सदिशों के साथ) इस प्रकार है:
@@ Line 148: / Line 148: @@
 | 10001 || 11100 || 00111 || 01010
 |}
-डिकोडिंग प्रक्रिया तालिका में प्राप्त शब्द को खोजने के लिए है और फिर इसमें पंक्ति के कोसेट लीडर को जोड़ना है। चूंकि बाइनरी अंकगणितीय जोड़ना घटाने के समान ही ऑपरेशन है, यह हमेशा एक तत्व में परिणाम देता है {{mvar|C}}. इस घटना में कि संचरण त्रुटियां कोसेट लीडर की गैर-शून्य स्थिति में हुई हैं, परिणाम सही कोडवर्ड होगा। इस उदाहरण में, यदि एक एकल त्रुटि होती है, तो विधि हमेशा इसे ठीक करेगी, क्योंकि सभी संभावित सहसमुच्चय नेता एक एकल के साथ सरणी में दिखाई देते हैं।
+डिकोडिंग प्रक्रिया तालिका में प्राप्त शब्द को खोजने के लिए है और फिर इसमें पंक्ति के कोसेट लीडर को जोड़ना है। चूंकि बाइनरी अंकगणितीय जोड़ना घटाने के समान ही ऑपरेशन है, यह निरंतर एक तत्व में परिणाम देता है {{mvar|C}}. इस घटना में कि संचरण त्रुटियां कोसेट लीडर की गैर-शून्य स्थिति में हुई हैं, परिणाम सही कोडवर्ड होगा। इस उदाहरण में, यदि एक एकल त्रुटि होती है, तो विधि निरंतर इसे ठीक करेगी, क्योंकि सभी संभावित सहसमुच्चय नेता एक एकल के साथ सरणी में दिखाई देते हैं।
-इस पद्धति की दक्षता में सुधार के लिए [[सिंड्रोम डिकोडिंग]] का उपयोग किया जा सकता है। यह सही सहसमुच्चय (पंक्ति) की गणना करने की एक विधि है जिसमें एक प्राप्त शब्द होगा {{mvar|n}}-आयामी कोड {{mvar|C}} एक में {{mvar|m}}-डायमेंशनल बाइनरी वेक्टर स्पेस, एक [[ समता जांच मैट्रिक्स ]] एक है {{math|(''m'' − ''n'') × ''m''}} आव्यूह {{mvar|H}} जिसके पास संपत्ति है {{math|1='''x'''''H''<sup>T</sup> = '''0'''}} [[अगर और केवल अगर]] {{math|'''x'''}} में है {{mvar|C}}.<ref>The transpose matrix is used so that the vectors can be written as row vectors.</ref> सदिश {{math|'''x'''''H''<sup>T</sup>}} का सिंड्रोम कहलाता है {{math|'''x'''}}, और [[रैखिकता]] से, एक ही सहसमुच्चय में प्रत्येक वेक्टर का एक ही सिंड्रोम होगा। डिकोड करने के लिए, खोज अब कोसेट लीडर को खोजने के लिए कम हो गई है जिसमें प्राप्त शब्द के समान सिंड्रोम है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 423}}</ref>
+इस पद्धति की दक्षता में सुधार के लिए [[सिंड्रोम डिकोडिंग]] का उपयोग किया जा सकता है। यह सही सहसमुच्चय (पंक्ति) की गणना करने की एक विधि है जिसमें एक प्राप्त शब्द होगा {{mvar|n}}-आयामी कोड {{mvar|C}} एक में {{mvar|m}}-डायमेंशनल बाइनरी वेक्टर स्पेस, एक [[ समता जांच मैट्रिक्स |समता जांच मैट्रिक्स]] एक है {{math|(''m'' − ''n'') × ''m''}} आव्यूह {{mvar|H}} जिसके पास संपत्ति है {{math|1='''x'''''H''<sup>T</sup> = '''0'''}} [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] {{math|'''x'''}} में है {{mvar|C}}.<ref>The transpose matrix is used so that the vectors can be written as row vectors.</ref> सदिश {{math|'''x'''''H''<sup>T</sup>}} का सिंड्रोम कहलाता है {{math|'''x'''}}, और [[रैखिकता]] से, एक ही सहसमुच्चय में प्रत्येक वेक्टर का एक ही सिंड्रोम होगा। डिकोड करने के लिए, खोज अब कोसेट लीडर को खोजने के लिए कम हो गई है जिसमें प्राप्त शब्द के समान सिंड्रोम है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 423}}</ref>
 == डबल कोसेट्स ==
 {{main|Double coset}}
-दो उपसमूहों को देखते हुए, {{math|''H''}} और {{math|''K''}} (जो अलग होने की जरूरत नहीं है) एक समूह के {{math|''G''}}, के डबल कोसेट {{math|''H''}} और {{math|''K''}} में {{math|''G''}} फॉर्म के सेट हैं {{math|1=''HgK'' = {{mset|''hgk'' : ''h'' an element of ''H'', ''k'' an element of ''K''}}}}. ये के बाएँ सहसमुच्चय हैं {{math|''K''}} और सही कोसेट {{math|''H''}} कब {{math|1=''H'' = 1}} और {{math|1=''K'' = 1}} क्रमश।<ref>{{harvnb|Scott|1987|loc= p. 19}}</ref>
+दो उपसमूहों को देखते हुए, {{math|''H''}} और {{math|''K''}} (जो भिन्न होने की जरूरत नहीं है) एक समूह के {{math|''G''}}, के डबल कोसेट {{math|''H''}} और {{math|''K''}} में {{math|''G''}} फॉर्म के सेट हैं {{math|1=''HgK'' = {{mset|''hgk'' : ''h'' an element of ''H'', ''k'' an element of ''K''}}}}. ये के बाएँ सहसमुच्चय हैं {{math|''K''}} और सही कोसेट {{math|''H''}} कब {{math|1=''H'' = 1}} और {{math|1=''K'' = 1}} क्रमश।<ref>{{harvnb|Scott|1987|loc= p. 19}}</ref>
 दो डबल कोसेट {{math|''HxK''}} और {{math|''HyK''}} या तो असंयुक्त या समरूप हैं।<ref name=Hall>{{harvnb|Hall|1959|loc=pp. 14–15}}</ref> निश्चित के लिए सभी डबल कोसेट का सेट {{mvar|H}} और {{mvar|K}} का एक विभाजन बनाते हैं {{mvar|G}}.
-एक डबल कोसेट {{math|''HxK''}} के पूर्ण दाएँ सहसमुच्चय शामिल हैं {{mvar|H}} (में {{mvar|G}}) फॉर्म का {{math|''Hxk''}}, साथ {{mvar|k}} का एक तत्व {{mvar|K}} और का पूरा बायां कोसेट {{mvar|K}} (में {{mvar|G}}) फॉर्म का {{math|''hxK''}}, साथ {{mvar|h}} में {{mvar|H}}.<ref name=Hall />
+एक डबल कोसेट {{math|''HxK''}} के पूर्ण दाएँ सहसमुच्चय सम्मलित हैं {{mvar|H}} (में {{mvar|G}}) फॉर्म का {{math|''Hxk''}}, साथ {{mvar|k}} का एक तत्व {{mvar|K}} और का पूरा बायां कोसेट {{mvar|K}} (में {{mvar|G}}) फॉर्म का {{math|''hxK''}}, साथ {{mvar|h}} में {{mvar|H}}.<ref name=Hall />

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