व्युत्पन्न: Difference between revisions

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गणित में, व्युत्पन्न एक प्रस्तावित ढांचा है<ref>{{Cite web|last=Grothendieck|date=|title=Les Dérivateurs|url=https://webusers.imj-prg.fr/~georges.maltsiniotis/groth/Derivateursengl.html|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20141120082149/http://webusers.imj-prg.fr:80/~georges.maltsiniotis/groth/Derivateursengl.html |archive-date=2014-11-20 |access-date=|website=}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|last=Grothendieck|date=|title=स्टैक का पीछा करना|url=https://thescrivener.github.io/PursuingStacks/|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200730015735/https://thescrivener.github.io/PursuingStacks/ps-online.pdf|archive-date=30 Jul 2020|access-date=2020-09-17|website=thescrivener.github.io}}</ref><sup>पृष्ठ 190-195 </sup> [[[[समरूप बीजगणित]]]] के लिए एबेलियन और गैर-अबेलियन समरूप बीजगणित और इसके विभिन्न सामान्यीकरण दोनों के लिए एक आधार प्रदान करता है। उन्हें [[व्युत्पन्न श्रेणी]] (जैसे शंकु निर्माण की गैर-कार्यक्षमता) की कमियों को दूर करने के लिए पेश किया गया था और एक ही समय में होमोटोपिकल बीजगणित के लिए एक भाषा प्रदान की गई थी।
गणित में, व्युत्पन्न एक प्रस्तावित संरचना है<ref>{{Cite web|last=Grothendieck|date=|title=Les Dérivateurs|url=https://webusers.imj-prg.fr/~georges.maltsiniotis/groth/Derivateursengl.html|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20141120082149/http://webusers.imj-prg.fr:80/~georges.maltsiniotis/groth/Derivateursengl.html |archive-date=2014-11-20 |access-date=|website=}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|last=Grothendieck|date=|title=स्टैक का पीछा करना|url=https://thescrivener.github.io/PursuingStacks/|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200730015735/https://thescrivener.github.io/PursuingStacks/ps-online.pdf|archive-date=30 Jul 2020|access-date=2020-09-17|website=thescrivener.github.io}}</ref><sup>पृष्ठ 190-195</sup> [[समरूप बीजगणित]] के लिए एबेलियन और गैर-अबेलियन समरूप बीजगणित और इसके विभिन्न सामान्यीकरण दोनों के लिए आधार प्रदान करते है। उन्हें [[व्युत्पन्न श्रेणी]] (जैसे शंकु निर्माण की गैर-कार्यक्षमता) की कमियों को दूर करने के लिए प्रस्तुत किया गया था और एक ही समय में समरूपीय बीजगणित के लिए भाषा प्रदान की गई थी।


डेरीवेटर्स को पहली बार [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] ने अपनी लंबी अप्रकाशित 1983 की पांडुलिपि [[ स्टैक का पीछा करना ]] में पेश किया था। इसके बाद उनके द्वारा लगभग 2000 पृष्ठों की विशाल अप्रकाशित 1991 पांडुलिपि लेस डेरिवेटर्स में विकसित किया गया। अनिवार्य रूप से एक ही अवधारणा को एलेक्स हेलर द्वारा (जाहिरा तौर पर स्वतंत्र रूप से) पेश किया गया था।{{sfn|Heller|1988}}
व्युत्पन्न को पहली बार [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] ने अपनी लंबी अप्रकाशित 1983 की पांडुलिपि [[ स्टैक का पीछा करना |अनुसरण चिति]] में प्रस्तुत किया था। इसके बाद उनके द्वारा लगभग 2000 पृष्ठों की विशाल अप्रकाशित 1991 पांडुलिपि लेस व्युत्पन्न में विकसित किया गया। अनिवार्य रूप से एक ही अवधारणा को एलेक्स हेलर द्वारा (प्रत्यक्ष स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से) प्रस्तुत किया गया था।{{sfn|Heller|1988}}


पाण्डुलिपि को जार्ज माल्टसिनियोटिस द्वारा ऑनलाइन प्रकाशन के लिए संपादित किया गया है। सिद्धांत को कई अन्य लोगों द्वारा विकसित किया गया है, जिनमें हेलर, [[जेन्स फ्रांके]], केलर और ग्रोथ शामिल हैं।
पाण्डुलिपि को जार्ज माल्टसिनियोटिस द्वारा ऑनलाइन प्रकाशन के लिए संपादित किया गया है। सिद्धांत को कई अन्य लोगों द्वारा विकसित किया गया है, जिनमें हेलर, [[जेन्स फ्रांके]], केलर और ग्रोथ सम्मिलित हैं।


== प्रेरणा ==
== प्रेरणा ==
डेरिवेटिव्स पर विचार करने के प्रेरक कारणों में से एक [[त्रिकोणीय श्रेणी]] के साथ शंकु निर्माण के साथ कार्यात्मकता की कमी है। व्युत्पन्न इस समस्या को हल करने में सक्षम हैं, और एक श्रेणी के स्थानीयकरण और एक दूसरे के बीच उनके संबंधों के साथ श्रेणी में सभी संभावित आरेखों का ट्रैक रखकर, सामान्य [[होमोटॉपी कोलिमिट]]्स को शामिल करने का समाधान करते हैं। ह्यूरिस्टिकली, दिया गया डायग्राम<blockquote><math>\bullet \to \bullet</math></blockquote>जो दो वस्तुओं और एक गैर-पहचान वाले तीर के साथ एक श्रेणी है, और एक functor<blockquote><math>F:(\bullet \to \bullet) \to  A</math></blockquote>एक श्रेणी के लिए <math>A</math> कमजोर समकक्षों के एक वर्ग के साथ <math>W</math> (और सही परिकल्पनाओं को संतुष्ट करते हुए), हमारे पास एक संबद्ध फ़ंक्टर <ब्लॉककोट> होना चाहिए<math>C(F): \bullet \to A[W^{-1}]</math></blockquote>जहां लक्ष्य वस्तु कमजोर समतुल्यता तक अद्वितीय है <math>\mathcal{C}[W^{-1}]</math>. डेरिवेटर इस तरह की जानकारी को एनकोड करने में सक्षम हैं और व्युत्पन्न श्रेणी और होमोटोपी सिद्धांत में उपयोग करने के लिए एक आरेख कलन प्रदान करते हैं।
व्युत्पन्न पर विचार करने के प्रेरक कारणों में से [[त्रिकोणीय श्रेणी]] के साथ शंकु निर्माण के साथ कार्यात्मकता की कमी है। व्युत्पन्न इस समस्या को हल करने में सक्षम हैं, और एक श्रेणी के स्थानीयकरण और एक दूसरे के बीच उनके संबंधों के साथ श्रेणी में सभी संभावित आरेखों का पद चिन्ह रखकर, सामान्य [[होमोटॉपी कोलिमिट|समस्थेयता सह सीमा]] को सम्मिलित करने का हल करते हैं। अनुमान के अनुसार, आरेख<blockquote><math>\bullet \to \bullet</math></blockquote>दिया गया है जो दो वस्तुओं और असर्वसमता वाले तीर के साथ श्रेणी है, और वर्ग <math>A</math> के लिए एक प्रकार्यक<blockquote><math>F:(\bullet \to \bullet) \to  A</math></blockquote>निर्बल समकक्षों के एक वर्ग के साथ <math>W</math> (और उचित परिकल्पना को संतुष्ट करता है), हमारे निकट संबद्ध प्रकार्यक होना चाहिए
 
<math>C(F): \bullet \to A[W^{-1}]</math>
 
जहां लक्ष्य वस्तु <math>\mathcal{C}[W^{-1}]</math> निर्बल समतुल्यता तक अद्वितीय है। व्युत्पन्न इस प्रकार की सूचना को कोडन करने में सक्षम हैं और व्युत्पन्न श्रेणी और समस्थेयता सिद्धांत में उपयोग करने के लिए आरेख कलन प्रदान करते हैं।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


=== प्रीडेरिवेटर्स ===
=== पूर्व व्युत्पन्न ===
औपचारिक रूप से, एक पूर्ववर्ती <math>\mathbb{D}</math> यह एक 2-फंक्शन <ब्लॉककोट> है<math>\mathbb{D}: \text{Ind}^{op} \to \text{CAT}</math></blockquote>सूचकांकों की उपयुक्त 2-श्रेणी से श्रेणियों की श्रेणी तक। आम तौर पर ऐसे 2-फ़ंक्टर श्रेणियों पर विचार करने से आते हैं <math>\underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)</math> कहाँ <math>A</math> गुणांक की श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\text{Ind}</math> फ़िल्टर की गई छोटी श्रेणियों की श्रेणी हो सकती है, जिनकी वस्तुओं को फ़िल्टर किए गए कॉलिमिट के लिए इंडेक्सिंग सेट के रूप में माना जा सकता है। फिर, डायग्राम <ब्लॉकक्वोट> का आकार दिया गया<math>f:I \to J</math></blockquote>निरूपित करें <math>f^*</math> by<blockquote><math>f^*:\mathbb{D}(J) \to \mathbb{D}(I)</math></blockquote>इसे उलटा छवि फ़ैक्टर कहा जाता है। प्रेरक उदाहरण में, यह केवल पूर्वसम्मिलन है, इसलिए एक फ़ंक्टर दिया गया है <math>F_I \in \underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)</math> एक संबद्ध कारक है <math>F_J = F_I \circ f</math>. ध्यान दें कि इन 2-फ़ंक्टरों को <ब्लॉककोट> के रूप में लिया जा सकता है<math>\underline{\text{Hom}}(-,A[W^{-1}])</math></blockquote>कहाँ <math>W</math> एक श्रेणी में कमजोर समकक्षों का एक उपयुक्त वर्ग है <math>A</math>.
औपचारिक रूप से, एक पूर्ववर्ती <math>\mathbb{D}</math> उपयुक्त 2-श्रेणी के सूचकांकों से श्रेणियों की श्रेणी के लिए एक 2- प्रकार्यक <math>\mathbb{D}: \text{Ind}^{op} \to \text{CAT}</math> है। सामान्यतः ऐसे 2-प्रकार्यक श्रेणियों <math>\underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)</math> पर विचार करने से आते हैं जहां <math>A</math> को गुणांक की श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\text{Ind}</math> निस्यंदित की गई छोटी श्रेणियों की श्रेणी हो सकती है, जिनकी वस्तुओं को निस्यंदित किए गए सह सीमा के लिए अनुक्रमणीकरण समुच्चय के रूप में माना जा सकता है। फिर, आरेखों की आकृति दी गई है
 
<math>f:I \to J</math>,
 
<math>f^*</math> को<blockquote><math>f^*:\mathbb{D}(J) \to \mathbb{D}(I)</math>  
 
द्वारा निरूपित करता है</blockquote>इसे व्युत्क्रम प्रतिरूप प्रकार्यक कहा जाता है। प्रेरक उदाहरण में, यह मात्र पूर्वसम्मिलन है, इसलिए एक प्रकार्यक <math>F_I \in \underline{\text{Hom}}(I^{op}, A)</math> दिया गया है जिसमें एक संबद्ध कारक <math>F_J = F_I \circ f</math> है। ध्यान दें कि इन 2-प्रकार्यकों को <math>\underline{\text{Hom}}(-,A[W^{-1}])</math> के रूप में लिया जा सकता है जहां <math>W</math> श्रेणी <math>A</math> में निर्बल समकक्षों का उपयुक्त वर्ग है।


==== अनुक्रमण श्रेणियां ====
==== अनुक्रमण श्रेणियां ====
अनुक्रमणन श्रेणियों के अनेक उदाहरण हैं जिनका उपयोग इस निर्माण में किया जा सकता है
अनुक्रमणन श्रेणियों के अनेक उदाहरण हैं जिनका उपयोग इस निर्माण में किया जा सकता है


* 2-श्रेणी <math>\text{FinCat}</math> परिमित श्रेणियों का, इसलिए वस्तुएँ वे श्रेणियाँ हैं जिनके वस्तुओं का संग्रह परिमित समुच्चय हैं।
* परिमित श्रेणियों की 2-श्रेणी <math>\text{FinCat}</math>, इसलिए वस्तुएं ऐसी श्रेणियां हैं जिनके वस्तुओं का संग्रह परिमित समुच्चय हैं।
* क्रमिक श्रेणी <math>\Delta</math> दो श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जहां वस्तुएं एक वस्तु के साथ श्रेणियां होती हैं, और कारक क्रमसूचक श्रेणी में तीर बनाते हैं।
* क्रमिक श्रेणी <math>\Delta</math> को दो श्रेणी में वर्गीकृत किया जा सकता है, जहाँ वस्तुएँ एक वस्तु के साथ श्रेणियाँ होती हैं, और प्रकार्यक क्रमिक श्रेणी में तीर बनाते हैं।
* एक अन्य विकल्प केवल छोटी श्रेणियों की श्रेणी का उपयोग करना है।
* अन्य विकल्प मात्र छोटी श्रेणियों की श्रेणी का उपयोग करना है।
* इसके अलावा, किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस से जुड़ा हुआ है <math>X</math> एक श्रेणी है <math>\text{Open}(X)</math> जिसे इंडेक्सिंग श्रेणी के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
* इसके अतिरिक्त, किसी भी सांस्थितिक समष्टि से जुड़ा <math>X</math> श्रेणी <math>\text{Open}(X)</math> है जिसे अनुक्रमणीकरण श्रेणी के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
*इसके अलावा, [[जरिस्की टोपोलॉजी]], [[ इटली साइट ]], आदि के [[टोपोस]] के अंतर्निहित [[ग्रोथेंडिक साइट]] <math>(X)_\tau</math> कुछ [[योजना (गणित)]] या [[बीजगणितीय स्थान]] के लिए <math>X</math> अनुक्रमणन श्रेणी के लिए उनके आकारिकी के साथ प्रयोग किया जा सकता है
*इसके अतिरिक्त, किसी [[योजना (गणित)|योजना (गणित]]) के लिए [[जरिस्की टोपोलॉजी|जरिस्की सांस्थिति]], [[ इटली साइट |एटाले]] , आदि <math>(X)_\tau</math> के [[टोपोस|सांस्थितिक]] के या [[बीजगणितीय स्थान]] <math>X</math> के साथ-साथ उनकी आकारिकी के साथ अंतर्निहित [[ग्रोथेंडिक साइट]] का उपयोग अनुक्रमण श्रेणी के लिए किया जा सकता है।
* इसे किसी भी टोपोस के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है <math>T</math>, इसलिए अनुक्रमण श्रेणी अंतर्निहित साइट है।
* इसे किसी भी सांस्थितिक <math>T</math> के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है , इसलिए अनुक्रमण श्रेणी अंतर्निहित साइट है।


=== व्युत्पन्न ===
=== व्युत्पन्न ===
डेरिवेटिव्स तब प्रीडेरिवेटरों का स्वयंसिद्धीकरण है जो आसन्न फंक्शंस से लैस होते हैं
व्युत्पन्न तब पूर्व व्युत्पन्नों का स्वयंसिद्धीकरण है जो आसन्न प्रकार्यक


:<math>f^? \dashv f_! \dashv f^* \dashv f_* \dashv f^!</math>
:<math>f^? \dashv f_! \dashv f^* \dashv f_* \dashv f^!</math>
कहाँ <math>f_!</math> से सटा हुआ है <math>f^*</math> और इसी तरह। अनुमान के अनुसार, <math>f_*</math> व्युत्क्रम सीमाओं के अनुरूप होना चाहिए, <math>f_!</math> कोलिमिट्स के लिए।
सुसज्जित होता है जहां <math>f_!</math> को <math>f^*</math> से संलग्न छोड़ दिया जाता है और इसी प्रकार। अनुमान के अनुसार, <math>f_*</math> व्युत्क्रम सीमाओं के अनुरूप होना चाहिए, <math>f_!</math> को सह सीमा के अनुरूप होना चाहिए।


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==

Revision as of 12:16, 16 May 2023

गणित में, व्युत्पन्न एक प्रस्तावित संरचना है[1][2]पृष्ठ 190-195 समरूप बीजगणित के लिए एबेलियन और गैर-अबेलियन समरूप बीजगणित और इसके विभिन्न सामान्यीकरण दोनों के लिए आधार प्रदान करते है। उन्हें व्युत्पन्न श्रेणी (जैसे शंकु निर्माण की गैर-कार्यक्षमता) की कमियों को दूर करने के लिए प्रस्तुत किया गया था और एक ही समय में समरूपीय बीजगणित के लिए भाषा प्रदान की गई थी।

व्युत्पन्न को पहली बार अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने अपनी लंबी अप्रकाशित 1983 की पांडुलिपि अनुसरण चिति में प्रस्तुत किया था। इसके बाद उनके द्वारा लगभग 2000 पृष्ठों की विशाल अप्रकाशित 1991 पांडुलिपि लेस व्युत्पन्न में विकसित किया गया। अनिवार्य रूप से एक ही अवधारणा को एलेक्स हेलर द्वारा (प्रत्यक्ष स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से) प्रस्तुत किया गया था।[3]

पाण्डुलिपि को जार्ज माल्टसिनियोटिस द्वारा ऑनलाइन प्रकाशन के लिए संपादित किया गया है। सिद्धांत को कई अन्य लोगों द्वारा विकसित किया गया है, जिनमें हेलर, जेन्स फ्रांके, केलर और ग्रोथ सम्मिलित हैं।

प्रेरणा

व्युत्पन्न पर विचार करने के प्रेरक कारणों में से त्रिकोणीय श्रेणी के साथ शंकु निर्माण के साथ कार्यात्मकता की कमी है। व्युत्पन्न इस समस्या को हल करने में सक्षम हैं, और एक श्रेणी के स्थानीयकरण और एक दूसरे के बीच उनके संबंधों के साथ श्रेणी में सभी संभावित आरेखों का पद चिन्ह रखकर, सामान्य समस्थेयता सह सीमा को सम्मिलित करने का हल करते हैं। अनुमान के अनुसार, आरेख

दिया गया है जो दो वस्तुओं और असर्वसमता वाले तीर के साथ श्रेणी है, और वर्ग के लिए एक प्रकार्यक

निर्बल समकक्षों के एक वर्ग के साथ (और उचित परिकल्पना को संतुष्ट करता है), हमारे निकट संबद्ध प्रकार्यक होना चाहिए

जहां लक्ष्य वस्तु निर्बल समतुल्यता तक अद्वितीय है। व्युत्पन्न इस प्रकार की सूचना को कोडन करने में सक्षम हैं और व्युत्पन्न श्रेणी और समस्थेयता सिद्धांत में उपयोग करने के लिए आरेख कलन प्रदान करते हैं।

परिभाषा

पूर्व व्युत्पन्न

औपचारिक रूप से, एक पूर्ववर्ती उपयुक्त 2-श्रेणी के सूचकांकों से श्रेणियों की श्रेणी के लिए एक 2- प्रकार्यक है। सामान्यतः ऐसे 2-प्रकार्यक श्रेणियों पर विचार करने से आते हैं जहां को गुणांक की श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, निस्यंदित की गई छोटी श्रेणियों की श्रेणी हो सकती है, जिनकी वस्तुओं को निस्यंदित किए गए सह सीमा के लिए अनुक्रमणीकरण समुच्चय के रूप में माना जा सकता है। फिर, आरेखों की आकृति दी गई है

,

को

द्वारा निरूपित करता है

इसे व्युत्क्रम प्रतिरूप प्रकार्यक कहा जाता है। प्रेरक उदाहरण में, यह मात्र पूर्वसम्मिलन है, इसलिए एक प्रकार्यक दिया गया है जिसमें एक संबद्ध कारक है। ध्यान दें कि इन 2-प्रकार्यकों को के रूप में लिया जा सकता है जहां श्रेणी में निर्बल समकक्षों का उपयुक्त वर्ग है।

अनुक्रमण श्रेणियां

अनुक्रमणन श्रेणियों के अनेक उदाहरण हैं जिनका उपयोग इस निर्माण में किया जा सकता है

  • परिमित श्रेणियों की 2-श्रेणी , इसलिए वस्तुएं ऐसी श्रेणियां हैं जिनके वस्तुओं का संग्रह परिमित समुच्चय हैं।
  • क्रमिक श्रेणी को दो श्रेणी में वर्गीकृत किया जा सकता है, जहाँ वस्तुएँ एक वस्तु के साथ श्रेणियाँ होती हैं, और प्रकार्यक क्रमिक श्रेणी में तीर बनाते हैं।
  • अन्य विकल्प मात्र छोटी श्रेणियों की श्रेणी का उपयोग करना है।
  • इसके अतिरिक्त, किसी भी सांस्थितिक समष्टि से जुड़ा श्रेणी है जिसे अनुक्रमणीकरण श्रेणी के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
  • इसके अतिरिक्त, किसी योजना (गणित) के लिए जरिस्की सांस्थिति, एटाले , आदि के सांस्थितिक के या बीजगणितीय स्थान के साथ-साथ उनकी आकारिकी के साथ अंतर्निहित ग्रोथेंडिक साइट का उपयोग अनुक्रमण श्रेणी के लिए किया जा सकता है।
  • इसे किसी भी सांस्थितिक के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है , इसलिए अनुक्रमण श्रेणी अंतर्निहित साइट है।

व्युत्पन्न

व्युत्पन्न तब पूर्व व्युत्पन्नों का स्वयंसिद्धीकरण है जो आसन्न प्रकार्यक

सुसज्जित होता है जहां को से संलग्न छोड़ दिया जाता है और इसी प्रकार। अनुमान के अनुसार, व्युत्क्रम सीमाओं के अनुरूप होना चाहिए, को सह सीमा के अनुरूप होना चाहिए।

संदर्भ

  1. Grothendieck. "Les Dérivateurs". Archived from the original on 2014-11-20.
  2. Grothendieck. "स्टैक का पीछा करना". thescrivener.github.io. Archived (PDF) from the original on 30 Jul 2020. Retrieved 2020-09-17.
  3. Heller 1988.


ग्रन्थसूची


बाहरी संबंध