मिन्कोव्स्की समष्टि

This article is about बेंज प्लेन. It is not to be confused with मिन्कोवस्की समष्टि.

गणित में, हरमन मिन्कोव्स्की के नाम पर मिन्कोव्स्की समष्टि बेंज समष्टियों में से एक है। अन्य समष्टियाँ, मोबियस समष्टि और लागुएरे समष्टि हैं।

पारंपरिक वास्तविक मिन्कोव्स्की समष्टि

पारंपरिक मिन्कोवस्की समष्टि: 2d/3d-प्रारूप

छद्म यूक्लिडियन दूरी को दो बिंदुओं $d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}$ पर $P_{i}=(x'_{i},y'_{i})$ यूक्लिडियन दूरी के अतिरिक्त हमें हाइपरबोला की ज्यामिति मिलती है, क्योंकि एक छद्म-यूक्लिडियन वृत्त $\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}$ मध्यबिंदु $M$ के साथ एक अतिपरवलय है। .

$x_{i}=x'_{i}+y'_{i}$, $y_{i}=x'_{i}-y'_{i}$ निर्देशांक के परिवर्तन से छद्म-यूक्लिडियन दूरी को $d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है। अतिपरवलय में गैर-प्राइमेड निर्देशांक, अक्षों के समानांतर स्पर्शोन्मुख होते हैं।

निम्नलिखित समीकरण अतिपरवलय की ज्यामिति को समरूप बनाता है:

• 'बिन्दु' का समुच्चय:
  $${\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,$$
• चक्रों का समुच्चय
  $${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}$$

घटना संरचना $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ को पारंपरिक वास्तविक मिन्कोव्स्की समष्टि कहा जाता है।

बिंदुओं के समूह $\mathbb {R} ^{2}$, की दो प्रतियाँ $\mathbb {R}$ और बिंदु $(\infty ,\infty )$ में सम्मिलित हैं .

किसी रेखा $y=ax+b,a\neq 0$ को बिन्दुवार $(\infty ,\infty )$ पूरा किया गया है , किसी अतिपरवलय $y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ को दो बिंदुओं से $(b,\infty ),(\infty ,c)$ पूरा किया जाता है।

यदि $x_{1}=x_{2}$ या $y_{1}=y_{2}$ है तों दो बिंदु $(x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})$ को एक चक्र से नहीं युग्मित किया जा सकता है।

हम परिभाषित करते हैं: दो बिंदु $P_{1},P_{2}$, ($P_{1}\parallel _{+}P_{2}$) के (+)-समानांतर है यदि $x_{1}=x_{2}$ और $y_{1}=y_{2}$ है।
ये दोनों संबंध बिंदुओं के समुच्चय पर तुल्यता संबंध हैं।

दो बिंदु $P_{1},P_{2}$ समानांतर $P_{1}\parallel P_{2}$ कहा जाता है यदि $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ या $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$.

उपरोक्त परिभाषा से हम पाते हैं:

लेम्मा:

• गैर समानांतर बिंदुओं के किसी भी युग्म $A,B$ के लिए ठीक एक बिंदु $C$ के साथ $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.समानांतर है।
• किसी भी बिंदु $P$ और कोई चक्र $z$ के लिए $A,B\in z$ साथ $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$. ठीक दो बिंदु हैं।
• किन्हीं तीन बिंदुओं $A$, $B$, $C$, के लिए एक युग्मित गैर समानांतर चक्र $z$ है, जिसमें $A,B,C$ सम्मिलित है।
• किसी भी चक्र $z$ के लिए , किसी बिंदु $P\in z$ $Q,P\not \parallel Q$ और $Q\notin z$ के लिए $z'$ एक चक्र इस प्रकार उपलब्ध है कि $z\cap z'=\{P\}$।

पारंपरिक मोबियस और लागुएर समिष्ट की तरह, मिंकोव्स्की समिष्ट भी एक उपयुक्त क्वाड्रेटिक के समसमष्टि खंडों की ज्यामिति के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

परंतु इस परिप्रेक्ष्य में, क्वाड्रेटिक परियोजक 3-समष्टि में होती है।: पारंपरिक वास्तविक मिंकोव्स्की समष्टि एक शीट वाले हाइपरबोलाइड के समसमष्टि खंडों की ज्यामिति के समान निर्मित होता है।

मिंकोस्की समष्टि के स्वयंसिद्ध

मान लीजिए की $\left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)$ समुच्चय के साथ ${\mathcal {P}}$ बिंदुओं की एक घटना संरचना हो तथा समुच्चय ${\mathcal {Z}}$ चक्रों और दो तुल्यता संबंध $\parallel _{+}$ ((+) - समानांतर) और $\parallel _{-}$ ((-)-समानांतर) समुच्चय पर ${\mathcal {P}}$ के लिए परिभाषित किया जाता है। $P\in {\mathcal {P}}$ के लिए निम्नलिखित संबंध दिया गया है

:${\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}$ और ${\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}$.

एक समतुल्य वर्ग ${\overline {P}}_{+}$ या ${\overline {P}}_{-}$ क्रमशः (+)-जनित्र और (-)-जनित्र कहलाते हैं।
दो बिंदु $A,B$ को समानांतर ($A\parallel B$) कहा जाता है यदि $A\parallel _{+}B$ या $A\parallel _{-}B$ होता है।

एक घटना संरचना ${\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ निम्नलिखित अभिगृहीतों के अनुसार मिन्कोवस्की समष्टि कहा जाता है:

मिन्कोवस्की-स्वयंसिद्ध-c1-c2

मिन्कोवस्की-स्वयंसिद्ध-c3-c4

* C1: गैर समानांतर बिंदुओं के किसी भी युग्म $A,B$ के लिए एक बिंदु $C$ है जहाँ $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$ है।

• C2: किसी भी बिंदु के लिए $P$ और कोई चक्र $z$ ठीक दो बिंदु हैं $A,B\in z$ साथ $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
• C3: किन्हीं तीन बिंदुओं के लिए $A,B,C$, युग्मित गैर समानांतर चक्र $z$ है जिसमें $A,B,C$$A,B,C$ है .
• C4: किसी भी चक्र $z$क े लिए, कोई बिंदु $P\in z$ और कोई बिंदु $Q,P\not \parallel Q$ और $Q\notin z$ ठीक एक चक्र $z'$ उपलब्ध है जहाँ $z\cap z'=\{P\}$ है अर्थात $z$ और $z'$ बिंदु $P$ पर अवस्थित है।
• C5: किसी भी चक्र में कम से कम 3 बिंदु होते हैं। कम से कम एक चक्र $z$ है और एक बिंदु $P$ है।

जांच के लिए समानांतर वर्गों (क्रमशः C1, C2 के समान) पर निम्नलिखित कथन उपयोगी हैं।

• C1′: किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $A,B$ के लिए $\left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1$.
• C2': किसी भी बिंदु के लिए $P$ और किसी चक्र $z$ के लिए: $\left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|$.

स्वयंसिद्धों के पहले परिणाम हैं

Lemma — मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {M}}$ निम्नलिखित कथन सत्य है

1. कोई भी बिंदु कम से कम एक चक्र में समाहित है.
2. किसी भी जनित्र में कम से कम 3 बिन्दु होते हैं.
3. दो बिंदुओं को एक चक्र से जोड़ा जा सकता है यदि और केवल यदि वे समानांतर नहीं हैं।

मोबियस और लैगुएरे समष्टिों के अनुरूप हम रैखिक अवशेषों के माध्यम से ज्यामिति संबंध प्राप्त करते हैं।

मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ और $P\in {\mathcal {P}}$ स्थानीय संरचना को परिभाषित करते हैं

$${\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )$$

और इसे बिंदु P पर अवशेष कहते हैं।

पारंपरिक मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}$ असली एफ़िन समष्टि $\mathbb {R} ^{2}$ है .

अभिगृहीत C1 से C4 और C1', C2' के तात्कालिक परिणाम निम्नलिखित दो प्रमेय हैं।

Theorem —  मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )$ कोई भी अवशेष एक सजातीय समष्टि है।

Theorem — माना ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ दो तुल्यता संबंधों के साथ एक घटना संरचना है $\parallel _{+}$ और $\parallel _{-}$ बिन्दुओ के समुच्चय पर ${\mathcal {P}}$.

तब, ${\mathfrak {M}}$ किसी बिन्दु के लिए मिन्कोव्स्की समष्टि है तथा $P$ अवशेष ${\mathfrak {A}}_{P}$ एक सजातीय समष्टि है।

न्यूनतम प्रारूप

मिन्कोव्स्की समष्टि: न्यूनतम प्रारूप

मिन्कोव्स्की समष्टि का न्यूनतम प्रारूप समुच्चय ${\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}$ पर स्थापित किया जा सकता है

$${\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}$$

$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}$$

समानांतर बिन्दु:

• $(x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})$ यदि और केवल यदि $x_{1}=x_{2}$ *$(x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})$ यदि और केवल यदि $y_{1}=y_{2}$.

इस तरह $\left|{\mathcal {P}}\right|=9$ और $\left|{\mathcal {Z}}\right|=6$.

परिमित मिन्कोव्स्की-समष्टि

परिमित मिन्कोव्स्की-समष्टियों को हम C1', C2' से प्राप्त करते हैं:

Lemma — Let be ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ a finite Minkowski plane, i.e. $\left|{\mathcal {P}}\right|<\infty$. For any pair of cycles $z_{1},z_{2}$ and any pair of generators $e_{1},e_{2}$ we have: $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|$.

यह निम्नलिखित परिभाषा को जन्म देता है:
एक परिमित मिन्कोव्स्की समष्टि और एक चक्र $z$ को हम पूर्णांक कहते हैं जहाँ $n=\left|z\right|-1$ के लिए ${\mathfrak {M}}$.

सरल संयोजी विचार उपज

Lemma — एक परिमित मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ निम्नलिखित कथन सत्य है:

1. किसी भी अवशेष (एफ़िन समष्टि) में $n$.
2. $\left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}$,
3. $\left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)$.

श्रेणी है

मिक्वेलियन मिन्कोव्स्की समष्टि

पारंपरिक वास्तविक प्रारूप का सामान्यीकरण करके हमें मिन्कोव्स्की समष्टिों के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण मिलते हैं: बस $\mathbb {R}$ को किसी यादृच्छिक क्षेत्र $K$ द्वारा प्रतिस्थापित करने पर हमे किसी भी स्थिति में मिन्कोव्स्की समष्टि ${\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ प्राप्त होता हैं। .

मोबियस और लैगुएरे समष्टिों के अनुरूप मिकेल की प्रमेय मिंकोव्स्की समष्टि ${\mathfrak {M}}(K)$ की एक विशिष्ट संपत्ति है।

मिकेल का प्रमेय

मिकेल प्रमेय: मिंकोव्स्की समष्टि ${\mathfrak {M}}(K)$ के लिए निम्नलिखित सत्य है:

यदि किन्हीं 8 युग्मों के लिए $P_{1},...,P_{8}$ समांतर बिंदु नहीं हैं जिसे एक घन के शीर्षों पर नियत किया जा सकता है, जैसे कि 5 भुजाओ वाले आरेखों में बिंदु चक्रीय चतुर्भुज के अनुरूप होते हैं, तो बिन्दु का छठा चौगुना भी चक्रीय होता है।

(आकृति में उपयुक्त अवलोकन के लिए अतिपरवलय के अतिरिक्त, वृत्त खींचे गए हैं।)

चेन प्रमेय : केवल एक मिन्कोव्स्की समष्टि ${\mathfrak {M}}(K)$ मिकेल के प्रमेय को संतुष्ट करता है।

अंतिम प्रमेय के कारण ${\mathfrak {M}}(K)$ को मिक्वेलियन मिन्कोवस्की समष्टि कहा जाता है।

टिप्पणी: मिंकोव्स्की समष्टि का न्यूनतम प्रारूप मिक्वेलियन है।

यह मिंकोवस्की समष्टि ${\mathfrak {M}}(K)$ के लिए तुल्याकारी है जहाँ $K=\operatorname {GF} (2)$ (क्षेत्र $\{0,1\}$) है।

आश्चर्यजनक परिणाम है

हेइज़ प्रमेय : सम क्रम का कोई भी मिन्कोवस्की समष्टि, मिक्वेलियन समष्टि होता है।

टिप्पणी: एक उपयुक्त त्रिविम प्रक्षेपण दिखाता है की ${\mathfrak {M}}(K)$ क्षेत्र के ऊपर प्रोजेक्टिव 3-समष्टि में एक शीट के समसमष्टि खंडों की ज्यामिति $K$ के लिए समरूपी है .

टिप्पणी: बहुत सारे मिन्कोवस्की समष्टि हैं जो मिक्वेलियन नहीं हैं परंतु मोबियस और लैगुएरे समष्टियों के विपरीत, कोई अंडाकार मिन्कोव्स्की समष्टि नहीं हैं। क्योंकि प्रोजेक्टिव 3-स्पेस में इंडेक्स 2 का कोई द्विघात समुच्चय है।

यह भी देखें

• अनुरूप ज्यामिति

संदर्भ

• Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer
• Francis Buekenhout (editor) (1995) Handbook of Incidence Geometry, Elsevier ISBN 0-444-88355-X

बाहरी संबंध

• Benz plane in the Encyclopedia of Mathematics
• Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and मिन्कोव्स्की Planes