सामान्यीकृत सममित समूह

गणित में सामान्यीकृत सममित समूह पुष्पांजलि उत्पाद है $S(m,n):=Z_{m}\wr S_{n}$ यह आदेशित एम के चक्रीय समूह और आदेशित एन के सममित समूह का क्रम है।

उदाहरण

• $m=1,$सामान्यीकृत सममित समूह साधारण सममित समूह है जैसे$S(1,n)=S_{n}.$
• $m=2,$ का क्रम 2 के चक्रीय समूह को सकारात्मक और नकारात्मक माना जा सकता है ($Z_{2}\cong \{\pm 1\}$) तथा सामान्यीकृत सममित समूह की पहचान $S(2,n)$ हस्ताक्षरित सममित समूह के साथ होती है।

(एम,एन) सामान्यीकृत क्रमचय आव्यूह के रूप में, जहां शून्येतर प्रविष्टियां एकता के एम-वें मूल हैं:

≅
   
   
.
Z_{m}\cong \mu _{m}.

प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अध्ययन किया गया है (ओशिमा 1954); (1996 कर सकते हैं) में संदर्भ देखें। जैसा कि सममित समूह के साथ होता है, स्पीच मॉड्यूल के संदर्भ में प्रतिनिधित्व का निर्माण किया जा सकता है; देखें (1996 कर सकते हैं। 

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

सिद्धांत के तत्वों का स्वाभाविक प्रतिनिधित्व $S(m,n)$ है सामान्यीकृत जहां गैर-शून्य प्रविष्टियां एकता की जडे़ं हैं प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बाद अध्ययन किया गया है ।

होमोलॉजी

पहला समूह समरूपता समूह संयुग्मी हैं इसलिए एक एबेलियन समूह में समान रूप से चिन्हित करना चाहिए क्योंकि एक एबेलियन समूह में संयुग्मन तुच्छ है को चिन्हित किया जा सकता है जबकि सममित समूह पर हस्तान्तरित नक्शा उपज देता है तथा ये स्वतंत्र होता है और समूह उत्पन्न करता है इसलिए यह अपभ्रंश हैं।

दूसरा समरूपता समूह शास्त्रीय शब्दों में शून्य गुणक द्वारा दिया गया है जो इस प्रकार है-([[#CITEREF|]]):

$H_{2}(S(2k+1,n))={\begin{cases}1&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}$

$H_{2}(S(2k+2,n))={\begin{cases}1&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4.\end{cases}}$

जबकि यह n और m की समता पर निर्भर करता है$H_{2}(S(2k+1,n))\approx H_{2}(S(1,n))$ और $H_{2}(S(2k+2,n))\approx H_{2}(S(2,n)),$जो सममित समूह और हस्ताक्षरित सममित समूह के शून्य गुणक हैं।

संदर्भ

• Davies, J. W.; Morris, A. O. (1974), "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc., 2, 8 (4): 615–620, doi:10.1112/jlms/s2-8.4.615
• Can, Himmet (1996), "Representations of the Generalized Symmetric Groups", Contributions to Algebra and Geometry, 37 (2): 289–307, CiteSeerX 10.1.1.11.9053
• Osima, M. (1954), "On the representations of the generalized symmetric group", Math. J. Okayama Univ., 4: 39–54