अंकगणितीय विकास में अभाज्य: Difference between revisions

Revision as of 19:35, 23 May 2023

संख्या सिद्धांत में, अंकगणितीय विकास में अभाज्य कम से कम तीन अभाज्य संख्याओं का कोई क्रम है जो एक अंकगणितीय विकास में क्रमागत शब्द हैं। उदाहरण अभाज्य (3, 7, 11) का अनुक्रम है, जो $0\leq n\leq 2$ के लिए $a_{n}=3+4n$ द्वारा दिया गया है।

ग्रीन-ताओ प्रमेय के अनुसार, अंकगणितीय विकास में स्वैच्छिक विधि से अभाज्य संख्याओं के बड़े क्रम उपस्थित होते हैं। कभी-कभी वाक्यांश का उपयोग अभाज्य संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है जो अंकगणितीय विकास से संबंधित होते हैं जिसमें समग्र संख्याएं भी होती हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग $an+b$ के अंकगणितीय विकास में अभाज्य संख्याओं के बारे में किया जा सकता है, जहां a और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं, जो अंकगणितीय विकास पर डिरिचलेट के प्रमेय के अनुसार अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं और साथ ही अनंत रूप से कई सम्मिश्र हैं।

पूर्णांक k ≥ 3 के लिए, 'AP-k' (जिसे 'PAP-k' भी कहा जाता है) अंकगणितीय विकास में के अभाज्य का कोई अनुक्रम है। एक AP-k को निश्चित पूर्णांक a (सामान्य अंतर कहा जाता है) और b और k क्रमागत पूर्णांक मानों के लिए अवस्था के k अभाज्य के रूप में लिखा जा सकता है। AP-k सामान्यतः n = 0 से k − 1 के साथ व्यक्त किया जाता है। यह अंकगणितीय विकास में पहले प्रमुख होने के लिए b को परिभाषित करके सदैव प्राप्त किया जा सकता है।

गुण

अभाज्य की किसी भी अंकगणितीय विकास की सीमित लंबाई होती है। 2004 में, बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ ने ग्रीन-ताओ प्रमेय को सिद्ध करके पुराने अनुमान को सुलझाया: अभाज्य संख्याओं में स्वैच्छिक विधि से बड़े अंकगणितीय क्रम होते हैं।^[1] यह तुरंत अनुसरण करता है कि किसी भी k के लिए अपरिमित रूप से अनेक AP-k होते हैं।

यदि AP-k अभाज्य k से शुरू नहीं होता है, तो सार्व अंतर प्राथमिक k# = 2·3·5·...·j का गुणज होता है, जहाँ j सबसे बड़ा अभाज्य ≤ k है।

प्रमाण: मान लें कि AP-k n के लगातार मानों के लिए a·n + b है। यदि अभाज्य p, a को विभाजित नहीं करता है, तो मॉड्यूलर अंकगणित कहता है कि p अंकगणितीय विकास के प्रत्येक p'वें पद को विभाजित करेगा। (H.J. वेबर से, Cor.10 में ``असाधारण अभाज्य नंबर ट्विन्स, ट्रिपल और मल्टीप्लेट्स, arXiv:1102.3075[math.NT]। ``रेगुलरिटीज़ ऑफ़ ट्विन, ट्रिपलेट और मल्टीप्लेट अभाज्य नंबर्स, arXiv:1103.0447 में Theor.2.3 भी देखें। [math.NT], ग्लोबल J.P.A.Math 8(2012), प्रेस में।) यदि AP k लगातार मानों के लिए अभाज्य है, तो a को सभी अभाज्य p ≤ k से विभाज्य होना चाहिए।

इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य अंतर वाले एपी में सबसे छोटे अभाज्य के मान से अधिक लगातार अभाज्य शब्द नहीं हो सकते हैं जो कि विभाजित नहीं करता है।

यदि k अभाज्य है तो AP-k k से शुरू हो सकता है और सामान्य अंतर है जो k# के बजाय केवल (k−1)# का गुणक है। (एच.जे. वेबर से, ``कम नियमित असाधारण और दोहराए जाने वाले अभाज्य नंबर मल्टीप्लेट्स, arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3।) उदाहरण के लिए, AP-3 अभाज्य {3, 5, 7} और कॉमन डिफरेंस 2 के साथ # = 2, या AP-5 अभाज्य के साथ {5, 11, 17, 23, 29} और कॉमन डिफरेंस 4# = 6। यह अनुमान लगाया जाता है कि ऐसे उदाहरण सभी अभाज्य k के लिए उपस्थित हैं। As of 2018^[update], सबसे बड़ा अभाज्य जिसके लिए यह पुष्टि की गई है k = 19 है, इस AP-19 के लिए 2013 में Wojciech Iżykowski द्वारा पाया गया:

19 + 4244193265542951705·17#·n, n = 0 से 18 के लिए।^[2]

यह व्यापक रूप से माने जाने वाले अनुमानों से आता है, जैसे कि डिक्सन का अनुमान और पहले हार्डी-लिटिलवुड अनुमान के कुछ संस्करण|अभाज्य के-ट्यूपल अनुमान, कि यदि p > 2 सबसे छोटा अभाज्य है जो a को विभाजित नहीं करता है, तो अपरिमित रूप से कई AP-(p) हैं -1) सामान्य अंतर के साथ ए। उदाहरण के लिए, 5 सबसे छोटा अभाज्य है जो 6 को विभाजित नहीं करता है, इसलिए आम अंतर 6 के साथ अपरिमित रूप से कई एपी-4 होने की उम्मीद है, जिसे सेक्सी प्रधान चतुर्भुज कहा जाता है। जब a = 2, p = 3, यह 2 अभाज्य संख्या (b, b + 2) के AP-2 के साथ जुड़वा प्रधान अनुमान है।

एपी में न्यूनतम अभाज्य

हम अंतिम अवधि को कम करते हैं।^[3]

Minimal AP-k
k	Primes for n = 0 to k−1
3	3 + 2n
4	5 + 6n
5	5 + 6n
6	7 + 30n
7	7 + 150n
8	199 + 210n
9	199 + 210n
10	199 + 210n
11	110437 + 13860n
12	110437 + 13860n
13	4943 + 60060n
14	31385539 + 420420n
15	115453391 + 4144140n
16	53297929 + 9699690n
17	3430751869 + 87297210n
18	4808316343 + 717777060n
19	8297644387 + 4180566390n
20	214861583621 + 18846497670n
21	5749146449311 + 26004868890n

== एपी == में सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य अभाज्य q के लिए, q# मौलिक 2·3·5·7·...·q को दर्शाता है।

As of September 2019^[update], सबसे लंबे समय तक ज्ञात एपी-के एपी-27 है। AP-26 के लिए कई उदाहरण जाने जाते हैं। पहली खोज 12 अप्रैल, 2010 को बेनोइट पेरीचॉन द्वारा प्लेस्टेशन 3 पर जारोस्ला रोब्ल्व्स्की और ज्योफ रेनॉल्ड्स द्वारा सॉफ्टवेयर के साथ, ब्रायन लिटिल द्वारा प्लेस्टेशन 3 में वितरित अभाज्यग्रिड प्रोजेक्ट में पाई गई थी:^[2]:43142746595714191 + 23681770·23#·n, n = 0 से 25 के लिए। (23# = 223092870) (sequence A204189 in the OEIS)

जब तक पहला AP-26 पाया गया तब तक अभाज्यग्रिड द्वारा खोज को 131,436,182 खंडों में विभाजित किया गया था^[4] और दुनिया भर में 32/64 बिट सीपीयू, एNVIDIA सीयूडीए जीपीयू और सेल माइक्रोप्रोसेसरों द्वारा संसाधित किया जाता है।

इससे पहले, रिकॉर्ड 17 मई, 2008 को रैनन चेर्मोनी और जारोस्ला रोब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया एपी -25 था:^[2]:6171054912832631 + 366384·23#·n, n = 0 से 24 के लिए। (23# = 223092870)

AP-25 खोज को Athlon 64 पर लगभग 3 मिनट लगने वाले खंडों में विभाजित किया गया था और Wróblewski ने बताया कि मुझे लगता है कि रैनन ऐसे 10,000,000 से भी कम खंडों से गुज़रे^[5] (Athlon 64 पर इसमें लगभग 57 cpu वर्ष लगे होंगे)।

पहले का रिकॉर्ड 18 जनवरी, 2007 को अकेले जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया एपी -24 था:

468395662504823 + 205619·23#·n, n = 0 से 23 के लिए।

इसके लिए रोब्लेव्स्की ने बताया कि उन्होंने कुल 75 कंप्यूटरों का इस्तेमाल किया: 15 64-बिट एथलॉन, 15 डुअल कोर 64-बिट पेंटियम डी 805, 30 32-बिट एथलॉन 2500, और 15 ड्यूरॉन 900।^[6] निम्न तालिका खोज के वर्ष के साथ सबसे बड़ा ज्ञात एपी-के दिखाती है और अंतिम अभाज्य में दशमलव अंकों की संख्या दिखाती है। ध्यान दें कि सबसे बड़ा ज्ञात AP-k, AP-(k+1) का अंत हो सकता है। कुछ रिकॉर्ड बनाने वाले पहले निश्चित p के साथ c·p#+1 फॉर्म के अभाज्य संख्याओं के बड़े सेट की गणना करना चुनते हैं, और फिर c के मानों में AP को खोजते हैं जिससे अभाज्य प्राप्त होता है। यह कुछ अभिलेखों के लिए अभिव्यक्ति में परिलक्षित होता है। व्यंजक को आसानी से a·n + b के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

Largest known AP-k as of May 2023^[update]^[2]
k	Primes for n = 0 to k−1	Digits	Year	Discoverer
3	(503·2^1092022−1) + (1103·2^3558176 − 503·2^1092022)·n	1071122	2022	Ryan Propper, Serge Batalov
4	(263093407 + 928724769·n)·2⁹⁹⁹⁰¹−1	30083	2022	Serge Batalov
5	(440012137 + 18195056·n)·30941#+1	13338	2022	Serge Batalov
6	(1445494494 + 141836149·n)·16301# + 1	7036	2018	Ken Davis
7	(2554152639 + 577051223·n)·7927# + 1	3407	2022	Serge Batalov
8	(48098104751 + 3026809034·n)·5303# + 1	2271	2019	Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis
9	(65502205462 + 6317280828·n)·2371# + 1	1014	2012	Ken Davis, Paul Underwood
10	(20794561384 + 1638155407·n)·1050# + 1	450	2019	Norman Luhn
11	(16533786790 + 1114209832·n)·666# + 1	289	2019	Norman Luhn
12	(15079159689 + 502608831·n)·420# + 1	180	2019	Norman Luhn
13	(50448064213 + 4237116495·n)·229# + 1	103	2019	Norman Luhn
14	(55507616633 + 670355577·n)·229# + 1	103	2019	Norman Luhn
15	(14512034548 + 87496195·n)·149# + 1	68	2019	Norman Luhn
16	(9700128038 + 75782144·(n+1))·83# + 1	43	2019	Norman Luhn
17	(9700128038 + 75782144·n)·83# + 1	43	2019	Norman Luhn
18	(33277396902 + 139569962·(n+1))·53# + 1	31	2019	Norman Luhn
19	(33277396902 + 139569962·n)·53# + 1	31	2019	Norman Luhn
20	23 + 134181089232118748020·19#·n	29	2017	Wojciech Izykowski
21	5547796991585989797641 + 29#·n	22	2014	Jarosław Wróblewski
22	22231637631603420833 + 8·41#·(n + 1)	20	2014	Jarosław Wróblewski
23	22231637631603420833 + 8·41#·n	20	2014	Jarosław Wróblewski
24	230885165611851841 + 297206938·23#·n	19	2023	Rob Gahan, PrimeGrid
25	171648314584619857 + 312220923·23#·n	19	2023	Rob Gahan, PrimeGrid
26	14430610470703957 + 283169697·23#·n	19	2023	Rob Gahan, PrimeGrid
27	224584605939537911 + 81292139·23#·n	18	2019	Rob Gahan, PrimeGrid

अंकगणितीय विकास में क्रमागत अभाज्य संख्याएँ

अंकगणितीय विकास में क्रमिक अभाज्य कम से कम तीन लगातार अभाज्यों को संदर्भित करते हैं जो अंकगणितीय विकास में लगातार शब्द हैं। ध्यान दें कि AP-k के विपरीत, विकास की शर्तों के बीच अन्य सभी संख्याएँ समग्र होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, AP-3 {3, 7, 11} योग्य नहीं है, क्योंकि 5 भी अभाज्य संख्या है।

पूर्णांक k ≥ 3 के लिए, CPAP-k अंकगणितीय विकास में k लगातार अभाज्य है। यह अनुमान लगाया गया है कि स्वैच्छिक विधि से लंबे सीपीएपी हैं। यह अनंतित रूप से कई CPAP-k को सभी k के लिए लागू करेगा। CPAP-3 में मध्य प्रधान को संतुलित अभाज्य कहा जाता है। सबसे बड़ा ज्ञात as of 2022^[update] में 15004 अंक होते हैं।

पहला ज्ञात CPAP-10 1998 में Manfred Toplic द्वारा वितरित कंप्यूटिंग प्रोजेक्ट CP10 में पाया गया था जिसे Harvey Dubner, टोनी फोर्ब्स, Nik Lygeros, Michael Mizony और Paul Zimmermann द्वारा आयोजित किया गया था।^[7] इस CPAP-10 में सबसे छोटा संभव सामान्य अंतर है, 7# = 210। 2018 तक केवल अन्य ज्ञात CPAP-10 को 2008 में उन्हीं लोगों द्वारा पाया गया था।

यदि CPAP-11 उपस्थित है, तो इसमें सामान्य अंतर होना चाहिए जो कि 11# = 2310 का गुणक है। 11 अभाज्य संख्याओं के पहले और अंतिम के बीच का अंतर इसलिए 23100 का गुणक होगा। कम से कम 23090 समग्र संख्याओं की आवश्यकता 11 अभाज्य संख्याओं के बीच CPAP-11 खोजना अत्यंत कठिन प्रतीत होता है। डबनेर और ज़िमर्मन का अनुमान है कि यह कम से कम 10 होगा^{CPAP-10 से 12 गुना कठिन।^[8]}

== एपी == में न्यूनतम लगातार अभाज्य

CPAP-k की पहली घटना केवल k ≤ 6 के लिए जानी जाती है (sequence A006560 in the OEIS).

Minimal CPAP-k^[9]
k	Primes for n = 0 to k−1
3	3 + 2n
4	251 + 6n
5	9843019 + 30n
6	121174811 + 30n

== एपी == में सबसे बड़ा ज्ञात लगातार अभाज्य तालिका k = 3 से 10 के लिए अंकगणितीय विकास में लगातार k के सबसे बड़े ज्ञात मामले को दर्शाती है।

Largest known CPAP-k as of May 2022^[update]^[10],^[11]
k	Primes for n = 0 to k−1	Digits	Year	Discoverer
3	2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 1 + 6n	15004	2022	Serge Batalov
4	62399583639 · 9923# - 3399421607 + 30n	4285	2021	Serge Batalov
5	2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30n	1805	2022	Serge Batalov
6	533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30n	1012	2021	Serge Batalov
7	145706980166212 · 1069# + x₂₅₃ + 420 + 210n	466	2021	Serge Batalov
8	8081110034864 · 619# + x₂₅₃ + 210 + 210n	272	2021	Serge Batalov
9	7661619169627 · 379# + x₁₅₃ + 210n	167	2021	Serge Batalov
10	189382061960492204 · 257# + x₁₀₆ + 210n	121	2021	Serge Batalov

एक्स_d डी-अंकीय संख्या है जिसका उपयोग उपरोक्त रिकॉर्ड में से में किया जाता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि अभाज्य संख्याओं के बीच असामान्य रूप से कई आवश्यक सम्मिश्रों में छोटा कारक है।
x₁₀₆ = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791
x₁₅₃ = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417 = x₂₅₃ % 379#
x₂₅₃ = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727

यह भी देखें

कनिंघम चेन
ज़ेमेरीडी प्रमेय
अभाज्यग्रिड
अंकगणितीय विकास से जुड़ी समस्याएं

↑ Green, Ben; Tao, Terence (2008), "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions", Annals of Mathematics, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481, MR 2415379, S2CID 1883951
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↑ OEIS sequence A133277
↑ John, AP26 Forum. Retrieved 2013-10-20.
↑ Wróblewski, Jarosław (2008-05-17). "AP25". primenumbers (Mailing list). Retrieved 2008-05-17.
↑ Wróblewski, Jarosław (2007-01-18). "AP24". primeform (Mailing list). Retrieved 2007-06-17.
↑ H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, Ten consecutive primes in arithmetic progression, Mathematics of Computation 71 (2002), 1323–1328.
↑ Manfred Toplic, The nine and ten primes project. Retrieved on 2007-06-17.
↑ Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, The minimal & the smallest known CPAP-k. Retrieved 2022-12-20.
↑ Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2022-12-20.
↑ Chris K. Caldwell, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2021-01-28.

संदर्भ

Chris Caldwell, The Prime Glossary: arithmetic sequence, The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes and The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression, all from the Prime Pages.
Weisstein, Eric W. "Prime Arithmetic Progression". MathWorld.
Jarosław Wróblewski, How to search for 26 primes in arithmetic progression?
P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

[1] Green, Ben; Tao, Terence (2008), "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions", Annals of Mathematics, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481, MR 2415379, S2CID 1883951

[APrecords-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, Primes in Arithmetic Progression Records. Retrieved 2020-08-31.

[3] OEIS sequence A133277

[PrimeGridForum-4] John, AP26 Forum. Retrieved 2013-10-20.

[5] Wróblewski, Jarosław (2008-05-17). "AP25". primenumbers (Mailing list). Retrieved 2008-05-17.

[6] Wróblewski, Jarosław (2007-01-18). "AP24". primeform (Mailing list). Retrieved 2007-06-17.

[7] H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, Ten consecutive primes in arithmetic progression, Mathematics of Computation 71 (2002), 1323–1328.

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[minitable-9] Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, The minimal & the smallest known CPAP-k. Retrieved 2022-12-20.

[CPAPrecords-10] Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2022-12-20.

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-[[संख्या सिद्धांत]] में, [[अंकगणितीय प्रगति]] में अभाज्य कम से कम तीन [[अभाज्य संख्या]]ओं का कोई क्रम है जो अंकगणितीय प्रगति में लगातार शब्द हैं। उदाहरण प्राइम्स (3, 7, 11) का [[अनुक्रम]] है, जो इसके द्वारा दिया गया है <math>a_n = 3 + 4n</math> के लिए <math>0 \le n \le 2</math>.
+[[संख्या सिद्धांत]] में, '''[[अंकगणितीय प्रगति|अंकगणितीय विकास]] में अभाज्य''' कम से कम तीन [[अभाज्य संख्या]]ओं का कोई क्रम है जो एक अंकगणितीय विकास में क्रमागत शब्द हैं। उदाहरण अभाज्य (3, 7, 11) का [[अनुक्रम]] है, जो <math>0 \le n \le 2</math> के लिए <math>a_n = 3 + 4n</math> द्वारा दिया गया है।
-ग्रीन-ताओ प्रमेय के अनुसार, अंकगणितीय प्रगति में मनमाने ढंग से अभाज्य संख्याओं के बड़े क्रम मौजूद होते हैं। कभी-कभी वाक्यांश का उपयोग अभाज्य संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है जो अंकगणितीय प्रगति से संबंधित होते हैं जिसमें समग्र संख्याएं भी होती हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग फॉर्म की अंकगणितीय प्रगति में प्राइम्स के बारे में किया जा सकता है <math>an + b</math>, जहां ए और बी कोप्राइम [[पूर्णांक]] हैं, जो अंकगणितीय प्रगति पर डिरिचलेट के प्रमेय के अनुसार असीम रूप से कई कंपोजिट के साथ-साथ असीम रूप से कई अभाज्य हैं।
+ग्रीन-ताओ प्रमेय के अनुसार, अंकगणितीय विकास में स्वैच्छिक विधि से अभाज्य संख्याओं के बड़े क्रम उपस्थित होते हैं। कभी-कभी वाक्यांश का उपयोग अभाज्य संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है जो अंकगणितीय विकास से संबंधित होते हैं जिसमें समग्र संख्याएं भी होती हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग <math>an + b</math> के अंकगणितीय विकास में अभाज्य संख्याओं के बारे में किया जा सकता है, जहां a और b सहअभाज्य [[पूर्णांक]] हैं, जो अंकगणितीय विकास पर डिरिचलेट के प्रमेय के अनुसार अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं और साथ ही अनंत रूप से कई सम्मिश्र हैं।
-पूर्णांक के ≥ 3 के लिए, 'एपी-के' (जिसे 'पीएपी-के' भी कहा जाता है) अंकगणितीय प्रगति में के प्राइम का कोई अनुक्रम है। AP-k को a·n + b के रूप में k primes के रूप में लिखा जा सकता है, निश्चित पूर्णांक a (सामान्य अंतर कहा जाता है) और b, और n के लगातार पूर्णांक मानों के लिए। एपी-के आमतौर पर n = 0 से k − 1 के साथ व्यक्त किया जाता है। यह अंकगणितीय प्रगति में पहले प्रमुख होने के लिए b को परिभाषित करके हमेशा प्राप्त किया जा सकता है।
+पूर्णांक ''k'' ≥ 3 के लिए, '<nowiki/>'''AP-''k'''''<nowiki/>' (जिसे '<nowiki/>'''PAP-''k'''''<nowiki/>' भी कहा जाता है) अंकगणितीय विकास में के अभाज्य का कोई अनुक्रम है। एक AP-''k'' को निश्चित पूर्णांक a (सामान्य अंतर कहा जाता है) और b और k क्रमागत पूर्णांक मानों के लिए अवस्था के k अभाज्य के रूप में लिखा जा सकता है। AP-''k'' सामान्यतः n = 0 से k − 1 के साथ व्यक्त किया जाता है। यह अंकगणितीय विकास में पहले प्रमुख होने के लिए b को परिभाषित करके सदैव प्राप्त किया जा सकता है।
 == गुण ==
-प्राइम्स की किसी भी अंकगणितीय प्रगति की सीमित लंबाई होती है। 2004 में, बेन जे. ग्रीन और [[टेरेंस ताओ]] ने ग्रीन-ताओ प्रमेय को सिद्ध करके पुराने [[अनुमान]] को सुलझाया: अभाज्य संख्याओं में मनमाने ढंग से बड़े अंकगणितीय क्रम होते हैं।<ref>{{citation|doi=10.4007/annals.2008.167.481|first1=Ben|last1=Green|author1-link=Ben J. Green|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=Terence Tao|arxiv=math.NT/0404188 |title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|year=2008|issue=2|pages=481–547|mr=2415379|s2cid=1883951}}</ref> यह तुरंत अनुसरण करता है कि किसी भी k के लिए अपरिमित रूप से अनेक AP-k होते हैं।
+अभाज्य की किसी भी अंकगणितीय विकास की सीमित लंबाई होती है। 2004 में, बेन जे. ग्रीन और [[टेरेंस ताओ]] ने ग्रीन-ताओ प्रमेय को सिद्ध करके पुराने [[अनुमान]] को सुलझाया: अभाज्य संख्याओं में स्वैच्छिक विधि से बड़े अंकगणितीय क्रम होते हैं।<ref>{{citation|doi=10.4007/annals.2008.167.481|first1=Ben|last1=Green|author1-link=Ben J. Green|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=Terence Tao|arxiv=math.NT/0404188 |title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|year=2008|issue=2|pages=481–547|mr=2415379|s2cid=1883951}}</ref> यह तुरंत अनुसरण करता है कि किसी भी k के लिए अपरिमित रूप से अनेक AP-k होते हैं।
 यदि AP-k अभाज्य k से शुरू नहीं होता है, तो सार्व अंतर प्राथमिक k# = 2·3·5·...·j का गुणज होता है, जहाँ j सबसे बड़ा अभाज्य ≤ k है।
-: प्रमाण: मान लें कि AP-k n के लगातार मानों के लिए a·n + b है। यदि अभाज्य p, a को विभाजित नहीं करता है, तो [[मॉड्यूलर अंकगणित]] कहता है कि p अंकगणितीय प्रगति के प्रत्येक p'वें पद को विभाजित करेगा। (H.J. वेबर से, Cor.10 में ``असाधारण प्राइम नंबर ट्विन्स, ट्रिपल और मल्टीप्लेट्स, arXiv:1102.3075[math.NT]। ``रेगुलरिटीज़ ऑफ़ ट्विन, ट्रिपलेट और मल्टीप्लेट प्राइम नंबर्स, arXiv:1103.0447 में Theor.2.3 भी देखें। [math.NT], ग्लोबल J.P.A.Math 8(2012), प्रेस में।) यदि AP k लगातार मानों के लिए अभाज्य है, तो a को सभी अभाज्य p ≤ k से विभाज्य होना चाहिए।
+: प्रमाण: मान लें कि AP-k n के लगातार मानों के लिए a·n + b है। यदि अभाज्य p, a को विभाजित नहीं करता है, तो [[मॉड्यूलर अंकगणित]] कहता है कि p अंकगणितीय विकास के प्रत्येक p'वें पद को विभाजित करेगा। (H.J. वेबर से, Cor.10 में ``असाधारण अभाज्य नंबर ट्विन्स, ट्रिपल और मल्टीप्लेट्स, arXiv:1102.3075[math.NT]। ``रेगुलरिटीज़ ऑफ़ ट्विन, ट्रिपलेट और मल्टीप्लेट अभाज्य नंबर्स, arXiv:1103.0447 में Theor.2.3 भी देखें। [math.NT], ग्लोबल J.P.A.Math 8(2012), प्रेस में।) यदि AP k लगातार मानों के लिए अभाज्य है, तो a को सभी अभाज्य p ≤ k से विभाज्य होना चाहिए।
 इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य अंतर वाले एपी में सबसे छोटे अभाज्य के मान से अधिक लगातार अभाज्य शब्द नहीं हो सकते हैं जो कि विभाजित नहीं करता है।
-यदि k अभाज्य है तो AP-k k से शुरू हो सकता है और सामान्य अंतर है जो k# के बजाय केवल (k−1)# का गुणक है। (एच.जे. वेबर से, ``कम नियमित असाधारण और दोहराए जाने वाले प्राइम नंबर मल्टीप्लेट्स, arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3।) उदाहरण के लिए, AP-3 प्राइम्स {3, 5, 7} और कॉमन डिफरेंस 2 के साथ # = 2, या AP-5 प्राइम्स के साथ {5, 11, 17, 23, 29} और कॉमन डिफरेंस 4# = 6। यह अनुमान लगाया जाता है कि ऐसे उदाहरण सभी प्राइम्स k के लिए मौजूद हैं। {{As of|2018}}, सबसे बड़ा अभाज्य जिसके लिए यह पुष्टि की गई है k = 19 है, इस AP-19 के लिए 2013 में Wojciech Iżykowski द्वारा पाया गया:
+यदि k अभाज्य है तो AP-k k से शुरू हो सकता है और सामान्य अंतर है जो k# के बजाय केवल (k−1)# का गुणक है। (एच.जे. वेबर से, ``कम नियमित असाधारण और दोहराए जाने वाले अभाज्य नंबर मल्टीप्लेट्स, arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3।) उदाहरण के लिए, AP-3 अभाज्य {3, 5, 7} और कॉमन डिफरेंस 2 के साथ # = 2, या AP-5 अभाज्य के साथ {5, 11, 17, 23, 29} और कॉमन डिफरेंस 4# = 6। यह अनुमान लगाया जाता है कि ऐसे उदाहरण सभी अभाज्य k के लिए उपस्थित हैं। {{As of|2018}}, सबसे बड़ा अभाज्य जिसके लिए यह पुष्टि की गई है k = 19 है, इस AP-19 के लिए 2013 में Wojciech Iżykowski द्वारा पाया गया:
 :19 + 4244193265542951705·17#·n, n = 0 से 18 के लिए।<ref name="APrecords" />
-यह व्यापक रूप से माने जाने वाले अनुमानों से आता है, जैसे कि डिक्सन का अनुमान और पहले हार्डी-लिटिलवुड अनुमान के कुछ संस्करण|प्राइम के-ट्यूपल अनुमान, कि यदि p > 2 सबसे छोटा प्राइम है जो a को विभाजित नहीं करता है, तो अपरिमित रूप से कई AP-(p) हैं -1) सामान्य अंतर के साथ ए। उदाहरण के लिए, 5 सबसे छोटा अभाज्य है जो 6 को विभाजित नहीं करता है, इसलिए आम अंतर 6 के साथ अपरिमित रूप से कई एपी-4 होने की उम्मीद है, जिसे [[सेक्सी प्रधान]] चतुर्भुज कहा जाता है। जब a = 2, p = 3, यह 2 अभाज्य संख्या (b, b + 2) के AP-2 के साथ जुड़वा प्रधान अनुमान है।
+यह व्यापक रूप से माने जाने वाले अनुमानों से आता है, जैसे कि डिक्सन का अनुमान और पहले हार्डी-लिटिलवुड अनुमान के कुछ संस्करण|अभाज्य के-ट्यूपल अनुमान, कि यदि p > 2 सबसे छोटा अभाज्य है जो a को विभाजित नहीं करता है, तो अपरिमित रूप से कई AP-(p) हैं -1) सामान्य अंतर के साथ ए। उदाहरण के लिए, 5 सबसे छोटा अभाज्य है जो 6 को विभाजित नहीं करता है, इसलिए आम अंतर 6 के साथ अपरिमित रूप से कई एपी-4 होने की उम्मीद है, जिसे [[सेक्सी प्रधान]] चतुर्भुज कहा जाता है। जब a = 2, p = 3, यह 2 अभाज्य संख्या (b, b + 2) के AP-2 के साथ जुड़वा प्रधान अनुमान है।
 == एपी में न्यूनतम अभाज्य ==
@@ Line 85: / Line 85: @@
-== एपी == में सबसे बड़ा ज्ञात प्राइम
+== एपी == में सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य
 अभाज्य q के लिए, q# मौलिक 2·3·5·7·...·q को दर्शाता है।
-{{As of|2019|9}}, सबसे लंबे समय तक ज्ञात एपी-के एपी-27 है। AP-26 के लिए कई उदाहरण जाने जाते हैं। पहली खोज 12 अप्रैल, 2010 को बेनोइट पेरीचॉन द्वारा [[प्लेस्टेशन 3]] पर जारोस्ला रोब्ल्व्स्की और ज्योफ रेनॉल्ड्स द्वारा सॉफ्टवेयर के साथ, ब्रायन लिटिल द्वारा प्लेस्टेशन 3 में वितरित [[प्राइमग्रिड]] प्रोजेक्ट में पाई गई थी:<ref name="APrecords" />:43142746595714191 + 23681770·23#·n, n = 0 से 25 के लिए। (23# = 223092870) {{OEIS|id=A204189}}
+{{As of|2019|9}}, सबसे लंबे समय तक ज्ञात एपी-के एपी-27 है। AP-26 के लिए कई उदाहरण जाने जाते हैं। पहली खोज 12 अप्रैल, 2010 को बेनोइट पेरीचॉन द्वारा [[प्लेस्टेशन 3]] पर जारोस्ला रोब्ल्व्स्की और ज्योफ रेनॉल्ड्स द्वारा सॉफ्टवेयर के साथ, ब्रायन लिटिल द्वारा प्लेस्टेशन 3 में वितरित [[प्राइमग्रिड|अभाज्यग्रिड]] प्रोजेक्ट में पाई गई थी:<ref name="APrecords" />:43142746595714191 + 23681770·23#·n, n = 0 से 25 के लिए। (23# = 223092870) {{OEIS|id=A204189}}
-जब तक पहला AP-26 पाया गया तब तक प्राइमग्रिड द्वारा खोज को 131,436,182 खंडों में विभाजित किया गया था<ref name="PrimeGridForum">John, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1158&nowrap=true#22787  ''AP26 Forum'']. Retrieved 2013-10-20.</ref> और दुनिया भर में 32/64 बिट सीपीयू, ए[[ NVIDIA ]] सीयूडीए जीपीयू और [[सेल माइक्रोप्रोसेसर]]ों द्वारा संसाधित किया जाता है।
+जब तक पहला AP-26 पाया गया तब तक अभाज्यग्रिड द्वारा खोज को 131,436,182 खंडों में विभाजित किया गया था<ref name="PrimeGridForum">John, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1158&nowrap=true#22787  ''AP26 Forum'']. Retrieved 2013-10-20.</ref> और दुनिया भर में 32/64 बिट सीपीयू, ए[[ NVIDIA ]] सीयूडीए जीपीयू और [[सेल माइक्रोप्रोसेसर]]ों द्वारा संसाधित किया जाता है।
 इससे पहले, रिकॉर्ड 17 मई, 2008 को रैनन चेर्मोनी और जारोस्ला रोब्ल्व्स्की द्वारा पाया गया एपी -25 था:<ref name="APrecords" />:6171054912832631 + 366384·23#·n, n = 0 से 24 के लिए। (23# = 223092870)
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 :468395662504823 + 205619·23#·n, n = 0 से 23 के लिए।
 इसके लिए रोब्लेव्स्की ने बताया कि उन्होंने कुल 75 कंप्यूटरों का इस्तेमाल किया: 15 64-बिट एथलॉन, 15 डुअल कोर 64-बिट [[पेंटियम डी]] 805, 30 32-बिट एथलॉन 2500, और 15 ड्यूरॉन 900।<ref>{{cite mailing list | url = http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/8248 | title = AP24 | mailing-list = primeform | date = 2007-01-18 | access-date=2007-06-17 | last = Wróblewski |first = Jarosław }}</ref>
-निम्न तालिका खोज के वर्ष के साथ सबसे बड़ा ज्ञात एपी-के दिखाती है और अंतिम प्राइम में [[दशमलव]] अंकों की संख्या दिखाती है। ध्यान दें कि सबसे बड़ा ज्ञात AP-k, AP-(k+1) का अंत हो सकता है। कुछ रिकॉर्ड बनाने वाले पहले निश्चित p के साथ c·p#+1 फॉर्म के अभाज्य संख्याओं के बड़े सेट की गणना करना चुनते हैं, और फिर c के मानों में AP को खोजते हैं जिससे अभाज्य प्राप्त होता है। यह कुछ अभिलेखों के लिए अभिव्यक्ति में परिलक्षित होता है। व्यंजक को आसानी से a·n + b के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
+निम्न तालिका खोज के वर्ष के साथ सबसे बड़ा ज्ञात एपी-के दिखाती है और अंतिम अभाज्य में [[दशमलव]] अंकों की संख्या दिखाती है। ध्यान दें कि सबसे बड़ा ज्ञात AP-k, AP-(k+1) का अंत हो सकता है। कुछ रिकॉर्ड बनाने वाले पहले निश्चित p के साथ c·p#+1 फॉर्म के अभाज्य संख्याओं के बड़े सेट की गणना करना चुनते हैं, और फिर c के मानों में AP को खोजते हैं जिससे अभाज्य प्राप्त होता है। यह कुछ अभिलेखों के लिए अभिव्यक्ति में परिलक्षित होता है। व्यंजक को आसानी से a·n + b के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
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-== अंकगणितीय प्रगति में क्रमागत अभाज्य संख्याएँ ==
+== अंकगणितीय विकास में क्रमागत अभाज्य संख्याएँ ==
-अंकगणितीय प्रगति में क्रमिक अभाज्य कम से कम तीन ''लगातार'' अभाज्यों को संदर्भित करते हैं जो अंकगणितीय प्रगति में लगातार शब्द हैं। ध्यान दें कि AP-''k'' के विपरीत, प्रगति की शर्तों के बीच अन्य सभी संख्याएँ समग्र होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, AP-3 {3, 7, 11} योग्य नहीं है, क्योंकि 5 भी अभाज्य संख्या है।
+अंकगणितीय विकास में क्रमिक अभाज्य कम से कम तीन ''लगातार'' अभाज्यों को संदर्भित करते हैं जो अंकगणितीय विकास में लगातार शब्द हैं। ध्यान दें कि AP-''k'' के विपरीत, विकास की शर्तों के बीच अन्य सभी संख्याएँ समग्र होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, AP-3 {3, 7, 11} योग्य नहीं है, क्योंकि 5 भी अभाज्य संख्या है।
-पूर्णांक ''k'' ≥ 3 के लिए, CPAP-''k'' अंकगणितीय प्रगति में ''k'' लगातार प्राइम है। यह अनुमान लगाया गया है कि मनमाने ढंग से लंबे सीपीएपी हैं। यह असीमित रूप से कई CPAP-''k'' को सभी ''k'' के लिए लागू करेगा। CPAP-3 में मध्य प्रधान को संतुलित अभाज्य कहा जाता है। सबसे बड़ा ज्ञात {{as of|2022|lc=on}} में 15004 अंक होते हैं।
+पूर्णांक ''k'' ≥ 3 के लिए, CPAP-''k'' अंकगणितीय विकास में ''k'' लगातार अभाज्य है। यह अनुमान लगाया गया है कि स्वैच्छिक विधि से लंबे सीपीएपी हैं। यह अनंतित रूप से कई CPAP-''k'' को सभी ''k'' के लिए लागू करेगा। CPAP-3 में मध्य प्रधान को संतुलित अभाज्य कहा जाता है। सबसे बड़ा ज्ञात {{as of|2022|lc=on}} में 15004 अंक होते हैं।
 पहला ज्ञात CPAP-10 1998 में Manfred Toplic द्वारा वितरित कंप्यूटिंग प्रोजेक्ट CP10 में पाया गया था जिसे Harvey Dubner, टोनी फोर्ब्स, Nik Lygeros, Michael Mizony और Paul Zimmermann द्वारा आयोजित किया गया था।<ref>H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, [https://www.ams.org/mcom/2002-71-239/S0025-5718-01-01374-6/home.html ''Ten consecutive primes in arithmetic progression''], [[Mathematics of Computation]] 71 (2002), 1323–1328.</ref> इस CPAP-10 में सबसे छोटा संभव सामान्य अंतर है, 7# = 210। 2018 तक केवल अन्य ज्ञात CPAP-10 को 2008 में उन्हीं लोगों द्वारा पाया गया था।
-यदि CPAP-11 मौजूद है, तो इसमें सामान्य अंतर होना चाहिए जो कि 11# = 2310 का गुणक है। 11 अभाज्य संख्याओं के पहले और अंतिम के बीच का अंतर इसलिए 23100 का गुणक होगा। कम से कम 23090 समग्र संख्याओं की आवश्यकता 11 अभाज्य संख्याओं के बीच CPAP-11 खोजना अत्यंत कठिन प्रतीत होता है। डबनेर और ज़िमर्मन का अनुमान है कि यह कम से कम 10 होगा<sup>CPAP-10 से 12 गुना कठिन।<ref>Manfred Toplic, [http://www.manfred-toplic.com/cp09.html ''The nine and ten primes project'']. Retrieved on 2007-06-17.</ref>
+यदि CPAP-11 उपस्थित है, तो इसमें सामान्य अंतर होना चाहिए जो कि 11# = 2310 का गुणक है। 11 अभाज्य संख्याओं के पहले और अंतिम के बीच का अंतर इसलिए 23100 का गुणक होगा। कम से कम 23090 समग्र संख्याओं की आवश्यकता 11 अभाज्य संख्याओं के बीच CPAP-11 खोजना अत्यंत कठिन प्रतीत होता है। डबनेर और ज़िमर्मन का अनुमान है कि यह कम से कम 10 होगा<sup>CPAP-10 से 12 गुना कठिन।<ref>Manfred Toplic, [http://www.manfred-toplic.com/cp09.html ''The nine and ten primes project'']. Retrieved on 2007-06-17.</ref>
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 == एपी == में सबसे बड़ा ज्ञात लगातार अभाज्य
-तालिका k = 3 से 10 के लिए अंकगणितीय प्रगति में लगातार k के सबसे बड़े ज्ञात मामले को दर्शाती है।
+तालिका k = 3 से 10 के लिए अंकगणितीय विकास में लगातार k के सबसे बड़े ज्ञात मामले को दर्शाती है।
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 * [[कनिंघम चेन]]
 * ज़ेमेरीडी प्रमेय
-*प्राइमग्रिड
+*अभाज्यग्रिड
-* [[अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याएं]]
+* [[अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याएं|अंकगणितीय विकास से जुड़ी समस्याएं]]
 == टिप्पणियाँ ==

v t e प्राइम नंबर कक्षाएं
सूत्र द्वारा	[[Fermat संख्या \| fermat ( $2 2 n + 1$ )]] [[Mersenne Prime \| Mersenne ( $2 p - 1$ )]] [[डबल मर्सन नंबर \| डबल मर्सन ( $2 2 p -1 - 1$ 0]] [[Wagstaff Prime \| Wagstaff $(2 p + 1)/3$ ]] [[प्रोथ प्राइम \| प्रोथ ( $k \cdot2 n + 1$ )]] [[फैक्टरियल प्राइम \| फैक्टरियल ( $n! \pm 1$ )]] [[प्राइमोरियल प्राइम \| प्राइमोरियल ( $p n # \pm 1$ )]] [[यूक्लिड नंबर \| Euclid ( $p n # + 1$ )]] [[पाइथागोरियन प्राइम \| पाइथागोरियन ( $4 n + 1$ )]] [[पियरपॉन्ट प्राइम \| पियरपोंट ( $2 m \cdot3 n + 1$ )]] [[फौयन प्राइम \| क्वार्टन ( $x 4 + y 4$ )]] [[प्राइम सोलिनास \| सोलिनास ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ )]] [[कुलेन नंबर \| कुलेन ( $n \cdot2 n + 1$ )]] [[वुडल नंबर \| वुडल ( $n \cdot2 n - 1$ )]] [[क्यूबन प्राइम \| क्यूबन (क्यूबन () $x 3 - y 3)/(x - y$ ]] [[Leyland संख्या \| Leyland ( $x y + y x$ )]] [[Thabit संख्या \| thabit ( $3\cdot2 n - 1$ )]] [[विलियम्स नंबर \| विलियम्स ( $(b -1)\cdot b n - 1$ )]] [[मिल्स निरंतर \| मिल्स ( $⌊ A 3 n ⌋$ )]]
पूर्णांक अनुक्रम द्वारा	Fibonacci लुकास पेल न्यूमैन -शैंक्स -विलियम्स पेरिन विभाजन बेल Motzkin
संपत्ति से	Wieferich ( जोड़ी) वॉल -सन -सन वोल्स्टेनहोल्मे विल्सन भाग्यशाली भाग्यशाली रामानुजन पिल्लई नियमित मजबूत स्टर्न सुपरसिंगुलर (अण्डाकार वक्र) सुपरसिंगुलर (मूनशाइन थ्योरी) अच्छा सुपर हिग्स अत्यधिक cototient अद्वितीय
आधार-आश्रित	पालिंड्रोमिक एमिर्प [[Repunit \| repunit $(10 n - 1)/9$ ]] पारगम्य परिपत्र truncatable न्यूनतम नाजुक प्राइमवेल पूर्ण रेप्टेंड अद्वितीय [हैप्पी नंबर # हैप्पी प्राइम्स
पैटर्न्स	[[ट्विन प्राइम \| ट्विन ( $p, p + 2$ ]] [[पिंडली के पेट \| शिन पेट ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ]] [[प्राइम ट्रिपल \| ट्रिपल ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ]] [[प्राइम क्वाड्रुप्लेट \| क्वाड्रुलेट ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ]] k -tuple [[चचेरे भाई प्राइम \| चचेरे भाई ( $p, p + 4$ ]] [[सेक्सी प्राइम \| सेक्सी ( $p, p + 6$ ]] चेन [[सेफ एंड सोफी जर्मेन प्राइम्स \| सोफी जर्मेन/सेफ ( $p, 2 p + 1$ ]] [[कनिंघम श्रृंखला \| कनिंघम ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ]] [[अंकगणितीय प्रगति में primes \| अंकगणितीय प्रगति ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ]] [[संतुलित प्राइम \| संतुलित ( $consecutive p - n, p, p + n$ ]]
आकार से	मेगा(1,000,000+ अंक) सबसे बड़ा ज्ञात सूची
जटिल संख्या	Eisenstein Prime गाऊसी प्राइम
समग्र संख्या	स्यूडोप्राइम कैटलन अण्डाकार यूलर Euler -Jacobi Fermat फ्रोबेनियस लुकास सोमर -लुकास मजबूत कारमाइकल नंबर लगभग प्रमुख सेमीप्रीम इंटरप्राइम घबराहट
संबंधित विषय	संभावित प्राइम औद्योगिक-ग्रेड प्राइम अवैध प्राइम प्राइम्स के लिए सूत्र प्राइम गैप
पहला60अभाज्य	२ ३ ५ 7 ११ १३ 17 19 २३ २ ९ ३१ 37 ४१ ४३ 47 ५३ ५ ९ ६१ 67 71 73 79 83 89 97 १०१ १०३ 107 १० ९ ११३ 127 १३१ 137 १३ ९ १४ ९ १५१ 157 १६३ 167 173 179 181 १ ९ १ १ ९ ३ 197 199 211 २२३ 227 २२ ९ २३३ २३ ९ २४१ २५१ 257 २६३ 269 271 277 281
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