लायपुनोव आयाम: Difference between revisions

Revision as of 09:25, 24 May 2023

गतिशील प्रणालियों के गणित में लायपुनोव आयाम की अवधारणा कापलान-यॉर्क अनुमान द्वारा सुझाई गई थी^[1] आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का अनुमान लगाने के लिए इसके अतिरिक्त इस अवधारणा को विकसित किया गया है और कई पत्रों में वास्तवता से उचित ठहराया गया है और आजकल लाइपुनोव आयाम की परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है। टिप्पणी करें कि गैर-पूर्णांक हौसडॉर्फ आयाम वाले आकर्षणकर्ताओं को आकर्षणकर्ता या विचित्र आकर्षणक कहा जाता है।^[2] चूंकि आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का प्रत्यक्ष संख्यात्मक विश्लेषण अधिकांशतः उच्च संख्यात्मक जटिलता की समस्या है लायपुनोव आयाम के माध्यम से अनुमान व्यापक रूप से फैल गए। लायपुनोव आयाम का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के नाम पर रखा गया था क्योंकि लायपुनोव के प्रतिपादकों के साथ घनिष्ठ संबंध था।^[3] लायपुनोव के प्रतिपादक साथ घनिष्ठ संबंध के कारण रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के बाद।

परिभाषाएँ

एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें ${\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}$ , जहां $\varphi ^{t}$ समाधानों के साथ शिफ्ट ऑपरेटर है: $\varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})$ , ओडीई ${\dot {u}}=f({u})$ , $t\leq 0$ , या अंतर समीकरण ${u}(t+1)=f({u}(t))$ , $t=0,1,...$ , लगातार अलग-अलग वेक्टर के साथ- कार्य $f$ फिर $D\varphi ^{t}(u)$ रैखिककृत प्रणाली के समाधान का मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण) है और $\sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n$ द्वारा निरूपित करता है, उनकी बीजगणितीय बहुलता के संबंध में एकवचन मान, किसी भी $u$ और $t$ के लिए घटते क्रम में है

परिमित-समय लायपुनोव आयाम के माध्यम से परिभाषा

एन कुज़नेत्सोव द्वारा काम में विकसित परिमित-समय ल्यापुनोव आयाम और ल्यापुनोव आयाम की संबंधित परिभाषा,^[4]^[5] संख्यात्मक प्रयोगों के लिए सुविधाजनक है जहां केवल परिमित समय देखा जा सकता है। परिमित समय ल्यपुनोव एक्सपोनेंट्स के लिए कपलान-यॉर्क सूत्र के एक एनालॉग पर विचार करें:

d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},

j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},

परिमित समय लायपुनोव घातांक के आदेशित सेट के संबंध में $\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}$ बिंदु $u$ पर अपरिवर्तनीय सेट $K$ के संबंध में डायनेमिक प्रणाली के परिमित-समय लायपुनोव आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

\dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).

इस दृष्टिकोण में कापलान-यॉर्क फॉर्मूला के एनालॉग का उपयोग डौडी-ओस्टरले प्रमेय द्वारा दृढ़ता से उचित है, ^[6] जो साबित करता है कि किसी भी निश्चित $t>0$ के लिए एक बंद परिबद्ध अपरिवर्तनीय सेट $K$ के लिए परिमित-समय लायपुनोव आयाम एक है हॉसडॉर्फ आयाम का ऊपरी अनुमान:

\dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).

इस तरह के सर्वश्रेष्ठ अनुमान की खोज है

 $\inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)$ Lyapunov आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:^[4]^[5]: $\dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).$

समय सीमा के क्रम को बदलने की संभावनाओं और सर्वोच्च सेट पर चर्चा की जाती है उदाहरण में।^[7]^[8]

ध्यान दें कि ऊपर परिभाषित लायपुनोव आयाम लिप्सचिट्ज़ डिफियोमॉर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है।^[4]^[9]

स्पष्ट लायपुनोव आयाम

माना कि जैकोबियन आव्यूह $Df(u_{\text{eq}})$ में से किसी एक संतुलन में सरल वास्तविक आइगेनवैल्यू हैं: $\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})$ , तब

\dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).

यदि वैश्विक आकर्षणकर्ता पर स्थानीय ल्यपुनोव आयामों का सर्वोच्च, जिसमें सभी संतुलन सम्मिलित हैं, एक संतुलन बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, तो यह वैश्विक आकर्षणकर्ता के स्पष्ट ल्यापुनोव आयाम का विश्लेषणात्मक सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है (इसी ईडन के अनुमान को देखें)।

सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण और एर्गोडिसिटी के माध्यम से परिभाषा

सांख्यिकीय भौतिकी के दृष्टिकोण के बाद और एर्गोडिसिटी को मानते हुए आकर्षित करने वाले के ल्यापुनोव आयाम का अनुमान स्थानीय लायपुनोव आयाम के सीमा मान से लगाया जाता है $\lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})$ एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र जो आकर्षित करने वाले का है। इस स्थिति में $\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}$ और $\dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}$ .व्यावहारिक दृष्टिकोण से एर्गोडिक ओसेलेडेक प्रमेय का कठोर उपयोग सत्यापन कि माना गया प्रक्षेपवक्र $u(t,u_{0})$ एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र है और संबंधित कापलान-यॉर्क सूत्र का उपयोग एक चुनौतीपूर्ण है कार्य (देखें, उदाहरण के लिए ^[10] में चर्चा) परिमित समय ल्यापुनोव घातांक के स्पष्ट सीमा मान यदि वे उपस्थित हैं और सभी $u_{0}\in U$ के लिए समान हैं तो उन्हें निरपेक्ष कहा जाता है $\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}$ और कापलान-यॉर्क में उपयोग किया गया सूत्र लायपुनोव के प्रतिपादकों और आयाम की गणना के लिए एर्गोडिक सिद्धांत के सख्त उपयोग के उदाहरण इसमें पाए जा सकते हैं।^[11]^[12]^[13]

संदर्भ

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 j(t,u) = \max\{m: \sum_{i=1}^m {\rm LE}_i(t,u) \geq 0\},
 </math>
-परिमित समय Lyapunov घातांक के आदेशित सेट के संबंध में
+परिमित समय लायपुनोव घातांक के आदेशित सेट के संबंध में <math>\{{\rm LE}_i(t,u)\}_{i=1}^n = \{\frac{1}{t}\ln\sigma_i(t,u)\}_{i=1}^n</math> बिंदु <math>u</math> पर [[अपरिवर्तनीय कई गुना|अपरिवर्तनीय]] सेट <math>K</math> के संबंध में डायनेमिक प्रणाली के परिमित-समय लायपुनोव आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है
-<math>\{{\rm LE}_i(t,u)\}_{i=1}^n = \{\frac{1}{t}\ln\sigma_i(t,u)\}_{i=1}^n</math> बिंदु पर <math>u</math>.
-सम्मान के साथ डायनेमिक सिस्टम का परिमित-समय लायपुनोव आयाम
-[[अपरिवर्तनीय कई गुना]] <math>K</math>
-निम्नानुसार परिभाषित किया गया है
 :<math>
    \dim_{\rm L}(t, K) = \sup\limits_{u \in K}
    d_{\rm KY}(\{{\rm LE}_i(t,u)\}_{i=1}^n).
 </math>
-इस दृष्टिकोण में कापलान-यॉर्क सूत्र के अनुरूप का उपयोग
-डौडी-ओस्टरले प्रमेय द्वारा कड़ाई से उचित है,<ref name=DouadyO-1980>{{Cite journal
+इस दृष्टिकोण में कापलान-यॉर्क फॉर्मूला के एनालॉग का उपयोग डौडी-ओस्टरले प्रमेय द्वारा दृढ़ता से उचित है, <ref name="DouadyO-1980">{{Cite journal
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 |title=Dimension de Hausdorff des attracteurs
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+|volume=290 | issue=24 |year=1980 |pages=1135–1138}}</ref> जो साबित करता है कि किसी भी निश्चित <math>t > 0</math> के लिए एक बंद परिबद्ध अपरिवर्तनीय सेट <math>K</math> के लिए परिमित-समय लायपुनोव आयाम एक है हॉसडॉर्फ आयाम का ऊपरी अनुमान:
-एक बंद परिबद्ध अपरिवर्तनीय सेट के लिए परिमित-समय लापुनोव आयाम <math>K</math>
-हौसडॉर्फ आयाम का ऊपरी अनुमान है:
 :<math>
    \dim_{\rm H} K \leq \dim_{\rm L}(t, K).
 </math>
-इस तरह के सर्वश्रेष्ठ अनुमान की तलाश है
+इस तरह के सर्वश्रेष्ठ अनुमान की खोज है
   <math>
-\inf_{t>0} \dim_{\rm L} (t, K)
+ \inf_{t>0} \dim_{\rm L} (t, K)
-  = \liminf_{t \to +\infty}\sup\limits_{u \in K} \dim_{\rm L}(t,u)
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+ध्यान दें कि ऊपर परिभाषित लायपुनोव आयाम लिप्सचिट्ज़ [[डिफियोमॉर्फिज्म]] के तहत अपरिवर्तनीय है।<ref name="Kuznetsov-2016-PLA" /><ref name="KuznetsovAL-2016">{{Cite journal
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+==== स्पष्ट लायपुनोव आयाम ====
+माना कि जैकोबियन आव्यूह <math>Df(u_\text{eq})</math> में से किसी एक संतुलन में सरल वास्तविक आइगेनवैल्यू हैं: <math>\{\lambda_i(u_\text{eq})\}_{i=1}^n, \lambda_{i}(u_\text{eq}) \geq \lambda_{i+1}(u_\text{eq})</math>, तब
-==== सटीक लायपुनोव आयाम ====
-जैकोबियन मैट्रिक्स दें <math>Df(u_\text{eq})</math> संतुलन में से एक में सरल वास्तविक eigenvalues होते हैं:
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-तब
 :<math>
    \dim_{\rm L}u_\text{eq} = d_{\rm KY}(\{\lambda_i(u_\text{eq})\}_{i=1}^n).
 </math>
-यदि वैश्विक आकर्षणकर्ता पर स्थानीय ल्यपुनोव आयामों का सर्वोच्च, जिसमें सभी संतुलन शामिल हैं, एक संतुलन बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, तो यह वैश्विक आकर्षणकर्ता के सटीक ल्यापुनोव आयाम का विश्लेषणात्मक सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है (इसी ईडन के अनुमान को देखें)।
+यदि वैश्विक आकर्षणकर्ता पर स्थानीय ल्यपुनोव आयामों का सर्वोच्च, जिसमें सभी संतुलन सम्मिलित हैं, एक संतुलन बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, तो यह वैश्विक आकर्षणकर्ता के स्पष्ट ल्यापुनोव आयाम का विश्लेषणात्मक सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है (इसी ईडन के अनुमान को देखें)।
-=== [[सांख्यिकीय भौतिकी]] दृष्टिकोण और [[ergodicity]] === के माध्यम से परिभाषा
+== [[सांख्यिकीय भौतिकी]] दृष्टिकोण और [[ergodicity|एर्गोडिसिटी]] के माध्यम से परिभाषा ==
-सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण का पालन करना और क्षरण को मानना
+सांख्यिकीय भौतिकी के दृष्टिकोण के बाद और एर्गोडिसिटी को मानते हुए आकर्षित करने वाले के ल्यापुनोव आयाम का अनुमान स्थानीय लायपुनोव आयाम के सीमा मान से लगाया जाता है <math>\lim_{t\to+\infty}\dim_{\rm L} (t, u_0)</math> एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र जो आकर्षित करने वाले का है। इस स्थिति में<math>\{\lim\limits_{t\to+\infty}{\rm LE}_i(t,u_0)\}_{i}^n = \{ {\rm LE}_i(u_0)\}_1^n</math> और <math>\dim_{\rm L}u_0= d_{\rm KY}(\{ {\rm LE}_i(u_0)\}_{i=1}^n)=j(u_0) + \frac{ {\rm LE}_1(u_0) + \cdots + {\rm LE}_{j(u_0)}(u_0)}{| {\rm LE}_{j(u_0)+1}(u_0)|} </math>.व्यावहारिक दृष्टिकोण से एर्गोडिक ओसेलेडेक प्रमेय का कठोर उपयोग सत्यापन कि माना गया प्रक्षेपवक्र <math>u(t,u_0)</math> एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र है और संबंधित कापलान-यॉर्क सूत्र का उपयोग एक चुनौतीपूर्ण है कार्य (देखें, उदाहरण के लिए <ref name="ChaosBook">{{cite book
-आकर्षित करने वाले के ल्यपुनोव आयाम का अनुमान लगाया गया है<ref name=KaplanY-1979/>द्वारा
-स्थानीय लायपुनोव आयाम का सीमा मूल्य <math>\lim_{t\to+\infty}\dim_{\rm L} (t, u_0)</math> एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र का, जो आकर्षित करने वाले का है।
-इस मामले में <math>\{\lim\limits_{t\to+\infty}{\rm LE}_i(t,u_0)\}_{i}^n = \{ {\rm LE}_i(u_0)\}_1^n</math> और <math>\dim_{\rm L}u_0= d_{\rm KY}(\{ {\rm LE}_i(u_0)\}_{i=1}^n)=j(u_0) + \frac{ {\rm LE}_1(u_0) + \cdots + {\rm LE}_{j(u_0)}(u_0)}{| {\rm LE}_{j(u_0)+1}(u_0)|} </math>.
-व्यावहारिक दृष्टिकोण से, ओसेलेडेक प्रमेय का कठोर उपयोग,
-सत्यापन कि माना प्रक्षेपवक्र <math>u(t,u_0)</math> एक सामान्य प्रक्षेपवक्र है,
-और इसी कापलान-यॉर्क अनुमान का उपयोग | कापलान-यॉर्क सूत्र एक चुनौतीपूर्ण कार्य है
-(देखें, उदाहरण के लिए चर्चाएँ<ref name=ChaosBook>{{cite book
   |author1= P. Cvitanovic |author2=R. Artuso |author3=R. Mainieri
   |author4= G. Tanner |author5= G. Vattay
@@ Line 125: / Line 110: @@
   | publisher = Niels Bohr Institute
   | url = http://chaosbook.org/version15/chapters/Lyapunov.pdf#page=6
-  }}</ref>).
+  }}</ref> में चर्चा) परिमित समय ल्यापुनोव घातांक के स्पष्ट सीमा मान यदि वे उपस्थित हैं और सभी <math>u_0 \in U</math> के लिए समान हैं तो उन्हें निरपेक्ष कहा जाता है <math>\{\lim\limits_{t\to+\infty}{\rm LE}_i(t,u_0)\}_{i}^n = \{ {\rm LE}_i(u_0)\}_1^n \equiv \{ {\rm LE}_i \}_1^n</math> और कापलान-यॉर्क में उपयोग किया गया सूत्र लायपुनोव के प्रतिपादकों और आयाम की गणना के लिए एर्गोडिक सिद्धांत के सख्त उपयोग के उदाहरण इसमें पाए जा सकते हैं।<ref name="Ledrappier-1981">{{cite journal
-परिमित समय Lyapunov घातांक के सटीक सीमा मान,
-यदि वे मौजूद हैं और सभी के लिए समान हैं <math>u_0 \in U</math>,
-निरपेक्ष कहलाते हैं<ref name=FredericksonKYY-1983/> <math>\{\lim\limits_{t\to+\infty}{\rm LE}_i(t,u_0)\}_{i}^n = \{ {\rm LE}_i(u_0)\}_1^n \equiv \{ {\rm LE}_i \}_1^n</math> और कापलान-यॉर्क अनुमान में प्रयोग किया जाता है। कापलान-यॉर्क सूत्र।
-Lyapunov घातांक और आयाम की गणना के लिए एर्गोडिक सिद्धांत के कठोर उपयोग के उदाहरण में पाया जा सकता है।<ref name=Ledrappier-1981>{{cite journal
   | last1=Ledrappier | first1=F.
   | title=Some relations between dimension and Lyapounov exponents
@@ Line 139: / Line 120: @@
   | s2cid=122105442
   | url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103920241
-  }}</ref><ref name=BenedicksY-1993>{{cite journal
+  }}</ref><ref name="BenedicksY-1993">{{cite journal
   | last1=Benedicks | first1=M.
   | last2=Young | first2=L.-S.
@@ Line 147: / Line 128: @@
   | year=1993 | doi=10.1007/bf01232446
   | bibcode=1993InMat.112..541B
-  }}</ref><ref name=2021-KuznetsovR>{{cite book | first1= Nikolay | last1=Kuznetsov |
+  }}</ref><ref name="2021-KuznetsovR">{{cite book | first1= Nikolay | last1=Kuznetsov |
 first2=Volker | last2=Reitmann | year = 2021| title = Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation|
 publisher = Springer| location = Cham|url=https://www.springer.com/gp/book/9783030509866}}</ref>
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परिभाषाएँ

परिमित-समय लायपुनोव आयाम के माध्यम से परिभाषा

स्पष्ट लायपुनोव आयाम

सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण और एर्गोडिसिटी के माध्यम से परिभाषा

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