वेवनंबर

वेवनंबर और हार्मोनिक तरंगों के अन्य गुणों के बीच संबंध को दर्शाने वाला आरेख।

भौतिक विज्ञान में, वेवनंबर (लहर संख्या या दोहराव भी)) एक तरंग की [[ स्थानिक आवृत्ति ]] है, जिसे चक्र प्रति इकाई दूरी ('साधारण तरंगांक') या रेडियन प्रति इकाई दूरी ('कोणीय तरंगांक') में मापा जाता है। यह टेम्पोरल फ़्रीक्वेंसी के अनुरूप है, जिसे प्रति यूनिट समय (साधारण आवृत्ति) या रेडियन प्रति यूनिट समय (कोणीय आवृत्ति) के तरंग चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

बहुआयामी प्रणालियों में, हिलाना नंबर तरंग वेक्टर का परिमाण है। तरंग सदिशों के स्थान को व्युत्क्रम स्थान कहते हैं। वेव नंबर और लहर वेक्टर ऑप्टिक्स और वेव स्कैटरिंग की भौतिकी में एक आवश्यक भूमिका निभाते हैं, जैसे कि एक्स-रे विवर्तन, न्यूट्रॉन विवर्तन , इलेक्ट्रॉन विवर्तन और प्राथमिक कण भौतिकी। क्वांटम यांत्रिक तरंगों के लिए, कम प्लैंक स्थिरांक से गुणा की गई तरंग संख्या संवेग संवाहक है।

वेवनंबर का उपयोग स्थानिक आवृत्ति के अलावा अन्य मात्राओं को निर्दिष्ट करने के लिए किया जा सकता है। ऑप्टिकल स्पेक्ट्रोस्कोपी में, इसे अक्सर प्रकाश की एक निश्चित गति मानकर अस्थायी आवृत्ति की एक इकाई के रूप में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

वेवनंबर, जैसा कि स्पेक्ट्रोस्कोपी और अधिकांश रसायन विज्ञान क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, को प्रति इकाई दूरी की तरंग दैर्ध्य की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, आमतौर पर सेंटीमीटर (सेमी)^-1):

${\tilde {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},$

जहां तरंग दैर्ध्य है। इसे कभी-कभी स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर कहा जाता है।यह स्थानिक आवृत्ति के बराबर है। व्युत्क्रम सेमी में एक तरंग संख्या को 29.9792458 (सेंटीमीटर प्रति नैनोसेकंड में प्रकाश की गति) से गुणा करके GHz में आवृत्ति में परिवर्तित किया जा सकता है। 29.9792458 गीगाहर्ट्ज़ पर एक विद्युत चुम्बकीय तरंग की खाली जगह में 1 सेमी की तरंग दैर्ध्य होती है।

सैद्धांतिक भौतिकी में, प्रति इकाई दूरी रेडियन की संख्या के रूप में परिभाषित एक तरंग संख्या, जिसे कभी-कभी कोणीय तरंगांक कहा जाता है, का अधिक बार उपयोग किया जाता है:

$k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}$

जब wavenumber को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है νपरोक्ष रूप से, एक आवृत्ति अभी भी प्रतिनिधित्व की जा रही है। जैसा कि स्पेक्ट्रोस्कोपी अनुभाग में वर्णित है, यह संबंध के माध्यम से किया जाता है ${\textstyle {\frac {\nu _{s}}{c}}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\;\equiv \;{\tilde {\nu }}}$, कहाँ पे ν_s हेटर्स में आवृत्ति है। यह सुविधा के लिए किया जाता है क्योंकि आवृत्तियाँ बहुत बड़ी होती हैं। वेवनंबर में पारस्परिक लंबाई का आयामी विश्लेषण है, इसलिए इसकी इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मीटर का पारस्परिक है (एम^-1)। स्पेक्ट्रोस्कोपी में सीजीएस इकाई (यानी, पारस्परिक सेंटीमीटर; सेमी) में तरंग संख्या देना सामान्य है^-1); इस संदर्भ में, वेवनंबर को पूर्व में केसर कहा जाता था, हेनरिक कैसरो के बाद (कुछ पुराने वैज्ञानिक पत्रों ने इस इकाई का इस्तेमाल किया, जिसे के के रूप में संक्षिप्त किया गया, जहां 1 के = 1 सेमी^-1)। कोणीय तरंगांक को कांति प्रति मीटर (radim .) में व्यक्त किया जा सकता है⁻¹), या ऊपर के रूप में, क्योंकि रेडियन आयामहीन है।

निर्वात में विद्युत चुम्बकीय विकिरण के लिए, वेवनंबर आवृत्ति और फोटॉन ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है। इस वजह से, स्पेक्ट्रोस्कोपी में तरंगों का उपयोग ऊर्जा की एक सुविधाजनक इकाई के रूप में किया जाता है।

जटिल

एक जटिल-मूल्यवान वेवनंबर को जटिल-मूल्यवान सापेक्ष पारगम्यता वाले माध्यम के लिए परिभाषित किया जा सकता है $\varepsilon _{r}$, सापेक्ष पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) $\mu _{r}$ और अपवर्तन सूचकांक n के रूप में:

$k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n$

जहां को₀ ऊपर के रूप में, फ्री-स्पेस वेवनंबर है। वेवनंबर का काल्पनिक हिस्सा प्रति इकाई दूरी क्षीणन को व्यक्त करता है और तेजी से क्षय होने वाले क्षेत्रों के अध्ययन में उपयोगी है।

रैखिक मीडिया में समतल तरंगें

एक रैखिक सामग्री में x दिशा में फैलने वाले साइनसॉइडल प्लेन वेव का प्रसार कारक द्वारा दिया जाता है

$P=e^{-jkx}$

कहाँ पे

• $k=k'-jk''={\sqrt {-\left(\omega \mu ''+j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon ''+j\omega \varepsilon '\right)}}\;$
• $k'=$ रेडियन/मीटर . की इकाइयों में चरण स्थिरांक
• $k''=$ के माध्यम से ्स/मीटर की इकाइयों में क्षीणन स्थिरांक
• $\omega =$ रेडियन/मीटर . की इकाइयों में आवृत्ति
• $x=$ x दिशा में तय की गई दूरी
• $\sigma =$ सीमेंस (इकाई) /मीटर . में विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता
• $\varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon ''=$ परमिटिटिविटी#जटिल परमिटिटिविटी
• $\mu =\mu '-j\mu ''=$ पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व)#जटिल पारगम्यता
• $j={\sqrt {-1}}$ हानिपूर्ण मीडिया में प्रसार के साथ संगति के लिए साइन कन्वेंशन का चयन किया जाता है। यदि क्षीणन स्थिरांक धनात्मक है, तो जैसे-जैसे तरंग x दिशा में फैलती है, तरंग का आयाम घटता जाता है।

तरंग दैर्ध्य, चरण वेग , और त्वचा प्रभाव का तरंगांक के घटकों के साथ सरल संबंध हैं:

$\lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}$

तरंग समीकरणों में

यहाँ हम मानते हैं कि तरंग इस अर्थ में नियमित है कि तरंग का वर्णन करने वाली विभिन्न मात्राएँ जैसे तरंग दैर्ध्य, आवृत्ति और इस प्रकार वेवनंबर स्थिरांक हैं। मामले की चर्चा के लिए वेवपैकेट देखें जब ये मात्रा स्थिर नहीं होती है।

सामान्य तौर पर, कोणीय तरंगांक k (अर्थात तरंग सदिश का परिमाण (गणित) ) द्वारा दिया जाता है

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}$

जहां तरंग की आवृत्ति है, तरंग दैर्ध्य है, ω = 2πν तरंग की कोणीय आवृत्ति है, और v_p तरंग का चरण वेग है। वेवनंबर की आवृत्ति पर निर्भरता (या अधिक सामान्यतः वेवनंबर पर आवृत्ति) को फैलाव संबंध के रूप में जाना जाता है।

निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग के विशेष मामले के लिए, जिसमें तरंग प्रकाश की गति से फैलती है, k द्वारा दिया जाता है:

$k={\frac {E}{\hbar c}}$

जहां ई तरंग की ऊर्जा है, कम प्लैंक स्थिरांक है, और सी निर्वात में प्रकाश की गति है।

पदार्थ तरंग के विशेष मामले के लिए, उदाहरण के लिए एक इलेक्ट्रॉन तरंग, गैर-सापेक्ष सन्निकटन में (एक मुक्त कण के मामले में, अर्थात कण में कोई संभावित ऊर्जा नहीं होती है):

$k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$

यहाँ p कण का संवेग है, m कण का द्रव्यमान है, E कण की [[ गति ज ऊर्जा ]] है, और घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है।

वेवनंबर का उपयोग समूह वेग को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है।

स्पेक्ट्रोस्कोपी में

स्पेक्ट्रोस्कोपी में, वेवनंबर ${\tilde {\nu }}$ एक आवृत्ति को संदर्भित करता है जिसे वैक्यूम में प्रकाश की गति से आमतौर पर सेंटीमीटर प्रति सेकंड (cm.s .) में विभाजित किया जाता है^-1): :

${\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.$

आवृत्ति के बजाय इस स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर का उपयोग करने का ऐतिहासिक कारण यह है कि यह एक सुविधाजनक इकाई है जब एक व्यतिकरणमापी के साथ प्रति सेमी फ्रिंज की गणना करके परमाणु स्पेक्ट्रा का अध्ययन किया जाता है: स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर निर्वात में प्रकाश की तरंग दैर्ध्य का पारस्परिक है:

$\lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}},$

जो हवा में अनिवार्य रूप से समान रहता है, और इसलिए स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर विवर्तन झंझरी से बिखरे हुए प्रकाश के कोणों और इंटरफेरोमीटर में फ्रिंज के बीच की दूरी से सीधे संबंधित होता है, जब वे उपकरण हवा या वैक्यूम में संचालित होते हैं। इस तरह की लहरों का इस्तेमाल पहली बार 1880 के दशक में जोहान्स रिडबर्ग की गणना में किया गया था। 1908 का रिडबर्ग-रिट्ज संयोजन सिद्धांत भी लहरों के संदर्भ में तैयार किया गया था। कुछ साल बाद क्वांटम यांत्रिकी में वर्णक्रमीय रेखाओं को ऊर्जा स्तरों के बीच अंतर के रूप में समझा जा सकता है, ऊर्जा तरंगनंबर या आवृत्ति के समानुपाती होती है। हालांकि, स्पेक्ट्रोस्कोपिक डेटा को आवृत्ति या ऊर्जा के बजाय स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर के संदर्भ में सारणीबद्ध किया जाता रहा।

उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला के स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर Rydberg सूत्र द्वारा दिए गए हैं:

${\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),$

जहां R Rydberg स्थिरांक है, और n_i और n_f क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम स्तरों की प्रमुख क्वांटम संख्याएँ हैं (n_i n . से बड़ा है_f उत्सर्जन के लिए)।

प्लैंक के संबंध द्वारा एक स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर को फोटॉन ऊर्जा ई में परिवर्तित किया जा सकता है:

$E=hc{\tilde {\nu }}.$

इसे प्रकाश की तरंग दैर्ध्य में भी परिवर्तित किया जा सकता है:

$\lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},$

जहाँ n प्रकाशिक माध्यम का अपवर्तनांक है। ध्यान दें कि विभिन्न माध्यमों से गुजरने पर प्रकाश की तरंग दैर्ध्य बदल जाती है, हालांकि, स्पेक्ट्रोस्कोपिक वेवनंबर (यानी, आवृत्ति) स्थिर रहता है।

परंपरागत रूप से, पारस्परिक लंबाई (सेमी⁻¹) इकाइयों का उपयोग के लिए किया जाता है ${\tilde {\nu }}$, इतनी बार कि इस तरह की स्थानिक आवृत्तियों को कुछ लेखकों द्वारा लहरों में कहा जाता है, मात्रा का नाम गलत तरीके से CGS इकाई cm . में स्थानांतरित करना^-1 ही।

यह भी देखें

• स्थानिक आवृत्ति
• अपवर्तक सूचकांक
• आंचलिक लहर संख्या