हार्मोनिक संयुग्म: Difference between revisions

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गणित में, एक [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान फलन (गणित) <math>u(x,y)</math> एक डोमेन पर परिभाषित (गणितीय विश्लेषण) <math>\Omega \subset \R^2</math> कहा जाता है कि एक संयुग्म (कार्य) है <math>v(x,y)</math> यदि और केवल यदि वे क्रमशः एक [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के [[वास्तविक और काल्पनिक भाग]] हैं <math>f(z)</math> [[जटिल संख्या]] चर का <math>z:=x+iy\in\Omega.</math> वह है, <math>v</math> से संयुग्मित है <math>u</math> अगर <math>f(z):=u(x,y)+iv(x,y)</math> होलोमॉर्फिक चालू है <math>\Omega.</math> परिभाषा के पहले परिणाम के रूप में, वे दोनों [[हार्मोनिक फ़ंक्शन]] वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन हैं <math>\Omega</math>. इसके अलावा, के संयुग्म <math>u,</math> यदि यह मौजूद है, तो एक योज्य स्थिरांक [[तक]] अद्वितीय है। भी, <math>u</math> से संयुग्मित है <math>v</math> अगर और केवल अगर <math>v</math> से संयुग्मित है <math>-u</math>.
 
गणित में, विवृत समुच्चय <math>u(x,y)</math> पर परिभाषित [[वास्तविक संख्या]] फलन <math>u(x,y)</math> और <math>v(x,y)</math> को संयुग्मी फलन <math>\Omega \subset \R^2</math> कहा जाता है। यदि और केवल यदि वे क्रमशः समिश्र चर <math>z:=x+iy\in\Omega</math> के [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक फलन]] <math>f(z)</math> के [[वास्तविक और काल्पनिक भाग|वास्तविक और काल्पनिक समुच्चय]] हैं अर्थात <math>v</math>, <math>u</math> से संयुग्मी है यदि <math>f(z):=u(x,y)+iv(x,y)</math> पर [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] है। परिभाषा के पहले परिणाम के रूप में <math>u(x,y)</math> और <math>v(x,y)</math> दोनों <math>\Omega</math> पर हार्मोनिक वास्तविक संख्या फलन हैं। इसके अतिरिक्त, यदि <math>u</math> का संयुग्म सम्मिलित है, तो यह एक योज्य स्थिरांक तक अद्वितीय होता है। साथ ही <math>u</math>, <math>v</math> से संयुग्मी है यदि और केवल यदि <math>v</math>,<math>-u</math> से संयुग्मी है।


== विवरण ==
== विवरण ==
समान रूप से, <math> v</math> से संयुग्मित है <math>u</math> में <math>\Omega</math> अगर और केवल अगर <math>u</math> और <math>v</math> कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करें <math>\Omega.</math> बाद की समकक्ष परिभाषा के तत्काल परिणाम के रूप में, यदि <math>u</math> कोई हार्मोनिक फ़ंक्शन चालू है <math>\Omega\subset\R^2,</math> कार्यक्रम <math> u_x</math> से संयुग्मित है <math>-u_y,</math> तब के लिए कॉची-रीमैन समीकरण न्यायसंगत हैं <math>\Delta u = 0</math> और [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता]], <math>u_{xy}=u_{yx}.</math> इसलिए, एक हार्मोनिक फ़ंक्शन  <math>u</math> एक संयुग्मित हार्मोनिक फ़ंक्शन को स्वीकार करता है यदि और केवल होलोमोर्फिक फ़ंक्शन <math>g(z) := u_x(x,y) - i u_y(x,y)</math> एक [[एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण)]] है <math>f(z)</math> में <math>\Omega,</math> जिस स्थिति में एक संयुग्मी <math>u</math> बेशक, है <math>\operatorname{Im} f(x+iy).</math> इसलिए कोई भी हार्मोनिक फ़ंक्शन हमेशा एक संयुग्मित फ़ंक्शन को स्वीकार करता है जब भी [[किसी फ़ंक्शन का डोमेन]] बस जुड़ा होता है, और किसी भी स्थिति में यह अपने डोमेन के किसी भी बिंदु पर स्थानीय रूप से एक संयुग्म को स्वीकार करता है।
समतुल्य रूप से <math> v</math>, <math>u</math> में संयुग्मी <math>\Omega</math> है यदि और केवल यदि <math>u</math> और <math>v</math> कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। बाद की समकक्ष परिभाषा के परिणाम के रूप में यदि <math>u</math> <math>\Omega\subset\R^2</math> पर कोई हार्मोनिक फलन है और वह <math>-u_y,</math> <math> u_x</math> के लिए संयुग्मित है, तब कॉची-रीमैन समीकरण मे <math>\Delta u = 0</math> और समिश्र दूसरे क्रम के [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता|व्युत्पन्न की समरूपता]] <math>u_{xy}=u_{yx}</math> होती है। इसलिए हार्मोनिक फलन <math>u</math> संयुग्मित हार्मोनिक फलन को स्वीकृत करता है यदि और केवल यदि होलोमोर्फिक फलन <math>g(z) := u_x(x,y) - i u_y(x,y)</math> में अभाज्य है। <math>f(z)</math> में <math>\Omega</math> जिस अवस्था में <math>u</math> के संयुग्मी फलन <math>\operatorname{Im} f(x+iy)</math> के रूप मे होता है। इसलिए कोई भी हार्मोनिक फलन सदैव संयुग्मी फलन को स्वीकृत करता है। क्योकि इसका डोमेन एक फलन से संबद्ध होता है और किसी भी स्थिति में यह अपने डोमेन के किसी भी बिंदु पर स्थानीय रूप से संयुग्मी फलन को स्वीकृत करता है।  


एक [[ऑपरेटर (गणित)]] एक हार्मोनिक फ़ंक्शन यू को एक सरल रूप से जुड़े क्षेत्र में ले रहा है <math>\R^2</math> इसके हार्मोनिक संयुग्म v के लिए (जैसे v(x<sub>0</sub>) = 0 किसी दिए गए एक्स पर<sub>0</sub> स्थिरांक तक संयुग्म की अनिश्चितता को ठीक करने के लिए)यह अनुप्रयोगों में अच्छी तरह से (अनिवार्य रूप से) हिल्बर्ट रूपांतरण के रूप में जाना जाता है; यह एकवचन अभिन्न संकारकों के संबंध में [[गणितीय विश्लेषण]] का एक बुनियादी उदाहरण भी है। संयुग्म हार्मोनिक फ़ंक्शंस (और उनके बीच परिवर्तन) बैकलंड ट्रांसफ़ॉर्म (दो आंशिक अंतर समीकरण और उनके समाधान से संबंधित ट्रांसफ़ॉर्म) के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं, इस मामले में रैखिक; अधिक जटिल परिवर्तन सॉलिटॉन्स और [[ अभिन्न प्रणाली ]] में रुचि रखते हैं।
इसके हार्मोनिक संयुग्म <math> v</math> (उदाहरण के लिए <math>v(x0) = 0</math> से संयुग्म की अनिश्चितता को स्थिर करने के लिए) में <math>\R^2</math>का हार्मोनिक फलन <math>u</math> है। यह अनुप्रयोगों में अपेक्षाकृत अच्छी तरह से (अनिवार्य रूप से) हिल्बर्ट रूपांतरण के रूप में जाना जाता है। यह एकल समाकल संक्रियकों के संबंध में [[गणितीय विश्लेषण]] का एकआधारिक उदाहरण भी है। संयुग्म हार्मोनिक फलन और उनके बीच के रूपांतरण बैकलंड रूपांतरण (दो पीडीई और उनके समाधान से संबंधित रूपांतरण) के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं। इस स्थिति में रैखिक और अधिक समिश्र रूपांतरण सॉलिटन और [[ अभिन्न प्रणाली |समाकल प्रणाली]] में रुचि रखते हैं।


ज्यामितीय रूप से u और v अंतर्निहित होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के [[शून्य और ध्रुव]]ों से दूर, [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र]] होने के रूप में संबंधित हैं; वे समोच्च रेखाएँ जिन पर u और v स्थिर हैं, [[समकोण]] पर परस्पर काटती हैं। इस संबंध में, यू + iv [[जटिल क्षमता]] होगी, जहां यू [[संभावित सिद्धांत]] है और वी [[धारा समारोह]] है।
ज्यामितीय रूप से <math>u</math> और <math> v</math> [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र|लंबकोणीय प्रक्षेप]] के रूप में संबंधित हैं। अंतर्निहित होलोमोर्फिक फलन के शून्य से दूर वे समोच्य रेखाएँ जिन पर <math>u</math> और <math> v</math> स्थिर हैं, [[समकोण]] पर परस्पर प्रतिच्छेदित करते हैं। इस संबंध में <math>u + iv</math> समिश्र क्षमता होती है। जहां <math>u</math> [[संभावित सिद्धांत]] और <math> v</math> [[धारा समारोह|वर्ग फलन]] है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें <math display="block">u(x,y) = e^x \sin y. </math>
उदाहरण के लिए निम्न फलन पर विचार करें:<math display="block">u(x,y) = e^x \sin y. </math>चूंकि,<math display="block">{\partial u \over \partial x } = e^x \sin y, \quad {\partial^2 u \over \partial x^2} = e^x \sin y</math>और<math display="block">{\partial u \over \partial y} = e^x \cos y, \quad {\partial^2 u \over \partial y^2} = - e^x \sin y,</math>यह निम्न फलन को संतुष्ट करता है:<math display="block"> \Delta u = \nabla^2 u = 0</math>जहाँ <math>\Delta</math> [[लाप्लास ऑपरेटर|लाप्लास संक्रियक]] है और इस प्रकार यह हार्मोनिक फलन है। माना कि हमारे पास एक <math>v(x,y)</math> ऐसा बिन्दु है जो कि कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता हैं:<math display="block">{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} = e^x \sin y</math>और<math display="block">{\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x} =  e^x \cos y.</math>
तब से
 
<math display="block">{\partial u \over \partial x } = e^x \sin y, \quad {\partial^2 u \over \partial x^2} = e^x \sin y</math>
और
<math display="block">{\partial u \over \partial y} = e^x \cos y, \quad {\partial^2 u \over \partial y^2} = - e^x \sin y,</math>
यह संतुष्ट करता है
<math display="block"> \Delta u = \nabla^2 u = 0</math>
(<math>\Delta</math> [[लाप्लास ऑपरेटर]] है) और इस प्रकार हार्मोनिक है। अब मान लीजिए कि हमारे पास <math>v(x,y)</math> ऐसा है कि कॉची-रीमैन समीकरण संतुष्ट हैं:


<math display="block">{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} = e^x \sin y</math>
और यह निम्न को संतुष्ट करता है:
और
<math display="block">{\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x} =  e^x \cos y.</math>
सरल बनाना,
<math display="block">{\partial v \over \partial y} = e^x \sin y</math>
<math display="block">{\partial v \over \partial y} = e^x \sin y</math>
और
और
<math display="block">{\partial v \over \partial x} = -e^x \cos y</math>
<math display="block">{\partial v \over \partial x} = -e^x \cos y</math>जिसको हल करने पर निम्नलिखित प्राप्त होता है: <math display="block"> v = -e^x \cos y + C.</math>ध्यान दें कि यदि <math>u</math>, <math> v</math> से संबंधित फलनों को आपस में रूपांतरित दिया जाता है तो फलन हार्मोनिक संयुग्म नहीं होते है। क्योंकि कॉची-रीमैन समीकरणों में ऋण चिह्न फलन को असममित बनाते है।
जो हल करने पर देता है
विश्लेषणात्मक फलनों के अनुरूप मानचित्रण विशेषता (उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य नहीं है) हार्मोनिक संयुग्मों की एक ज्यामितीय गुण को उत्पन्न करती है। स्पष्ट रूप से x का हार्मोनिक संयुग्म y है और निरंतर x और y की रेखाएँ लंबकोणीय हैं। विश्लेषणात्मक फलनों के अनुसार निरंतर [[समोच्च एकीकरण|समोच्य रेखाएं]] {{math|''u''(''x'', ''y'')}} और {{math|''v''(''x'', ''y'')}} के समोच्य भी लंबकोणीय होती है। जहां वे {{math|f ′(z)}} के शून्य बिन्दु से प्रतिच्छेदित होती हैं। इसका अर्थ यह है कि v, u द्वारा दिए गए समोच्य फलन के लिए लंबकोणीय प्रक्षेप समस्या का एक विशिष्ट समाधान है। स्वाभाविक रूप से, एकमात्र समाधान ही नहीं है क्योंकि हम v के फलन को भी ले सकते हैं। जिसको सत्रहवीं शताब्दी के गणित सिद्धान्त पर वापस जा रहा है, उन वक्रों को खोजने के लिए जो समकोण पर गैर-प्रतिच्छेदी वक्रों के दिए गए फलन प्रतिच्छेदित करते हैं।
<math display="block"> v = -e^x \cos y + C.</math>
ध्यान दें कि यदि संबंधित कार्य {{math|''u''}} और {{math|''v''}} को आपस में बदल दिया गया था, कार्य हार्मोनिक संयुग्म नहीं होंगे, क्योंकि कॉची-रीमैन समीकरणों में ऋण चिह्न रिश्ते को असममित बनाता है।


[[विश्लेषणात्मक कार्य]]ों की [[अनुरूप मानचित्रण]] संपत्ति (उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य नहीं है) हार्मोनिक संयुग्मों की एक ज्यामितीय संपत्ति को जन्म देती है। स्पष्ट रूप से x का हार्मोनिक संयुग्म y है, और निरंतर x और निरंतर y की रेखाएँ ओर्थोगोनल हैं। अनुरूपता कहती है कि निरंतर का [[समोच्च एकीकरण]] {{math|''u''(''x'', ''y'')}} और {{math|''v''(''x'', ''y'')}} भी ओर्थोगोनल होगा जहां वे पार करते हैं (के शून्य से दूर {{math|''f''&thinsp;′(''z'')}}). इसका अर्थ है कि v, u द्वारा दिए गए समोच्चों के परिवार के लिए ओर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र समस्या का एक विशिष्ट समाधान है (स्वाभाविक रूप से, एकमात्र समाधान नहीं, क्योंकि हम v के कार्य भी ले सकते हैं): प्रश्न, सत्रहवें के गणित पर वापस जा रहा है सदी, उन वक्रों को खोजने के लिए जो समकोण पर गैर-प्रतिच्छेदी वक्रों के दिए गए परिवार को पार करते हैं।
== ज्यामिति में हार्मोनिक संयुग्म ==
{{main|प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म}}


== ज्यामिति में हार्मोनिक संयुग्म ==
गणित में हार्मोनिक संयुग्म शब्द की एक अतिरिक्त घटना है और विशेष रूप से [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में दो अंक A और B को अंक C, D की एक युग्म के संबंध में दूसरे युग्म का हार्मोनिक संयुग्म कहा जाता है यदि [[क्रॉस अनुपात|संयुग्मी अनुपात]] (''ABCD'') -1 के बराबर होता है।
{{main|Projective harmonic conjugate}}
गणित में हार्मोनिक संयुग्म शब्द की एक अतिरिक्त घटना है, और विशेष रूप से [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में। दो अंक ''ए'' और ''बी'' को एक दूसरे अंक ''सी, डी'' के संबंध में एक दूसरे के हार्मोनिक संयुग्मन कहा जाता है यदि [[क्रॉस अनुपात]] (''एबीसीडी'') बराबर -1 .


==संदर्भ==
==संदर्भ==
*{{cite book |last1=Brown |first1=James Ward |last2=Churchill |first2=Ruel V. |title=Complex variables and applications |url=https://archive.org/details/complexvariables00brow_0 |url-access=registration |year=1996 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=0-07-912147-0 |edition=6th |page=[https://archive.org/details/complexvariables00brow_0/page/61 61] |quote=If two given functions ''u'' and ''v'' are harmonic in a domain ''D'' and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout ''D'', ''v'' is said to be a ''harmonic conjugate'' of ''u''.}}
*{{cite book |last1=Brown |first1=James Ward |last2=Churchill |first2=Ruel V. |title=Complex variables and applications |url=https://archive.org/details/complexvariables00brow_0 |url-access=registration |year=1996 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=0-07-912147-0 |edition=6th |page=[https://archive.org/details/complexvariables00brow_0/page/61 61] |quote=If two given functions ''u'' and ''v'' are harmonic in a domain ''D'' and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout ''D'', ''v'' is said to be a ''harmonic conjugate'' of ''u''.}}
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/HarmonicRatio.shtml Harmonic Ratio]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/HarmonicRatio.shtml Harmonic Ratio]

Revision as of 09:20, 23 May 2023

गणित में, विवृत समुच्चय पर परिभाषित वास्तविक संख्या फलन और को संयुग्मी फलन कहा जाता है। यदि और केवल यदि वे क्रमशः समिश्र चर के होलोमॉर्फिक फलन के वास्तविक और काल्पनिक समुच्चय हैं अर्थात , से संयुग्मी है यदि पर हार्मोनिक फलन है। परिभाषा के पहले परिणाम के रूप में और दोनों पर हार्मोनिक वास्तविक संख्या फलन हैं। इसके अतिरिक्त, यदि का संयुग्म सम्मिलित है, तो यह एक योज्य स्थिरांक तक अद्वितीय होता है। साथ ही , से संयुग्मी है यदि और केवल यदि , से संयुग्मी है।

विवरण

समतुल्य रूप से , में संयुग्मी है यदि और केवल यदि और कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। बाद की समकक्ष परिभाषा के परिणाम के रूप में यदि पर कोई हार्मोनिक फलन है और वह के लिए संयुग्मित है, तब कॉची-रीमैन समीकरण मे और समिश्र दूसरे क्रम के व्युत्पन्न की समरूपता होती है। इसलिए हार्मोनिक फलन संयुग्मित हार्मोनिक फलन को स्वीकृत करता है यदि और केवल यदि होलोमोर्फिक फलन में अभाज्य है। में जिस अवस्था में के संयुग्मी फलन के रूप मे होता है। इसलिए कोई भी हार्मोनिक फलन सदैव संयुग्मी फलन को स्वीकृत करता है। क्योकि इसका डोमेन एक फलन से संबद्ध होता है और किसी भी स्थिति में यह अपने डोमेन के किसी भी बिंदु पर स्थानीय रूप से संयुग्मी फलन को स्वीकृत करता है।

इसके हार्मोनिक संयुग्म (उदाहरण के लिए से संयुग्म की अनिश्चितता को स्थिर करने के लिए) में का हार्मोनिक फलन है। यह अनुप्रयोगों में अपेक्षाकृत अच्छी तरह से (अनिवार्य रूप से) हिल्बर्ट रूपांतरण के रूप में जाना जाता है। यह एकल समाकल संक्रियकों के संबंध में गणितीय विश्लेषण का एकआधारिक उदाहरण भी है। संयुग्म हार्मोनिक फलन और उनके बीच के रूपांतरण बैकलंड रूपांतरण (दो पीडीई और उनके समाधान से संबंधित रूपांतरण) के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं। इस स्थिति में रैखिक और अधिक समिश्र रूपांतरण सॉलिटन और समाकल प्रणाली में रुचि रखते हैं।

ज्यामितीय रूप से और लंबकोणीय प्रक्षेप के रूप में संबंधित हैं। अंतर्निहित होलोमोर्फिक फलन के शून्य से दूर वे समोच्य रेखाएँ जिन पर और स्थिर हैं, समकोण पर परस्पर प्रतिच्छेदित करते हैं। इस संबंध में समिश्र क्षमता होती है। जहां संभावित सिद्धांत और वर्ग फलन है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए निम्न फलन पर विचार करें:

चूंकि,
और
यह निम्न फलन को संतुष्ट करता है:
जहाँ लाप्लास संक्रियक है और इस प्रकार यह हार्मोनिक फलन है। माना कि हमारे पास एक ऐसा बिन्दु है जो कि कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता हैं:
और


और यह निम्न को संतुष्ट करता है:

और
जिसको हल करने पर निम्नलिखित प्राप्त होता है:
ध्यान दें कि यदि , से संबंधित फलनों को आपस में रूपांतरित दिया जाता है तो फलन हार्मोनिक संयुग्म नहीं होते है। क्योंकि कॉची-रीमैन समीकरणों में ऋण चिह्न फलन को असममित बनाते है। विश्लेषणात्मक फलनों के अनुरूप मानचित्रण विशेषता (उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य नहीं है) हार्मोनिक संयुग्मों की एक ज्यामितीय गुण को उत्पन्न करती है। स्पष्ट रूप से x का हार्मोनिक संयुग्म y है और निरंतर x और y की रेखाएँ लंबकोणीय हैं। विश्लेषणात्मक फलनों के अनुसार निरंतर समोच्य रेखाएं u(x, y) और v(x, y) के समोच्य भी लंबकोणीय होती है। जहां वे f ′(z) के शून्य बिन्दु से प्रतिच्छेदित होती हैं। इसका अर्थ यह है कि v, u द्वारा दिए गए समोच्य फलन के लिए लंबकोणीय प्रक्षेप समस्या का एक विशिष्ट समाधान है। स्वाभाविक रूप से, एकमात्र समाधान ही नहीं है क्योंकि हम v के फलन को भी ले सकते हैं। जिसको सत्रहवीं शताब्दी के गणित सिद्धान्त पर वापस जा रहा है, उन वक्रों को खोजने के लिए जो समकोण पर गैर-प्रतिच्छेदी वक्रों के दिए गए फलन प्रतिच्छेदित करते हैं।

ज्यामिति में हार्मोनिक संयुग्म

गणित में हार्मोनिक संयुग्म शब्द की एक अतिरिक्त घटना है और विशेष रूप से प्रक्षेपी ज्यामिति में दो अंक A और B को अंक C, D की एक युग्म के संबंध में दूसरे युग्म का हार्मोनिक संयुग्म कहा जाता है यदि संयुग्मी अनुपात (ABCD) -1 के बराबर होता है।

संदर्भ

  • Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (6th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u.

बाहरी संबंध