अतिपरवलिक आंशिक अवकल समीकरण

गणित में, क्रम $n$ का अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अवकल समीकरण एक आंशिक अवकल समीकरण (PDE) है, जो मोटे तौर पर बोल रहा है, पहले $n-1$ व्युत्पन्न के लिए अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मान समस्या है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी गैर-विशेषता वाले हाइपरसरफेस के साथ मनमाने प्रारंभिक डेटा के लिए कॉची समस्या को स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। यांत्रिकी के कई समीकरण अतिशयोक्तिपूर्ण हैं, और इसलिए अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों का अध्ययन पर्याप्त समकालीन रुचि का है। मॉडल अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण तरंग समीकरण है। स्थानिक आयाम में, यह है

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

समीकरण में गुण है कि, यदि u और प्रथम बार व्युत्पन्न रेखा t = 0 (पर्याप्त समतलता गुणों के साथ) पर प्रारंभिक डेटा को मनमाने ढंग से निर्दिष्ट किया जाता है, तो प्रत्येक समय t के लिए समाधान उपस्थित होता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों के समाधान "तरंग-समान" हैं। यदि अतिशयोक्तिपूर्ण अवकल समीकरण के प्रारंभिक डेटा में गड़बड़ी की जाती है, तो स्थान के प्रत्येक बिंदु पर एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं होती है।निश्चित समय समन्वय के सापेक्ष, गड़बड़ी की सीमित प्रसार गति होती है। वे समीकरण की विशेषताओं के साथ चलते हैं। यह विशेषता गुणात्मक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों को दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरणों और परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों से अलग करती है। अर्धवृत्ताकार या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा की गड़बड़ी एक बार क्षेत्र में अनिवार्य रूप से सभी बिंदुओं से महसूस होती है।

यद्यपि अतिशयोक्ति की परिभाषा मौलिक रूप से गुणात्मक है, ऐसे सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के अवकल समीकरण पर निर्भर करते हैं। माइक्रोलोकल विश्लेषण के संदर्भ में, लार्स गार्डिंग के कारण, रैखिक अवकल संचालकों के लिए एक सुविकसित सिद्धांत है। अरैखिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनका रैखिकीकरण गर्डिंग के अर्थ में अतिशयोक्तिपूर्ण हो। संरक्षण नियमों की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों के प्रथम क्रम प्रणालियों के लिए कुछ भिन्न सिद्धांत है।

परिभाषा

आंशिक अवकल समीकरण एक बिंदु $P$ पर अतिशयोक्तिपूर्ण है, बशर्ते कि $P$ के माध्यम से गुजरने वाली गैर-विशेषता वाले हाइपरसरफेस पर दिए गए किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए $P$ के पास में कॉची समस्या अद्वितीय रूप से हल करने योग्य हो। यहां निर्धारित प्रारंभिक डेटा में अवकल समीकरण के क्रम की तुलना में सतह पर फलन के सभी (अनुप्रस्थ) व्युत्पन्न सम्मिलित हैं।

उदाहरण

चरों के रैखिक परिवर्तन से, किसी भी समीकरण का रूप

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0$

साथ

$B^{2}-AC>0$

समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक निचले क्रम के पदों के अलावा, तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। यह परिभाषा समतलीय अतिपरवलय की परिभाषा के अनुरूप है।

एक आयामी तरंग समीकरण-

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरण का उदाहरण है। द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी अतिशयोक्तिपूर्ण पीडीई (PDE) की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के द्वितीय-क्रम के अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अवकल समीकरण को प्रथम-क्रम के अवकल समीकरणों के अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली में रूपांतरित किया जा सकता है।

आंशिक अवकल समीकरणों की अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली

निम्नलिखित $s$ अज्ञात फलनों ${\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})$, ${\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)$ के लिए $s$ प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली है जहाँ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}$-

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0,$

(∗)

जहाँ ${\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d$ एक बार लगातार अलग-अलग फलन होते हैं, सामान्य रूप से गैर-रेखीय होते हैं।

अगला, प्रत्येक ${\vec {f^{j}}}$ के लिए $s\times s$ जैकबियन मैट्रिक्स को परिभाषित करें

$A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.$

प्रणाली (∗) अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि सभी $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}$ के लिए मैट्रिक्स $A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}$ में केवल वास्तविक अभिलाक्षणिक मान ​​हैं और विकर्ण है।

यदि मैट्रिक्स $A$ के विशिष्ट वास्तविक अभिलाक्षणिक मान हैं, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्णीय है। इस स्थिति में प्रणाली (∗) को दृढ़ता से अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।

यदि मैट्रिक्स $A$ सममित है, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्णीय है और अभिलाक्षणिक मान ​​वास्तविक हैं। इस स्थिति में प्रणाली (∗) को सममित अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली और संरक्षण नियम

अतिपरवलयिक प्रणाली और संरक्षण नियम के बीच एक संबंध है। अज्ञात फलन $u=u({\vec {x}},t)$ के लिए आंशिक अवकल समीकरण के अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार करें। तब प्रणाली (∗) का रूप है

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.$

(∗∗)

यहाँ, $u$ की व्याख्या उस मात्रा के रूप में की जा सकती है जो ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$ द्वारा दिए गए प्रवाह के अनुसार चलती है। यह देखने के लिए कि मात्रा $u$ संरक्षित है, क्षेत्र $\Omega$ पर (∗∗) को एकीकृत करें।

$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.$

यदि $u$ और ${\vec {f}}$ पर्याप्त रूप से सुचारू फलन हैं, तो हम विचलन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और सामान्य रूप में मात्रा $u$ के लिए संरक्षण नियम प्राप्त करने के लिए एकीकरण और $\partial /\partial t$ के क्रम को बदल सकते हैं।

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,$

जिसका अर्थ है कि क्षेत्र $\Omega$ में $u$ के परिवर्तन की समय दर इसकी सीमा $\partial \Omega$ के माध्यम से $u$ के शुद्ध प्रवाह के बराबर है। चूंकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $u$ $\Omega$ के भीतर संरक्षित है।

यह भी देखें

• दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण
• अल्पदीर्घवृत्तीय संचालक
• परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

आगे की पढाई

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

बाहरी कड़ियाँ

• "Hyperbolic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.