आंतरिक मॉडल: Difference between revisions

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[[ समुच्चय सिद्धान्त ]] में, [[गणितीय तर्क]] की एक शाखा, एक आंतरिक मॉडल<ref>{{cite document | last = Shepherdson | first = J.C. |title = सेट थ्योरी के लिए आंतरिक मॉडल|publisher = Journal of Symbolic Logic |year = 1951–53 }} </ref> थ्योरी (गणितीय तर्क) के लिए टी एक सेट सिद्धांत के [[मॉडल (गणितीय तर्क)]] एम का एक सबस्ट्रक्चर (गणित) है जो टी के लिए एक मॉडल है और इसमें एम के सभी क्रम शामिल हैं।
[[ समुच्चय सिद्धान्त |समुच्चय सिद्धान्त]] में [[गणितीय तर्क]] की एक शाखा या सिद्धांत T के लिए '''आंतरिक मॉडल''' समुच्चय सिद्धांत के एक मॉडल M का एक ढांचा है जो T के लिए एक मॉडल है और इसमें M के सभी अनुक्रम सम्मिलित हैं।<ref>{{cite document | last = Shepherdson | first = J.C. |title = सेट थ्योरी के लिए आंतरिक मॉडल|publisher = Journal of Symbolic Logic |year = 1951–53 }} </ref>


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


होने देना <math>L = \langle \in \rangle</math> सेट सिद्धांत की भाषा हो। मान लीजिए कि S एक विशेष समुच्चय सिद्धांत है, उदाहरण के लिए [[ZFC]] अभिगृहीत और मान लीजिए T (संभवतः S के समान ही) भी एक सिद्धांत है <math>L</math>.
मान लीजिए <math>L = \langle \in \rangle</math> समुच्चय सिद्धांत की भाषा है। मान लीजिए कि S एक विशेष समुच्चय सिद्धांत है, उदाहरण के लिए [[ZFC|जेडएफसी]] अभिगृहीत और मान लीजिए T (संभवतः S के समान) भी <math>L</math> में एक सिद्धांत है।


यदि एम एस के लिए एक मॉडल है, और एन एक है <math>L</math>-संरचना ऐसी है कि
यदि M एस के लिए एक मॉडल है, और एन एक <math>L</math> संरचना है जैसे कि


#N, M का एक उपसंरचना है, अर्थात [[व्याख्या (मॉडल सिद्धांत)]] <math>\in_N</math> का <math>\in</math> एन में है <math>{\in_M} \cap N^2</math>
#N, M की एक उपसंरचना है, अर्थात <math>\in_N</math> में <math>\in_N</math> की [[व्याख्या (मॉडल सिद्धांत)]] <math>{\in_M} \cap N^2</math> है।
#N, T के लिए एक मॉडल है
#N, T के लिए एक मॉडल है
#एन का प्रांत एम का [[सकर्मक वर्ग]] है
#N का डोमेन M का सकर्मक वर्ग है
#N में M की सभी क्रमिक संख्याएँ शामिल हैं
#N में M की सभी क्रमिक संख्याएँ सम्मिलित हैं


तब हम कहते हैं कि N, T (M में) का एक 'आंतरिक मॉडल' है।<ref>{{cite book | last = Jech | first = Thomas |authorlink = Thomas Jech| title = समुच्चय सिद्धान्त| publisher = [[Springer-Verlag]] | location = Berlin | year = 2002 | isbn = 3-540-44085-2 }}</ref> आमतौर पर T, S के बराबर (या उप-सम्मिलित) होगा, ताकि N, S के मॉडल M के 'अंदर' S के लिए एक मॉडल हो।
तब हम कहते हैं कि N, T (M में) का एक आंतरिक मॉडल है।<ref>{{cite book | last = Jech | first = Thomas |authorlink = Thomas Jech| title = समुच्चय सिद्धान्त| publisher = [[Springer-Verlag]] | location = Berlin | year = 2002 | isbn = 3-540-44085-2 }}</ref> सामान्यतः T, S के बराबर (या सम्मिलित) होगा ताकि N, S के मॉडल M के 'अंदर' S के लिए एक मॉडल हो।


यदि केवल शर्तें 1 और 2 मान्य हैं, तो N को T का 'मानक मॉडल' (M में) कहा जाता है, T का 'मानक सबमॉडल' (यदि S = T और) N, M में एक सेट है। M को 'सकर्मक' कहा जाता है जब यह मानक और स्थिति 3 धारण करता है। यदि नींव के स्वयंसिद्ध को नहीं माना जाता है (अर्थात, एस में नहीं है) इन तीनों अवधारणाओं को अतिरिक्त शर्त दी गई है कि एन अच्छी तरह से स्थापित हो | अच्छी तरह से स्थापित हो। इसलिए आंतरिक मॉडल सकर्मक हैं, सकर्मक मॉडल मानक हैं, और मानक मॉडल अच्छी तरह से स्थापित हैं।
यदि केवल शर्तें 1 और 2 प्रयुक्त होती हैं, तो N को T का एक मानक मॉडल (M में) कहा जाता है, T का एक मानक उपमॉडल (यदि S = T और) N, M में एक समुच्चय है। M में T का एक मॉडल N सकर्मक कहलाता है जब यह मानक और स्थिति 3 है। यदि नींव के स्वयंसिद्ध को नहीं माना जाता है (अर्थात, एस में नहीं है) तो इन तीनों अवधारणाओं को अतिरिक्त शर्त दी जाती है कि एन अच्छी तरह से स्थापित हो। इसलिए आंतरिक मॉडल सकर्मक हैं, सकर्मक मॉडल मानक हैं, और मानक मॉडल अच्छी तरह से स्थापित हैं।


यह धारणा कि ZFC (किसी दिए गए ब्रह्मांड में) का एक मानक सबमॉडल मौजूद है, इस धारणा से अधिक मजबूत है कि एक मॉडल मौजूद है। वास्तव में, यदि कोई मानक सबमॉडल है, तो सबसे छोटा मानक सबमॉडल है
यह धारणा कि जेडएफसी (किसी दिए गए ब्रह्मांड में) का एक मानक उपमॉडल सम्मिलित है, इस धारणा से अधिक मजबूत है कि एक मॉडल सम्मिलित है। वास्तव में, यदि कोई मानक उपमॉडल है, तो एक सबसे छोटा मानक उपमॉडल है, जिसे सभी मानक उपमॉडल में निहित '[[न्यूनतम मॉडल (सेट सिद्धांत)|न्यूनतम मॉडल (समुच्चय सिद्धांत)]]' कहा जाता है। न्यूनतम उपमॉडल में कोई मानक उपमॉडल नहीं है (क्योंकि यह न्यूनतम है) लेकिन (जेडएफसी की निरंतरता को मानते हुए) इसमें Gödel पूर्णता प्रमेय द्वारा जेडएफसी का कुछ मॉडल सम्मिलित है। यह मॉडल आवश्यक रूप से अच्छी तरह से स्थापित नहीं है अन्यथा इसका [[मोस्टोव्स्की पतन]] एक मानक उपमॉडल होगा। (यह ब्रह्मांड में एक संबंध के रूप में अच्छी तरह से स्थापित नहीं है, हालांकि यह नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, इसलिए "आंतरिक रूप से" अच्छी तरह से स्थापित है। अच्छी तरह से स्थापित होना एक पूर्ण विशेषता नहीं है। विशेष रूप से न्यूनतम उपमॉडल में जेडएफसी का एक मॉडल है लेकिन जेडएफसी का कोई मानक उपमॉडल नहीं है।<ref>{{cite book | last = Kunen | first = Kenneth |authorlink = Kenneth Kunen| title = समुच्चय सिद्धान्त| publisher = North-Holland Pub. Co | location = Amsterdam | year = 1980 | isbn = 0-444-86839-9 }}, Page 117</ref>
सभी मानक सबमॉडल्स में निहित '[[न्यूनतम मॉडल (सेट सिद्धांत)]]' कहा जाता है। न्यूनतम सबमॉडल में कोई मानक सबमॉडल नहीं है (क्योंकि यह न्यूनतम है) लेकिन (ZFC की निरंतरता को मानते हुए) इसमें शामिल है
गोडेल पूर्णता प्रमेय द्वारा ZFC का कुछ मॉडल। यह मॉडल आवश्यक रूप से अच्छी तरह से स्थापित नहीं है अन्यथा इसका [[मोस्टोव्स्की पतन]] एक मानक सबमॉडल होगा। (यह ब्रह्मांड में एक संबंध के रूप में अच्छी तरह से स्थापित नहीं है, हालांकि यह
नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है इसलिए आंतरिक रूप से अच्छी तरह से स्थापित है। अच्छी तरह से स्थापित होना कोई परम संपत्ति नहीं है।<ref>{{cite book | last = Kunen | first = Kenneth |authorlink = Kenneth Kunen| title = समुच्चय सिद्धान्त| publisher = North-Holland Pub. Co | location = Amsterdam | year = 1980 | isbn = 0-444-86839-9 }}, Page 117</ref>)
विशेष रूप से न्यूनतम सबमॉडल में ZFC का एक मॉडल है लेकिन ZFC का कोई मानक सबमॉडल नहीं है।


== प्रयोग करें ==
== प्रयोग करें ==
आमतौर पर जब कोई सिद्धांत के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करता है, तो जिस सिद्धांत पर चर्चा की जा रही है वह ZFC या ZFC का कुछ विस्तार है (जैसे ZFC+<math>\exists</math> एक औसत दर्जे का कार्डिनल)। जब किसी सिद्धांत का उल्लेख नहीं किया जाता है, तो आमतौर पर यह माना जाता है कि चर्चा के तहत मॉडल ZFC का एक आंतरिक मॉडल है। हालाँकि, ZFC के उप-सिद्धांतों के आंतरिक मॉडल (जैसे ज़र्मेलो-फ्रैंकल सेट सिद्धांत या क्रिपके-प्लेटेक सेट सिद्धांत) के बारे में बात करना असामान्य नहीं है।
सामान्यतः जब कोई सिद्धांत के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करता है, तो जिस सिद्धांत पर चर्चा की जा रही है वह जेडएफसी या जेडएफसी का कुछ विस्तार है (जैसे ZFC+<math>\exists</math> एक औसत दर्जे का कार्डिनल सम्मिलित है)। जब किसी सिद्धांत का उल्लेख नहीं किया जाता है, तो सामान्यतः यह माना जाता है कि चर्चा के तहत मॉडल जेडएफसी का एक आंतरिक मॉडल है। हालाँकि, जेडएफसी (जैसे ZF या KP) के आंतरिक मॉडलों के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करना असामान्य नहीं है।


== संबंधित विचार ==
== संबंधित विचार ==
गोडेल|कर्ट गोडेल द्वारा यह साबित किया गया था कि ZF के किसी भी मॉडल में ZF का कम से कम आंतरिक मॉडल होता है (जो कि ZFC + [[सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना]] का एक आंतरिक मॉडल भी है), जिसे रचनात्मक ब्रह्मांड या L कहा जाता है।
कर्ट गोडेल द्वारा यह साबित किया गया था कि जेडएफ के किसी भी मॉडल में जेडएफ का कम से कम आंतरिक मॉडल है जो कि ZFC + GCH का एक आंतरिक मॉडल भी है जिसे रचनात्मक ब्रह्मांड या एल कहा जाता है।


सेट थ्योरी की एक शाखा है जिसे इनर मॉडल थ्योरी कहा जाता है जो ZF तक विस्तारित सिद्धांतों के कम से कम इनर मॉडल के निर्माण के तरीकों का अध्ययन करती है। [[आंतरिक मॉडल सिद्धांत]] ने कई महत्वपूर्ण सेट सैद्धांतिक गुणों की सटीक स्थिरता शक्ति की खोज की है।
समुच्चय सिद्धांत की एक शाखा है जिसे इनर मॉडल सिद्धान्त कहा जाता है जो ZF को विस्तारित करने वाले सिद्धांतों के कम से कम आंतरिक मॉडल के निर्माण के तरीकों का अध्ययन करता है। [[आंतरिक मॉडल सिद्धांत]] ने कई महत्वपूर्ण समुच्चय सैद्धांतिक गुणों की सटीक स्थिरता शक्ति की खोज की है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*फोर्सिंग_(गणित)#Countable_transitive_models_and_generic_filters
*गणनीय सकर्मक मॉडल और सामान्य फ़िल्टर


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 12:00, 28 May 2023

This article is about गणितीय समुच्चय सिद्धांत के मॉडल. For मानक प्रभावी तापमान समुच्चय मॉडल, see ऊष्मीय §  मानक प्रभावी तापमान.

समुच्चय सिद्धान्त में गणितीय तर्क की एक शाखा या सिद्धांत T के लिए आंतरिक मॉडल समुच्चय सिद्धांत के एक मॉडल M का एक ढांचा है जो T के लिए एक मॉडल है और इसमें M के सभी अनुक्रम सम्मिलित हैं।[1]

परिभाषा

मान लीजिए समुच्चय सिद्धांत की भाषा है। मान लीजिए कि S एक विशेष समुच्चय सिद्धांत है, उदाहरण के लिए जेडएफसी अभिगृहीत और मान लीजिए T (संभवतः S के समान) भी में एक सिद्धांत है।

यदि M एस के लिए एक मॉडल है, और एन एक संरचना है जैसे कि

  1. N, M की एक उपसंरचना है, अर्थात में की व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) है।
  2. N, T के लिए एक मॉडल है
  3. N का डोमेन M का सकर्मक वर्ग है
  4. N में M की सभी क्रमिक संख्याएँ सम्मिलित हैं

तब हम कहते हैं कि N, T (M में) का एक आंतरिक मॉडल है।[2] सामान्यतः T, S के बराबर (या सम्मिलित) होगा ताकि N, S के मॉडल M के 'अंदर' S के लिए एक मॉडल हो।

यदि केवल शर्तें 1 और 2 प्रयुक्त होती हैं, तो N को T का एक मानक मॉडल (M में) कहा जाता है, T का एक मानक उपमॉडल (यदि S = T और) N, M में एक समुच्चय है। M में T का एक मॉडल N सकर्मक कहलाता है जब यह मानक और स्थिति 3 है। यदि नींव के स्वयंसिद्ध को नहीं माना जाता है (अर्थात, एस में नहीं है) तो इन तीनों अवधारणाओं को अतिरिक्त शर्त दी जाती है कि एन अच्छी तरह से स्थापित हो। इसलिए आंतरिक मॉडल सकर्मक हैं, सकर्मक मॉडल मानक हैं, और मानक मॉडल अच्छी तरह से स्थापित हैं।

यह धारणा कि जेडएफसी (किसी दिए गए ब्रह्मांड में) का एक मानक उपमॉडल सम्मिलित है, इस धारणा से अधिक मजबूत है कि एक मॉडल सम्मिलित है। वास्तव में, यदि कोई मानक उपमॉडल है, तो एक सबसे छोटा मानक उपमॉडल है, जिसे सभी मानक उपमॉडल में निहित 'न्यूनतम मॉडल (समुच्चय सिद्धांत)' कहा जाता है। न्यूनतम उपमॉडल में कोई मानक उपमॉडल नहीं है (क्योंकि यह न्यूनतम है) लेकिन (जेडएफसी की निरंतरता को मानते हुए) इसमें Gödel पूर्णता प्रमेय द्वारा जेडएफसी का कुछ मॉडल सम्मिलित है। यह मॉडल आवश्यक रूप से अच्छी तरह से स्थापित नहीं है अन्यथा इसका मोस्टोव्स्की पतन एक मानक उपमॉडल होगा। (यह ब्रह्मांड में एक संबंध के रूप में अच्छी तरह से स्थापित नहीं है, हालांकि यह नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, इसलिए "आंतरिक रूप से" अच्छी तरह से स्थापित है। अच्छी तरह से स्थापित होना एक पूर्ण विशेषता नहीं है। विशेष रूप से न्यूनतम उपमॉडल में जेडएफसी का एक मॉडल है लेकिन जेडएफसी का कोई मानक उपमॉडल नहीं है।[3]

प्रयोग करें

सामान्यतः जब कोई सिद्धांत के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करता है, तो जिस सिद्धांत पर चर्चा की जा रही है वह जेडएफसी या जेडएफसी का कुछ विस्तार है (जैसे ZFC+ एक औसत दर्जे का कार्डिनल सम्मिलित है)। जब किसी सिद्धांत का उल्लेख नहीं किया जाता है, तो सामान्यतः यह माना जाता है कि चर्चा के तहत मॉडल जेडएफसी का एक आंतरिक मॉडल है। हालाँकि, जेडएफसी (जैसे ZF या KP) के आंतरिक मॉडलों के आंतरिक मॉडल के बारे में बात करना असामान्य नहीं है।

संबंधित विचार

कर्ट गोडेल द्वारा यह साबित किया गया था कि जेडएफ के किसी भी मॉडल में जेडएफ का कम से कम आंतरिक मॉडल है जो कि ZFC + GCH का एक आंतरिक मॉडल भी है जिसे रचनात्मक ब्रह्मांड या एल कहा जाता है।

समुच्चय सिद्धांत की एक शाखा है जिसे इनर मॉडल सिद्धान्त कहा जाता है जो ZF को विस्तारित करने वाले सिद्धांतों के कम से कम आंतरिक मॉडल के निर्माण के तरीकों का अध्ययन करता है। आंतरिक मॉडल सिद्धांत ने कई महत्वपूर्ण समुच्चय सैद्धांतिक गुणों की सटीक स्थिरता शक्ति की खोज की है।

यह भी देखें

  • गणनीय सकर्मक मॉडल और सामान्य फ़िल्टर

संदर्भ

  1. ↑ Shepherdson, J.C. (1951–53). "सेट थ्योरी के लिए आंतरिक मॉडल". Journal of Symbolic Logic. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
  2. ↑ Jech, Thomas (2002). समुच्चय सिद्धान्त. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
  3. ↑ Kunen, Kenneth (1980). समुच्चय सिद्धान्त. Amsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-444-86839-9., Page 117
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