आरएनजी (बीजगणित)

गणित में, और अधिक विशेष रूप से सार बीजगणित में, आरएनजी (या गैर-इकाई वलय या कृत्रिम वलय) एक बीजगणितीय संरचना है जोगुणनात्मक समरूपता के अस्तित्व को ग्रहण किए बिना वलय के समान गुणों को संतुष्ट करती है। आरएनजी शब्द का अर्थ ये संकेत देना है कि यह i, यानी समरूप तत्व की आवश्यकता के बिना एक वलय है।

समुदाय में इस बात पर कोई सामान्य सहमति नहीं है कि गुणनात्मक समरूपता का अस्तित्व वलय सिद्धांतो में से एक होना चाहिए (देखें रिंग (गणित) § इतिहास)। आरएनजी शब्द का निर्माण इस अस्पष्टता को कम करने के लिए किया गया था जब लोग गुणनात्मक समरूपता के सिद्धांत के बिना एक वलय को स्पष्ट रूप से संदर्भित करना चाहते थे।

बीजगणित में विचार किए जाने वाले गणितीय विश्लेषण कार्य एकात्मक नहीं हैं, उदाहरण के लिए, विशेष रूप से कुछ संक्षिप्त समर्थन वाले स्थान पर बीजगणितीय कार्य अनंत से शून्य तक।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक आरएनजी दो द्विआधारी संचालन (+, ·) के साथ एक समुच्चय (गणित) R है जिसे जोड़ और गुणा कहा जाता हैं।

• (R, +) एक एबेलियन समुच्चय है,
• (R, ·) एक उपसमुच्चय है,
• योग पर गुणन वितरण नियम।

'आरएनजी समरूपता' एक फलन f: R → S है जो एक आरएनजी से दूसरे आरएनजी में ऐसे है जैसे कि

• f(x + y) = f(x) + f(y)
• f(x · y) = f(x) · f(y)

R में सभी x और y के लिए।

यदि R और S वलय हैं, तो वलय समाकारिता R → S एक आरएनजी समरूपता R → S के समान है जो 1 से 1 को आलेखन करता है।

उदाहरण

सभी वलय आरएनजी हैं। आरएनजी का एक सरल उदाहरण जो कि वलय नहीं है, पूर्णांकों के सामान्य जोड़ और गुणन के साथ सम संख्या द्वारा दिया जाता है। एक अन्य उदाहरण सभी 3*3 वास्तविक मैट्रिक्स (गणित) के समुच्चय द्वारा दिया गया है जिसके नीचे की पंक्ति शून्य है। ये दोनों उदाहरण सामान्य तथ्य के उदाहरण हैं कि प्रत्येक (एक या दो तरफा) गुणावली एक वलय है।

आरएनजी अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण में स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं जब अनंत-आकारीय सदिश स्थान पर रैखिक संचालको पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए किसी अनंत-आकारीय सदिश स्थान V को लें और सभी रैखिक संचालको के समुच्चय f : V → V के साथ परिमित पंक्ति (यानी dim f(V) < ∞) पर विचार करें। संचालको के जोड़ और कार्यात्मक संरचना के साथ, यह एक आरएनजी है, लेकिन वलय नहीं है। एक अन्य उदाहरण सभी वास्तविक अनुक्रमों का आरएनजी है जो अंशबद्ध संचालको के साथ 0 में परिवर्तित हो जाते हैं।

साथ ही, वितरण के सिद्धांत में होने वाले परीक्षण क्रियाएं रिक्त स्थान में अनंतता पर शून्य तक घटने वाले क्रियाएं होते है, जैसे श्वार्ट्ज स्थान। इस प्रकार, क्रियाएं हर जगह एक के बराबर है, जो ऐसी जगहों में सम्मिलित नहीं हो सकता है इसलिए बिंदुवार गुणन के लिए एकमात्र संभावित समरूप तत्व आरएनजी (बिंदुवार जोड़ और गुणा के लिए) हो सकता है। विशेष रूप से, कुछ स्थलाकृति स्थान पर परिभाषित संक्षिप्त समर्थन के साथ वास्तविक-मान निरंतर क्रिया, बिंदुवार जोड़ और गुणा के साथ, एक आरएनजी बनाते हैं; यह एक वलय नहीं है जब तक कि अंतर्निहित स्थान संक्षिप्त स्थान न हो।

उदाहरण: सम पूर्णांक

सम पूर्णांकों का समुच्चय 2Z जोड़ और गुणन के अंतर्गत बंद है और इसकी एक योगात्मक समरूप 0 है, इसलिए यह एक आरएनजी है, लेकिन इसका गुणक समरूप नहीं है, इसलिए यह वलय नहीं है।

2Z में, केवल गुणक निःशक्त 0 है, एकमात्र नगण्य 0 है, और सामान्यीकृत व्युत्क्रम वाला एकमात्र तत्व 0 है।

उदाहरण: परिमित पंचसंख्यक अनुक्रम

प्रत्यक्ष योग ${\textstyle {\mathcal {T}}=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ समन्वयबद्ध जोड़ और गुणन से सुसज्जित निम्नलिखित गुणों वाला एक आरएनजी है:

• इसके निःशक्त तत्व बिना किसी ऊपरी सीमा के एक जाली बनाते हैं।
• प्रत्येक तत्व x का एक सामान्यीकृत व्युत्क्रम होता है, अर्थात् एक तत्व y ऐसा होता है जैसे की xyx = x और yxy = y.
• प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय ${\mathcal {T}}$ के लिए , ${\mathcal {T}}$ में एक निःशक्त सम्मिलित होता है जो पूरे उपसमुच्चय के लिए एक समरूप के रूप में कार्य करता है: प्रत्येक स्थिति में एक के साथ जहां अनुक्रम के उपसमुच्चय में एक स्थिति में उस अनुक्रम में एक गैर-शून्य तत्व होता है, और हर दूसरी स्थिति में शून्य होता है।

गुण

• गुणावलियों, भागफल के वलय और प्रतिरूपण के वलय के समान ही आरएनजी के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
• हालाँकि, वलय के बजाय आरएनजी के साथ काम करना कुछ संबंधित परिभाषाओं को जटिल बनाता है। उदाहरण के लिए, एक वलय R में, एक तत्व f द्वारा उत्पन्न बांयी गुणावली ( f ) , जिसे f युक्त सबसे छोटे बाएँ गुणावली के रूप में परिभाषित किया गया है , केवल Rf है , लेकिन यदि R केवल एक आरएनजी है, तो Rf में f नहीं हो सकता है, इसलिए इसके बजाय

  
  

  (f)=Rf+ Zf = {af + nf : a ∈ R and n ∈ Z}

  जहां nf को बार-बार जोड़ने/घटाने का उपयोग करके व्याख्या की जानी चाहिए क्योंकि n को R के तत्व का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता नहीं है। इसी प्रकार, एक आरएनजी R के तत्वों f 1 , ..., f m द्वारा उत्पन्न बांयी गुणावली है

  
  

  (f1,....fm) = {a1 f1 + ...+ amfm + n1f1...nmfm : ai ∈ R and ni ∈ Z},

  
  

  एक सूत्र जो एमी नोथेर तक जाता है। प्रतिरूपण के तत्वों के एक समुच्चय द्वारा उत्पन्न उपप्रतिरूपण की परिभाषा में इसी तरह की जटिलताएँ उत्पन्न होती हैं ।
• वलय के लिए कुछ सिद्धांत आरएनजी के लिए असत्य हैं। उदाहरण के लिए, एक वलय में, प्रत्येक उचित गुणावली अधिकतम गुणावली में समाहित होता है , इसलिए एक वलय में हमेशा कम से कम एक अधिकतम गुणावली होता है। ये दोनों कथन आरएनजी के लिए विफल हैं।
• एक आरएनजी समरूपता f  : R → S किसी भी निःशक्त तत्व को एक निःशक्त तत्व में आलेख करता है।
• यदि f  : R → S वलय से वलय तक एक वलय समरूपता है, और f की छवि में S का गैर-शून्य-भाजक है , तो S एक रिंग है, और f एक वलय समरूपता है।

एक समरूप तत्व (दोरोह विस्तार) के साथ

प्रत्येक वलय R को एक समरूप तत्व से जोड़कर वलय R^ तक बढ़ाया जा सकता है। ऐसा करने का एक सामान्य तरीका यह है कि औपचारिक रूप से एक समरूप तत्व 1 को जोड़ा जाए और R^ में 1 के अभिन्न रैखिक संयोजनों और R के तत्वों को इस आधार के साथ सम्मिलित किया जाए कि इसके गैर-अभिन्न गुणकों में से कोई भी संयोग नहीं करता है और R में समाहित नहीं है या R^ के अवयव के रूप में हैं;

n · 1 + r

जहाँ n एक पूर्णांक है और r ∈ R गुणन को रैखिकता द्वारा परिभाषित किया गया है:

(n₁ + r₁) · (n₂ + r₂) = n₁n₂ + n₁r₂ + n₂r₁ + r₁r₂.

अधिक औपचारिक रूप से, हम R^ को कार्टेसियन गुणनफल के रूप में ले सकते हैं Z × R और जोड़ और गुणा को परिभाषित करें

(n₁ + r₁) · (n₂ + r₂) = n₁n₂ + n₁r₂ + n₂r₁ + r₁r₂.

(n₁, r₁) · (n₂, r₂) = (n₁n₂, n₁r₂ + n₂r₁ + r₁r₂).

तब R^ की गुणात्मक समरूपता (1, 0) है। एक प्राकृतिक आरएनजी समरूपता j : R → R^ द्वारा परिभाषित j(r) = (0, r) है इस मानचित्र में निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण है।

किसी भी वलय S और किसी भी आरएनजी समरूपता f : R → S को देखते हुए एक अद्वितीय वलय समरूपता g : R^ → S सम्मिलित है इस प्रकार f = gj

आलेखन g द्वारा g(n, r) = n · 1_S + f(r) परिभाषित किया जा सकता है।

एक प्राकृतिक विशेषण वलय समरूपता R^ → Z है जो n से (n, r) भेजता है। इस समरूपता का कर्नेल (वलय थ्योरी) R में R^ की छवि है। चूँकि j एकात्मक है, हम देखते हैं कि R एक (दो तरफा) गुणावली के रूप में R^ में भागफल वलय R^/R आइसोमॉर्फिक से 'Z' के रूप में सन्निहित है। यह इस प्रकार है कि

हर वलय किसी न किसी वलय में एक गुणावली है, और वलय का हर गुणावली एक वलय है।

ध्यान दें कि j कभी भी विशेषण नहीं है। इसलिए, भले ही R में पहले से ही एक समरूप तत्व हो, वलय R^ एक अलग समरूप के साथ एक बड़ा होगा। वलय R^ को अक्सर अमेरिकी गणितज्ञ जो ली दोरोह के नाम पर R का 'दोरोह एक्सटेंशन' कहा जाता है, जिन्होंने इसे सबसे पहले बनाया था।

एक समरूप तत्व को एक आरएनजी से जोड़ने की प्रक्रिया को श्रेणी सिद्धांत की भाषा में तैयार किया जा सकता है। यदि हम सभी वलय और वलय होमोमोर्फिज्म की श्रेणी को 'वलय' से और सभी वलय और वलय होमोमोर्फिज्म की श्रेणी को 'आरएनजी' से निरूपित करते हैं, तो 'वलय' 'आरएनजी' की एक (नॉनफुल) उपश्रेणी है। ऊपर दिए गए R^ का निर्माण समावेशन फ़नकार के लिए एक बाएँ आसन्न को उत्पन्न करता है I : Ring → Rng. ध्यान दें कि वलय, आरएनजी की परावर्तक उपश्रेणी नहीं है क्योंकि समावेशन फ़ंक्टर पूर्ण नहीं है।

समरूप होने से कमजोर गुण

साहित्य में ऐसे कई गुण माने गए हैं जो समरूप तत्व होने से कमजोर हैं, लेकिन इतने सामान्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए:

• पर्याप्त स्थिरता के साथ वलय: एक आरएनजी R को पर्याप्त स्थिरता के साथ एक वलय कहा जाता है जब ऑर्थोगोनल द्वारा दिए गए R का एक सबसमुच्चय E मौजूद होता है (यानी ef = 0 सभी के लिए e ≠ f ई में) स्थिरताs (यानी। e² = e सभी के लिए ई में ई) ऐसा है कि R = ⊕_e∈E eR = ⊕_e∈E Re.
• स्थानीय इकाइयों के साथ वलय: प्रत्येक परिमित समुच्चय आर के मामले में एक वलय आर को स्थानीय इकाइयों के साथ एक वलय कहा जाता है₁, आर₂, ..., आर_tआर में हम ई को आर में पा सकते हैं जैसे कि e² = e और er_i = r_i = r_ie हर मैं के लिए।
• s-unital वलय: प्रत्येक परिमित समुच्चय r के मामले में एक आरएनजी R को s-unital कहा जाता है₁, आर₂, ..., आर_tR में हम R में s ऐसे खोज सकते हैं कि sr_i = r_i = r_is हर मैं के लिए।
• दृढ़ वलय: एक आरएनजी R को दृढ़ कहा जाता है यदि विहित समाकारिता R ⊗_R R → R द्वारा दिए गए r ⊗ s ↦ rs एक समरूपता है।
• इम्पोटेंट वलय्स: एक वलय आर को इम्पोटेंट (या एक आईएनजी) कहा जाता है यदि R² = R, अर्थात, R के प्रत्येक अवयव r के लिए हम अवयव r खोज सकते हैं_iऔर एस_iआर में ऐसा है कि ${\textstyle r=\sum _{i}r_{i}s_{i}}$.

यह जाँचना कठिन नहीं है कि ये गुण समरूप तत्व होने की तुलना में कमजोर हैं और पिछले वाले की तुलना में कमजोर हैं।

• वलय पर्याप्त बेवकूफों के साथ वलय होती हैं, जिनका उपयोग किया जाता है E = {1}. एक वलय जिसमें पर्याप्त स्थिरताs हैं जिनकी कोई समरूप नहीं है, उदाहरण के लिए एक फ़ील्ड पर अनंत मेट्रिसेस की वलय है, जिसमें गैर-शून्य प्रविष्टियों की एक सीमित संख्या है। वे मेट्रिसेस जिनके मुख्य विकर्ण में सिर्फ 1 से अधिक एक तत्व है और 0 अन्यथा ऑर्थोगोनल स्थिरता हैं।
• पर्याप्त स्थिरता के साथ वलय स्थानीय इकाइयों के साथ वलय् हैं जो परिभाषा को पूरा करने के लिए ऑर्थोगोनल स्थिरताs के परिमित रकम लेते हैं।
• स्थानीय इकाइयों के साथ वलय विशेष रूप से एस-यूनिटल हैं; एस-यूनिटल वलय्स फर्म हैं और फर्म वलय्स इम्पोटेंट हैं।

वर्ग शून्य का रंग

वर्ग शून्य का एक रंग 'R ऐसा है कि xy = 0 R में सभी x और y के लिए।

गुणन को परिभाषित करके किसी भी एबेलियन समूह को वर्ग शून्य का एक वलय बनाया जा सकता है ताकि xy = 0 सभी x और y के लिए; इस प्रकार प्रत्येक एबेलियन समूह किसी न किसी आरएनजी का योज्य समूह है।

गुणात्मक समरूप के साथ वर्ग शून्य का एकमात्र वलय शून्य वलय {0} है।

वर्ग शून्य के एक आरएनजी का कोई योगात्मक उपसमूह एक गुणावली (वलय थ्योरी) है। इस प्रकार वर्ग शून्य का एक वलय साधारण वलय है यदि और केवल यदि इसका योगात्मक समूह एक साधारण एबेलियन समूह है, अर्थात, प्रधान क्रम का चक्रीय समूह।

यूनिटल होमोमोर्फिज्म

दो इकाई बीजगणित A और B दिए गए हैं, एक बीजगणित समरूपता

एफ : ए → बी

'एकात्मक' है यदि यह A के समरूप तत्व को B के समरूप तत्व से आलेखन करता है।

यदि क्षेत्र (गणित) K पर साहचर्य बीजगणित A एकात्मक नहीं है, तो एक समरूप तत्व को निम्नानुसार जोड़ा जा सकता है: A × K अंतर्निहित K-वेक्टर स्थान के रूप में और गुणन को ∗ द्वारा परिभाषित करें

(x, r) ∗ (y, s) = (xy + sx + ry, rs)

x, y in A और r, s in K के लिए। फिर ∗ समरूप तत्व के साथ एक साहचर्य संक्रिया है (0, 1). पुराना बीजगणित A नए में निहित है, और वास्तव में A × K सार्वभौम निर्माण के अर्थ में A युक्त सबसे सामान्य इकाई बीजगणित है।

यह भी देखें

• मोटी हो जाओ

संदर्भ

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