निर्देशांक सदिश: Difference between revisions

Revision as of 11:27, 26 May 2023

रेखीय बीजगणित में निर्देशांक सदिश एक ऐसे सदिश (गणित और भौतिकी) का प्रतिनिधित्व करता है जो संख्याओं की क्रमबद्ध सूची (टपल) के रूप में होता है। जो एक विशेष अनुक्रमित आधार के संदर्भ में सदिश का वर्णन करता है।^[1] सामान्यतः 3-आयामी कार्तीय समन्वय प्रणाली में (5, 2, 1) जैसी स्थितियां हो सकती है। जिसका आधार इस प्रणाली के अक्ष के रूप में होता है। निर्देशांक सदैव अनुक्रमित आधार के सापेक्ष निर्दिष्ट होते हैं। आधार और उनके संबंधित समन्वय प्रतिनिधित्व के सदिश रिक्त समष्टि और रैखिक रूपांतरण मे मुख्य रूप से स्तंभ सदिश, पंक्ति सदिश और आव्यूह के रूप में सम्मिलित होते हैं। इसलिए वे गणना में उपयोगी होते हैं।

समन्वय सदिश को अनंत-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के लिए भी प्रयुक्त किया जा सकता है। जैसा कि नीचे संबोधित किया गया है।

परिभाषा

मान लीजिए कि V क्षेत्र F पर आयाम n का सदिश समष्टि है।

माना कि $B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ , $v$ के लिए एक अनुक्रमित आधार है और प्रत्येक $v\in V$ के लिए आधार सदिश का एक अद्वितीय रैखिक संयोजन होता है जो $v$ के बराबर होता है:

v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.

B के सापेक्ष $v$ का निर्देशांक सदिश निर्देशांकों का अनुक्रम है:

[v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).

इसे B के संबंध में $v$ का प्रतिनिधित्व या $v$ का B प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है और $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ , $v$ के निर्देशांक कहलाते हैं। आधार का क्रम यहां महत्वपूर्ण हो जाता है क्योंकि यह उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें निर्देशांक सदिश के गुणांक सूचीबद्ध होते हैं।

परिमित-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के समन्वय सदिश को आव्यूह द्वारा स्तंभ या पंक्ति सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उपरोक्त गणना को निम्न रूप मे लिख सकते है:

[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}

और

[v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}

जहां

[v]_{B}^{T}

आव्यूह

[v]_{B}

का परिवर्त आव्यूह है:

मानक प्रतिनिधित्व

एक फलन $\phi _{B}$ को परिभाषित करके उपरोक्त परिवर्तन को सामान्यीकृत कर सकते हैं। जिसे B के संबंध में V का मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है जो प्रत्येक सदिश को उसके निर्देशांक प्रतिनिधित्व $\phi _{B}(v)=[v]_{B}$ पर प्रयुक्त होता है।

तब $\phi _{B}$ V से Fⁿ तक एक रैखिक रूपांतरण है। वास्तव में यह एक समरूपता है, जिसका व्युत्क्रम $\phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V$ है:

\phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.

वैकल्पिक रूप से हम $\phi _{B}^{-1}$ को उपरोक्त फलन के रूप में परिभाषित कर सकते है जो सिद्ध है कि $\phi _{B}^{-1}$ एक समरूपता है और $\phi _{B}$ को इसके व्युत्क्रम के रूप मे परिभाषित किया है।

उदाहरण

उदाहरण 1

माना कि P3 अधिक से अधिक 3 डिग्री वाले सभी बीजगणितीय बहुपदों का समष्टि है अर्थात x का उच्चतम घातांक 3 हो सकता है। यह समष्टि रेखीय है और निम्न बहुपदों द्वारा विस्तृत है:

B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}

1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}

तब बहुपद के संगत निर्देशांक सदिश $p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$ है:

{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}

उस प्रतिनिधित्व के अनुसार अवकल फलन d/dx जिसे हम D द्वारा चिन्हित करते है। जिसको निम्नलिखित आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किया जाता है:

Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}

इस प्रणाली का उपयोग करके संक्रियक के गुणों जैसे कि व्युत्क्रम, हर्मिटी समष्टि या एंटी-हर्मिटी समष्टि, विस्तृत श्रेणी और आइगेन मान का पता लगाना अत्यधिक सामान्य होता है।

उदाहरण 2

पाउली आव्यूह जो घूर्णन (भौतिकी) मे निर्देशांक सदिशों को परिवर्तित करते समय घूर्णन संक्रियक का प्रतिनिधित्व करते हैं।

आधार परिवर्तन आव्यूह

मान लीजिए कि B और C सदिश समष्टि V के दो भिन्न आधार हैं और हम इसके साथ $\lbrack M\rbrack _{C}^{B}$ को चिन्हित करते है। तब आव्यूह जिसमें आधार सदिश b₁, b₂, …, b_n के C प्रतिनिधित्व वाले स्तम्भ सदिश हैं:

\lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}

इस आव्यूह को B से C तक आधार परिवर्तन आव्यूह के रूप में जाना जाता है। इसे $F^{n}$ पर स्वसमाकृतिकता के रूप में माना जा सकता है। B में दर्शाए गए किसी भी सदिश V को C में एक प्रतिनिधित्व में परिवर्तित किया जा सकता है:

\lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.

आधार परिवर्तन के अंतर्गत ध्यान दें कि परिवर्तन आव्यूह M पर मूलांक और समन्वय सदिश V के मूलांक समान हैं। इससे यह प्रतीत होता है कि शेष मूलांक को छोड़कर इसे नष्ट कर दिया गया है। हालांकि यह प्रणाली एक सहायता के रूप में कार्य कर सकती है। इसमे यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण होता है कि ऐसा कोई निरस्तीकरण या समान गणितीय फलन नहीं हो सकता है।

परिणाम

आव्यूह M एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और M⁻¹, C से B तक का आधार रूपांतरण आव्यूह है।

दूसरे शब्दों में,

{\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}

अनंत-आयामी सदिश समष्टि

माना कि V क्षेत्र F पर अनंत-आयामी सदिश समष्टि है। यदि आयाम κ है, तो V के लिए κ तत्वों का आधार है। एक अनुक्रम चुने जाने के बाद आधार को अनुक्रमित आधार माना जा सकता है। V के तत्व आधार में तत्वों के परिमित रैखिक संयोजन हैं, जो पहले बताए गए सदिश समष्टि के अनुसार अद्वितीय समन्वय प्रणाली को उत्पन्न करते हैं। एकमात्र रूपांतरण यह है कि निर्देशांक के लिए प्रयुक्त किया गया अनुक्रम परिमित नहीं है। चूंकि दिया गया सदिश v आधार तत्वों का परिमित रैखिक संयोजन है, v के लिए समन्वय सदिश की केवल गैर-शून्य प्रविष्टियाँ v का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक संयोजन के गैर-शून्य गुणांक होते है। इस प्रकार v के लिए केवल कई प्रविष्टियों को छोड़कर सभी निर्देशांक सदिश शून्य होते है।

संभवतः अनंत-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के बीच रैखिक परिवर्तनों को अनंत आव्यूह के साथ परिमित आयामी स्थिति के अनुरूप बनाया जा सकता है। V से V में परिवर्तित विशेष फलनों को पूर्ण रैखिक आलेख में वर्णित किया जा सकता है।

यह भी देखें

आधार परिवर्तन

संदर्भ

↑ Howard Anton; Chris Rorres (12 April 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.

[AntonRorres2010-1] Howard Anton; Chris Rorres (12 April 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.

[1]

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 {{Short description|Linear algebra}}
 {{refimprove|date=February 2009}}
-रैखिक बीजगणित में, एक समन्वय वेक्टर एक वेक्टर ([[गणित और भौतिकी]]) का एक प्रतिनिधित्व है, जो संख्याओं की एक आदेशित सूची (एक [[टपल]]) के रूप में है जो किसी विशेष [[आदेशित आधार]] के संदर्भ में वेक्टर का वर्णन करता है।<ref name="AntonRorres2010">{{cite book|author1=Howard Anton|author2=Chris Rorres|title=Elementary Linear Algebra: Applications Version|url=https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&q=%22Coordinate+vector%22|date=12 April 2010|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-43205-1}}</ref> एक आसान उदाहरण इस प्रणाली के कुल्हाड़ियों के रूप में आधार के साथ 3-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में (5, 2, 1) जैसी स्थिति हो सकती है।निर्देशांक हमेशा एक आदेशित आधार के सापेक्ष निर्दिष्ट होते हैं।बेस और उनके संबद्ध समन्वय अभ्यावेदन एक [[पंक्ति वेक्टर]] रिक्त स्थान और [[रैखिक परिवर्तन]]ों को एहसास करते हैं, जो [[स्तंभ वेक्टर]], पंक्ति वैक्टर और [[मैट्रिक्स (गणित)]] के रूप में संक्षिप्त रूप से;इसलिए, वे गणना में उपयोगी हैं।
+रेखीय बीजगणित में '''निर्देशांक सदिश''' एक ऐसे सदिश ([[गणित और भौतिकी]]) का प्रतिनिधित्व करता है जो संख्याओं की क्रमबद्ध सूची ([[टपल]]) के रूप में होता है। जो एक विशेष अनुक्रमित आधार के संदर्भ में सदिश का वर्णन करता है।<ref name="AntonRorres2010">{{cite book|author1=Howard Anton|author2=Chris Rorres|title=Elementary Linear Algebra: Applications Version|url=https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&q=%22Coordinate+vector%22|date=12 April 2010|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-43205-1}}</ref> सामान्यतः 3-आयामी कार्तीय समन्वय प्रणाली में (5, 2, 1) जैसी स्थितियां हो सकती है। जिसका आधार इस प्रणाली के अक्ष के रूप में होता है। निर्देशांक सदैव अनुक्रमित आधार के सापेक्ष निर्दिष्ट होते हैं। आधार और उनके संबंधित समन्वय प्रतिनिधित्व के सदिश रिक्त समष्टि और [[रैखिक परिवर्तन|रैखिक रूपांतरण]] मे मुख्य रूप से [[स्तंभ वेक्टर|स्तंभ सदिश]], पंक्ति सदिश और [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] के रूप में सम्मिलित होते हैं। इसलिए वे गणना में उपयोगी होते हैं।
-एक समन्वय [[सदिश स्थल]] विचार का उपयोग अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए भी किया जा सकता है, जैसा कि नीचे संबोधित किया गया है।
+समन्वय [[सदिश स्थल|सदिश]] को अनंत-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के लिए भी प्रयुक्त किया जा सकता है। जैसा कि नीचे संबोधित किया गया है।
 == परिभाषा ==
-चलो एक [[क्षेत्र (गणित)]] f और चलो पर [[आयाम (वेक्टर अंतरिक्ष)]] n का एक वेक्टर स्थान है
+मान लीजिए कि V [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] F पर [[आयाम (वेक्टर अंतरिक्ष)|आयाम]] n का [[आयाम (वेक्टर अंतरिक्ष)|सदिश समष्टि]] है।
-:<math> B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_n \} </math>
-वी के लिए एक आदेशित आधार बनें। फिर हर के लिए <math> v \in V </math> आधार वैक्टर का एक अद्वितीय [[रैखिक संयोजन]] है जो बराबर होता है<math> v </math>:
+माना कि <math> B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_n \} </math>, <math> v </math> के लिए एक अनुक्रमित आधार है और प्रत्येक <math> v \in V </math> के लिए आधार सदिश का एक अद्वितीय [[रैखिक संयोजन]] होता है जो <math> v </math> के बराबर होता है:
 :<math> v = \alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \cdots + \alpha _n b_n .</math>
-'' का समन्वय वेक्टर<math> v </math>बी के सापेक्ष निर्देशांक का [[अनुक्रम]] है
+B के सापेक्ष <math> v </math> का निर्देशांक सदिश निर्देशांकों का [[अनुक्रम]] है:
 :<math> [v]_B = (\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _n) .</math>
-इसे प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है <math> v </math> बी के संबंध में, या बी प्रतिनिधित्व <math> v </math>। <math> \alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _n</math> h> के निर्देशांक कहा जाता है <math> v </math>।आधार का क्रम यहां महत्वपूर्ण हो जाता है, क्योंकि यह उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें गुणांक समन्वय वेक्टर में सूचीबद्ध होते हैं।
+इसे B के संबंध में <math> v </math> का प्रतिनिधित्व या <math> v </math> का B प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है और <math> \alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _n</math>, <math> v </math> के निर्देशांक कहलाते हैं। आधार का क्रम यहां महत्वपूर्ण हो जाता है क्योंकि यह उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें निर्देशांक सदिश के गुणांक सूचीबद्ध होते हैं।
-परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के समन्वय वैक्टर को मैट्रिक्स_ (गणित) द्वारा कॉलम वेक्टर या पंक्ति वैक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है।उपरोक्त संकेतन में, कोई लिख सकता है
+परिमित-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के समन्वय सदिश को आव्यूह द्वारा स्तंभ या पंक्ति सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उपरोक्त गणना को निम्न रूप मे लिख सकते है:
 :<math> [v]_B = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}</math>
 और
-:<math>[v]_B^T = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix}</math> कहाँ <math>[v]_B^T</math> मैट्रिक्स का [[खिसकाना]] है <math>[v]_B</math>।
+:<math>[v]_B^T = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix}</math>
+:जहां <math>[v]_B^T</math> आव्यूह <math>[v]_B</math> का परिवर्त आव्यूह है:
 == मानक प्रतिनिधित्व ==
-हम किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करके उपरोक्त परिवर्तन को यंत्रीकृत कर सकते हैं <math>\phi_B</math>, बी के संबंध में वी के मानक प्रतिनिधित्व को कहा जाता है, जो प्रत्येक वेक्टर को अपने समन्वय प्रतिनिधित्व में ले जाता है: <math>\phi_B(v)=[v]_B</math>।तब <math>\phi_B</math> V से F तक एक रैखिक परिवर्तन है<sup>n </sup>।वास्तव में, यह एक [[समाकृतिकता]] है, और इसका उलटा कार्य है <math>\phi_B^{-1}:F^n\to V</math> सादा है
+एक फलन <math>\phi_B</math> को परिभाषित करके उपरोक्त परिवर्तन को सामान्यीकृत कर सकते हैं। जिसे B के संबंध में V का मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है जो प्रत्येक सदिश को उसके निर्देशांक प्रतिनिधित्व <math>\phi_B(v)=[v]_B</math> पर प्रयुक्त होता है।
+तब <math>\phi_B</math> V से F<sup>n</sup> तक एक रैखिक रूपांतरण है। वास्तव में यह एक समरूपता है, जिसका व्युत्क्रम <math>\phi_B^{-1}:F^n\to V</math> है:
 :<math>\phi_B^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.</math>
-वैकल्पिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते थे <math>\phi_B^{-1}</math> शुरुआत से उपरोक्त कार्य होने के लिए, यह महसूस किया कि <math>\phi_B^{-1}</math> एक आइसोमोर्फिज्म है, और परिभाषित किया गया है <math>\phi_B</math> इसका उलटा होना।
+वैकल्पिक रूप से हम <math>\phi_B^{-1}</math> को उपरोक्त फलन के रूप में परिभाषित कर सकते है जो सिद्ध है कि <math>\phi_B^{-1}</math> एक समरूपता है और <math>\phi_B</math> को इसके व्युत्क्रम के रूप मे परिभाषित किया है।
 == उदाहरण ==
 === उदाहरण 1 ===
-चलो P3 को अधिकांश 3 पर डिग्री के सभी बीजीय बहुपद का स्थान होना चाहिए (यानी x का उच्चतम प्रतिपादक 3 हो सकता है)।यह स्थान रैखिक है और निम्नलिखित बहुपद द्वारा फैलाया गया है:
+माना कि P3 अधिक से अधिक 3 डिग्री वाले सभी बीजगणितीय बहुपदों का समष्टि है अर्थात x का उच्चतम घातांक 3 हो सकता है। यह समष्टि रेखीय है और निम्न बहुपदों द्वारा विस्तृत है:
 :<math>B_P = \left\{  1,  x,  x^2,  x^3 \right\}</math>
-मेल मिलाना
 :<math>
 := \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
@@ Line 36: / Line 39: @@
    x^3 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
 </math>
-फिर बहुपद के अनुरूप समन्वय वेक्टर
+तब बहुपद के संगत निर्देशांक सदिश <math>p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3</math>है:
-:<math>p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3</math>
+:<math>\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}</math>
-है
+उस प्रतिनिधित्व के अनुसार अवकल फलन d/dx जिसे हम D द्वारा चिन्हित करते है। जिसको निम्नलिखित आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किया जाता है:
-:<math>\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}.</math>
-उस प्रतिनिधित्व के अनुसार, भेदभाव ऑपरेटर डी/डीएक्स जिसे हम चिह्नित करेंगे, उसे निम्नलिखित मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जाएगा:
 :<math>Dp(x) = P'(x) ; \quad [D] =
    \begin{bmatrix}
@@ Line 49: / Line 50: @@
    \end{bmatrix}
 </math>
-उस पद्धति का उपयोग करते हुए ऑपरेटर के गुणों का पता लगाना आसान है, जैसे: [[उल्टे मैट्रिक्स]], [[हर्मिटियन]] | हर्मिटियन या एंटी-हेर्मिटियन या न ही, स्पेक्ट्रम और ईजेनवेल्स, और बहुत कुछ।
+इस प्रणाली का उपयोग करके संक्रियक के गुणों जैसे कि व्युत्क्रम, हर्मिटी समष्टि या एंटी-हर्मिटी समष्टि, विस्तृत श्रेणी और आइगेन मान का पता लगाना अत्यधिक सामान्य होता है।
 === उदाहरण 2 ===
-[[पाउली फ्रांसेस्को]], जो [[स्पिन (भौतिकी)]] ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं, जब स्पिन [[eigenstate]]s को वेक्टर निर्देशांक में बदलते हैं।
+[[पाउली फ्रांसेस्को|पाउली आव्यूह]] जो [[स्पिन (भौतिकी)|घूर्णन (भौतिकी)]] मे निर्देशांक सदिशों को परिवर्तित करते समय घूर्णन संक्रियक का प्रतिनिधित्व करते हैं।
-== आधार परिवर्तन मैट्रिक्स ==
+== आधार परिवर्तन आव्यूह ==
-चलो b और c एक वेक्टर स्पेस V के दो अलग -अलग आधार हैं, और हमें चिह्नित करते हैं <math>\lbrack M \rbrack_C^B</math> मैट्रिक्स (गणित) जिसमें स्तंभ हैं, जिसमें आधार वैक्टर बी के सी प्रतिनिधित्व से मिलकर बने हैं<sub>1</sub>,  बी<sub>2</sub>, …, बी<sub>n</sub>:
+मान लीजिए कि B और C सदिश समष्टि V के दो भिन्न आधार हैं और हम इसके साथ <math>\lbrack M \rbrack_C^B</math> को चिन्हित करते है। तब आव्यूह जिसमें आधार सदिश ''b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, …, b<sub>n</sub>'' के C प्रतिनिधित्व वाले स्तम्भ सदिश हैं:
 :<math>\lbrack M\rbrack_C^B = \begin{bmatrix} \lbrack b_1\rbrack_C & \cdots & \lbrack b_n\rbrack_C \end{bmatrix} </math>
-इस मैट्रिक्स को '' B '' से '' C '' तक के आधार परिवर्तन मैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है।इसे एक [[स्वचालितता]] के रूप में माना जा सकता है <math>F^n</math>।बी में प्रतिनिधित्व किए गए किसी भी वेक्टर वी को निम्नानुसार सी में एक प्रतिनिधित्व में बदल दिया जा सकता है:
+इस आव्यूह को B से C तक आधार परिवर्तन आव्यूह के रूप में जाना जाता है। इसे <math>F^n</math> पर [[स्वचालितता|स्वसमाकृतिकता]] के रूप में माना जा सकता है। B में दर्शाए गए किसी भी सदिश V को C में एक प्रतिनिधित्व में परिवर्तित किया जा सकता है:
-:<math>\lbrack v\rbrack_C = \lbrack M\rbrack_C^B \lbrack v\rbrack_B. </math> आधार के परिवर्तन के तहत, ध्यान दें कि परिवर्तन मैट्रिक्स, एम, और समन्वय वेक्टर पर सबस्क्रिप्ट पर सुपरस्क्रिप्ट, वी, समान हैं, और प्रतीत होता है कि शेष सबस्क्रिप्ट को छोड़कर रद्द कर दिया जाता है।हालांकि यह एक मेमोरी सहायता के रूप में काम कर सकता है, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ऐसा कोई रद्दीकरण, या इसी तरह के गणितीय संचालन नहीं है।
+:<math>\lbrack v\rbrack_C = \lbrack M\rbrack_C^B \lbrack v\rbrack_B. </math>
+:आधार परिवर्तन के अंतर्गत ध्यान दें कि परिवर्तन आव्यूह M पर मूलांक और समन्वय सदिश V के मूलांक समान हैं। इससे यह प्रतीत होता है कि शेष मूलांक को छोड़कर इसे नष्ट कर दिया गया है। हालांकि यह प्रणाली एक सहायता के रूप में कार्य कर सकती है। इसमे यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण होता है कि ऐसा कोई निरस्तीकरण या समान गणितीय फलन नहीं हो सकता है।
+=== परिणाम ===
+आव्यूह M एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और M<sup>−1</sup>, C से B तक का आधार रूपांतरण आव्यूह है।
-=== कोरोलरी ===
+दूसरे शब्दों में,
-मैट्रिक्स एम एक उल्टा मैट्रिक्स और एम है<sup>−1 </sup> C से B तक के आधार परिवर्तन मैट्रिक्स है, दूसरे शब्दों में,
 :<math>\begin{align}
        \operatorname{Id} &= \lbrack M\rbrack_C^B \lbrack M\rbrack_B^C = \lbrack M\rbrack_C^C \\[3pt]
    &= \lbrack M\rbrack_B^C \lbrack M\rbrack_C^B = \lbrack M\rbrack_B^B
 \end{align}</math>
+== अनंत-आयामी सदिश समष्टि ==
+माना कि V क्षेत्र F पर अनंत-आयामी सदिश समष्टि है। यदि आयाम κ है, तो V के लिए κ तत्वों का आधार है। एक अनुक्रम चुने जाने के बाद आधार को अनुक्रमित आधार माना जा सकता है। V के तत्व आधार में तत्वों के परिमित रैखिक संयोजन हैं, जो पहले बताए गए सदिश समष्टि के अनुसार अद्वितीय समन्वय प्रणाली को उत्पन्न करते हैं। एकमात्र रूपांतरण यह है कि निर्देशांक के लिए प्रयुक्त किया गया अनुक्रम परिमित नहीं है। चूंकि दिया गया सदिश v आधार तत्वों का परिमित रैखिक संयोजन है, v के लिए समन्वय सदिश की केवल गैर-शून्य प्रविष्टियाँ v का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक संयोजन के गैर-शून्य गुणांक होते है। इस प्रकार v के लिए केवल कई प्रविष्टियों को छोड़कर सभी निर्देशांक सदिश शून्य होते है।
-== अनंत-आयामी वेक्टर स्पेस ==
+संभवतः अनंत-आयामी सदिश या रिक्त समष्टि के बीच रैखिक परिवर्तनों को अनंत आव्यूह के साथ परिमित आयामी स्थिति के अनुरूप बनाया जा सकता है। V से V में परिवर्तित विशेष फलनों को पूर्ण रैखिक आलेख में वर्णित किया जा सकता है।
-मान लीजिए कि वी एक क्षेत्र एफ पर एक अनंत-आयामी वेक्टर स्थान है। यदि आयाम κ है, तो वी के लिए κ तत्वों का कुछ आधार है। एक आदेश चुने जाने के बाद, आधार को एक आदेश दिया जा सकता है।V के तत्व आधार में तत्वों के रेखीय संयोजन परिमित हैं, जो अद्वितीय समन्वय अभ्यावेदन को जन्म देते हैं जैसा कि पहले वर्णित है।एकमात्र परिवर्तन यह है कि निर्देशांक के लिए अनुक्रमण सेट परिमित नहीं है।चूंकि एक दिए गए वेक्टर वी आधार तत्वों का एक परिमित रैखिक संयोजन है, इसलिए वी के लिए समन्वय वेक्टर की एकमात्र नॉनज़ेरो प्रविष्टियाँ रेखीय संयोजन के नॉनज़ेरो गुणांक होंगे जो वी का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार वी के लिए समन्वय वेक्टर शून्य रूप से कई प्रविष्टियों को छोड़कर शून्य है।
-अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के बीच (संभवतः) अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के बीच रैखिक परिवर्तनों को, परिमित-आयामी मामले के अनुरूप, infinite_matrix#infinite_matrices के साथ।V से V से परिवर्तनों का विशेष मामला पूर्ण रैखिक रिंग लेख में वर्णित है।
 == यह भी देखें ==

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