आंशिक अनुरेखण: Difference between revisions

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[[File:Partial Trace.svg|thumb|right|बाएं हाथ की ओर द्विदलीय क्यूबिट प्रणाली का पूर्ण घनत्व आव्यूह <math>\rho_{AB}</math> को दर्शाता है। आंशिक निशान 2 बटा 2 विमा (एकल क्यूबिट घनत्व आव्यूह) के उपसंक्रियक पर किया जाता है। दाहिने हाथ की ओर परिणामी 2 बटा 2 कम घनत्व आव्यूह <math>\rho_{A}</math> को दर्शाता है।]]रैखिक बीजगणित और [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, आंशिक [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)|निशान (रैखिक बीजगणित]]) का एक सामान्यीकरण है। जबकि निशान संक्रियकों पर अदिश (गणित) मानित फलन है, आंशिक निशान [[ऑपरेटर (गणित)|संक्रियक (गणित]]) -मानित फलन है। आंशिक निशान में क्वांटम सूचना और [[ असम्बद्धता |असम्बद्धता]] में अनुप्रयोग हैं जो [[क्वांटम माप]] के लिए प्रासंगिक हैं और इस प्रकार [[क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या|क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्याओं]] के लिए निरंतर इतिहास और [[सापेक्ष राज्य व्याख्या|सापेक्ष अवस्था व्याख्या]] सहित निर्णायक दृष्टिकोण हैं।
[[File:Partial Trace.svg|thumb|right|Left हाथ की ओर एक पूर्ण घनत्व मैट्रिक्स दिखाता है <math>\rho_{AB}</math> एक द्विदलीय qubit प्रणाली की। आंशिक ट्रेस 2 बाय 2 डायमेंशन (सिंगल क्यूबिट डेंसिटी मैट्रिक्स) के सबसिस्टम पर किया जाता है। दाहिने हाथ की ओर परिणामी 2 बटा 2 घटे हुए घनत्व मैट्रिक्स को दर्शाता है <math>\rho_{A}</math>.]]रैखिक बीजगणित और [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, आंशिक ट्रेस [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] का एक सामान्यीकरण है। जबकि ट्रेस ऑपरेटरों पर एक स्केलर (गणित) मूल्यवान फ़ंक्शन है, आंशिक ट्रेस एक [[ऑपरेटर (गणित)]] -वैल्यूड फ़ंक्शन है। आंशिक ट्रेस में क्वांटम सूचना और [[ असम्बद्धता ]] में अनुप्रयोग हैं जो [[क्वांटम माप]] के लिए प्रासंगिक हैं और इस तरह [[क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या]]ओं के लिए निरंतर इतिहास और [[सापेक्ष राज्य व्याख्या]] सहित निर्णायक दृष्टिकोण हैं।


== विवरण ==
== विवरण ==
कल्पना करना <math>V</math>, <math>W</math> [[आयाम]]ों के साथ एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर परिमित-आयामी [[सदिश स्थल]] हैं <math>m</math> और <math>n</math>, क्रमश। किसी भी जगह के लिए <math>A</math>, होने देना <math>L(A)</math> रैखिक ऑपरेटरों के स्थान को निरूपित करें <math>A</math>. आंशिक निशान खत्म <math>W</math> तब लिखा जाता है <math>\operatorname{Tr}_W: \operatorname{L}(V \otimes W) \to \operatorname{L}(V)</math>.
मान लीजिए कि <math>V</math>, <math>W</math> क्रमश [[आयाम|विमाओं]] <math>m</math> और <math>n</math> के साथ [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र (गणित]]) पर परिमित-विमीय [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] हैं। किसी भी समष्टि <math>A</math> के लिए , <math>L(A)</math> को <math>A</math> पर रैखिक संक्रियकों की समष्टि को इंगित करें। <math>W</math>पर आंशिक निशान तब <math>\operatorname{Tr}_W: \operatorname{L}(V \otimes W) \to \operatorname{L}(V)</math> के रूप में लिखा जाता है।


इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: <math> T\in \operatorname{L}(V \otimes W)</math> के लिए, मान लीजिए <math>e_1, \ldots, e_m </math>, और <math>f_1, \ldots, f_n </math>, क्रमशः V और W के आधार हैं; तो T में <math> V \otimes W</math> के आधार <math> e_k \otimes f_\ell </math> के सापेक्ष आव्यूह प्रतिनिधित्व
के लिए <math> T\in \operatorname{L}(V \otimes W)</math>, होने देना  <math>e_1, \ldots, e_m </math>, और <math>f_1, \ldots, f_n </math>, क्रमशः V और W के लिए आधार बनें; तब टी
एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है


:<math> \{a_{k \ell, i j}\}  \quad 1 \leq k, i \leq m, \quad 1 \leq \ell,j \leq n </math>
:<math> \{a_{k \ell, i j}\}  \quad 1 \leq k, i \leq m, \quad 1 \leq \ell,j \leq n </math>
आधार के सापेक्ष  <math> e_k \otimes f_\ell </math> का  <math> V \otimes W</math>.
है।


अब सूचकांक k, i के लिए श्रेणी 1, ..., m, योग पर विचार करें
अब सूचकांक k, i के लिए श्रेणी 1, ..., m में, योग
:<math> b_{k, i} = \sum_{j=1}^n a_{k j, i j}. </math>
:<math> b_{k, i} = \sum_{j=1}^n a_{k j, i j} </math> पर विचार करें।
यह एक मैट्रिक्स बी देता है<sub>''k'', ''i''</sub>. वी पर संबंधित रैखिक ऑपरेटर आधारों की पसंद से स्वतंत्र है और परिभाषा के अनुसार 'आंशिक ट्रेस' है।
यह आव्यूह B<sub>''k'', ''i''</sub> देता है। V पर संबंधित रैखिक संक्रियक आधारों के चुनाव से स्वतंत्र है और परिभाषा के अनुसार 'आंशिक निशान' है।


भौतिकविदों के बीच, इसे अक्सर W पर केवल एक ऑपरेटर छोड़ने के संदर्भ में W पर ट्रेसिंग आउट या ट्रेसिंग कहा जाता है जहां W और V क्वांटम सिस्टम से जुड़े हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं (नीचे देखें)।
भौतिकविदों के बीच, इसे प्रायः W पर मात्र एक संक्रियक छोड़ने के संदर्भ में W पर अनुरेखण बाह्य या अनुरेखण कहा जाता है जहां W और V क्वांटम संक्रियक से जुड़े हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं (नीचे देखें)।


=== अपरिवर्तनीय परिभाषा ===
=== अपरिवर्तनीय परिभाषा ===
आंशिक ट्रेस ऑपरेटर को अपरिवर्तनीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात, आधार के संदर्भ के बिना) इस प्रकार है: यह अद्वितीय रैखिक मानचित्र है
आंशिक निशान संक्रियक को अपरिवर्तनीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात, आधार के संदर्भ के बिना) इस प्रकार है: यह अद्वितीय रैखिक प्रतिचित्र
:<math> \operatorname{Tr}_W: \operatorname{L}(V \otimes W) \rightarrow \operatorname{L}(V) </math> ऐसा है कि
:<math> \operatorname{Tr}_W: \operatorname{L}(V \otimes W) \rightarrow \operatorname{L}(V) </math> है जैसे कि
:<math> \operatorname{Tr}_W(R \otimes S) = \operatorname{Tr}(S) \, R \quad \forall R \in \operatorname{L}(V) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W). </math>
:<math> \operatorname{Tr}_W(R \otimes S) = \operatorname{Tr}(S) \, R \quad \forall R \in \operatorname{L}(V) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W). </math>
यह देखने के लिए कि उपरोक्त स्थितियाँ विशिष्ट रूप से आंशिक ट्रेस निर्धारित करती हैं, आइए <math>v_1, \ldots, v_m</math> के लिए एक आधार तैयार करें <math>V</math>, होने देना <math>w_1, \ldots, w_n</math> के लिए एक आधार तैयार करें <math>W</math>, होने देना <math>E_{ij} \colon V \to V</math> वह नक्शा हो जो भेजता है <math>v_i</math> को <math>v_j</math> (और अन्य सभी आधार तत्वों को शून्य करने के लिए), और चलो <math>F_{kl} \colon W \to W</math> वह नक्शा हो जो भेजता है <math>w_k</math> को <math>w_l</math>. वैक्टर के बाद से <math>v_i \otimes w_k</math> के लिए एक आधार तैयार करें <math>V \otimes W</math>, मानचित्र <math>E_{ij} \otimes F_{kl}</math> के लिए एक आधार तैयार करें <math>\operatorname{L}(V \otimes W)</math>.
यह देखने के लिए कि उपरोक्त स्थितियाँ आंशिक निशान को अद्वितीय रूप से निर्धारित करती है, माना <math>v_1, \ldots, v_m</math> <math>V</math> के लिए आधार बनाते हैं, <math>w_1, \ldots, w_n</math> को <math>W</math> के लिए एक आधार बनाते हैं, <math>E_{ij} \colon V \to V</math> को प्रतिचित्र बनाते हैं जो <math>v_i</math> को <math>v_j</math> (और अन्य सभी आधार अवयवों को शून्य करने के लिए) भेजता है, और <math>F_{kl} \colon W \to W</math> को वह प्रतिचित्र बनने दें जो <math>w_k</math> को <math>w_l</math> भेजता है। चूंकि सदिश <math>v_i \otimes w_k</math> <math>V \otimes W</math> के लिए एक आधार बनाते हैं, प्रतिचित्र <math>E_{ij} \otimes F_{kl}</math> <math>\operatorname{L}(V \otimes W)</math> के लिए आधार बनाते हैं।


इस अमूर्त परिभाषा से, निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं:
इस अमूर्त परिभाषा से, निम्न गुण अनुसरण करते हैं:


:<math> \operatorname{Tr}_W (I_{V \otimes W}) = \dim W \ I_{V} </math>
:<math> \operatorname{Tr}_W (I_{V \otimes W}) = \dim W \ I_{V} </math>
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=== श्रेणी सैद्धांतिक धारणा ===
=== श्रेणी सैद्धांतिक धारणा ===


यह रैखिक परिवर्तनों का आंशिक निशान है जो जॉयल, स्ट्रीट और [[ट्रेस मोनोइडल श्रेणी]] की वेरिटी की धारणा का विषय है। एक अनुरेखित मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है <math>(C,\otimes,I)</math> साथ में, वस्तुओं के लिए एक्स, वाई, यू श्रेणी में, होम-सेट का एक फ़ंक्शन,
यह रैखिक परिवर्तनों का आंशिक निशान है जो जॉयल, स्ट्रीट और [[ट्रेस मोनोइडल श्रेणी|निशान मोनोइडल श्रेणी]] की सत्यता की धारणा का विषय है। एक अनुरेखित मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी <math>(C,\otimes,I)</math> है, साथ में श्रेणी में X, Y, U के लिए, होम-समुच्चय का एक फलन,


:<math>\operatorname{Tr}^U_{X,Y}\colon \operatorname{Hom}_C(X\otimes U, Y\otimes U) \to \operatorname{Hom}_C(X,Y)</math>
:<math>\operatorname{Tr}^U_{X,Y}\colon \operatorname{Hom}_C(X\otimes U, Y\otimes U) \to \operatorname{Hom}_C(X,Y)</math>
कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना।
कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।


आंशिक निशान की इस अमूर्त धारणा का एक अन्य मामला परिमित सेटों और उनके बीच आपत्तियों की श्रेणी में होता है, जिसमें मोनोइडल उत्पाद असंयुक्त संघ है। कोई यह दिखा सकता है कि किसी भी परिमित सेट के लिए, X, Y, U और आपत्ति <math>X+U\cong Y+U</math> आंशिक रूप से ट्रेस किए गए आक्षेप मौजूद हैं <math>X\cong Y</math>.
आंशिक निशान की इस अमूर्त धारणा की अन्य स्थिति परिमित समुच्चयों और उनके बीच आपत्तियों की श्रेणी में होते है, जिसमें मोनोइडल उत्पाद असंयुक्त संघ है। कोई दिखा सकता है कि किसी भी परिमित समुच्चय के लिए, X, Y, U और द्विभाजन <math>X+U\cong Y+U</math> में संबंधित "आंशिक रूप से पता लगाया गया" द्विभाजन <math>X\cong Y</math> स्थित है।


== हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए आंशिक ट्रेस ==
== हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर संक्रियकों के लिए आंशिक निशान ==


आंशिक ट्रेस ऑपरेटरों को अनंत आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर सामान्यीकृत करता है। मान लीजिए वी, डब्ल्यू हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं, और
आंशिक निशान संक्रियकों को अनंत विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर सामान्यीकृत करता है। मान लीजिए V, W हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं, और
होने देना


:<math> \{f_i\}_{i \in I} </math>
:<math> \{f_i\}_{i \in I} </math>
डब्ल्यू के लिए एक अलौकिक आधार हो। अब एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म है
को W के लिए असामान्य आधार होने दें। अब सममितीय समरूपता


:<math>  \bigoplus_{\ell \in I} (V \otimes \mathbb{C}  f_\ell) \rightarrow V \otimes W</math>
:<math>  \bigoplus_{\ell \in I} (V \otimes \mathbb{C}  f_\ell) \rightarrow V \otimes W</math> है
इस अपघटन के तहत, कोई भी ऑपरेटर <math> T \in \operatorname{L}(V \otimes W)</math> एक अनंत मैट्रिक्स के रूप में माना जा सकता है
इस अपघटन के अंतर्गत, किसी भी संक्रियक <math> T \in \operatorname{L}(V \otimes W)</math> को V
वी पर ऑपरेटरों की


:<math> \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & \ldots & T_{1 j} & \ldots \\
:<math> \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & \ldots & T_{1 j} & \ldots \\
Line 57: Line 52:
                         T_{k1}& T_{k2} & \ldots & T_{k j} & \ldots \\
                         T_{k1}& T_{k2} & \ldots & T_{k j} & \ldots \\
                         \vdots  & \vdots & & \vdots  
                         \vdots  & \vdots & & \vdots  
\end{bmatrix},</math>
\end{bmatrix}</math>
कहाँ <math> T_{k \ell} \in \operatorname{L}(V) </math>.
पर संक्रियकों के अनंत आव्यूह के रूप में माना जा सकता है, जहां <math> T_{k \ell} \in \operatorname{L}(V) </math>


पहले मान लीजिए कि T एक गैर-ऋणात्मक संकारक है। इस स्थिति में, उपरोक्त मैट्रिक्स की सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ V पर गैर-ऋणात्मक संकारक हैं। यदि योग
पहले मान लीजिए कि T एक गैर-ऋणात्मक संकारक है। इस स्थिति में, उपरोक्त आव्यूह की सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ V पर गैर-ऋणात्मक संकारक हैं। यदि योग


:<math> \sum_{\ell} T_{\ell \ell} </math>
:<math> \sum_{\ell} T_{\ell \ell} </math>
एल (वी) के [[मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी]] में परिवर्तित हो जाता है, यह डब्ल्यू के चुने हुए आधार से स्वतंत्र है। आंशिक ट्रेस ट्र<sub>''W''</sub>(टी) को इस ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है। स्व-संलग्न ऑपरेटर का आंशिक निशान परिभाषित किया गया है अगर और केवल अगर सकारात्मक और नकारात्मक भागों के आंशिक निशान परिभाषित किए गए हैं।
के [[मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी|दृढ संक्रियक सांस्थिति]] में परिवर्तित हो जाते है, तो यह W के चुने हुए आधार से स्वतंत्र होते है। आंशिक निशान Tr<sub>''W''</sub> (T) को इस संक्रियक के रूप में परिभाषित किया गया है। स्व-संलग्न संक्रियक का आंशिक निशान परिभाषित किया गया है यदि और मात्र यदि धनात्मक और ऋणात्मक भागों के आंशिक निशान परिभाषित किए गए हैं।


=== आंशिक ट्रेस की गणना ===
=== आंशिक निशान की गणना ===


मान लीजिए डब्ल्यू का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है, जिसे हम [[ अच्छा-केट ]] वेक्टर नोटेशन द्वारा निरूपित करते हैं <math> \{| \ell \rangle\}_\ell </math>. तब
मान लीजिए W का एक प्रसामान्य आधार है, जिसे हम [[ अच्छा-केट |केट]] सदिश संकेतन द्वारा <math> \{| \ell \rangle\}_\ell </math> के रूप में निरूपित करते हैं। तब


:<math> \operatorname{Tr}_W\left(\sum_{k,\ell} T^{(k \ell)} \, \otimes \, | k \rangle \langle \ell |\right) = \sum_j T^{(j j)} .</math>
:<math> \operatorname{Tr}_W\left(\sum_{k,\ell} T^{(k \ell)} \, \otimes \, | k \rangle \langle \ell |\right) = \sum_j T^{(j j)} .</math>
कोष्ठक में सुपरस्क्रिप्ट मैट्रिक्स घटकों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, बल्कि मैट्रिक्स को ही लेबल करते हैं।
कोष्ठक में अधिलेख आव्यूह घटकों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, बल्कि आव्यूह को ही लेबल करते हैं।


== आंशिक ट्रेस और अपरिवर्तनीय एकीकरण ==
== आंशिक निशान और अपरिवर्तनीय एकीकरण ==


परिमित आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान के मामले में, आंशिक ट्रेस को देखने का एक उपयोगी तरीका है जिसमें डब्ल्यू के एकात्मक समूह यू (डब्ल्यू) पर उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत हार माप μ के संबंध में एकीकरण शामिल है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत का मतलब है कि μ को लिया जाता है। कुल द्रव्यमान मंद (डब्ल्यू) के साथ एक उपाय।
परिमित विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि की स्थिति में, आंशिक निशान को देखने की एक उपयोगी विधि है जिसमें W के एकात्मक समूह U (W) पर उपयुक्त सामान्यीकृत हार माप μ के संबंध में एकीकरण सम्मिलित है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत का अर्थ है कि μ को कुल द्रव्यमान dim (W) के साथ माप के रूप में लिया जाता है।


'प्रमेय'मान लीजिए वी, डब्ल्यू सीमित आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं। तब
'प्रमेय'. मान लीजिए V, W सीमित विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं। तब


:<math> \int_{\operatorname{U}(W)} (I_V \otimes U^*) T (I_V \otimes U) \ d \mu(U) </math>
:<math> \int_{\operatorname{U}(W)} (I_V \otimes U^*) T (I_V \otimes U) \ d \mu(U) </math>
फॉर्म के सभी ऑपरेटरों के साथ संचार करता है <math> I_V \otimes S </math> और इसलिए विशिष्ट रूप से है <math> R \otimes I_W </math>. ऑपरेटर आर टी का आंशिक निशान है।
रूप <math> I_V \otimes S </math> के सभी संक्रियकों के साथ काम करते है और इसलिए यह रूप <math> R \otimes I_W </math> का विशिष्ट है। संक्रियक R T का आंशिक निशान है।


== [[क्वांटम ऑपरेशन]] के रूप में आंशिक ट्रेस ==
== [[क्वांटम ऑपरेशन|क्वांटम संक्रियक]] के रूप में आंशिक निशान ==


आंशिक ट्रेस को क्वांटम ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है। एक क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम पर विचार करें जिसका राज्य स्थान टेन्सर उत्पाद है <math>H_A \otimes H_B</math> हिल्बर्ट रिक्त स्थान की। एक मिश्रित अवस्था का वर्णन [[घनत्व मैट्रिक्स]] ρ द्वारा किया जाता है, अर्थात
आंशिक निशान को क्वांटम संक्रियक के रूप में देखा जा सकता है। क्वांटम यांत्रिक संक्रियक पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्टि हिल्बर्ट रिक्त समष्टिका टेंसर उत्पाद <math>H_A \otimes H_B</math> है। मिश्रित अवस्था का वर्णन [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] ρ द्वारा किया जाता है, जो टेन्सर उत्पाद <math> H_A \otimes H_B </math> पर निशान 1 का एक गैर-ऋणात्मक निशान-वर्ग है। संक्रियक B के संबंध में ρ का आंशिक निशान, जिसे <math>\rho ^A</math> द्वारा दर्शाया गया है, संक्रियक A पर ρ की घटी हुई अवस्था कहा जाता है। प्रतीकों में,
टेंसर उत्पाद पर ट्रेस 1 का एक गैर-नकारात्मक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर <math> H_A \otimes H_B .</math>
सिस्टम बी के संबंध में ρ का आंशिक निशान, द्वारा निरूपित <math>\rho ^A</math>, को सिस्टम A पर ρ की घटी हुई अवस्था कहा जाता है। प्रतीकों में,


:<math>\rho^A = \operatorname{Tr}_B \rho.</math>
:<math>\rho^A = \operatorname{Tr}_B \rho.</math>
यह दिखाने के लिए कि यह वास्तव में ए सबसिस्टम पर ρ को एक राज्य आवंटित करने का एक समझदार तरीका है, हम निम्नलिखित औचित्य प्रदान करते हैं। M को सबसिस्टम A पर एक ऑब्जर्वेबल होने दें, तो कंपोजिट सिस्टम पर संबंधित ऑब्जर्वेबल है <math>M \otimes I</math>. हालाँकि कोई कम अवस्था को परिभाषित करना चुनता है <math>\rho^A</math>, मापन आँकड़ों की निरंतरता होनी चाहिए। सबसिस्टम ए में तैयार होने के बाद एम का अपेक्षित मूल्य <math>\rho ^A</math> और वह <math>M \otimes I</math> जब समग्र प्रणाली ρ में तैयार की जाती है तो वही होनी चाहिए, यानी निम्नलिखित समानता होनी चाहिए:
यह दिखाने के लिए कि यह वस्तुतः A उपसंक्रियक पर ρ को अवस्था आवंटित करने की समझदार विधि है, हम निम्नलिखित प्रामाणिकता प्रदान करते हैं। M को उपसंक्रियक A पर अवलोकन योग्य होने दें, फिर समग्र संक्रियक पर संबंधित अवलोकन योग्य <math>M \otimes I</math> है। यद्यपि घटी हुई अवस्था <math>\rho^A</math>को परिभाषित करने का विकल्प चुनता है, मापन आँकड़ों की निरंतरता होनी चाहिए। उपसंक्रियक A के <math>\rho ^A</math> में तैयार होने के बाद M का अपेक्षित मान ρ में संयोजन संक्रियक तैयार होने पर <math>M \otimes I</math> के समान होना चाहिए, अर्थात निम्नलिखित समानता होनी चाहिए:


:<math>\operatorname{Tr} ( M \cdot \rho^A) = \operatorname{Tr} ( M \otimes I \cdot \rho).</math>
:<math>\operatorname{Tr} ( M \cdot \rho^A) = \operatorname{Tr} ( M \otimes I \cdot \rho).</math>
हम देखते हैं कि यह संतुष्ट है अगर <math>\rho ^A</math> आंशिक ट्रेस के माध्यम से ऊपर परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, ऐसा ऑपरेशन अद्वितीय है।
हम देखते हैं कि यह संतुष्ट है यदि <math>\rho ^A</math> आंशिक निशान के माध्यम से ऊपर परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त , ऐसा संक्रियक अद्वितीय है।


बता दें कि टी (एच) हिल्बर्ट स्पेस एच पर ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का [[बनच स्थान]] है। यह आसानी से जांचा जा सकता है कि आंशिक ट्रेस, एक मानचित्र के रूप में देखा जाता है
बता दें कि T (H) हिल्बर्ट समष्टि H पर निशान-वर्ग संक्रियकों का [[बनच स्थान|बनच समष्टि]] है। यह सरलता से जांचा जा सकता है कि प्रतिचित्र
:<math>\operatorname{Tr}_B : T(H_A \otimes H_B) \rightarrow T(H_A)</math>
:<math>\operatorname{Tr}_B : T(H_A \otimes H_B) \rightarrow T(H_A)</math>
पूरी तरह से सकारात्मक और ट्रेस-संरक्षण है।
के रूप में देखा जाने वाला आंशिक निशान पूर्ण रूप से धनात्मक और निशान-संरक्षित है।


घनत्व मैट्रिक्स ρ [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] है, [[सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स]] | सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, और इसमें 1 का निशान है। इसमें एक [[वर्णक्रमीय अपघटन (मैट्रिक्स)]] है:
घनत्व आव्यूह ρ [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] है, [[सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह]] है, और इसमें 1 का निशान है। इसमें एक [[वर्णक्रमीय अपघटन (मैट्रिक्स)|वर्णक्रमीय अपघटन (आव्यूह]]) है:


:<math>\rho=\sum_{m}p_m|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|;\ 0\leq p_m\leq 1,\ \sum_{m}p_m=1</math>
:<math>\rho=\sum_{m}p_m|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|;\ 0\leq p_m\leq 1,\ \sum_{m}p_m=1</math>
यह देखना आसान है कि आंशिक ट्रेस <math>\rho ^A</math> इन शर्तों को भी पूरा करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी शुद्ध अवस्था के लिए <math>|\psi_A\rangle</math> में <math>H_A</math>, अपने पास
यह देखना सरल है कि आंशिक निशान <math>\rho ^A</math> भी इन प्रतिबंधों को पूरा करता है। उदाहरण के लिए, <math>H_A</math> में किसी शुद्ध अवस्था <math>|\psi_A\rangle</math> के लिए, हमारे निकट
:<math>\langle\psi_A|\rho^A|\psi_A\rangle=\sum_{m}p_m\operatorname{Tr}_B[\langle\psi_A|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|\psi_A\rangle]\geq 0</math>
:<math>\langle\psi_A|\rho^A|\psi_A\rangle=\sum_{m}p_m\operatorname{Tr}_B[\langle\psi_A|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|\psi_A\rangle]\geq 0</math> है
ध्यान दें कि शब्द <math>\operatorname{Tr}_B[\langle\psi_A|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|\psi_A\rangle]</math> राज्य को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है <math>|\psi_A\rangle</math> जब समग्र प्रणाली राज्य में है <math>|\Psi_m\rangle</math>. यह की सकारात्मक अर्ध-निश्चितता साबित करता है <math>\rho ^A</math>.
ध्यान दें कि शब्द <math>\operatorname{Tr}_B[\langle\psi_A|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|\psi_A\rangle]</math> अवस्था <math>|\psi_A\rangle</math> को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करते है जब समग्र प्रणाली अवस्था <math>|\Psi_m\rangle</math> में होती है। यह <math>\rho ^A</math> की धनात्मक अर्ध-निश्चितता सिद्ध करते है।


जैसा कि ऊपर दिया गया है, आंशिक ट्रेस मानचित्र दोहरे मानचित्र को प्रेरित करता है <math>\operatorname{Tr}_B ^*</math> बाउंडेड ऑपरेटर्स के C*[[सी * - बीजगणित]] के बीच <math>\; H_A</math> और <math>H_A \otimes H_B</math> द्वारा दिए गए
जैसा कि ऊपर दिया गया है, आंशिक निशान प्रतिचित्र


:<math>\operatorname{Tr}_B ^* (A) = A \otimes I.</math>
:<math>\operatorname{Tr}_B ^* (A) = A \otimes I</math>  
:द्वारा दिए गए <math>\; H_A</math> और <math>H_A \otimes H_B</math> पर बंधे संक्रियक के [[सी * - बीजगणित]] के बीच एक दोहरे प्रतिचित्र <math>\operatorname{Tr}_B ^*</math> को प्रेरित करते है।


<math>\operatorname{Tr}_B ^*</math> वेधशालाओं के लिए मानचित्रों का अवलोकन और [[हाइजेनबर्ग चित्र]] का प्रतिनिधित्व है <math>\operatorname{Tr}_B</math>.
<math>\operatorname{Tr}_B ^*</math> प्रेक्षणीय को प्रेक्षणीय में प्रतिचित्रित करता है और <math>\operatorname{Tr}_B</math> का [[हाइजेनबर्ग चित्र]] प्रतिनिधित्व है।


=== शास्त्रीय मामले के साथ तुलना ===
=== शास्त्रीय स्थिति के साथ तुलना ===


मान लीजिए क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के बजाय, दो सिस्टम ए और बी शास्त्रीय हैं। प्रत्येक प्रणाली के लिए वेधशालाओं का स्थान तब एबेलियन सी * - बीजगणित है। ये कॉम्पैक्ट स्पेस X, Y के लिए क्रमशः C(X) और C(Y) के रूप में हैं। कंपोजिट सिस्टम का स्टेट स्पेस बस है
मान लीजिए क्वांटम यांत्रिक संक्रियक के अतिरिक्त , दो संक्रियक A और B शास्त्रीय हैं। प्रत्येक प्रणाली के लिए प्रेक्षणीय का समष्टि तब एबेलियन सी * - बीजगणित है। ये सघन समष्टि X, Y के लिए क्रमशः C (X) और C (Y) के रूप में हैं। संयुक्त संक्रियक की अवस्था समष्टि मात्र


:<math>C(X) \otimes C(Y) = C(X \times Y).</math>
:<math>C(X) \otimes C(Y) = C(X \times Y)</math> है।
समग्र प्रणाली पर एक राज्य सी (एक्स × वाई) के दोहरे का एक सकारात्मक तत्व ρ है, जो कि रिज़-मार्कोव प्रमेय द्वारा एक्स × वाई पर एक नियमित बोरेल माप से मेल खाता है। इसी घटी हुई अवस्था को माप को प्रोजेक्ट करके प्राप्त किया जाता है। ρ से X। इस प्रकार आंशिक ट्रेस इस ऑपरेशन के क्वांटम मैकेनिकल समतुल्य है।
समग्र प्रणाली पर अवस्था C (X× Y) के दोहरे का एक धनात्मक अवयव ρ है, जो कि रिज़-मार्कोव प्रमेय द्वारा X× Y पर नियमित बोरेल माप से मेल खाता है। इसी घटी हुई अवस्था को माप ρ से X तक प्रक्षेपित करके प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार आंशिक निशान इस संक्रियक के क्वांटम यांत्रिक समतुल्य है।


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श्रेणी:रैखिक बीजगणित
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श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण
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Revision as of 13:27, 24 May 2023

बाएं हाथ की ओर द्विदलीय क्यूबिट प्रणाली का पूर्ण घनत्व आव्यूह को दर्शाता है। आंशिक निशान 2 बटा 2 विमा (एकल क्यूबिट घनत्व आव्यूह) के उपसंक्रियक पर किया जाता है। दाहिने हाथ की ओर परिणामी 2 बटा 2 कम घनत्व आव्यूह को दर्शाता है।

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, आंशिक निशान (रैखिक बीजगणित) का एक सामान्यीकरण है। जबकि निशान संक्रियकों पर अदिश (गणित) मानित फलन है, आंशिक निशान संक्रियक (गणित) -मानित फलन है। आंशिक निशान में क्वांटम सूचना और असम्बद्धता में अनुप्रयोग हैं जो क्वांटम माप के लिए प्रासंगिक हैं और इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्याओं के लिए निरंतर इतिहास और सापेक्ष अवस्था व्याख्या सहित निर्णायक दृष्टिकोण हैं।

विवरण

मान लीजिए कि , क्रमश विमाओं और के साथ क्षेत्र (गणित) पर परिमित-विमीय सदिश समष्टि हैं। किसी भी समष्टि के लिए , को पर रैखिक संक्रियकों की समष्टि को इंगित करें। पर आंशिक निशान तब के रूप में लिखा जाता है।

इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: के लिए, मान लीजिए , और , क्रमशः V और W के आधार हैं; तो T में के आधार के सापेक्ष आव्यूह प्रतिनिधित्व

है।

अब सूचकांक k, i के लिए श्रेणी 1, ..., m में, योग

पर विचार करें।

यह आव्यूह Bk, i देता है। V पर संबंधित रैखिक संक्रियक आधारों के चुनाव से स्वतंत्र है और परिभाषा के अनुसार 'आंशिक निशान' है।

भौतिकविदों के बीच, इसे प्रायः W पर मात्र एक संक्रियक छोड़ने के संदर्भ में W पर अनुरेखण बाह्य या अनुरेखण कहा जाता है जहां W और V क्वांटम संक्रियक से जुड़े हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं (नीचे देखें)।

अपरिवर्तनीय परिभाषा

आंशिक निशान संक्रियक को अपरिवर्तनीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात, आधार के संदर्भ के बिना) इस प्रकार है: यह अद्वितीय रैखिक प्रतिचित्र

है जैसे कि

यह देखने के लिए कि उपरोक्त स्थितियाँ आंशिक निशान को अद्वितीय रूप से निर्धारित करती है, माना के लिए आधार बनाते हैं, को के लिए एक आधार बनाते हैं, को प्रतिचित्र बनाते हैं जो को (और अन्य सभी आधार अवयवों को शून्य करने के लिए) भेजता है, और को वह प्रतिचित्र बनने दें जो को भेजता है। चूंकि सदिश के लिए एक आधार बनाते हैं, प्रतिचित्र के लिए आधार बनाते हैं।

इस अमूर्त परिभाषा से, निम्न गुण अनुसरण करते हैं:


श्रेणी सैद्धांतिक धारणा

यह रैखिक परिवर्तनों का आंशिक निशान है जो जॉयल, स्ट्रीट और निशान मोनोइडल श्रेणी की सत्यता की धारणा का विषय है। एक अनुरेखित मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है, साथ में श्रेणी में X, Y, U के लिए, होम-समुच्चय का एक फलन,

कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

आंशिक निशान की इस अमूर्त धारणा की अन्य स्थिति परिमित समुच्चयों और उनके बीच आपत्तियों की श्रेणी में होते है, जिसमें मोनोइडल उत्पाद असंयुक्त संघ है। कोई दिखा सकता है कि किसी भी परिमित समुच्चय के लिए, X, Y, U और द्विभाजन में संबंधित "आंशिक रूप से पता लगाया गया" द्विभाजन स्थित है।

हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर संक्रियकों के लिए आंशिक निशान

आंशिक निशान संक्रियकों को अनंत विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर सामान्यीकृत करता है। मान लीजिए V, W हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं, और

को W के लिए असामान्य आधार होने दें। अब सममितीय समरूपता

है

इस अपघटन के अंतर्गत, किसी भी संक्रियक को V

पर संक्रियकों के अनंत आव्यूह के रूप में माना जा सकता है, जहां

पहले मान लीजिए कि T एक गैर-ऋणात्मक संकारक है। इस स्थिति में, उपरोक्त आव्यूह की सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ V पर गैर-ऋणात्मक संकारक हैं। यदि योग

के दृढ संक्रियक सांस्थिति में परिवर्तित हो जाते है, तो यह W के चुने हुए आधार से स्वतंत्र होते है। आंशिक निशान TrW (T) को इस संक्रियक के रूप में परिभाषित किया गया है। स्व-संलग्न संक्रियक का आंशिक निशान परिभाषित किया गया है यदि और मात्र यदि धनात्मक और ऋणात्मक भागों के आंशिक निशान परिभाषित किए गए हैं।

आंशिक निशान की गणना

मान लीजिए W का एक प्रसामान्य आधार है, जिसे हम केट सदिश संकेतन द्वारा के रूप में निरूपित करते हैं। तब

कोष्ठक में अधिलेख आव्यूह घटकों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, बल्कि आव्यूह को ही लेबल करते हैं।

आंशिक निशान और अपरिवर्तनीय एकीकरण

परिमित विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि की स्थिति में, आंशिक निशान को देखने की एक उपयोगी विधि है जिसमें W के एकात्मक समूह U (W) पर उपयुक्त सामान्यीकृत हार माप μ के संबंध में एकीकरण सम्मिलित है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत का अर्थ है कि μ को कुल द्रव्यमान dim (W) के साथ माप के रूप में लिया जाता है।

'प्रमेय'. मान लीजिए V, W सीमित विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं। तब

रूप के सभी संक्रियकों के साथ काम करते है और इसलिए यह रूप का विशिष्ट है। संक्रियक R T का आंशिक निशान है।

क्वांटम संक्रियक के रूप में आंशिक निशान

आंशिक निशान को क्वांटम संक्रियक के रूप में देखा जा सकता है। क्वांटम यांत्रिक संक्रियक पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्टि हिल्बर्ट रिक्त समष्टिका टेंसर उत्पाद है। मिश्रित अवस्था का वर्णन घनत्व आव्यूह ρ द्वारा किया जाता है, जो टेन्सर उत्पाद पर निशान 1 का एक गैर-ऋणात्मक निशान-वर्ग है। संक्रियक B के संबंध में ρ का आंशिक निशान, जिसे द्वारा दर्शाया गया है, संक्रियक A पर ρ की घटी हुई अवस्था कहा जाता है। प्रतीकों में,

यह दिखाने के लिए कि यह वस्तुतः A उपसंक्रियक पर ρ को अवस्था आवंटित करने की समझदार विधि है, हम निम्नलिखित प्रामाणिकता प्रदान करते हैं। M को उपसंक्रियक A पर अवलोकन योग्य होने दें, फिर समग्र संक्रियक पर संबंधित अवलोकन योग्य है। यद्यपि घटी हुई अवस्था को परिभाषित करने का विकल्प चुनता है, मापन आँकड़ों की निरंतरता होनी चाहिए। उपसंक्रियक A के में तैयार होने के बाद M का अपेक्षित मान ρ में संयोजन संक्रियक तैयार होने पर के समान होना चाहिए, अर्थात निम्नलिखित समानता होनी चाहिए:

हम देखते हैं कि यह संतुष्ट है यदि आंशिक निशान के माध्यम से ऊपर परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त , ऐसा संक्रियक अद्वितीय है।

बता दें कि T (H) हिल्बर्ट समष्टि H पर निशान-वर्ग संक्रियकों का बनच समष्टि है। यह सरलता से जांचा जा सकता है कि प्रतिचित्र

के रूप में देखा जाने वाला आंशिक निशान पूर्ण रूप से धनात्मक और निशान-संरक्षित है।

घनत्व आव्यूह ρ हर्मिटियन आव्यूह है, धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है, और इसमें 1 का निशान है। इसमें एक वर्णक्रमीय अपघटन (आव्यूह) है:

यह देखना सरल है कि आंशिक निशान भी इन प्रतिबंधों को पूरा करता है। उदाहरण के लिए, में किसी शुद्ध अवस्था के लिए, हमारे निकट

है

ध्यान दें कि शब्द अवस्था को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करते है जब समग्र प्रणाली अवस्था में होती है। यह की धनात्मक अर्ध-निश्चितता सिद्ध करते है।

जैसा कि ऊपर दिया गया है, आंशिक निशान प्रतिचित्र

द्वारा दिए गए और पर बंधे संक्रियक के सी * - बीजगणित के बीच एक दोहरे प्रतिचित्र को प्रेरित करते है।

प्रेक्षणीय को प्रेक्षणीय में प्रतिचित्रित करता है और का हाइजेनबर्ग चित्र प्रतिनिधित्व है।

शास्त्रीय स्थिति के साथ तुलना

मान लीजिए क्वांटम यांत्रिक संक्रियक के अतिरिक्त , दो संक्रियक A और B शास्त्रीय हैं। प्रत्येक प्रणाली के लिए प्रेक्षणीय का समष्टि तब एबेलियन सी * - बीजगणित है। ये सघन समष्टि X, Y के लिए क्रमशः C (X) और C (Y) के रूप में हैं। संयुक्त संक्रियक की अवस्था समष्टि मात्र

है।

समग्र प्रणाली पर अवस्था C (X× Y) के दोहरे का एक धनात्मक अवयव ρ है, जो कि रिज़-मार्कोव प्रमेय द्वारा X× Y पर नियमित बोरेल माप से मेल खाता है। इसी घटी हुई अवस्था को माप ρ से X तक प्रक्षेपित करके प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार आंशिक निशान इस संक्रियक के क्वांटम यांत्रिक समतुल्य है।


श्रेणी:रैखिक बीजगणित

श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण