समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप: Difference between revisions

Revision as of 14:17, 28 May 2023

समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप एक प्रकार का सांख्यिकीय प्रतिरूप है जिसमें आश्रित और स्वतंत्र चर केवल स्वतंत्र चर के स्थान पर अन्य आश्रित चर के कार्य होते हैं। ^[1] इसका अर्थ है कि कुछ व्याख्यात्मक चर आश्रित चर के साथ अंतर्जात (अर्थमिति) हैं, जो अर्थशास्त्र में सामान्यतः कुछ अंतर्निहित आर्थिक संतुलन का परिणाम है। विशिष्ट आपूर्ति और मांग प्रतिरूप को लें: जबकि सामान्यतः कोई आपूर्ति की गई मात्रा का निर्धारण करेगा और बाजार द्वारा निर्धारित मूल्य का एक कार्य होने की मांग करेगा, यह रिवर्स के लिए भी संभव है, जहां निर्माता उस मात्रा का निरीक्षण करते हैं जो उपभोक्ता मांग करते हैं और फिर कीमत निर्धारित करें।^[2]

एक साथ रुचि के सांख्यिकीय मापदंडों के बिंदु अनुमान के लिए चुनौतियां खड़ी होती हैं, क्योंकि गॉस-मार्कोव प्रमेय और जबकि एक साथ सभी युगपत समीकरणों का अनुमान लगाना स्वाभाविक होगा, यह प्रायः रैखिक समीकरणों की सबसे सरल प्रणाली के लिए भी एक अभिकलनात्मक जटिलता गैर-रैखिक अनुकूलन समस्या की ओर ले जाता है। ^[3] इस स्थिति ने 1940 और 1950 के दशक में काउल्स आयोग के नेतृत्व में विकास को प्रेरित किया, ^[4] विभिन्न तकनीकों का जो प्रतिरूप सेरीटिम में प्रत्येक समीकरण का अनुमान लगाता है, सबसे विशेष रूप से सीमित जानकारी अधिकतम संभावना और दो-चरण कम से कम वर्ग हैं। ^[5]

संरचनात्मक और घटा हुआ रूप

मान लीजिए कि फॉर्म के m प्रतिक्रमण समीकरण हैं

y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,

जहां i समीकरण संख्या है, और t = 1, ..., T अवलोकन सूचकांक है। इन समीकरणों में xit बहिर्जात चरों का ki×1 सदिश है, yit आश्रित चर है, y−i,t अन्य सभी अंतर्जात चरों का ni×1 सदिश है जो दाईं ओर ith समीकरण में प्रवेश करते हैं, और uit त्रुटि स्तिथि हैं। "−i" संकेतन इंगित करता है कि सदिश y−i,t में yit को छोड़कर कोई भी y हो सकता है (क्योंकि यह पहले से ही बाईं ओर उपस्थित है)। प्रतीपगमन गुणांक βi और γi क्रमशः ki×1 और ni×1 आयामों के हैं। Ith समीकरण के संगत T प्रेक्षणों को वर्टिकली स्टैक करते हुए, हम प्रत्येक समीकरण को सदिश रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,

जहां yi और ui T×1 सदिश हैं, Xi बहिर्जात प्रतिगमनकर्ताओं का T×ki आव्यूह है, और Y−i ith समीकरण के दाईं ओर अंतर्जात प्रतिगमनकर्ताओं का T×ni आव्यूह है। अंत में, हम सभी अंतर्जात चरों को बाईं ओर स्थानांतरित कर सकते हैं और m समीकरणों को सदिश रूप में संयुक्त रूप से लिख सकते हैं

Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,

इस प्रतिनिधित्व को संरचनात्मक रूप के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण में Y = [y1 y2 ... ym] आश्रित चरों का T×m आव्यूह है। प्रत्येक मेट्रिसेस Y−i वास्तव में इस Y का एक n_i-स्तंभित उपआव्यूह है। m×m आव्यूह Γ, जो निर्भर चर के बीच संबंध का वर्णन करता है, की एक जटिल संरचना है। इसमें एक विकर्ण पर है, और प्रत्येक पंक्ति i के अन्य सभी तत्व या तो सदिश −γi या शून्य के घटक हैं, इस पर निर्भर करता है कि Y के कौन से पंक्ति आव्यूह Y−i में सम्मिलित किए गए थे। T×k आव्यूह X में सभी समीकरणों से सभी बहिर्जात प्रतिगमन सम्मिलित हैं, लेकिन दोहराव के बिना सम्मिलित हैं (यानी, आव्यूह X पूर्ण श्रेणी का होना चाहिए)। इस प्रकार, प्रत्येक Xi, X का एक की-स्तंभित उपआव्यूह है। आव्यूह Β का आकार k×m है, और इसके प्रत्येक पंक्ति में सदिश βi और शून्य के घटक होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि X के कौन से प्रतिगामी सम्मिलित थे या Xi से बाहर किए गए थे। अंत में, U = [u1 u2 ... um] त्रुटि स्तिथि का एक T×m आव्यूह है।

संरचनात्मक समीकरण को Γ⁻¹ से गुणा करने के बाद, प्रणाली को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,

यह पहले से ही एक साधारण सामान्य रैखिक प्रतिरूप है, और इसका अनुमान लगाया जा सकता है, उदाहरण के लिए साधारण कम से कम वर्गों द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है। दुर्भाग्य से, अनुमानित आव्यूह को विघटित करने का कार्य $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$ व्यक्तिगत कारकों में Β और Γ⁻¹ काफी जटिल है, और इसलिए घटा हुआ रूप भविष्यवाणी के लिए अधिक उपयुक्त है, लेकिन अनुमान के लिए उपयुक्त नहीं है।

कल्पना

सबसे पहले, बहिर्जात प्रतिगामी के आव्यूह X की श्रेणी k के बराबर होनी चाहिए, दोनों परिमित प्रतिरूप में और सीमा के रूप में T → ∞ है (इस बाद की आवश्यकता का अर्थ है कि अभिव्यक्ति की सीमा में $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ एक गैर-अनपभ्रष्ट k × k आव्यूह में परिवर्तित होना चाहिए)। आव्यूह Γ को गैर-पतित भी माना जाता है।

अर्थात्, यदि आव्यूह U की tवीं पंक्ति को u(t) द्वारा निरूपित किया जाता है, तो सदिशों {u(t)} का अनुक्रम iid होना चाहिए, शून्य माध्य और कुछ सहप्रसरण आव्यूह Σ के साथ (जो अज्ञात है) होना चाहिए। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि E[U] = 0 और E[U′U] = T Σ।

अंत में, अभिज्ञान के लिए मान्यताओं की आवश्यकता होती है।

अभिज्ञान

अभिज्ञान की स्तिथियों के लिए आवश्यक है कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली अज्ञात मापदंडों के लिए हल करने योग्य हो।

अधिक विशेष रूप से, आदेश की स्थिति, अभिज्ञान के लिए एक आवश्यक स्तिथि, वह है जो प्रत्येक समीकरण के लिए $k i + n i \leq k$ है, जिसे "बहिष्कृत बहिर्जात चरों की संख्या सम्मिलित अंतर्जात चरों की संख्या के बराबर या अधिक है" के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

श्रेणी की स्थिति, एक शक्तिशाली स्थिति जो आवश्यक और पर्याप्त है, वह $Π i 0$ श्रेणी (रैखिक बीजगणित) $n i$ के बराबर है, जहां Πi0 एक (k − ki)×ni आव्यूह है जो Π से उन स्तंभों को पार करके प्राप्त किया जाता है जो बहिष्कृत अंतर्जात चर के अनुरूप होते हैं, और वे पंक्तियां जो सम्मिलित बहिर्जात चर के अनुरूप होती हैं।

अभिज्ञान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग

समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप में, मापदण्ड अभिज्ञान समस्या को प्राप्त करने का सबसे सामान्य तरीका भीतर-समीकरण मापदण्ड प्रतिबंधों को लागू करना है। ^[6] फिर भी, क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग करके अभिज्ञान भी संभव है।

अभिज्ञान के लिए क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, यह समझाने के लिए, वूल्ड्रिज से निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें ^[6]

{\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}

जहाँ z, u के साथ असंबद्ध हैं और y अंतर्जात चर हैं। आगे के प्रतिबंधों के बिना, पहले समीकरण की अभिज्ञान नहीं की जा सकती क्योंकि कोई बहिष्कृत चर नहीं है। दूसरे समीकरण $δ 13 \neq0$ की अभिज्ञान सिर्फ अगर की जाती है, जिसे शेष चर्चा के लिए सत्य माना जाता है।

अब हम $δ 12 = δ 22$ का क्रॉस समीकरण प्रतिबंध लगाते हैं। चूंकि दूसरे समीकरण की अभिज्ञान की गई है, अभिज्ञान के उद्देश्य से हम $δ 12$ को ज्ञात मान सकते हैं। तो, पहला समीकरण निम्न बन जाता है:

y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}

तब हम $(z 1, z 2, z 3)$ उपयोग कर सकते हैं, उपरोक्त समीकरण में गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए सहायक चर के रूप में क्योंकि एक अंतर्जात चर ( $y 2$ ) हैं और एक अपवर्जित बहिर्जात चर ( $z 2$ ) दाहिने हाथ की ओर है। इसलिए, भीतर-समीकरण प्रतिबंधों के स्थान पर क्रॉस समीकरण प्रतिबंध अभिज्ञान प्राप्त कर सकते हैं।

अनुमान

दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2एसएलएस)

एक साथ समीकरण मॉडल के लिए सबसे सरल और सबसे आम अनुमान विधि तथाकथित दो-चरण कम से कम वर्ग विधि है, ^[7] थिइल (1953) और बासमैन (1957) द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गई। ^[8]^[9] यह एक समीकरण-दर-समीकरण तकनीक है, जहां प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर के अंतर्जात प्रतिगामी को अन्य सभी समीकरणों से प्रतिगामी X के साथ यंत्रीकृत किया जा रहा है। विधि को "दो-चरण" कहा जाता है क्योंकि यह दो चरणों में अनुमान लगाती है:^[7]

चरण 1: X पर Y_−i को पुनः प्राप्त करें और अनुमानित मान $\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}$ प्राप्त करें ;

चरण 2:

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

और X_i पर y_i के सामान्य न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन द्वारा γ_i, β_i का अनुमान लगाएं।

अगर i^वें प्रतिरूप में समीकरण के रूप में लिखा गया है

y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},

जहाँ Zi एक T×(ni + ki) आव्यूह है जो ith समीकरण में अंतर्जात और बहिर्जात दोनों प्रतिगमनकर्ताओं का है, और δi प्रतिगमन गुणांकों का एक (ni + ki)-आयामी सदिश है, तो δi का 2एसएलएस अनुमानक दिया जाएगा

^{^[7]: ^{${\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},$}जहां P = X '(X 'X)−1X ′ बहिर्जात प्रतिगामी X द्वारा फैलाए गए रैखिक स्थान पर प्रक्षेपण आव्यूह है।
अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग
अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग अर्थमिति में एक दृष्टिकोण है जहां समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप में गुणांक सामान्य कम से कम वर्गों का उपयोग करके कम फॉर्म प्रतिरूप से अनुमान लगाया जाता है।^[10]^[11] इसके लिए, समीकरणों की संरचनात्मक प्रणाली को पहले कम रूप में परिवर्तित किया जाता है। एक बार गुणांकों का अनुमान लगाने के बाद प्रतिरूप को संरचनात्मक रूप में वापस रखा जाता है।

सीमित जानकारी अधिकतम संभावना (LIML)
"सीमित जानकारी" अधिकतम संभावना पद्धति का सुझाव 1947 में एम. ए. गिरशिक ने दिया था, ^[12] और 1949 में टी. डब्ल्यू. एंडरसन और एच. रुबिन द्वारा औपचारिक रूप दिया गया। ^[13] इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोई एक समय में एक ही संरचनात्मक समीकरण का अनुमान लगाने में रुचि रखता है (इसलिए इसका नाम सीमित जानकारी है), अवलोकन i के लिए निम्नलिखित है :

$y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}$
शेष अंतर्जात चर Y_−i के लिए संरचनात्मक समीकरण निर्दिष्ट नहीं हैं, और उन्हें उनके संक्षिप्त रूप में दिया गया है:

$Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}$
इस संदर्भ में संकेतन साधारण वाद्य चर की स्तिथि से अलग है। किसी के पास:

$Y_{-i}$ : अंतर्जात चर।
$X_{-i}$ : बहिर्जात चर (ओं)
$X$ : उपकरण (प्रायः निरूपित $Z$ )
एलआईएमएल के लिए निम्न स्पष्ट सूत्र है:^[14]

${\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},$
जहाँ M = I − X (X ′X)⁻¹X ′, और λ आव्यूह की सबसे छोटी विशेषता जड़ है:

${\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}$
जहां, इसी तरह, M_i = I − X_i (X_i′X_i)⁻¹X_i′.
दूसरे शब्दों में, λ सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या का सबसे छोटा समाधान है, देखें थिल (1971, p. 503) harvtxt error: no target: CITEREFथिल1971 (help):

${\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0$

K वर्ग के अनुमानक
एलआईएमएल K-श्रेणी के अनुमानकर्ताओं की एक विशेष स्तिथि है:^[15]

${\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,$
साथ:

$\delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}$
$Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}$
कई अनुमानक इस वर्ग के हैं:

κ=0: सामान्य न्यूनतम वर्ग
κ=1: 2एसएलएस। वास्तव में ध्यान दें कि इस स्तिथि में, $I-\kappa M=I-M=P$ 2एसएलएस का सामान्य प्रक्षेप आव्यूह
κ=λ: एलआईएमएल
κ=λ - α (n-K): फुलर (1977) harvtxt error: no target: CITEREFफुलर1977 (help) अनुमानक।^[16] यहाँ K उपकरणों की संख्या, n प्रतिरूप आकार, और α निर्दिष्ट करने के लिए एक सकारात्मक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है। α = 1 का मान एक अनुमानक उत्पन्न करेगा जो लगभग निष्पक्ष है।^[15]

तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3एसएलएस)
तीन-चरण न्यूनतम वर्ग अनुमानक ज़ेलनर & थिल (1962) harvtxt error: no target: CITEREFज़ेलनरथिल1962 (help) के द्वारा प्रस्तुत किया गया था। ^[17]^[18] इसे क्षणों के बहु-समीकरण सामान्यीकृत विधि की एक विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है जहां वाद्य चर का सम्मुच्चय सभी समीकरणों के लिए सामान्य है। ^[19] यदि सभी प्रतिगामी वास्तव में पूर्व निर्धारित हैं, तो 3एसएलएस प्रतीत होता है कि असंबंधित प्रतिगमन (एसयूआर) को कम कर देता है। इस प्रकार इसे एसयूआर के साथ टू-स्टेज लीस्ट स्क्वेयर (2एसएलएस) के संयोजन के रूप में भी देखा जा सकता है।

सामाजिक विज्ञान में अनुप्रयोग
विभिन्न क्षेत्रों और विषयों में समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप विभिन्न अवलोकन संबंधी घटनाओं पर लागू होते हैं। इन समीकरणों को तब लागू किया जाता है जब घटनाओं को पारस्परिक रूप से कारण मान लिया जाता है। उत्कृष्ट उदाहरण अर्थशास्त्र में आपूर्ति और मांग है। अन्य विषयों में उम्मीदवार के मूल्यांकन और दल की अभिज्ञान जैसे उदाहरण हैं ^[20] या राजनीति विज्ञान में जनमत और सामाजिक नीति उदाहरण हैं; ^[21]^[22] भूगोल में सड़क निवेश और यात्रा की मांग; ^[23] और शैक्षिक प्राप्ति और समाजशास्त्र या जनसांख्यिकी में पितृत्व प्रवेश। ^[24] समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप के लिए पारस्परिक कार्य-कारण के सिद्धांत की आवश्यकता होती है जिसमें विशेष विशेषताएं सम्मिलित होती हैं यदि एक समीकरण के एकतरफा 'खण्ड' के विपरीत एक साथ प्रतिक्रिया के रूप में कारण प्रभाव का अनुमान लगाया जाता है जहां एक शोधकर्ता Y पर X के कारण प्रभाव में रुचि रखता है। X पर Y के कारण प्रभाव को स्थिर रखते हुए, या जब शोधकर्ता प्रत्येक कारण प्रभाव के होने में लगने वाले समय की सटीक मात्रा को जानता है, यानी कारण की लंबाई कम हो जाती है। लैग्ड प्रभावों के स्थान पर, एक साथ प्रतिक्रिया का अर्थ है एक दूसरे पर X और Y के एक साथ और स्थायी प्रभाव का अनुमान लगाना सम्मिलित है। इसके लिए एक सिद्धांत की आवश्यकता होती है कि कारणात्मक प्रभाव समय के साथ-साथ होते हैं, या इतने जटिल होते हैं कि वे एक साथ व्यवहार करते दिखाई देते हैं; एक सामान्य उदाहरण रूममेट्स की मनोदशा है।^[25] एक साथ प्रतिक्रिया प्रतिरूप का अनुमान लगाने के लिए संतुलन का एक सिद्धांत भी आवश्यक है - कि X और Y अपेक्षाकृत स्थिर अवस्था में हैं या एक प्रणाली (समाज, बाजार, कक्षा) का हिस्सा हैं जो अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में है।^[26]

यह भी देखें
सामान्य रैखिक प्रतिरूप
प्रतीत होता है असंबंधित प्रतिगमन
घटा हुआ रूप
मापदण्ड अभिज्ञान समस्या
संदर्भ

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बाहरी संबंध
Lecture on the Identification Problem in 2SLS, and Estimation on YouTube by Mark Thoma}

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[13] Anderson, T.W.; Rubin, H. (1949). "Estimator of the parameters of a single equation in a complete system of stochastic equations". Annals of Mathematical Statistics. 20 (1): 46–63. doi:10.1214/aoms/1177730090. JSTOR 2236803.

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[22] Breznau, Nate (2016-07-01). "Positive Returns and Equilibrium: Simultaneous Feedback Between Public Opinion and Social Policy". Policy Studies Journal (in English). 45 (4): 583–612. doi:10.1111/psj.12171. ISSN 1541-0072.

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[26] 2013. “Reverse Arrow Dynamics: Feedback Loops and Formative Measurement.” In Structural Equation Modeling: A Second Course, edited by Gregory R. Hancock and Ralph O. Mueller, 2nd ed., 41–79. Charlotte, NC: Information Age Publishing

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 {{Short description|Type of statistical model}}
-एक साथ समीकरण मॉडल एक प्रकार का [[सांख्यिकीय मॉडल]] है जिसमें [[आश्रित और स्वतंत्र चर]] केवल स्वतंत्र चर के बजाय अन्य आश्रित चर के कार्य होते हैं।<ref>{{cite book |first=Vance |last=Martin |first2=Stan |last2=Hurn |first3=David |last3=Harris |title=समय श्रृंखला के साथ अर्थमितीय मॉडलिंग|publisher=Cambridge University Press |year=2013 |isbn=978-0-521-19660-4 |page=159 }}</ref> इसका मतलब है कि कुछ व्याख्यात्मक चर आश्रित चर के साथ अंतर्जात (अर्थमिति) हैं, जो [[अर्थशास्त्र]] में आमतौर पर कुछ अंतर्निहित [[आर्थिक संतुलन]] का परिणाम है। विशिष्ट [[आपूर्ति और मांग]] मॉडल को लें: जबकि आम तौर पर कोई आपूर्ति की गई मात्रा का निर्धारण करेगा और बाजार द्वारा निर्धारित मूल्य का एक कार्य होने की मांग करेगा, यह रिवर्स के लिए भी संभव है, जहां निर्माता उस मात्रा का निरीक्षण करते हैं जो उपभोक्ता मांग करते हैं और फिर कीमत निर्धारित करें।<ref>{{cite book |first=G. S. |last=Maddala |first2=Kajal |last2=Lahiri |title=अर्थमिति का परिचय|location=Wiley |edition=Fourth |year=2009 |isbn=978-0-470-01512-4 |pages=355–357 }}</ref>
+समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप एक प्रकार का [[सांख्यिकीय मॉडल|सांख्यिकीय प्रतिरूप]] है जिसमें [[आश्रित और स्वतंत्र चर]] केवल स्वतंत्र चर के स्थान पर अन्य आश्रित चर के कार्य होते हैं। <ref>{{cite book |first=Vance |last=Martin |first2=Stan |last2=Hurn |first3=David |last3=Harris |title=समय श्रृंखला के साथ अर्थमितीय मॉडलिंग|publisher=Cambridge University Press |year=2013 |isbn=978-0-521-19660-4 |page=159 }}</ref> इसका अर्थ है कि कुछ व्याख्यात्मक चर आश्रित चर के साथ अंतर्जात (अर्थमिति) हैं, जो [[अर्थशास्त्र]] में सामान्यतः कुछ अंतर्निहित [[आर्थिक संतुलन]] का परिणाम है। विशिष्ट [[आपूर्ति और मांग]] प्रतिरूप को लें: जबकि सामान्यतः कोई आपूर्ति की गई मात्रा का निर्धारण करेगा और बाजार द्वारा निर्धारित मूल्य का एक कार्य होने की मांग करेगा, यह रिवर्स के लिए भी संभव है, जहां निर्माता उस मात्रा का निरीक्षण करते हैं जो उपभोक्ता मांग करते हैं और फिर कीमत निर्धारित करें।<ref>{{cite book |first=G. S. |last=Maddala |first2=Kajal |last2=Lahiri |title=अर्थमिति का परिचय|location=Wiley |edition=Fourth |year=2009 |isbn=978-0-470-01512-4 |pages=355–357 }}</ref>
-एक साथ रुचि के सांख्यिकीय मापदंडों के [[बिंदु अनुमान]] के लिए चुनौतियां खड़ी होती हैं, क्योंकि गॉस-मार्कोव प्रमेय| और जबकि एक साथ सभी युगपत समीकरणों का अनुमान लगाना स्वाभाविक होगा, यह अक्सर रैखिक समीकरणों की सबसे सरल प्रणाली के लिए भी एक कम्प्यूटेशनल जटिलता गैर-रैखिक अनुकूलन समस्या की ओर ले जाता है।<ref>{{cite book |first=Richard E. |last=Quandt |chapter=Computational Problems and Methods |title=अर्थमिति की पुस्तिका|volume=I |editor-first=Z. |editor-last=Griliches |editor2-first=M. D. |editor2-last=Intriligator |publisher=North-Holland |year=1983 |pages=699–764 |isbn=0-444-86185-8 }}</ref> इस स्थिति ने 1940 और 1950 के दशक में [[काउल्स आयोग]] के नेतृत्व में विकास को प्रेरित किया,<ref>{{cite journal |first=Carl F. |last=Christ |title=The Cowles Commission's Contributions to Econometrics at Chicago, 1939–1955 |journal=[[Journal of Economic Literature]] |volume=32 |issue=1 |year=1994 |pages=30–59 |jstor=2728422 }}</ref> विभिन्न तकनीकों का जो मॉडल सेरीटिम में प्रत्येक समीकरण का अनुमान लगाता है, सबसे विशेष रूप से [[सीमित जानकारी अधिकतम संभावना]] और [[दो-चरण कम से कम वर्ग]]।<ref>{{cite book |first=J. |last=Johnston |author-link=John Johnston (econometrician) |chapter=Simultaneous-equation Methods: Estimation |title=अर्थमितीय तरीके|location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=Second |year=1971 |pages=376–423 |isbn=0-07-032679-7 }}</ref>
+एक साथ रुचि के सांख्यिकीय मापदंडों के [[बिंदु अनुमान]] के लिए चुनौतियां खड़ी होती हैं, क्योंकि गॉस-मार्कोव प्रमेय और जबकि एक साथ सभी युगपत समीकरणों का अनुमान लगाना स्वाभाविक होगा, यह प्रायः रैखिक समीकरणों की सबसे सरल प्रणाली के लिए भी एक अभिकलनात्मक जटिलता गैर-रैखिक अनुकूलन समस्या की ओर ले जाता है। <ref>{{cite book |first=Richard E. |last=Quandt |chapter=Computational Problems and Methods |title=अर्थमिति की पुस्तिका|volume=I |editor-first=Z. |editor-last=Griliches |editor2-first=M. D. |editor2-last=Intriligator |publisher=North-Holland |year=1983 |pages=699–764 |isbn=0-444-86185-8 }}</ref> इस स्थिति ने 1940 और 1950 के दशक में [[काउल्स आयोग]] के नेतृत्व में विकास को प्रेरित किया, <ref>{{cite journal |first=Carl F. |last=Christ |title=The Cowles Commission's Contributions to Econometrics at Chicago, 1939–1955 |journal=[[Journal of Economic Literature]] |volume=32 |issue=1 |year=1994 |pages=30–59 |jstor=2728422 }}</ref> विभिन्न तकनीकों का जो प्रतिरूप सेरीटिम में प्रत्येक समीकरण का अनुमान लगाता है, सबसे विशेष रूप से [[सीमित जानकारी अधिकतम संभावना]] और [[दो-चरण कम से कम वर्ग]] हैं। <ref>{{cite book |first=J. |last=Johnston |author-link=John Johnston (econometrician) |chapter=Simultaneous-equation Methods: Estimation |title=अर्थमितीय तरीके|location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=Second |year=1971 |pages=376–423 |isbn=0-07-032679-7 }}</ref>
 == संरचनात्मक और घटा हुआ रूप ==
-मान लीजिए कि फॉर्म के एम रिग्रेशन समीकरण हैं
+मान लीजिए कि फॉर्म के m प्रतिक्रमण समीकरण हैं
 : <math>
       y_{it} = y_{-i,t}'\gamma_i + x_{it}'\;\!\beta_i + u_{it}, \quad i=1,\ldots,m,
    </math>
-जहां मैं समीकरण संख्या है, और {{nowrap|''t'' {{=}} 1, ..., ''T''}} अवलोकन सूचकांक है। इन समीकरणों में x<sub>it</sub>कश्मीर है<sub>i</sub>एक्सोजेनस वेरिएबल्स का 1 वेक्टर, y<sub>it</sub>आश्रित चर है, y<sub>−i,t</sub>तब है<sub>i</sub>अन्य सभी अंतर्जात चर के ×1 वेक्टर जो i में प्रवेश करते हैं<sup>th</sup> दाईं ओर समीकरण, और u<sub>it</sub>त्रुटि शर्तें हैं। "−i" अंकन दर्शाता है कि सदिश y<sub>−i,t</sub>y को छोड़कर कोई भी y शामिल हो सकता है<sub>it</sub>(चूंकि यह पहले से ही बाईं ओर मौजूद है)। प्रतिगमन गुणांक β<sub>i</sub>और जी<sub>i</sub>आयाम k हैं<sub>i</sub>×1 और एन<sub>i</sub>×1 संगत। i के संगत T प्रेक्षणों को लंबवत रूप से स्टैक करना<sup>वें</sup> समीकरण, हम प्रत्येक समीकरण को सदिश रूप में लिख सकते हैं
+जहां i समीकरण संख्या है, और {{nowrap|''t'' {{=}} 1, ..., ''T''}} अवलोकन सूचकांक है। इन समीकरणों में xit बहिर्जात चरों का ki×1 सदिश है, yit आश्रित चर है, y−i,t अन्य सभी अंतर्जात चरों का ni×1 सदिश है जो दाईं ओर ith समीकरण में प्रवेश करते हैं, और uit त्रुटि स्तिथि हैं। "−i" संकेतन इंगित करता है कि सदिश y−i,t में yit को छोड़कर कोई भी y हो सकता है (क्योंकि यह पहले से ही बाईं ओर उपस्थित है)। प्रतीपगमन गुणांक βi और γi क्रमशः ki×1 और ni×1 आयामों के हैं। Ith समीकरण के संगत T प्रेक्षणों को वर्टिकली स्टैक करते हुए, हम प्रत्येक समीकरण को सदिश रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं
 : <math>
      y_i = Y_{-i}\gamma_i + X_i\beta_i + u_i, \quad i=1,\ldots,m,
    </math>
-कहां क्यों<sub>i</sub>और आप<sub>i</sub>टी × 1 वैक्टर हैं, एक्स<sub>i</sub>टी × के है<sub>i</sub>बहिर्जात रजिस्टरों का मैट्रिक्स, और वाई<sub>−i</sub>एक टी × एन है<sub>i</sub>i के दाईं ओर अंतर्जात रजिस्टरों का मैट्रिक्स<sup>वें</sup> समीकरण। अंत में, हम सभी अंतर्जात चरों को बाईं ओर स्थानांतरित कर सकते हैं और m समीकरणों को सदिश रूप में संयुक्त रूप से लिख सकते हैं
+जहां yi और ui T×1 सदिश हैं, Xi बहिर्जात प्रतिगमनकर्ताओं का T×ki आव्यूह है, और Y−i ith समीकरण के दाईं ओर अंतर्जात प्रतिगमनकर्ताओं का T×ni आव्यूह है। अंत में, हम सभी अंतर्जात चरों को बाईं ओर स्थानांतरित कर सकते हैं और m समीकरणों को सदिश रूप में संयुक्त रूप से लिख सकते हैं
 : <math>
      Y\Gamma = X\Beta + U.\,
    </math>
-इस प्रतिनिधित्व को संरचनात्मक रूप के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण में {{nowrap|''Y'' {{=}} [''y''<sub>1</sub> ''y''<sub>2</sub> ... ''y<sub>m</sub>'']}} आश्रित चरों का T×m मैट्रिक्स है। प्रत्येक मेट्रिसेस वाई<sub>−i</sub>वास्तव में एक एन है<sub>i</sub>इस Y का स्तंभित सबमैट्रिक्स। m×m मैट्रिक्स Γ, जो निर्भर चर के बीच संबंध का वर्णन करता है, की एक जटिल संरचना है। इसमें एक विकर्ण पर है, और प्रत्येक स्तंभ i के अन्य सभी तत्व या तो सदिश −γ के घटक हैं<sub>i</sub>या शून्य, इस पर निर्भर करता है कि Y के किन स्तंभों को मैट्रिक्स Y में शामिल किया गया था<sub>−i</sub>. T×k मैट्रिक्स X में सभी समीकरणों से सभी बहिर्जात प्रतिगमन शामिल हैं, लेकिन दोहराव के बिना (यानी, मैट्रिक्स X पूर्ण रैंक का होना चाहिए)। इस प्रकार, प्रत्येक एक्स<sub>i</sub>के है<sub>i</sub>X का स्तंभित सबमैट्रिक्स। मैट्रिक्स Β का आकार k×m है, और इसके प्रत्येक कॉलम में वैक्टर β के घटक होते हैं<sub>i</sub>और शून्य, इस पर निर्भर करता है कि X के कौन से प्रतिगामी शामिल थे या X से बाहर किए गए थे<sub>i</sub>. आखिरकार, {{nowrap|''U'' {{=}} [''u''<sub>1</sub> ''u''<sub>2</sub> ... ''u<sub>m</sub>'']}} त्रुटि शर्तों का एक T×m मैट्रिक्स है।
+इस प्रतिनिधित्व को संरचनात्मक रूप के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण में Y = [y1 y2 ... ym] आश्रित चरों का T×m आव्यूह है। प्रत्येक मेट्रिसेस Y−i वास्तव में इस Y का एक ''n<sub>i</sub>''-स्तंभित उपआव्यूह है। m×m आव्यूह Γ, जो निर्भर चर के बीच संबंध का वर्णन करता है, की एक जटिल संरचना है। इसमें एक विकर्ण पर है, और प्रत्येक पंक्ति i के अन्य सभी तत्व या तो सदिश −γi या शून्य के घटक हैं, इस पर निर्भर करता है कि Y के कौन से पंक्ति आव्यूह Y−i में सम्मिलित किए गए थे। T×k आव्यूह X में सभी समीकरणों से सभी बहिर्जात प्रतिगमन सम्मिलित हैं, लेकिन दोहराव के बिना सम्मिलित हैं (यानी, आव्यूह X पूर्ण श्रेणी का होना चाहिए)। इस प्रकार, प्रत्येक Xi, X का एक की-स्तंभित उपआव्यूह है। आव्यूह Β का आकार k×m है, और इसके प्रत्येक पंक्ति में सदिश βi और शून्य के घटक होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि X के कौन से प्रतिगामी सम्मिलित थे या Xi से बाहर किए गए थे। अंत में, U = [u1 u2 ... um] त्रुटि स्तिथि का एक T×m आव्यूह है।
-द्वारा संरचनात्मक समीकरण को पश्चगुणित करना {{nowrap|Γ<sup> −1</sup>}}, सिस्टम को कम रूप में लिखा जा सकता है
+संरचनात्मक समीकरण को {{nowrap|Γ<sup> −1</sup>}} से गुणा करने के बाद, प्रणाली को निम्न रूप में लिखा जा सकता है
 : <math>
      Y = X\Beta\Gamma^{-1} + U\Gamma^{-1} = X\Pi + V.\,
    </math>
-यह पहले से ही एक साधारण [[सामान्य रैखिक मॉडल]] है, और इसका अनुमान लगाया जा सकता है, उदाहरण के लिए साधारण कम से कम वर्गों द्वारा। दुर्भाग्य से, अनुमानित मैट्रिक्स को विघटित करने का कार्य <math style="vertical-align:0">\scriptstyle\hat\Pi</math> व्यक्तिगत कारकों में Β और {{nowrap|Γ<sup> −1</sup>}} काफी जटिल है, और इसलिए घटा हुआ रूप भविष्यवाणी के लिए अधिक उपयुक्त है, लेकिन अनुमान के लिए नहीं।
+यह पहले से ही एक साधारण [[सामान्य रैखिक मॉडल|सामान्य रैखिक प्रतिरूप]] है, और इसका अनुमान लगाया जा सकता है, उदाहरण के लिए साधारण कम से कम वर्गों द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है। दुर्भाग्य से, अनुमानित आव्यूह को विघटित करने का कार्य <math style="vertical-align:0">\scriptstyle\hat\Pi</math> व्यक्तिगत कारकों में Β और {{nowrap|Γ<sup> −1</sup>}} काफी जटिल है, और इसलिए घटा हुआ रूप भविष्यवाणी के लिए अधिक उपयुक्त है, लेकिन अनुमान के लिए उपयुक्त नहीं है।
-=== अनुमान ===
+=== कल्पना ===
-सबसे पहले, बहिर्जात रजिस्टरों के मैट्रिक्स X की रैंक k के बराबर होनी चाहिए, दोनों परिमित नमूनों में और सीमा के रूप में {{nowrap|''T'' → ∞}} (इस बाद की आवश्यकता का अर्थ है कि अभिव्यक्ति की सीमा में <math style="vertical-align:-.4em">\scriptstyle \frac1TX'\!X</math> एक गैर-डीजेनरेट k × k मैट्रिक्स में परिवर्तित होना चाहिए)। मैट्रिक्स Γ को गैर-पतित भी माना जाता है।
+सबसे पहले, बहिर्जात प्रतिगामी के आव्यूह X की श्रेणी k के बराबर होनी चाहिए, दोनों परिमित प्रतिरूप में और सीमा के रूप में {{nowrap|''T'' → ∞}} है (इस बाद की आवश्यकता का अर्थ है कि अभिव्यक्ति की सीमा में <math style="vertical-align:-.4em">\scriptstyle \frac1TX'\!X</math> एक गैर-अनपभ्रष्ट k × k आव्यूह में परिवर्तित होना चाहिए)। आव्यूह Γ को गैर-पतित भी माना जाता है।
-दूसरे, त्रुटि शर्तों को क्रमिक रूप से [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] माना जाता है। यानी अगर टी<sup>मैट्रिक्स यू की पंक्ति को यू द्वारा निरूपित किया जाता है<sub>(''t'')</sub>, फिर वैक्टर का क्रम {यू<sub>(''t'')</sub>} iid होना चाहिए, शून्य माध्य और कुछ सहप्रसरण मैट्रिक्स Σ (जो अज्ञात है) के साथ। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है {{nowrap|E[''U''] {{=}} 0}}, और {{nowrap|E[''U′U''] {{=}} ''T'' Σ}}.
+अर्थात्, यदि आव्यूह U की tवीं पंक्ति को u(t) द्वारा निरूपित किया जाता है, तो सदिशों {u(t)} का अनुक्रम iid होना चाहिए, शून्य माध्य और कुछ सहप्रसरण आव्यूह Σ के साथ (जो अज्ञात है) होना चाहिए। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि E[''U''] = 0 और E[''U′U''] = ''T'' Σ।
-अंत में, पहचान के लिए मान्यताओं की आवश्यकता होती है।
+अंत में, अभिज्ञान के लिए मान्यताओं की आवश्यकता होती है।
-== पहचान ==
+== अभिज्ञान ==
-पहचान की शर्तों के लिए आवश्यक है कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली अज्ञात मापदंडों के लिए हल करने योग्य हो।
+अभिज्ञान की स्तिथियों के लिए आवश्यक है कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली अज्ञात मापदंडों के लिए हल करने योग्य हो।
-अधिक विशेष रूप से, आदेश की स्थिति, पहचान के लिए एक आवश्यक शर्त, वह है जो प्रत्येक समीकरण के लिए है {{math|''k<sub>i</sub> + n<sub>i</sub> ≤ k''}}, जिसे "बहिष्कृत बहिर्जात चरों की संख्या शामिल अंतर्जात चरों की संख्या के बराबर या अधिक है" के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
+अधिक विशेष रूप से, आदेश की स्थिति, अभिज्ञान के लिए एक आवश्यक स्तिथि, वह है जो प्रत्येक समीकरण के लिए {{math|''k<sub>i</sub> + n<sub>i</sub> ≤ k''}} है, जिसे "बहिष्कृत बहिर्जात चरों की संख्या सम्मिलित अंतर्जात चरों की संख्या के बराबर या अधिक है" के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
-रैंक की स्थिति, एक मजबूत स्थिति जो आवश्यक और पर्याप्त है, वह [[रैंक (रैखिक बीजगणित)]] है {{math|Π<sub>''i''0</sub>}} बराबर है {{math|''n<sub>i</sub>''}}, कहाँ {{math|Π<sub>''i''0</sub>}} एक है {{math|(''k − k<sub>i</sub>'')×''n<sub>i</sub>''}} मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है {{math|''Π''}} उन स्तंभों को पार करके जो बहिष्कृत अंतर्जात चर के अनुरूप हैं, और वे पंक्तियाँ जो शामिल बहिर्जात चर के अनुरूप हैं।
+श्रेणी की स्थिति, एक शक्तिशाली स्थिति जो आवश्यक और पर्याप्त है, वह {{math|Π<sub>''i''0</sub>}} [[रैंक (रैखिक बीजगणित)|श्रेणी (रैखिक बीजगणित)]] {{math|''n<sub>i</sub>''}} के बराबर है, जहां Πi0 एक (k − ki)×ni आव्यूह है जो Π से उन स्तंभों को पार करके प्राप्त किया जाता है जो बहिष्कृत अंतर्जात चर के अनुरूप होते हैं, और वे पंक्तियां जो सम्मिलित बहिर्जात चर के अनुरूप होती हैं।
-=== पहचान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-इक्वेशन प्रतिबंधों का उपयोग ===
+=== अभिज्ञान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग ===
-एक साथ समीकरण मॉडल में, [[पैरामीटर पहचान समस्या]] को प्राप्त करने का सबसे आम तरीका भीतर-समीकरण पैरामीटर प्रतिबंधों को लागू करना है।<ref name= "Woolridge">Wooldridge, J.M., Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, MIT Press, Cambridge, Mass.</ref> फिर भी, क्रॉस इक्वेशन प्रतिबंधों का उपयोग करके पहचान भी संभव है।
+समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप में, [[पैरामीटर पहचान समस्या|मापदण्ड अभिज्ञान समस्या]] को प्राप्त करने का सबसे सामान्य तरीका भीतर-समीकरण मापदण्ड प्रतिबंधों को लागू करना है। <ref name= "Woolridge">Wooldridge, J.M., Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, MIT Press, Cambridge, Mass.</ref> फिर भी, क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग करके अभिज्ञान भी संभव है।
-पहचान के लिए क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, यह समझाने के लिए, वूल्ड्रिज से निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें<ref name= "Woolridge" />
+अभिज्ञान के लिए क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, यह समझाने के लिए, वूल्ड्रिज से निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें <ref name= "Woolridge" />
 :<math>\begin{align}
@@ Line 49: / Line 51: @@
 y_2 &= \gamma_{21} y_1 + \delta_{21} z_1 + \delta_{22} z_2 + u_2
 \end{align}</math>
-जहाँ z, u के साथ असंबद्ध हैं और y [[अंतर्जात चर]] चर हैं। आगे के प्रतिबंधों के बिना, पहले समीकरण की पहचान नहीं की जा सकती क्योंकि कोई बहिष्कृत चर नहीं है। दूसरे समीकरण की पहचान सिर्फ अगर की जाती है {{math|''δ''<sub>13</sub>≠0}}, जिसे शेष चर्चा के लिए सत्य माना जाता है।
+जहाँ z, u के साथ असंबद्ध हैं और y [[अंतर्जात चर]] हैं। आगे के प्रतिबंधों के बिना, पहले समीकरण की अभिज्ञान नहीं की जा सकती क्योंकि कोई बहिष्कृत चर नहीं है। दूसरे समीकरण {{math|''δ''<sub>13</sub>≠0}} की अभिज्ञान सिर्फ अगर की जाती है, जिसे शेष चर्चा के लिए सत्य माना जाता है।
-अब हम का क्रॉस समीकरण प्रतिबंध लगाते हैं {{math|''δ''<sub>12</sub>{{=}}''δ''<sub>22</sub>}}. चूंकि दूसरे समीकरण की पहचान की गई है, हम इलाज कर सकते हैं {{math|''δ''<sub>12</sub>}} जैसा कि पहचान के उद्देश्य से जाना जाता है। तो, पहला समीकरण बन जाता है:
+अब हम {{math|''δ''<sub>12</sub>{{=}}''δ''<sub>22</sub>}} का क्रॉस समीकरण प्रतिबंध लगाते हैं। चूंकि दूसरे समीकरण की अभिज्ञान की गई है, अभिज्ञान के उद्देश्य से हम {{math|''δ''<sub>12</sub>}} को ज्ञात मान सकते हैं। तो, पहला समीकरण निम्न बन जाता है:
 :<math>y_1 - \delta_{12} z_2 = \gamma_{12} y_2 + \delta_{11} z_1 + \delta_{13} z_3 + u_1</math>
-तब हम उपयोग कर सकते हैं {{math|(''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>, ''z''<sub>3</sub>)}} उपरोक्त समीकरण में गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए सहायक चर के रूप में क्योंकि एक अंतर्जात चर हैं ({{math|''y''<sub>2</sub>}}) और एक अपवर्जित बहिर्जात चर ({{math|''z''<sub>2</sub>}}) दाहिने हाथ की ओर। इसलिए, भीतर-समीकरण प्रतिबंधों के स्थान पर क्रॉस समीकरण प्रतिबंध पहचान प्राप्त कर सकते हैं।
+तब हम {{math|(''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>, ''z''<sub>3</sub>)}} उपयोग कर सकते हैं, उपरोक्त समीकरण में गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए सहायक चर के रूप में क्योंकि एक अंतर्जात चर ({{math|''y''<sub>2</sub>}}) हैं और एक अपवर्जित बहिर्जात चर ({{math|''z''<sub>2</sub>}}) दाहिने हाथ की ओर है। इसलिए, भीतर-समीकरण प्रतिबंधों के स्थान पर क्रॉस समीकरण प्रतिबंध अभिज्ञान प्राप्त कर सकते हैं।
 == अनुमान ==
-=== दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2SLS) ===
+=== दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2एसएलएस) ===
-एक साथ समीकरण मॉडल के लिए सबसे सरल और सबसे आम अनुमान विधि तथाकथित दो-चरण कम से कम वर्ग विधि है,<ref name="Greene 2003 loc=p. 399">{{cite book
+एक साथ समीकरण मॉडल के लिए सबसे सरल और सबसे आम अनुमान विधि तथाकथित दो-चरण कम से कम वर्ग विधि है, <ref name="Greene 2003 loc=p. 399">{{cite book
    | last = Greene | first = William H.
    | title = Econometric analysis
@@ Line 66: / Line 68: @@
    | isbn = 0-13-066189-9
    | pages = 398–99
-   }}</ref> द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया {{harvtxt|Theil|1953}} और {{harvtxt|Basmann|1957}}.<ref>{{cite journal
+   }}</ref> थिइल (1953) और बासमैन (1957) द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित की गई। <ref>{{cite journal
    | last = Basmann | first = R. L. |author-link=Robert Basmann
    | title = A generalized classical method of linear estimation of coefficients in a structural equation
@@ Line 81: / Line 83: @@
    | publisher = John Wiley
    | location = New York
-   }}</ref> यह एक समीकरण-दर-समीकरण तकनीक है, जहां प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर के अंतर्जात प्रतिगामी को अन्य सभी समीकरणों से प्रतिगामी X के साथ यंत्रीकृत किया जा रहा है। विधि को "दो-चरण" कहा जाता है क्योंकि यह दो चरणों में अनुमान लगाती है:<ref name="Greene 2003 loc=p. 399" />: चरण 1: प्रतिगमन वाई<sub>−i</sub>X पर और अनुमानित मान प्राप्त करें <math style="vertical-align:-.2em">\scriptstyle\hat{Y}_{\!-i}</math>;
+   }}</ref> यह एक समीकरण-दर-समीकरण तकनीक है, जहां प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर के अंतर्जात प्रतिगामी को अन्य सभी समीकरणों से प्रतिगामी X के साथ यंत्रीकृत किया जा रहा है। विधि को "दो-चरण" कहा जाता है क्योंकि यह दो चरणों में अनुमान लगाती है:<ref name="Greene 2003 loc=p. 399" />
-: चरण 2: अनुमान सी<sub>i</sub>, बी<sub>i</sub>y के सामान्य न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन द्वारा<sub>i</sub>पर <math style="vertical-align:-.2em">\scriptstyle\hat{Y}_{\!-i}</math> और एक्स<sub>i</sub>.
+चरण 1: X पर Y<sub>−i</sub> को पुनः प्राप्त करें और अनुमानित मान <math style="vertical-align:-.2em">\scriptstyle\hat{Y}_{\!-i}</math> प्राप्त करें ;
+: चरण 2: <math style="vertical-align:-.2em">\scriptstyle\hat{Y}_{\!-i}</math> और X<sub>i</sub> पर y<sub>i</sub> के सामान्य न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन द्वारा γ<sub>i</sub>, β<sub>i</sub> का अनुमान लगाएं।
-अगर मैं<sup>वें</sup> मॉडल में समीकरण के रूप में लिखा गया है
+अगर i<sup>वें</sup> प्रतिरूप में समीकरण के रूप में लिखा गया है
 : <math>
      y_i = \begin{pmatrix}Y_{-i} & X_i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_i\\\beta_i\end{pmatrix} + u_i
          \equiv Z_i \delta_i + u_i,
    </math>
-जहां जेड<sub>i</sub>एक टी × (एन<sub>i</sub> + के<sub>i</sub>) i में अंतर्जात और बहिर्जात दोनों प्रतिगमन का मैट्रिक्स<sup>वें </सुप> समीकरण, और δ<sub>i</sub>एक है (एन<sub>i</sub> + के<sub>i</sub>)-प्रतिगमन गुणांक के आयामी वेक्टर, फिर δ के 2SLS अनुमानक<sub>i</sub>द्वारा दिया जाएगा<ref name="Greene 2003 loc=p. 399"/>: <math>
+जहाँ Zi एक T×(ni + ki) आव्यूह है जो ith समीकरण में अंतर्जात और बहिर्जात दोनों प्रतिगमनकर्ताओं का है, और δi प्रतिगमन गुणांकों का एक (ni + ki)-आयामी सदिश है, तो δi का 2एसएलएस अनुमानक दिया जाएगा <sup><ref name="Greene 2003 loc=p. 399" />: <blockquote><sup><math>
      \hat\delta_i = \big(\hat{Z}'_i\hat{Z}_i\big)^{-1}\hat{Z}'_i y_i
                   = \big( Z'_iPZ_i \big)^{-1} Z'_iPy_i,
-   </math>
+   </math></blockquote>जहां P = X '(X 'X)−1X ′ बहिर्जात प्रतिगामी X द्वारा फैलाए गए रैखिक स्थान पर प्रक्षेपण आव्यूह है।
-कहाँ {{nowrap|''P'' {{=}} ''X'' (''X'' ′''X'')<sup>−1</sup>''X'' ′}} बहिर्जात रजिस्टरों X द्वारा फैलाए गए रैखिक स्थान पर प्रोजेक्शन मैट्रिक्स है।
 === अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग ===
-अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग [[अर्थमिति]] में एक दृष्टिकोण है जहां एक साथ समीकरण मॉडल में गुणांक सामान्य कम से कम वर्गों का उपयोग करके कम फॉर्म मॉडल से अनुमान लगाया जाता है।<ref>Park, S-B. (1974) "On Indirect Least Squares Estimation of a Simultaneous Equation System", ''The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique'', 2 (1), 75–82 {{JSTOR|3314964}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Vajda | first1 = S. | last2 = Valko | first2 = P. | last3 = Godfrey | first3 = K.R. | year = 1987 | title = निरंतर-समय पैरामीटर अनुमान में प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग विधियाँ| journal = Automatica | volume = 23 | issue = 6| pages = 707–718 | doi = 10.1016/0005-1098(87)90027-6 }}</ref> इसके लिए, समीकरणों की संरचनात्मक प्रणाली को पहले कम रूप में परिवर्तित किया जाता है। एक बार गुणांकों का अनुमान लगाने के बाद मॉडल को संरचनात्मक रूप में वापस रखा जाता है।
+अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग [[अर्थमिति]] में एक दृष्टिकोण है जहां समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप में गुणांक सामान्य कम से कम वर्गों का उपयोग करके कम फॉर्म प्रतिरूप से अनुमान लगाया जाता है।<ref>Park, S-B. (1974) "On Indirect Least Squares Estimation of a Simultaneous Equation System", ''The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique'', 2 (1), 75–82 {{JSTOR|3314964}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Vajda | first1 = S. | last2 = Valko | first2 = P. | last3 = Godfrey | first3 = K.R. | year = 1987 | title = निरंतर-समय पैरामीटर अनुमान में प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग विधियाँ| journal = Automatica | volume = 23 | issue = 6| pages = 707–718 | doi = 10.1016/0005-1098(87)90027-6 }}</ref> इसके लिए, समीकरणों की संरचनात्मक प्रणाली को पहले कम रूप में परिवर्तित किया जाता है। एक बार गुणांकों का अनुमान लगाने के बाद प्रतिरूप को संरचनात्मक रूप में वापस रखा जाता है।
 === सीमित जानकारी अधिकतम संभावना (LIML) ===
-"सीमित जानकारी" अधिकतम संभावना विधि का सुझाव दिया गया था मेयर ए। गिरशिक|एम। 1947 में ए गिरशिक,<ref>First application by {{cite journal |first=M. A. |last=Girshick |first2=Trygve |last2=Haavelmo |title=Statistical Analysis of the Demand for Food: Examples of Simultaneous Estimation of Structural Equations |journal=[[Econometrica]] |volume=15 |issue=2 |year=1947 |pages=79–110 |doi= 10.2307/1907066|jstor=1907066 }}</ref> और थियोडोर विल्बर एंडरसन|टी द्वारा औपचारिक रूप दिया गया। डब्ल्यू. एंडरसन और हरमन रुबिन|एच. 1949 में रुबिन।<ref>{{cite journal
+"सीमित जानकारी" अधिकतम संभावना पद्धति का सुझाव 1947 में एम. ए. गिरशिक ने दिया था, <ref>First application by {{cite journal |first=M. A. |last=Girshick |first2=Trygve |last2=Haavelmo |title=Statistical Analysis of the Demand for Food: Examples of Simultaneous Estimation of Structural Equations |journal=[[Econometrica]] |volume=15 |issue=2 |year=1947 |pages=79–110 |doi= 10.2307/1907066|jstor=1907066 }}</ref> और 1949 में टी. डब्ल्यू. एंडरसन और एच. रुबिन द्वारा औपचारिक रूप दिया गया। <ref>{{cite journal
    | last1 = Anderson | first1 = T.W.
    | last2 = Rubin    | first2 = H.
@@ Line 110: / Line 113: @@
    | doi=10.1214/aoms/1177730090
    | doi-access = free
-   }}</ref> इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोई एक समय में एक एकल संरचनात्मक समीकरण का अनुमान लगाने में रुचि रखता है (इसलिए सीमित जानकारी का नाम), अवलोकन के लिए कहें i:
+   }}</ref> इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोई एक समय में एक ही संरचनात्मक समीकरण का अनुमान लगाने में रुचि रखता है (इसलिए इसका नाम सीमित जानकारी है), अवलोकन i के लिए निम्नलिखित है :
 : <math>   y_i = Y_{-i}\gamma_i  +X_i\beta_i+ u_i \equiv Z_i \delta_i + u_i  </math>
-शेष अंतर्जात चर Y के लिए संरचनात्मक समीकरण<sub>−i</sub> निर्दिष्ट नहीं हैं, और उन्हें उनके संक्षिप्त रूप में दिया गया है:
+शेष अंतर्जात चर Y<sub>−i</sub> के लिए संरचनात्मक समीकरण निर्दिष्ट नहीं हैं, और उन्हें उनके संक्षिप्त रूप में दिया गया है:
 : <math>   Y_{-i} = X \Pi + U_{-i} </math>
-इस संदर्भ में संकेतन साधारण वाद्य चर के मामले से अलग है। किसी के पास:
+इस संदर्भ में संकेतन साधारण वाद्य चर की स्तिथि से अलग है। किसी के पास:
 * <math>Y_{-i}</math>: अंतर्जात चर।
 * <math>X_{-i}</math>: बहिर्जात चर (ओं)
-* <math>X</math>: उपकरण (है) (अक्सर निरूपित <math>Z</math>)
+* <math>X</math>: उपकरण (प्रायः निरूपित <math>Z</math>)
-एलआईएमएल के लिए स्पष्ट सूत्र है:<ref>{{cite book
+एलआईएमएल के लिए निम्न स्पष्ट सूत्र है:<ref>{{cite book
    | last = Amemiya
    | first = Takeshi
@@ Line 135: / Line 138: @@
      \hat\delta_i = \Big(Z'_i(I-\lambda M)Z_i\Big)^{\!-1}Z'_i(I-\lambda M)y_i,
    </math>
-कहाँ {{nowrap|''M'' {{=}} ''I − X'' (''X'' ′''X'')<sup>−1</sup>''X'' ′}}, और λ मैट्रिक्स की सबसे छोटी विशेषता जड़ है:
+जहाँ {{nowrap|''M'' {{=}} ''I − X'' (''X'' ′''X'')<sup>−1</sup>''X'' ′}}, और λ आव्यूह की सबसे छोटी विशेषता जड़ है:
 : <math>
      \Big(\begin{bmatrix}y_i\\Y_{-i}\end{bmatrix} M_i \begin{bmatrix}y_i&Y_{-i}\end{bmatrix} \Big)
@@ Line 142: / Line 145: @@
 जहां, इसी तरह,  {{nowrap|''M<sub>i</sub>'' {{=}} ''I − X<sub>i</sub>'' (''X<sub>i</sub>''′''X<sub>i</sub>'')<sup>−1</sup>''X<sub>i</sub>''′}}.
-दूसरे शब्दों में, λ सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या का सबसे छोटा समाधान है#सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या, देखें {{harvtxt|Theil|1971|loc=p. 503}}:
+दूसरे शब्दों में, λ सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या का सबसे छोटा समाधान है, देखें {{harvtxt|थिल|1971|loc=p. 503}}:
 : <math>
@@ Line 150: / Line 153: @@
-==== के वर्ग के अनुमानक ====
+==== K वर्ग के अनुमानक ====
-एलआईएमएल के-श्रेणी के अनुमानकर्ताओं का एक विशेष मामला है:<ref name="DavidsonMacKinnon649">{{cite book
+एलआईएमएल K-श्रेणी के अनुमानकर्ताओं की एक विशेष स्तिथि है:<ref name="DavidsonMacKinnon649">{{cite book
    | last1 = Davidson | first1 = Russell
    | last2 = MacKinnon | first2 = James G.
@@ Line 168: / Line 171: @@
 कई अनुमानक इस वर्ग के हैं:
 * κ=0: सामान्य न्यूनतम वर्ग
-* κ=1: 2SLS। वास्तव में ध्यान दें कि इस मामले में, <math> I-\kappa M = I-M= P </math> 2SLS का सामान्य प्रोजेक्शन मैट्रिक्स
+* κ=1: 2एसएलएस। वास्तव में ध्यान दें कि इस स्तिथि में, <math> I-\kappa M = I-M= P </math> 2एसएलएस का सामान्य प्रक्षेप आव्यूह
-* के = एल: एलआईएमएल
+* κ=λ: एलआईएमएल
-* κ=λ - α (एन-के): {{harvtxt|Fuller|1977}} अनुमानक।<ref>{{cite journal
+* κ=λ - α (n-K): {{harvtxt|फुलर|1977}} अनुमानक।<ref>{{cite journal
    | last = Fuller | first = Wayne |author-link=Wayne Fuller
    | title = Some Properties of a Modification of the Limited Information Estimator
@@ Line 178: / Line 181: @@
    | pages = 939–953
    | doi=10.2307/1912683
-   | jstor = 1912683 }}</ref> यहाँ K उपकरणों की संख्या, n नमूना आकार, और α निर्दिष्ट करने के लिए एक सकारात्मक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है। α = 1 का मान एक अनुमानक उत्पन्न करेगा जो लगभग निष्पक्ष है।<ref name="DavidsonMacKinnon649" />
+   | jstor = 1912683 }}</ref> यहाँ K उपकरणों की संख्या, n प्रतिरूप आकार, और α निर्दिष्ट करने के लिए एक सकारात्मक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है। α = 1 का मान एक अनुमानक उत्पन्न करेगा जो लगभग निष्पक्ष है।<ref name="DavidsonMacKinnon649" />
-=== तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3SLS) ===
+=== तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3एसएलएस) ===
-तीन-चरण न्यूनतम वर्ग अनुमानक किसके द्वारा पेश किया गया था {{harvtxt|Zellner|Theil|1962}}.<ref>{{cite journal
+तीन-चरण न्यूनतम वर्ग अनुमानक {{harvtxt|ज़ेलनर|थिल|1962}} के द्वारा प्रस्तुत किया गया था। <ref>{{cite journal
    | last1 = Zellner | first1 = Arnold |author-link1=Arnold Zellner
    | last2 = Theil   | first2 = Henri |author-link2=Henri Theil
@@ Line 192: / Line 195: @@
    | jstor = 1911287
    | doi=10.2307/1911287
-   }}</ref><ref>{{cite book |first=Jan |last=Kmenta |chapter=System Methods of Estimation |title=अर्थमिति के तत्व|location=New York |publisher=Macmillan |edition=Second |year=1986 |pages=695–701 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=Bxq7AAAAIAAJ&pg=PA695 }}</ref> इसे क्षणों के बहु-समीकरण सामान्यीकृत विधि के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है जहां वाद्य चर का सेट सभी समीकरणों के लिए सामान्य है।<ref>{{cite book |first=Fumio |last=Hayashi |chapter=Multiple-Equation GMM |title=अर्थमिति|publisher=Princeton University Press |year=2000 |pages=276–279 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=QyIW8WUIyzcC&pg=PA276 }}</ref> यदि सभी प्रतिगामी वास्तव में पूर्व निर्धारित हैं, तो 3SLS प्रतीत होता है कि असंबंधित प्रतिगमन (SUR) को कम कर देता है। इस प्रकार इसे SUR के साथ [[2SLS]] | टू-स्टेज लीस्ट स्क्वेयर (2SLS) के संयोजन के रूप में भी देखा जा सकता है।
+   }}</ref><ref>{{cite book |first=Jan |last=Kmenta |chapter=System Methods of Estimation |title=अर्थमिति के तत्व|location=New York |publisher=Macmillan |edition=Second |year=1986 |pages=695–701 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=Bxq7AAAAIAAJ&pg=PA695 }}</ref> इसे क्षणों के बहु-समीकरण सामान्यीकृत विधि की एक विशेष स्तिथि के रूप में देखा जा सकता है जहां वाद्य चर का सम्मुच्चय सभी समीकरणों के लिए सामान्य है। <ref>{{cite book |first=Fumio |last=Hayashi |chapter=Multiple-Equation GMM |title=अर्थमिति|publisher=Princeton University Press |year=2000 |pages=276–279 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=QyIW8WUIyzcC&pg=PA276 }}</ref> यदि सभी प्रतिगामी वास्तव में पूर्व निर्धारित हैं, तो 3एसएलएस प्रतीत होता है कि असंबंधित प्रतिगमन (एसयूआर) को कम कर देता है। इस प्रकार इसे एसयूआर के साथ टू-स्टेज लीस्ट स्क्वेयर (2एसएलएस) के संयोजन के रूप में भी देखा जा सकता है।
 == सामाजिक विज्ञान में अनुप्रयोग ==
-विभिन्न क्षेत्रों और विषयों में एक साथ समीकरण मॉडल विभिन्न अवलोकन संबंधी घटनाओं पर लागू होते हैं। इन समीकरणों को तब लागू किया जाता है जब घटनाओं को पारस्परिक रूप से कारण मान लिया जाता है। क्लासिक उदाहरण अर्थशास्त्र में आपूर्ति और मांग है। अन्य विषयों में उम्मीदवार के मूल्यांकन और पार्टी की पहचान जैसे उदाहरण हैं<ref>{{Cite journal|last=Page|first=Benjamin I.|last2=Jones|first2=Calvin C.|date=1979-12-01|title=नीतिगत प्राथमिकताओं, पार्टी की वफादारी और वोट के पारस्परिक प्रभाव|journal=American Political Science Review|volume=73|issue=4|pages=1071–1089|doi=10.2307/1953990|issn=0003-0554|jstor=1953990}}</ref> या [[राजनीति विज्ञान]] में जनमत और सामाजिक नीति;<ref>{{Cite journal|last=Wlezien|first=Christopher|date=1995-01-01|title=The Public as Thermostat: Dynamics of Preferences for Spending|jstor=2111666|journal=American Journal of Political Science|volume=39|issue=4|pages=981–1000|doi=10.2307/2111666}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Breznau|first=Nate|date=2016-07-01|title=Positive Returns and Equilibrium: Simultaneous Feedback Between Public Opinion and Social Policy|journal=Policy Studies Journal|volume=45|issue=4|language=en|pages=583–612|doi=10.1111/psj.12171|issn=1541-0072|url=http://osf.io/wt376/}}</ref> भूगोल में सड़क निवेश और यात्रा की मांग;<ref>{{Cite journal|last=Xie|first=F.|last2=Levinson|first2=D.|date=2010-05-01|title=How streetcars shaped suburbanization: a Granger causality analysis of land use and transit in the Twin Cities|journal=Journal of Economic Geography|volume=10|issue=3|pages=453–470|doi=10.1093/jeg/lbp031|issn=1468-2702|hdl=11299/179996|hdl-access=free}}</ref> और शैक्षिक प्राप्ति और समाजशास्त्र या [[जनसांख्यिकी]] में पितृत्व प्रवेश।<ref>{{Cite journal|last=Marini|first=Margaret Mooney|date=1984-01-01|title=महिलाओं की शैक्षिक प्राप्ति और पितृत्व में प्रवेश का समय|jstor=2095464|journal=American Sociological Review|volume=49|issue=4|pages=491–511|doi=10.2307/2095464}}</ref> एक साथ समीकरण मॉडल के लिए पारस्परिक कार्य-कारण के सिद्धांत की आवश्यकता होती है जिसमें विशेष विशेषताएं शामिल होती हैं यदि एक समीकरण के एकतरफा 'ब्लॉक' के विपरीत एक साथ प्रतिक्रिया के रूप में कारण प्रभाव का अनुमान लगाया जाता है जहां एक शोधकर्ता वाई पर एक्स के कारण प्रभाव में रुचि रखता है। एक्स पर वाई के कारण प्रभाव को स्थिर रखते हुए, या जब शोधकर्ता प्रत्येक कारण प्रभाव के होने में लगने वाले समय की सटीक मात्रा को जानता है, यानी कारण की लंबाई कम हो जाती है। लैग्ड प्रभावों के बजाय, एक साथ प्रतिक्रिया का अर्थ है एक दूसरे पर X और Y के एक साथ और स्थायी प्रभाव का अनुमान लगाना। इसके लिए एक सिद्धांत की आवश्यकता होती है कि कारणात्मक प्रभाव समय के साथ-साथ होते हैं, या इतने जटिल होते हैं कि वे एक साथ व्यवहार करते दिखाई देते हैं; एक सामान्य उदाहरण रूममेट्स की मनोदशा है।<ref>{{Cite journal|last=Wong|first=Chi-Sum|last2=Law|first2=Kenneth S.|date=1999-01-01|title=क्रॉस-सेक्शनल डेटा का उपयोग करके गैर-संरचनात्मक समीकरण मॉडल द्वारा पारस्परिक संबंधों का परीक्षण|journal=Organizational Research Methods|language=en|volume=2|issue=1|pages=69–87|doi=10.1177/109442819921005|issn=1094-4281}}</ref> एक साथ प्रतिक्रिया मॉडल का अनुमान लगाने के लिए संतुलन का एक सिद्धांत भी आवश्यक है - कि X और Y अपेक्षाकृत स्थिर अवस्था में हैं या एक प्रणाली (समाज, बाजार, कक्षा) का हिस्सा हैं जो अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में है।<ref>2013. “Reverse Arrow Dynamics: Feedback Loops and Formative Measurement.” In ''Structural Equation Modeling: A Second Course'', edited by [[Gregory R. Hancock]] and Ralph O. Mueller, 2nd ed., 41–79. Charlotte, NC: Information Age Publishing</ref>
+विभिन्न क्षेत्रों और विषयों में समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप विभिन्न अवलोकन संबंधी घटनाओं पर लागू होते हैं। इन समीकरणों को तब लागू किया जाता है जब घटनाओं को पारस्परिक रूप से कारण मान लिया जाता है। उत्कृष्ट उदाहरण अर्थशास्त्र में आपूर्ति और मांग है। अन्य विषयों में उम्मीदवार के मूल्यांकन और दल की अभिज्ञान जैसे उदाहरण हैं <ref>{{Cite journal|last=Page|first=Benjamin I.|last2=Jones|first2=Calvin C.|date=1979-12-01|title=नीतिगत प्राथमिकताओं, पार्टी की वफादारी और वोट के पारस्परिक प्रभाव|journal=American Political Science Review|volume=73|issue=4|pages=1071–1089|doi=10.2307/1953990|issn=0003-0554|jstor=1953990}}</ref> या [[राजनीति विज्ञान]] में जनमत और सामाजिक नीति उदाहरण हैं; <ref>{{Cite journal|last=Wlezien|first=Christopher|date=1995-01-01|title=The Public as Thermostat: Dynamics of Preferences for Spending|jstor=2111666|journal=American Journal of Political Science|volume=39|issue=4|pages=981–1000|doi=10.2307/2111666}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Breznau|first=Nate|date=2016-07-01|title=Positive Returns and Equilibrium: Simultaneous Feedback Between Public Opinion and Social Policy|journal=Policy Studies Journal|volume=45|issue=4|language=en|pages=583–612|doi=10.1111/psj.12171|issn=1541-0072|url=http://osf.io/wt376/}}</ref> भूगोल में सड़क निवेश और यात्रा की मांग; <ref>{{Cite journal|last=Xie|first=F.|last2=Levinson|first2=D.|date=2010-05-01|title=How streetcars shaped suburbanization: a Granger causality analysis of land use and transit in the Twin Cities|journal=Journal of Economic Geography|volume=10|issue=3|pages=453–470|doi=10.1093/jeg/lbp031|issn=1468-2702|hdl=11299/179996|hdl-access=free}}</ref> और शैक्षिक प्राप्ति और समाजशास्त्र या [[जनसांख्यिकी]] में पितृत्व प्रवेश। <ref>{{Cite journal|last=Marini|first=Margaret Mooney|date=1984-01-01|title=महिलाओं की शैक्षिक प्राप्ति और पितृत्व में प्रवेश का समय|jstor=2095464|journal=American Sociological Review|volume=49|issue=4|pages=491–511|doi=10.2307/2095464}}</ref> समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप के लिए पारस्परिक कार्य-कारण के सिद्धांत की आवश्यकता होती है जिसमें विशेष विशेषताएं सम्मिलित होती हैं यदि एक समीकरण के एकतरफा 'खण्ड' के विपरीत एक साथ प्रतिक्रिया के रूप में कारण प्रभाव का अनुमान लगाया जाता है जहां एक शोधकर्ता Y पर X के कारण प्रभाव में रुचि रखता है। X पर Y के कारण प्रभाव को स्थिर रखते हुए, या जब शोधकर्ता प्रत्येक कारण प्रभाव के होने में लगने वाले समय की सटीक मात्रा को जानता है, यानी कारण की लंबाई कम हो जाती है। लैग्ड प्रभावों के स्थान पर, एक साथ प्रतिक्रिया का अर्थ है एक दूसरे पर X और Y के एक साथ और स्थायी प्रभाव का अनुमान लगाना सम्मिलित है। इसके लिए एक सिद्धांत की आवश्यकता होती है कि कारणात्मक प्रभाव समय के साथ-साथ होते हैं, या इतने जटिल होते हैं कि वे एक साथ व्यवहार करते दिखाई देते हैं; एक सामान्य उदाहरण रूममेट्स की मनोदशा है।<ref>{{Cite journal|last=Wong|first=Chi-Sum|last2=Law|first2=Kenneth S.|date=1999-01-01|title=क्रॉस-सेक्शनल डेटा का उपयोग करके गैर-संरचनात्मक समीकरण मॉडल द्वारा पारस्परिक संबंधों का परीक्षण|journal=Organizational Research Methods|language=en|volume=2|issue=1|pages=69–87|doi=10.1177/109442819921005|issn=1094-4281}}</ref> एक साथ प्रतिक्रिया प्रतिरूप का अनुमान लगाने के लिए संतुलन का एक सिद्धांत भी आवश्यक है - कि X और Y अपेक्षाकृत स्थिर अवस्था में हैं या एक प्रणाली (समाज, बाजार, कक्षा) का हिस्सा हैं जो अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में है।<ref>2013. “Reverse Arrow Dynamics: Feedback Loops and Formative Measurement.” In ''Structural Equation Modeling: A Second Course'', edited by [[Gregory R. Hancock]] and Ralph O. Mueller, 2nd ed., 41–79. Charlotte, NC: Information Age Publishing</ref>
 == यह भी देखें ==
-* सामान्य रैखिक मॉडल
+* सामान्य रैखिक प्रतिरूप
 * प्रतीत होता है असंबंधित प्रतिगमन
 * घटा हुआ रूप
-* पैरामीटर पहचान समस्या
+* मापदण्ड अभिज्ञान समस्या
 == संदर्भ ==

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Contents

संरचनात्मक और घटा हुआ रूप

कल्पना

अभिज्ञान

अभिज्ञान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग

अनुमान

दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2एसएलएस)

अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग

सीमित जानकारी अधिकतम संभावना (LIML)

K वर्ग के अनुमानक

तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3एसएलएस)

सामाजिक विज्ञान में अनुप्रयोग

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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समक्षणिक समीकरण प्रतिरूप: Difference between revisions

Revision as of 14:17, 28 May 2023

संरचनात्मक और घटा हुआ रूप

कल्पना

अभिज्ञान

अभिज्ञान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग

अनुमान

दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2एसएलएस)

अप्रत्यक्ष कम से कम वर्ग

सीमित जानकारी अधिकतम संभावना (LIML)

K वर्ग के अनुमानक

तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3एसएलएस)

सामाजिक विज्ञान में अनुप्रयोग

यह भी देखें

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अग्रिम पठन

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