ट्री (ग्राफ सिद्धांत)

Trees
A labeled tree with 6 vertices and 5 edges.
Vertices	v
Edges	v − 1
Chromatic number	2 if v > 1
Table of graphs and parameters

आरेख सिद्धांत में, ट्री एक ऐसा अनुक्रमित आरेख होता है जिसमें किसी भी दो शीर्ष को एक ही पथ से युग्मित कियाजाता है, या समरूपतः एक जुड़ा हुआ निर्दिष्टित अनिर्देशित आरेख होता है।एक वन एक ऐसा अनुक्रमित आरेख होता है जिसमें किसी भी दो शीर्ष को अधिकतम एक ही पथ से युग्मित किया जाता है, या समरूपतः एक अचक्रीय निर्देशित आरेख होता है, या समरूपतः ट्री के वियोगीय संघ का एकीकृत संयोजन होता है।

एक पॉलीट्री (या निर्देशित ट्री, या अभिविन्यासित ट्री, या एकलत्रिंशक नेटवर्क) एक ऐसा निर्देशित अक्रांत आरेख (डीएजी ) होता है, जिसका अंतर्निहित अनिर्देशित आरेख एक ट्री होता है एक पॉली वन (या निर्देशित वन या अभिविन्यासित वन) एक ऐसा निर्देशित अक्रांत आरेख होता है, जिसका अंतर्निहित अनिर्देशित आरेख एक वन होता है।

कम्प्यूटर विज्ञान में ट्री के रूप में उल्लिखित विभिन्न प्रकार के डेटा संरचनाएं आरेख सिद्धांत में ट्री होते हैं, यद्यपि ऐसी डेटा संरचनाएं सामान्यतः रूटड ट्री होती हैं। रूटेड ट्री निर्देशित भी हो सकता है, जिसे निर्देशित रूटेड ट्री कहा जाता है। इसमें सभी संबंध जड़ को जड़ से दूर दिखाते हैं - जिसे इस स्थिति में वृक्षता या आउट-ट्री कहा जाता है -कुछ लेखकों ने रूटेड ट्री को स्वयं निर्देशित आरेख के रूप में परिभाषित किया है।

रूटेड वन एक रूटेड ट्री के असंयोजित संघ है। रूटेड वन निर्देशित भी हो सकता है, जिसे निर्देशित रूटेड वन कहा जाता है। यदि प्रत्येक रूटेड ट्री में सभी संबंध जड़ को जड़ से दूर दिखाते हैं, तो उसे एक ब्रांचिंग या आउट-वन कहा जाता है। यदि प्रत्येक रूटेड ट्री में सभी संबंध जड़ को जड़ की ओर संकेत करते हैं, तो उसे एक एंटी-ब्रांचिंग या इन-वन कहा जाता है।

ट्री शब्द का उल्लेख पहली बार 1857 में ब्रिटिश गणितीय आर्थर केली ने किया था।

परिभाषाएँ

ट्री

एक ट्री एक अप्रत्यक्ष आरेख G है,जो निम्न समकक्ष स्थितियों में से किसी एक को पूरा करता है:

• G जुड़ा हुआ और वह अचक्रीय होता है (कोई चक्र नहीं होता)।
• G चक्रीय है, और यदि कोई शीर्ष G में युग्मित किया जाता है तो एक सरल चक्र बनता है।
• G जुड़ा हुआ है, परंतु यदि G से किसी एक शीर्ष को हटा दिया जाए तो यह असंगत हो जाएगा।
• G जुड़ा हुआ है और 3-शीर्ष पूर्ण आरेख K3 G का लघु नहीं है।
• G में किन्हीं भी दो शीर्षों को एक अद्वितीय सरल पथ से युग्मित किया जा सकता है।

यदि G के बहुत से शीर्ष हैं, उनमें से n मान लीजिए,तो उपरोक्त कथन निम्न में से किसी भी स्थिति के समतुल्य हैं:

• G जुड़ा हुआ है और है n − 1 शीर्ष है।
• G जुड़ा हुआ है, और हर उपआरेख का G शून्य या एक घटना शीर्षों के साथ कम से कम एक शीर्ष सम्मिलित है।
• G का कोई सरल चक्र नहीं है और इसमें n − 1 शीर्ष है।

आरेख सिद्धांत में कहीं और के रूप में, क्रम-शून्य आरेख को सामान्यतः एक ट्री नहीं माना जाता है,जबकि यह रिक्त रूप से एक आरेख के रूप में जुड़ा हुआ है, बीजगणितीय टोपोलॉजी में यह 0-सम्बद्ध ​​नहीं है,अरिक्‍त पंक्‍ति ट्री के विपरीत, और "शीर्षों के सापेक्ष में एक और शीर्ष" संबंध का उल्लंघन करता है। यद्यपि, इसे शून्य ट्री वाला वन माना जा सकता है।,

एक आंतरिक शीर्ष् कम से कम 2 के डिग्री वाला शीर्ष् होता है। इसी तरह, बाहरी शीर्ष् उस शीर्ष् को कहते हैं जिसका डिग्री 1 हो, एक ट्री में एक शाखा शीर्ष उस शीर्ष को कहा जाता है जिसका डिग्री कम से कम 3 हो।

वन

एक वन एक अभिमुखित आरेख है जिसमें किसी भी दो संकेतस्थलों को अधिकतम एक पथ द्वारा जोड़ा जा सकता है। समतुल्य रूप से,, वन एक अभिमुखित अचक्र आरेख होता है, जिसमें सभी जुड़े हुए घटक ट्री होते हैं; अन्य शब्दों में,आरेख एक ट्री के असंयोजित संघ का बना होता है। विशेष स्थिति के रूप में, शून्य क्रम वाला आरेख एकल ट्री, और एजलेस आरेख, वन के उदाहरण हैं। प्रत्येक ट्री के लिए V - E = 1 होने के कारण, हम वन के अंदर उपस्थित ट्री की संख्या का आसानी से गणना कर सकते हैं, कुल संकेतस्थलों और कुल संकेतों के बीच अंतर को घटा करके। TV - TE = वन में ट्री की संख्या होती है।

पॉलीट्री

पॉलीट्री या निर्देशित ट्री या अभिमुखी ट्री या एकल जुड़ा हुआ नेटवर्क एक निर्देशित अशंकु आरेख होता है जिसका आधारभूत अनिर्देशित आरेख एक ट्री होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हम इसके निर्देशित संबंधों को अनिर्देशित संबंधों से बदलें, तो हम एक ऐसे अनिर्देशित आरेख प्राप्त करते हैं जो संयुक्त और अचक्र होता है।

कुछ लेखक वाक्यांश निर्देशित ट्री को उस विषय तक सीमित करें जहां शीर्षों को एक विशेष शीर्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, या सभी को एक विशेष शीर्ष से दूर निर्देशित किया जाता है

पॉलीवन

पॉलीवन या निर्देशित वन एक निर्देशित आरेख होता है जिसका अंशकारी अशिखित आरेख एक वन होता है। अर्थात् जब हम इसकी निर्देशित धुरीयों को अनिर्दिष्ट धुरीयों में बदलते हैं, तो हमें एक वन मिलता है जो कि अनुबंधित और अशिखित दोनों होता है। दूसरे शब्दों में, यदि हम इसके निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक अप्रत्यक्ष आरेख प्राप्त होता है जो चक्रीय होता है।

कुछ लेखक"निर्देशित वन" शब्द अपने सीमित अर्थ में प्रयोग करते हैं, जहां प्रत्येक जुड़े हुए घटक की सभी संयुक्त तत्व एक विशिष्ट शिखर की ओर निर्देशित होते हैं या एक विशिष्ट शिखर से सभी दिशाओं में निर्देशित होते हैं।

रूट वाला ट्री

रूटेड ट्री एक ट्री होता है जिसमें एक संकेतस्थल को मूल निर्धारित किया गया होता है।रूटेड ट्री के संबंधों को प्राकृतिक अभिमुखीकरण किया जा सकता है, या तो मूल से दूर या मूल की ओर, जिसके पश्चात संरचना एक निर्देशित रूटेड ट्री बन जाती है। जब एक निर्देशित रूटेड ट्री में मूल से दूर की ओर अभिमुखीकरण होता है, तो उसे ट्री या आउट-ट्री कहा जाता है; जब यह मूल की ओर अभिमुखीकरण होता है, तो उसे विपरीत-ट्री या आंतरिक-ट्री कहा जाता है। ट्री-क्रम एक आंशिक क्रमण होता है जो एक ट्री के संकेतस्थलों पर होता है, जहां u < v है यदि जब मूल से v तक का अद्वितीय पथ u से गुजरता है, तो एक ग्राफ G का उपग्राफ होने वाला रूटेड ट्री T एक सामान्य ट्री होता है यदि G में हर T-पथ के अंत संगणक इस ट्री-क्रम में तुल्यात्मक हैं रूटेड ट्री , प्रायः प्रत्येक संकेतस्थल पर पड़ोसियों के क्रमबद्धता जैसी अतिरिक्त संरचना के साथ, कंप्यूटर विज्ञान में एक महत्वपूर्ण डेटा संरचना होता हैं

जहां ट्री को सामान्यतः मूल रूप में होता है, बिना किसी निर्दिष्ट मूल के ट्री को "मुक्त ट्री" कहा जाता है।

एक लेबलबद्धट्री एकट्री होती है जिसमें प्रत्येक शीर्ष को एक अद्वितीय लेबल दिया जाता है। एन शीर्ष वाले एक लेबलबद्धट्री के शीर्षों को सामान्यतः लेबल 1, 2, ..., n दिए जाते हैं। एक आपसी रूप से जुड़ीट्री एक लेबलबद्ध मूलबद्धट्री होती है जहां शीर्ष लेबल ट्री -क्रम का पालन करते हैं अर्थात, यदि u और v दो शीर्ष के लिए u < v है, तो u का लेबल v के लेबल से छोटा होता है

एक मूलबद्धट्री में, एक शीर्ष v का माता-पिता वह शीर्ष होता है जो v को मूल की ओर जाने वाले पथ पर v से जुड़ा होता है; प्रत्येक शीर्ष का एक अद्वितीय माता-पिता होता है केवल मूल के लिए जो कोई माता-पिता नहीं होता है। एक शीर्ष v का एक बालक शीर्ष वह शीर्ष होता है जिसका v माता-पिता होता है। एक शीर्ष v का एक आगे का शीर्ष वह शीर्ष होता है जो या तो v का माता-पिता होता है या v के माता-पिता का पुनरावृत्तिक रूप से आगे का शीर्ष होता है।. एक शीर्ष v का एक वंशज वह शीर्ष होता है जो या तो v का बालक होता है या v के बालकों में से किसी एक का वंशज होता है। शीर्ष v का एक सहोदर वह कोई अन्य शीर्ष होता है जोट्री में v के समान माता-पिता रखता है। एक पत्ती एक ऐसा शीर्ष है जिसके कोई बालक नहीं होते हैं। एक आंतरिक शीर्ष एक शीर्ष होता है जो पत्ती नहीं होता है।

एक मूलबद्धट्री में एक शीर्ष की ऊँचाई वह पथ की लंबाई होती है जो उस शीर्ष से किसी पत्ती तक सबसे लंबी होती है।ट्री की ऊँचाई मूल की ऊँचाई होती है। एक शीर्ष का गहराई वह पथ की लंबाई होती है जो उस शीर्ष से उसके मूल तक (मूल पथ) होती है। यह सामान्यतः विभिन्न स्व-संतुलितट्री ों, विशेष रूप सेट्री ों, के प्रबंधन में आवश्यक होता है।मूल की गहराई शून्य होती है, पत्तियों की ऊँचाई शून्य होती है, और केवल एक शीर्ष वालेट्री में गहराई और ऊँचाई शून्य होती है। पारंपरिक रूप से, एक खालीट्री जहां कोई शीर्ष नहीं होते हैं, यदि ऐसा स्वीकार्य होता हो की गहराई और ऊँचाई -1 होती है।

एक k-अरट्री एक मूलबद्धट्री होता है जिसमें प्रत्येक शीर्ष के अधिकतम k बालक होते हैं। 2-अरट्री को सामान्यतः बाइनरीट्री कहा जाता है, जबकि 3-अरट्री को कभी-कभी टर्नरीट्री कहा जाता है।

क्रमित ट्री

एक क्रमितट्री (या प्लेनट्री ) एक मूलबद्धट्री होता है जिसमें प्रत्येक शीर्ष के बालकों के लिए एक क्रमबद्धता निर्धारित की गई होती है। इसे "प्लेनट्री " कहा जाता है क्योंकि बालकों की क्रमबद्धता एक प्लेन मेंट्री को एम्बेड करने के समकक्ष होती है, जिसमें मूल ऊपर होता है और प्रत्येक शीर्ष के बालक उस शीर्ष से नीचे होते हैं। यदि एक मूलबद्धट्री को एक विमुद्रीकरण में दिया गया हो और एक दिशा को स्थायी किया गया हो, जैसे बाएं से दाएं, तो एक विमुद्रीकरण बालकों की क्रमबद्धता देता है। उम्रकैद, एक क्रमितट्री दिया गया हो और पारंपरिक रूप से मूल को शीर्ष पर चित्रित किया गया हो, तो क्रमितट्री में बालक शीर्षों को बाएं से दाएं चित्रित किया जा सकता है, जिससे एक मूलतः अद्यतित समतल विमुद्रीकरण मिलता है।

गुण

• प्रत्येकट्री द्विभाज्य आरेख होता है। एक आरेख द्विभाज्य होता है यदि और केवल यदि इसमें विषम लंबाई के चक्र सम्मिलित नहीं हैं। क्योंकिट्री में कोई चक्र ही नहीं होता है, इसलिए यह द्विभाज्य होता है।
• केवल गणनीय संख्या में शीर्ष वाले प्रत्येकट्री एक समतली आलेख होता है।
• प्रत्येक जुड़ा हुआ आरेख G में एक स्पैनिंगट्री होता है, जो G के हर शीर्ष को सम्मिलित करता है और जिसकी एज़ भी G की एज़ होती हैं। अधिक विशिष्ट प्रकार के फैले हुएट्री , प्रत्येक जुड़े परिमित आरेख में विद्यमान हैं, इसमें गहराई-पहले खोजट्री और चौड़ाई-पहले खोजट्री सम्मिलित हैं डेप्थ-फर्स्ट-सर्च ट्री के अस्तित्व का सामान्यीकरण करते हुए, हर जुड़े हुए आरेख में केवल गिने-चुने कोने के साथ ट्रेमॉक्स काट्री होता है यद्यपि कुछ असंख्य आरेखों में ऐसा कोईट्री नहीं होता है।
• n > 1 के साथ n कोने वाले हर परिमितट्री में कम से कम दो टर्मिनल कोने (पत्ते) होते हैं। पत्तों की यह न्यूनतम संख्या पथ आरेख ़ की विशेषता है; अधिकतम संख्या, n − 1, केवल स्टार आरेख ़ द्वारा प्राप्त की जाती है। पत्तियों की संख्या कम से कम अधिकतम शीर्ष डिग्री है।

• एकट्री में किन्हीं तीन शीर्षों के लिए, उनके बीच के तीन रास्तों में ठीक एक शीर्ष उभयनिष्ठ होता है। अधिक आम तौर पर, एक आरेख ़ में एक शीर्ष जो तीन शीर्षों में से तीन सबसे छोटे पथों से संबंधित होता है, इन शीर्षों का माध्यिका कहलाता है। क्योंकि एकट्री में हर तीन कोने में एक अद्वितीय माध्यिका होती है, हरट्री एक माध्यिका आरेख होता है।
• हरट्री का एक केंद्र होता है जिसमें एक शीर्ष या दो आसन्न कोने होते हैं। केंद्र प्रत्येक सबसे लंबे पथ में मध्य शीर्ष या मध्य दो शीर्ष होता है। इसी तरह, प्रत्येक n शीर्ष ट्री में एक केन्द्रक होता है जिसमें एक शीर्ष या दो आसन्न कोने होते हैं। पहले मामले में शीर्ष को हटाने से ट्री को n/2 शीर्ष से कम के सबट्री में विभाजित किया जाता है। दूसरे मामले में, दो केन्द्रकीय शीर्षों के बीच के किनारे को हटाने से ट्री ठीक n/2 शीर्षों के दो उपट्री ों में विभाजित हो जाता है।

गणना

लेबल वाले ट्री

केली के सूत्र में कहा गया है कि एन लेबल वाले कोने पर एनएन-2ट्री हैं। एक क्लासिक प्रूफ प्रुफर अनुक्रम का उपयोग करता है, जो स्वाभाविक रूप से एक मजबूत परिणाम दिखाता है: क्रमशः 1, 2, ..., n डिग्री d1, d2, ..., dn वालेट्री ों की संख्या, बहुपद गुणांक है

${n-2 \choose d_{1}-1,d_{2}-1,\ldots ,d_{n}-1}.$

एक अधिक सामान्य समस्या एक अप्रत्यक्ष आरेख में फैले हुएट्री ों की गिनती करना है, जिसे मैट्रिक्स ट्री प्रमेय द्वारा संबोधित किया जाता है। आकार की देखभाल किए बिना सभी उप-ट्री ों की गिनती की समान समस्या सामान्य मामले में P-पूर्ण है (Jerrum (1994)).

बिना लेबल वाले ट्री

बिना लेबल वाले मुक्तट्री ों की संख्या गिनना एक कठिन समस्या है। आरेख समाकृतिकता तक n शीर्षों वाले ट्री ों की संख्या t(n) के लिए कोई बंद सूत्र ज्ञात नहीं है। टी(एन) के पहले कुछ मान हैं

1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301, 3159, … .

Otter (1948) स्पर्शोन्मुख अनुमान सिद्ध किया

$t(n)\sim C\alpha ^{n}n^{-5/2}\quad {\text{as }}n\to \infty ,$

साथ C ≈ 0.534949606... और α ≈ 2.95576528565... . यहां ही ~ चिह्न का अर्थ है

$\lim _{n\to \infty }{\frac {t(n)}{C\alpha ^{n}n^{-5/2}}}=1.$

यह संख्या के लिए उनके विषम अनुमान का परिणाम है r(n) बिना लेबल वाले रूट वाले ट्री n कोने:

$r(n)\sim D\alpha ^{n}n^{-3/2}\quad {\text{as }}n\to \infty ,$

साथ D ≈ 0.43992401257... और एक सा α ऊपर के रूप में

के पहले कुछ मान r(n) हैं

1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, …

ट्री ों के प्रकार

• पथ आरेख ़ (या रेखीय आरेख ़) में एक पंक्ति में व्यवस्थित n कोने होते हैं, जिससे i = 1, ..., n - 1 के लिए कोने i और i + 1 एक किनारे से जुड़े होते हैं।.
• एक तारकीयट्री में एक केंद्रीय शीर्ष होता है जिसे रूट कहा जाता है और इससे जुड़े कई पथ आरेख होते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, एकट्री तारे जैसा होता है यदि उसके पास 2 से अधिक डिग्री का ठीक एक शीर्ष होता है।
• एक तारा ट्री एक ऐसा ट्री है जिसमें एक आंतरिक शीर्ष (और n - 1 पत्ते) होते हैं। दूसरे शब्दों में, n क्रम का एक तारा ट्री n क्रम का एक ट्री है जिसमें अधिक से अधिक पत्ते होते हैं।
• एक कैटरपिलरट्री एकट्री है जिसमें सभी कोने एक केंद्रीय पथ उपआरेख की दूरी 1 के अंदर हैं
• लॉबस्टर ट्री एक ऐसाट्री है जिसके सभी कोने एक केंद्रीय पथ उपआरेख की दूरी 2 के अंदर हैं।
• डी डिग्री का एक नियमितट्री प्रत्येक शीर्ष पर डी किनारों वाला अनंतट्री है। ये मुक्त समूहों के केली आरेख और टिट्स बिल्डिंग के सिद्धांत के रूप में उत्पन्न होते हैं।।

यह भी देखें

• निर्णय ट्री
• हाइपरट्री
• हॉटलाइन
• छद्मवन
• ट्री संरचना (सामान्य)
• ट्री (डेटा संरचना)
• बिना रूट वाला बाइनरी ट्री

संदर्भ

• Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill (2010), Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability
• Dasgupta, Sanjoy (1999), "Learning polytrees", in Proc. 15th Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI 1999), Stockholm, Sweden, July–August 1999 (PDF), pp. 134–141.
• Deo, Narsingh (1974), Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science (PDF), Englewood, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-363473-6, archived (PDF) from the original on 2019-05-17
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अग्रिम पठन

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• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009), Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89806-5
• "Tree", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Knuth, Donald E. (November 14, 1997), The Art of Computer Programming Volume 1: Fundamental Algorithms (3rd ed.), Addison-Wesley Professional
• Jerrum, Mark (1994), "Counting trees in a graph is #P-complete", Information Processing Letters, 51 (3): 111–116, doi:10.1016/0020-0190(94)00085-9, ISSN 0020-0190.
• Otter, Richard (1948), "The Number of Trees", Annals of Mathematics, Second Series, 49 (3): 583–599, doi:10.2307/1969046, JSTOR 1969046.