लोरेंत्ज़ समष्टि

गणितीय विश्लेषण में, 1950 के दशक में जॉर्ज जी लोरेंत्ज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया लोरेंत्ज़ समष्टि, अधिक सामान्य $L^{p}$ समष्टि का सामान्यीकरण है।

लोरेंत्ज़ समष्टि $L^{p,q}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $L^{p}$ समष्टि की तरह, वे एक मानदंड (तकनीकी रूप से एक क्वासिनॉर्म) की विशेषता रखते है जो किसी फलन के ''आकार'' के बारे में जानकारी को एन्कोड करते है, जैसे कि $L^{p}$ मानदंड करता है। किसी फलन के ''आकार'' की दो मूलभूत गुणात्मक धारणाएँ हैं: फलन का ग्राफ़ कितना लंबा है, और यह कितना फैला हुआ है। श्रेणी ($p$) और प्रक्षेत्र ($q$) दोनों में माप को घातीय रूप से कम करके, लोरेंत्ज़ मानदंड $L^{p}$ मानदंडों की तुलना में दोनों गुणों पर सख्त नियंत्रण प्रदान करते हैं। लोरेंत्ज़ मानदंड, $L^{p}$ मानदंडों की तरह, एक फलन के मानो की स्वेच्छ पुनर्व्यवस्था के तहत निश्चर हैं।

परिभाषा

एक माप समष्टि $(X,\mu )$ पर लोरेंत्ज़ समष्टि X पर सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलनों f का समष्टि है, जैसे कि निम्नलिखित क्वासिनॉर्म परिमित है

$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}$ जहां $0<p<\infty$ और $0<q\leq \infty$. इस प्रकार, जब $q<\infty$,$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.$और जब $q=\infty$,$\|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).$

यह समुच्चय करने के लिए भी शर्तें है $L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )$ |

ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन

अनिवार्य रूप से परिभाषा के अनुसार, फलन $f$ के मानों को पुनर्व्यवस्थित करने के तहत क्वासिनॉर्म निश्चर है| विशेष रूप से, एक माप समष्टि पर परिभाषित एक सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलन $f$ दिया गया है, $(X,\mu )$, इसका ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन फलन, $f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}$

जहाँ $d_{f}$, $f$ का तथाकथित वितरण फलन है, जिसके द्वारा दिया गया है

$d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).$

यहाँ, सांकेतिक सुविधा के लिए, $\inf \varnothing$ को ∞ मे परिभाषित किया गया है |

दो फलन $|f|$ और $f^{\ast }$ समतुल्य हैं, जिसका अर्थ है

$\mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,$

जहां $\lambda$ वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप है। संबंधित सममित ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन फलन,जो $f$ के साथ भी समतुल्य है, को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जाएगा

$\mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).$

इन परिभाषाओं को देखते हुए, $0<p<\infty$ और $0<q\leq \infty$, लोरेंत्ज़ क्वासिनॉर्म द्वारा दिए गए हैं

$\|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}$

लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि

जब $(X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)$ ($\mathbb {N}$ पर गणन माप), परिणामी लोरेंत्ज़ समष्टि एक अनुक्रम समष्टि है। हालांकि, इस स्थिति में विभिन्न संकेतन का उपयोग करना सुविधाजनक है।

परिभाषा।

$(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ (या $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ सम्मिश्र स्थिति में) के लिए, चलो ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ $1\leq p<\infty$ के लिए पी-मानदंड को दर्शाता है और ∞-मानक को ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$ करता है। परिमित पी-नॉर्म के साथ सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि को $\ell _{p}$ द्वारा निरूपित करें। चलो $c_{0}$ को संतुष्ट करने वाले सभी अनुक्रमों का बानाच समष्टि $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$, ∞-नॉर्म के साथ संपन्न है। $c_{00}$ द्वारा सभी अनुक्रमों के आदर्श समष्टि को केवल परिमित रूप से कई अशून्य प्रविष्टियों के साथ निरूपित करें।ये सभी समष्टि लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि की एक भूमिका $d(w,p)$ नीचे निभाते हैं।

मान लीजिए $w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}$ सन्तुष्ट धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम बनाए $1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots$, और मानदंड ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}$परिभाषित करें | लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि $d(w,p)$ को सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है जहां यह मानदंड परिमित है। समान रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $d(w,p)$ के तहत $c_{00}$ के पूरा होने के रूप में$\|\cdot \|_{d(w,p)}$है |

गुण

लोरेंत्ज़ समष्टि वास्तव में $L^{p}$ समष्टि के सामान्यीकरण हैं इस अर्थ में कि, किसी भी $p$, $L^{p,p}=L^{p}$ के लिए जो कैवेलियरी के सिद्धांत से अनुकरण करता है। इसके अलावा, $L^{p,\infty }$ निर्बल $L^{p}$ के साथ संपाती है। वे अर्ध-बनच समष्टि हैं (अर्थात, अर्ध-सामान्य समष्टि जो पूर्ण भी हैं) और $1<p<\infty$ और $1\leq q\leq \infty$ के लिए सामान्य हैं। जब $p=1$, $L^{1,1}=L^{1}$ एक मानदंड से लैस है, लेकिन $L^{1,\infty }$, निर्बल $L^{1}$ समष्टि के क्वासिनॉर्म के तुल्य मानक को परिभाषित करना संभव नहीं है। एक ठोस उदाहरण के रूप में कि त्रिभुज असमिका $L^{1,\infty }$ में विफल हो जाती है, विचार करें

$f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),$ जिसका $L^{1,\infty }$ अर्ध-मानक एक के बराबर है, जबकि उनके योग का अर्ध-मानक $f+g$ चार के बराबर है।

समष्टि $L^{p,q}$ $L^{p,r}$ में निहित होता है जब भी $q<r$ | लोरेंत्ज़ समष्टि के बीच वास्तविक अंतर्वेशन समष्टि $L^{1}$ और $L^{\infty }$ हैं |

होल्डर की असमता

$\|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}$जहां $0<p,p_{1},p_{2}<\infty$, $0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty$, $1/p=1/p_{1}+1/p_{2}$, और $1/q=1/q_{1}+1/q_{2}$.

द्वैत समष्‍टि

अगर $(X,\mu )$ एक गैर-परमाणु σ-परिमित माप समष्‍टि है, तो
(i) $(L^{p,q})^{*}=\{0\}$ के लिए $0<p<1$, या $1=p<q<\infty$;
(ii) $(L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}$ के लिए $1<p<\infty ,0<q\leq \infty$, या $0<q\leq p=1$;
(iii) $(L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}$ के लिए $1\leq p\leq \infty$. यहाँ $p'=p/(p-1)$ के लिए $1<p<\infty$, $p'=\infty$ के लिए $0<p\leq 1$, और $\infty '=1$.

परमाणु अपघटन

निम्नलिखित $0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty$ के लिए तुल्य हैं|
(i) $\|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C$.
(ii) $f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}$ जहाँ $f_{n}$ ने असंयुक्त आधार दिया है, माप $\leq 2^{n}$ के साथ, जिस पर $0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}$ लगभग हर जगह, और $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$.
(iii) $|f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}$लगभग हर जगह, जहाँ $\mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}$ और $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$
(iv) $f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}$ जहाँ $f_{n}$ का असंयुक्त आधार $E_{n}$ है, अशून्य माप के साथ, जिस पर $B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}$ लगभग हर जगह, $B_{0},B_{1}$ और $\|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$ धनात्मक नियतांक हैं|
(v)$|f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}$ लगभग हर जगह, जहाँ $\|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$.

यह भी देखें

• अंतर्वेशन समष्टि
• हार्डी-लिटिलवुड असमता

संदर्भ

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, MR 2445437.

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