बनच मापक: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "{{for|Banach-space-valued measures|vector measure}} माप सिद्धांत के गणित अनुशासन में, एक बै...")
 
(प्रभाव)
Line 1: Line 1:
{{for|[[Banach space|Banach-space]]-valued measures|vector measure}}
{{for|[[बैनाच स्पेस|बनच-स्पेस]]-मूल्यवान माप|वेक्टर माप}}


[[माप सिद्धांत]] के गणित अनुशासन में, एक बैनाच माप एक निश्चित प्रकार का परिमित माप है जो पसंद के स्वयंसिद्ध के प्रति संवेदनशील समस्याओं में ज्यामितीय क्षेत्र को औपचारिक रूप देने के लिए उपयोग किया जाता है।
[[माप सिद्धांत]] के गणितीय अनुशासन में, बैनाच माप एक निश्चित प्रकार का परिमित माप है जिसका उपयोग ज्यामितीय क्षेत्र को उन समस्याओं में औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है जो विकल्प के स्वयंसिद्ध हैं।


परंपरागत रूप से, क्षेत्र की सहज ज्ञान युक्त धारणाओं को एक शास्त्रीय, गिने-चुने योगात्मक उपाय के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। यह बिना किसी परिभाषित क्षेत्र के [[गैर-मापने योग्य सेट]] छोड़ने का दुर्भाग्यपूर्ण प्रभाव है; एक परिणाम यह है कि कुछ ज्यामितीय परिवर्तन क्षेत्र को अपरिवर्तित नहीं छोड़ते हैं, बनच-तर्स्की विरोधाभास का पदार्थ। इस समस्या को खत्म करने के लिए एक बैनच उपाय एक प्रकार का सामान्यीकृत उपाय है।
परंपरागत रूप से, क्षेत्र के अंतर्ज्ञानात्मक विचारों को एक शास्त्रीय, गिनती योगात्मक माप के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। यह बिना किसी परिभाषित क्षेत्र के [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य श्रेणी']] छोड़ने का दुर्भाग्यपूर्ण प्रभाव यह है कि कुछ ज्यामितीय रूपांतरण क्षेत्र को अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ते हैं, जो बनच-तरस्की विरोधाभास का सार है। इस समस्या को दूर करने के लिए सामान्यीकृत माप है।  


एक सेट पर एक बनच माप {{math|Ω}} एक परिमित उपाय है, सिग्मा-एडिटिव_सेट_फंक्शन माप {{math|''μ'' ≠ 0}}, के हर सबसेट के लिए परिभाषित किया गया है {{math|℘(Ω)}}, और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।
एक श्रेणी' पर एक बनच माप {{math|Ω}} एक परिमित माप है, सिग्मा-एडिटिव_श्रेणी'_फंक्शन माप {{math|''μ'' ≠ 0}}, के हर सबश्रेणी' के लिए परिभाषित किया गया है {{math|℘(Ω)}}, और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।


ए बनच माप पर {{math|Ω}} जो मान लेता है {{math|{0, 1}}} कहा जाता है{{visible anchor|Ulam measure}} पर {{math|Ω}}.
ए बनच माप पर {{math|Ω}} जो मान लेता है {{math|{0, 1}}} कहा जाता है{{visible anchor|Ulam measure}} पर {{math|Ω}}.


जैसा कि विटाली सेट | विटाली का विरोधाभास दिखाता है, बैनाच के उपायों को योगात्मक रूप से जोड़ने के लिए मजबूत नहीं किया जा सकता है।
जैसा कि विटाली श्रेणी' | विटाली का विरोधाभास दिखाता है, बैनाच के मापों को योगात्मक रूप से जोड़ने के लिए मजबूत नहीं किया जा सकता है।


[[स्टीफन बानाच]] ने दिखाया कि [[यूक्लिडियन विमान]] के लिए एक बैनाच माप को परिभाषित करना संभव है, जो सामान्य लेबेसेग उपाय के अनुरूप है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक Lebesgue-मापने योग्य सबसेट <math>\mathbb{R}^2</math> बनच-मापने योग्य भी है, जिसका अर्थ है कि दोनों उपाय समान हैं।<ref>{{cite journal |last1=Banach |first1=Stefan |title=Sur le problème de la mesure |journal=Fundamenta Mathematicae |date=1923 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm412.pdf |access-date=6 March 2022}}</ref>
[[स्टीफन बानाच]] ने दिखाया कि [[यूक्लिडियन विमान]] के लिए एक बैनाच माप को परिभाषित करना संभव है, जो सामान्य लेबेसेग माप के अनुरूप है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक Lebesgue-मापने योग्य सबश्रेणी' <math>\mathbb{R}^2</math> बनच-मापने योग्य भी है, जिसका अर्थ है कि दोनों माप समान हैं।<ref>{{cite journal |last1=Banach |first1=Stefan |title=Sur le problème de la mesure |journal=Fundamenta Mathematicae |date=1923 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm412.pdf |access-date=6 March 2022}}</ref>
इस उपाय का अस्तित्व दो आयामों में एक बनच-तर्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है: यह संभव नहीं है कि परिमित लेबेस्गु माप के द्वि-आयामी सेट को सूक्ष्म रूप से कई सेटों में विघटित किया जा सके, जिन्हें एक अलग माप के साथ एक सेट में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बनच उपाय के गुणों का उल्लंघन करेगा जो लेबेस्ग माप को बढ़ाता है।<ref>{{citation|title=From Here to Infinity|first=Ian|last=Stewart|publisher=Oxford University Press|year=1996|isbn=9780192832023|page=177|url=https://books.google.com/books?id=rt_1vrQvSS8C&pg=PA177}}.</ref>
इस माप का अस्तित्व दो आयामों में एक बनच-तर्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है: यह संभव नहीं है कि परिमित लेबेस्गु माप के द्वि-आयामी श्रेणी' को सूक्ष्म रूप से कई श्रेणी'ों में विघटित किया जा सके, जिन्हें एक अलग माप के साथ एक श्रेणी' में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बनच माप के गुणों का उल्लंघन करेगा जो लेबेस्ग माप को बढ़ाता है।<ref>{{citation|title=From Here to Infinity|first=Ian|last=Stewart|publisher=Oxford University Press|year=1996|isbn=9780192832023|page=177|url=https://books.google.com/books?id=rt_1vrQvSS8C&pg=PA177}}.</ref>





Revision as of 23:48, 1 June 2023

माप सिद्धांत के गणितीय अनुशासन में, बैनाच माप एक निश्चित प्रकार का परिमित माप है जिसका उपयोग ज्यामितीय क्षेत्र को उन समस्याओं में औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है जो विकल्प के स्वयंसिद्ध हैं।

परंपरागत रूप से, क्षेत्र के अंतर्ज्ञानात्मक विचारों को एक शास्त्रीय, गिनती योगात्मक माप के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। यह बिना किसी परिभाषित क्षेत्र के गैर-मापने योग्य श्रेणी' छोड़ने का दुर्भाग्यपूर्ण प्रभाव यह है कि कुछ ज्यामितीय रूपांतरण क्षेत्र को अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ते हैं, जो बनच-तरस्की विरोधाभास का सार है। इस समस्या को दूर करने के लिए सामान्यीकृत माप है।

एक श्रेणी' पर एक बनच माप Ω एक परिमित माप है, सिग्मा-एडिटिव_श्रेणी'_फंक्शन माप μ ≠ 0, के हर सबश्रेणी' के लिए परिभाषित किया गया है ℘(Ω), और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।

ए बनच माप पर Ω जो मान लेता है {0, 1} कहा जाता हैUlam measure पर Ω.

जैसा कि विटाली श्रेणी' | विटाली का विरोधाभास दिखाता है, बैनाच के मापों को योगात्मक रूप से जोड़ने के लिए मजबूत नहीं किया जा सकता है।

स्टीफन बानाच ने दिखाया कि यूक्लिडियन विमान के लिए एक बैनाच माप को परिभाषित करना संभव है, जो सामान्य लेबेसेग माप के अनुरूप है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक Lebesgue-मापने योग्य सबश्रेणी' बनच-मापने योग्य भी है, जिसका अर्थ है कि दोनों माप समान हैं।[1] इस माप का अस्तित्व दो आयामों में एक बनच-तर्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है: यह संभव नहीं है कि परिमित लेबेस्गु माप के द्वि-आयामी श्रेणी' को सूक्ष्म रूप से कई श्रेणी'ों में विघटित किया जा सके, जिन्हें एक अलग माप के साथ एक श्रेणी' में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बनच माप के गुणों का उल्लंघन करेगा जो लेबेस्ग माप को बढ़ाता है।[2]


संदर्भ

  1. Banach, Stefan (1923). "Sur le problème de la mesure" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Retrieved 6 March 2022.
  2. Stewart, Ian (1996), From Here to Infinity, Oxford University Press, p. 177, ISBN 9780192832023.


बाहरी संबंध