माध्य-क्षेत्र सिद्धांत: Difference between revisions

Revision as of 13:55, 8 June 2023

भौतिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, माध्य-क्षेत्र सिद्धांत (मीन-फील्ड थ्योरी, एमएफटी) या स्व-सुसंगत क्षेत्र सिद्धांत उच्च विमीय (प्रसंभाव्य) मॉडल के व्यवहार का अध्ययन करता है जिसे सरलीकृत मॉडल के माध्यम से मूल मॉडल का प्राप्तिकरण करके अध्ययन किया जाता है, जो स्वतंत्रता की कोटि (सांख्यिकी की अंतिम गणना में मुक्त रूप से बदलने के योग्य आंकड़ों की संख्या) के औसत से मूल का अनुमान लगाता है। ऐसे मॉडल कई अलग-अलग घटकों पर विचार करते हैं जो एक दूसरे के साथ प्रभावशील होते हैं।

एमएफटी की मुख्य विचारधारा यह है कि किसी भी एक निकाय के साथ संबंधित सभी अंतःक्रियाओं^{[disambiguation needed]} को औसत या प्रभावी अंतःक्रिया के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए, जिसे कभी-कभी आणविक क्षेत्र कहा जाता है।^[1] इससे किसी भी बहु-निकाय समस्या को प्रभावी एकल-निकाय समस्या में संघटित किया जाता है। एमएफटी समस्याओं के हल करने की सरलता के कारण, निकाय के कार्यविधि में कुछ अंतर्दृष्टि कम अभिकलनात्मक लागत पर प्राप्त की जा सकती है।

एमएफटी को इसके पश्चात भौतिकी के बाहर के विस्तृत श्रृंखला में भी लागू किया गया है, जिनमें सांख्यिकीय अनुमान, ग्राफिकल मॉडल, तंत्रिका विज्ञान (न्यूरोसाइंस),^[2] आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, एपिडेमिक मॉडल,^[3] कतार सिद्धांत,^[4] कंप्यूटर-नेटवर्क कार्यकरण और गेम सिद्धांत,^[5] जैसे कि क्वान्टमी प्रतिक्रिया साम्यावस्था में^{[citation needed]}।

उत्पत्ति

यह विचार पहली बार भौतिकी (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में पियरे क्यूरी^[6] और पियरे वीस के कार्य में दिखाई दिया था, जहां प्रावस्था संक्रमण का वर्णन किया गया।^[7] एमएफटी का उपयोग ब्रैग-विलियम्स सन्निकटन, बेथे जाल पर मॉडल, लैंडौ सिद्धांत, पियर-वेस सन्निकटन, फ्लोरी-हग्गिन्स समाधान सिद्धांत, और शेउट्जेन्स-फ्लीर सिद्धांत में किया गया है।

अनेक (कभी-कभी अनंत) स्वतंत्रता की कोटियों वाले निकायों को सामान्यतः यथार्थ रूप से हल करना या सीमित, विश्लेषणात्मक रूप में गणना करना कठिन होता है, कुछ सरल स्थितयों को छोड़कर (जैसे कि कुछ गॉसियन यादृच्छिक-क्षेत्र सिद्धांत, 1D आइसिंग मॉडल)। प्रायः गणितीय समस्याएं उत्पन्न होती हैं जो निकाय के विभाजन संख्या की गणना जैसे कार्य को कठिन बना देती हैं। एमएफटी सन्निकटन पद्धति है जो प्रायः मूल समस्या को हल करने और गणना करने के लिए विवृत होती है, और कुछ स्थितियों में एमएफटी बहुत यथार्थ सन्निकटन प्रदान कर सकती है।

क्षेत्र सिद्धांत में, हैमिल्टोनियन उद्दीपन एकाधिकता के आधार पर विस्तृत किया जा सकता है जो क्षेत्र के औसत के चारों ओर संवेग के मान के आस-पास के उच्चावचन (फ्लक्चुएशन) के स्तर में होते हैं। इस संदर्भ में, एमएफटी को हमिल्टोनियन के उच्चावचन में "शून्य-क्रम" का विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। भौतिक रूप से, इसका अर्थ है कि एमएफटी निकाय में कोई उच्चावचन नहीं होता है, लेकिन यह इस विचार से समरूपता रखता है कि कोई "मीन-फील्ड" के साथ सभी क्रियाविधि को प्रतिस्थापित करने के साथ सम्मिलित होता है।

प्रायः, एमएफटी उच्च-क्रम उच्चावचनों का अध्ययन करने के लिए एक सुविधाजनक लॉन्च पॉइंट प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, विभाजन फलन (पार्टीशन फंक्शन) की गणना करते समय, हैमिल्टोनियन में क्रियाविधि स्थितियों की संख्या का अध्ययन करने से कभी-कभी उद्विग्नत परिणाम या फेनमैन आरेख उत्पन्न हो सकते हैं जो मीन-फील्ड सन्निकटन को सही करते हैं।

प्रामाण्य

सामान्यतः, विमीयता किसी भी विशेष समस्या के लिए क्या मीन-फील्ड दृष्टिकोण कार्यविन्त होगा, यह निर्धारित करने में सक्रिय भूमिका निभाता है। कभी-कभी एक महत्वपूर्ण विमा होती है जिसके ऊपर एमएफटी दृष्टिकोण स्वीकृत होता है और जिसके नीचे यह स्वीकृत नहीं होता है।

अनुमानतः, एमएफटी में कई अंतराक्रियाएं किसी प्रभावी अंतराक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं। इसलिए, यदि क्षेत्र या कण मूल निकाय में कई यादृच्छिक अंतराक्रियाएं प्रदर्शित करते हैं, तो वे एक दूसरे को रद्द करने की प्रवृत्ति रखते हैं, अतः माध्यमिक प्रभावी अंतराक्रिया और एमएफटी अधिक यथार्थ होंगे। यह उच्च विमीयता की स्थितियों में सच है, जब हैमिल्टोनियन में दीर्घ-संबंधी बल होते हैं या कण विस्तारित होते हैं (उदा. पॉलीमर)। गिन्जबर्ग मापक माध्य क्षेत्र सिद्धांत को अपर्याप्त अनुमानित सन्निकटन बनाने वाले उच्चावचन के रूप में निर्देशित करता है, जो सामान्यतः स्वेक्षा वाली स्थानिक विमाओं की संख्या पर निर्भर करता है।

प्रारूपिक दृष्टिकोण (हैमिल्टोनियन)

माध्य-क्षेत्र सिद्धांत के लिए प्रारूपिक आधार बोगोलियुबॉव असमानता है। यह असमानता कहती है कि हैमिल्टोनियन के साथ निकाय की मुक्त ऊर्जा

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

निम्नलिखित ऊपरी परिबध है:

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}_{0}\rangle -TS_{0},

जहाँ $S_{0}$ एंट्रॉपी है, और $F$ और $F_{0}$ हेलमहोल्ट्ज मुक्त ऊर्जाएँ हैं। साम्यावस्था में एंसेम्बल के साथ, हैमिल्टोनियन ${\mathcal {H}}_{0}$ के संदर्भ निकाय के समतुल्य समूह पर औसत लिया जाता है। विशेष स्थितियों में, जब उल्लेखित हैमिल्टोनियन गैर-अंतःक्रियात्मक निकाय का होता है और अतः इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),

जहां $\xi _{i}$ हमारे सांख्यिकीय सिस्टम के व्यक्तिगत घटकों (परमाणु, स्पिन आदि) की स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, हम असमानता के दाईं ओर को निम्न करके ऊपरी बाध्यता को तीव्र करने का विचार कर सकते हैं। इस असमानता के दाईं ओर को कम करने वाला संदर्भ निकाय अतः "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन है जो गैर-सहसंबद्धता वाले स्वतंत्रता की कोटि का उपयोग करके वास्तविक निकाय के लिए निकटता में सन्निकटित बनाया जाता है और इसे माध्य क्षेत्र सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

सर्वाधिक साधारण स्थिति के लिए कि टारगेट हैमिल्टनियन में केवल युग्मित अंतःक्रियाएं होती हैं, अर्थात,

{\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),

जहां ${\mathcal {P}}$ एक ऐसे युग्म का समुच्चय है जो प्रभावशील होता है, न्यूनीकरण करने की प्रक्रिया को समरूप रूप से की जा सकता है। $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ को एकल घटक की स्वतंत्रता की कोटि पर देखे जाने योग्य $f$ के सामान्यीकृत योग के रूप में परिभाषित करें (विकल्प के लिए अविकल्पीय संख्यात्मक चर, अविकल्पीय चर के लिए अवरोधों का एकीकरण)। अनुमानित मुक्त ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

{\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}

जहां $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ वे प्रायिकता हैं कि संदर्भ निकाय को $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ द्वारा निर्दिष्ट स्थितियों में प्राप्त होगा। यह प्रायिकता सामान्यीकृत बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्दिष्ट होती है। जो निम्नवत है

{\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}

जहाँ $Z_{0}$ विभाजन फलन है। अत:

{\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}

न्यूनीकरण के लिए, हम लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके एकल-स्वतंत्रता-की-कोटि प्रायिकताओं $P_{0}^{(i)}$ के साथ सम्बन्ध के साथ अवकलन करते हैं जिससे उचित सामान्यीकरण सुनिश्चित हो। अंतिम परिणाम स्व-संगति समीकरणों का समुच्चय होता है

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,

जहां माध्य क्षेत्र द्वारा दिया गया है

h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

अनुप्रयोग

माध्य क्षेत्र सिद्धांत को कई भौतिक निकायों पर लागू किया जा सकता है ताकि प्रावस्था संक्रमण जैसे घटनाओं का अध्ययन किया जा सके।^[8]

आइसिंग मॉडल

प्रारूपिक व्युत्पत्ति

उपर्युक्त बोगोलियुबॉव असमानता का उपयोग करके द्वी-विमीय आइसिंग जाल के माध्य क्षेत्र मॉडल की गतिशीलता का पता लगाया जा सकता है। चुंबकत्व फलन का परिणाम सन्निकटित मुक्त ऊर्जा से प्राप्त किया जा सकती है।^[9] प्रथम चरण सत्यापित हैमिल्टोनियन के एक अधिक सम्प्रेक्ष सन्निकटन का चयन करना है। गैर-प्रतिक्रियाशील या प्रभावी क्षेत्रीय हैमिल्टोनियन का उपयोग करके,

-m\sum _{i}s_{i}

,

परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा है

F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.

बोगोलियुबॉव असमानता के द्वारा, इस मात्रा को सरल बनाकर और परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा को न्यूनतम करने वाली चुंबकीयता फलन के अनुसार न्यूनतम चुंबकीयता तथ्यांकन द्वारा वास्तविक चुंबकीयता के लिए सर्वश्रेष्ठ अनुमान प्राप्त होता है। न्यूनतमीकरण निम्न होता है:

m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,

जो स्पिन के एन्सेम्बल का औसत है। यह निम्न प्रकार सरलीकृत होता है:

m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h.

सभी स्पिनों द्वारा अनुभव की जाने वाली प्रभावी फ़ील्ड को एक औसत स्पिन मान के समतुल्य करना, परिवर्तनशील दृष्टिकोण को प्रतिवर्तन में उच्चावचन के रोकथाम से संबंधित किया जा सकता है। चुंबकीयता फलन की भौतिक व्याख्या तब एकल स्पिनों के लिए औसत मानों का एक क्षेत्र होती है।

गैर-प्रतिक्रियाशील स्पिनों का सन्निकटन

$d$ -विमीय जाल पर आइसिंग मॉडल का विचार करें। हैमिल्टोनियन निम्नरूप से दिया गया है:

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},

जहां $\sum _{\langle i,j\rangle }$ निकटवर्ती $\langle i,j\rangle$ के युग्म के लिए योग को दर्शाता है, और $s_{i},s_{j}=\pm 1$ निकटवर्ती आइसिंग स्पिन हैं।

आइए हम अपने स्पिन परिवर्तन को इसके माध्य मान $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$ से उच्चावचन का परिचय देकर रूपांतरित करें। हम हैमिल्टोनियन को फिर से लिख सकते हैं:

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},

जहां हम $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ की परिभाषा करते हैं; यह स्पिन का उच्चावचन है।

यदि हम दायां तरफ को विस्तारित करें, तो हमें एक ऐसा पद प्राप्त होगा जो पूरी तरह से स्पिन के औसत मानों पर आधारित होता है और स्पिन विन्यास से स्वतंत्र होता है। यह साधारण पद है, जो निकाय के सांख्यिकीय गुणों पर प्रभाव नहीं डालता है। अग्रिम पद ऐसा है जिसमें स्पिन की औसत मान और उच्चावचन मान का गुणनफल होता है। अंत में, अंतिम पद दो उच्चावचन मानों का गुणनफल होता है।

माध्य क्षेत्र सन्निकटन इस द्वितीय-क्रम उच्चावचन पद की अवधि की उपेक्षा करना सम्मिलित है:

H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.

निम्न विमाओं पर ये उच्चावचन प्रबलित होता हैं, जो उच्च विमाओं के लिए एमएफटी उत्कृष्ट सन्निकटन प्रदान करती है।

फिर से, योगखंड को पुनर्विस्तारित किया जा सकता है। साथ ही, हम यह आशा करते हैं कि प्रत्येक स्पिन की औसत मान स्थान-स्वतंत्र है, क्योंकि आइसिंग श्रृंखला स्थानांतरणीय अपरिवर्तनीय है। इससे हमें निम्न प्राप्त होता है:

H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.

निकटवर्ती स्पिनों के योग को $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है, जहां $nn(i)$ का अर्थ होता है " $i$ का निकटवर्ती, और $1/2$ प्रीफैक्टर दोहरी गणना की उपेक्षा करता है, क्योंकि प्रत्येक बंध दो स्पिनों में भाग लेता है। सरलीकरण से अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त होता है:

H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},

जहाँ $z$ समन्वय संख्या है। इस बिंदु पर, आइसिंग हैमिल्टनियन को प्रभावी माध्य क्षेत्र $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$ के साथ एकल-निकाय हैमिल्टन के योग में विभाजित किया गया है, जो बाहरी क्षेत्र $h$ का योग है और निकटवर्ती स्पिनों द्वारा प्रेरित माध्य क्षेत्र का योग है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह औसत क्षेत्र सीधे निकटवर्तों की संख्या पर निर्भर करता है और इस प्रकार निकाय की विमा पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, विमा $d$ , $z=2d$ का हाइपरक्यूबिक जाल के लिए)।

इस हैमिल्टनियन को विभाजन फलन में प्रतिस्थापित करना और प्रभावी 1D समस्या को हल करना, हमें निम्न प्राप्त होता है

Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},

जहां $N$ जालक स्थलों की संख्या है। यह सिस्टम के विभाजन फलन के लिए एक संवृत और यथार्थ व्यंजक है I हम निकाय की मुफ्त ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण घातांकों की गणना कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम $h^{\text{eff.}}$ के फलन के रूप में चुंबकीयकरण $m$ प्राप्त कर सकते हैं।

इस प्रकार हमारे पास $m$ और $h^{\text{eff.}}$ के बीच दो समीकरण हैं, जिससे हम $m$ को तापमान के फलन के रूप में निर्धारित कर सकते हैं। यह निम्नलिखित अवलोकन की ओर जाता है:

किसी निश्चित मान $T_{\text{c}}$ से अधिक तापमान के लिए, केवल $m=0$ ही हल है। निकाय अनुचुंबकीय (पैरामैग्नेटिक) है।
$T<T_{\text{c}}$ के लिए, दो अशून्य हल होता हैं: $m=\pm m_{0}$ । निकाय लौह-चुंबकीय होता है।

$T_{\text{c}}$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है: $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$ .

इससे यह ज्ञात होता है कि एमएफटी लौह चुम्बकीय प्रावस्था संक्रमण के कारण हो सकता है।

अन्य प्रणालियों के लिए आवेदन

इसी प्रकार, एमएफटी को अन्य प्रकार के हैमिल्टनियन पर लागू किया जा सकता है जैसा कि निम्नलिखित स्थितियों में है:

धातु-अतिचालक संक्रमण का अध्ययन करना। इस स्थिति में, चुंबकीयकरण का एनालॉग अतिचालक अंतराल $\Delta$ है।
तरल क्रिस्टल का आणविक क्षेत्र जो निदेशक क्षेत्र के लाप्लासियन गैर-शून्य होने पर प्रकट होता है।
इष्टतम अमीनो अम्ल साइड चेन पैकिंग को निर्धारित करने के लिए प्रोटीन संरचना पूर्वानुमान में निश्चित प्रोटीन पृष्ठवंश दी गई है (देखें स्व-संगत माध्य क्षेत्र (जीव विज्ञान))।
मिश्रित सामग्री के प्रत्यास्थ गुणों का निर्धारण करने के लिए।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत की तरह भिन्न रूप से न्यूनीकरण का उपयोग वैरिएशनल बायेसियन विधियों | सांख्यिकीय अनुमान में भी किया जा सकता है।

समय-पराश्रित माध्य क्षेत्रों का विस्तार

माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, एकल-स्थल समस्या में प्रकट होने वाला माध्य क्षेत्र समय-स्वतंत्र अदिश या सदिश मात्रा है। हालांकि, हमेशा यह स्थिति नहीं होती है: गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत (डीएमएफटी) नामक माध्य क्षेत्र सिद्धांत के एक संस्करण में, माध्य क्षेत्र समय-पराश्रित मात्रा बन जाता है। उदाहरण के लिए, मेटल-मोट-इन्सुलेटर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए डीएमएफटी को हबर्ड मॉडल पर लागू किया जा सकता है।

यह भी देखें

गतिक माध्य क्षेत्र सिद्धांत
माध्य क्षेत्र गेम सिद्धांत
सामान्यीकृत संक्रामक माध्य क्षेत्र मॉडल

संदर्भ

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[1] Chaikin, P. M.; Lubensky, T. C. (2007). संघनित पदार्थ भौतिकी के सिद्धांत (4th print ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79450-3.

[2] Parr, Thomas; Sajid, Noor; Friston, Karl (2020). "Modules or Mean-Fields?" (PDF). Entropy. 22 (552): 552. Bibcode:2020Entrp..22..552P. doi:10.3390/e22050552. PMC 7517075. PMID 33286324. Retrieved 22 May 2020.

[3] Boudec, J. Y. L.; McDonald, D.; Mundinger, J. (2007). "A Generic Mean Field Convergence Result for Systems of Interacting Objects". Fourth International Conference on the Quantitative Evaluation of Systems (QEST 2007) (PDF). p. 3. CiteSeerX 10.1.1.110.2612. doi:10.1109/QEST.2007.8. ISBN 978-0-7695-2883-0. S2CID 15007784.

[4] Baccelli, F.; Karpelevich, F. I.; Kelbert, M. Y.; Puhalskii, A. A.; Rybko, A. N.; Suhov, Y. M. (1992). "कतारबद्ध नेटवर्क के एक वर्ग के लिए एक माध्य क्षेत्र सीमा". Journal of Statistical Physics. 66 (3–4): 803. Bibcode:1992JSP....66..803B. doi:10.1007/BF01055703. S2CID 120840517.

[5] Lasry, J. M.; Lions, P. L. (2007). "मतलब मैदानी खेल" (PDF). Japanese Journal of Mathematics. 2: 229–260. doi:10.1007/s11537-007-0657-8. S2CID 1963678.

[6] Kadanoff, L. P. (2009). "More is the Same; Phase Transitions and Mean Field Theories". Journal of Statistical Physics. 137 (5–6): 777–797. arXiv:0906.0653. Bibcode:2009JSP...137..777K. doi:10.1007/s10955-009-9814-1. S2CID 9074428.

[7] Weiss, Pierre (1907). "L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique". J. Phys. Theor. Appl. 6 (1): 661–690. doi:10.1051/jphystap:019070060066100.

[Stanley-8] Stanley, H. E. (1971). "Mean Field Theory of Magnetic Phase Transitions". Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena. Oxford University Press. ISBN 0-19-505316-8.

[9] Sakthivadivel, Dalton A R (Jan 2022). "ईजिंग मॉडल में चुंबकीयकरण और मीन फील्ड थ्योरी". SciPost Physics Lecture Notes. 35: 1–16. doi:10.21468/SciPostPhysLectNotes.35. S2CID 237623181.

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+भौतिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, '''माध्य-क्षेत्र सिद्धांत''' (मीन-फील्ड थ्योरी, '''एमएफटी''') या '''स्व-सुसंगत क्षेत्र सिद्धांत''' उच्च विमीय ([[स्टोकेस्टिक|प्रसंभाव्य]]) मॉडल के व्यवहार का अध्ययन करता है जिसे सरलीकृत मॉडल के माध्यम से मूल मॉडल का प्राप्तिकरण करके अध्ययन किया जाता है, जो [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)|स्वतंत्रता की कोटि]] (सांख्यिकी की अंतिम गणना में मुक्त रूप से बदलने के योग्य आंकड़ों की संख्या) के औसत से मूल का अनुमान लगाता है। ऐसे मॉडल कई अलग-अलग घटकों पर विचार करते हैं जो एक दूसरे के साथ प्रभावशील होते हैं।
-एमएफटी की मुख्य विचारधारा यह है कि किसी भी एक निकाय के साथ संबंधित सभी अंतःक्रियाओं{{dn|date=January 2023}} को औसत या प्रभावी अंतःक्रिया के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए, जिसे कभी-कभी आणविक क्षेत्र कहा जाता है।<ref>{{cite book |title=संघनित पदार्थ भौतिकी के सिद्धांत|last1=Chaikin |first1=P. M. |last2=Lubensky |first2=T. C. |publisher=Cambridge University Press |year=2007 |isbn=978-0-521-79450-3 |edition=4th print |location=Cambridge}}</ref> इससे किसी भी [[कई-शरीर की समस्या|बहु-निकाय समस्या]] को प्रभावी एकल-निकाय समस्या में संघटित किया जाता है। एमएफटी समस्याओं के हल करने की सरलता के कारण, निकाय के कार्यविधि में कुछ अंतर्दृष्टि कम अभिकलनात्मक लागत पर प्राप्त की जा सकती है।
+एमएफटी की मुख्य विचारधारा यह है कि किसी भी एक निकाय के साथ संबंधित सभी ''अंतःक्रियाओं''{{dn|date=January 2023}} को औसत या प्रभावी अंतःक्रिया के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए, जिसे कभी-कभी ''आणविक क्षेत्र'' कहा जाता है।<ref>{{cite book |title=संघनित पदार्थ भौतिकी के सिद्धांत|last1=Chaikin |first1=P. M. |last2=Lubensky |first2=T. C. |publisher=Cambridge University Press |year=2007 |isbn=978-0-521-79450-3 |edition=4th print |location=Cambridge}}</ref> इससे किसी भी [[कई-शरीर की समस्या|बहु-निकाय समस्या]] को प्रभावी एकल-निकाय समस्या में संघटित किया जाता है। एमएफटी समस्याओं के हल करने की सरलता के कारण, निकाय के कार्यविधि में कुछ अंतर्दृष्टि कम अभिकलनात्मक लागत पर प्राप्त की जा सकती है।
 एमएफटी को इसके पश्चात भौतिकी के बाहर के विस्तृत श्रृंखला में भी लागू किया गया है, जिनमें सांख्यिकीय अनुमान, [[ग्राफिकल मॉडल]], [[तंत्रिका विज्ञान]] (न्यूरोसाइंस),<ref>{{cite journal |last1=Parr |first1=Thomas |last2=Sajid |first2=Noor |last3=Friston |first3=Karl |title=Modules or Mean-Fields? |journal=Entropy |date=2020 |volume=22 |issue=552 |page=552 |doi=10.3390/e22050552 |pmid=33286324 |pmc=7517075 |bibcode=2020Entrp..22..552P |url=https://res.mdpi.com/d_attachment/entropy/entropy-22-00552/article_deploy/entropy-22-00552.pdf |access-date=22 May 2020|doi-access=free }}</ref> आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, [[महामारी मॉडल|एपिडेमिक मॉडल]],<ref>{{Cite book |url=http://www.cs.toronto.edu/~marbach/ENS/leboudec.pdf |title=Fourth International Conference on the Quantitative Evaluation of Systems (QEST 2007) |last1=Boudec |first1=J. Y. L. |last2=McDonald |first2=D. |last3=Mundinger |first3=J. |year=2007 |isbn=978-0-7695-2883-0 |pages=3 |chapter=A Generic Mean Field Convergence Result for Systems of Interacting Objects |doi=10.1109/QEST.2007.8 |citeseerx=10.1.1.110.2612|s2cid=15007784 }}</ref> [[कतार सिद्धांत]],<ref>{{Cite journal |last1=Baccelli |first1=F. |last2=Karpelevich |first2=F. I. |last3=Kelbert |first3=M. Y. |last4=Puhalskii |first4=A. A. |last5=Rybko |first5=A. N. |last6=Suhov |first6=Y. M. |year=1992 |title=कतारबद्ध नेटवर्क के एक वर्ग के लिए एक माध्य क्षेत्र सीमा|journal=Journal of Statistical Physics |volume=66 |issue=3–4 |pages=803 |bibcode=1992JSP....66..803B |doi=10.1007/BF01055703 |s2cid=120840517 }}</ref> [[नेटवर्क प्रदर्शन|कंप्यूटर-नेटवर्क कार्यकरण]] और [[ औसत क्षेत्र खेल सिद्धांत |गेम सिद्धांत]],<ref>{{Cite journal |last1=Lasry |first1=J. M. |last2=Lions |first2=P. L. |author-link2=Pierre-Louis Lions |year=2007 |title=मतलब मैदानी खेल|journal=Japanese Journal of Mathematics |volume=2 |pages=229–260 |doi=10.1007/s11537-007-0657-8 |s2cid=1963678 |url=https://basepub.dauphine.fr//bitstream/123456789/2263/1/Cahier_Chaire_2.pdf}}</ref> जैसे कि [[मात्रात्मक प्रतिक्रिया संतुलन|क्वान्टमी प्रतिक्रिया साम्यावस्था]] में{{Citation Needed|date=June 2022}}।
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 सामान्यतः, विमीयता किसी भी विशेष समस्या के लिए क्या मीन-फील्ड दृष्टिकोण कार्यविन्त होगा, यह निर्धारित करने में सक्रिय भूमिका निभाता है। कभी-कभी एक [[महत्वपूर्ण आयाम|महत्वपूर्ण विमा]] होती है जिसके ऊपर एमएफटी दृष्टिकोण स्वीकृत होता है और जिसके नीचे यह स्वीकृत नहीं होता है।
-अनुमानतः, एमएफटी में कई अंतराक्रियाएं किसी प्रभावी अंतराक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं। इसलिए, यदि क्षेत्र या कण मूल निकाय में कई यादृच्छिक अंतराक्रियाएं प्रदर्शित करते हैं, तो वे एक दूसरे को रद्द करने की प्रवृत्ति रखते हैं, अतः माध्यमिक प्रभावी अंतराक्रिया और एमएफटी अधिक यथार्थ होंगे। यह उच्च विमीयता की स्थितियों में सच है, जब हैमिल्टोनियन में दीर्घ-संबंधी बल होते हैं या कण विस्तारित होते हैं (उदा. [[ पॉलीमर |पॉलीमर]])। [[गिन्ज़बर्ग कसौटी|गिन्जबर्ग मापक]] मानक फील्ड थीरोरी को अपर्याप्त अनुमानित सन्निकटन बनाने वाले [[थर्मल उतार-चढ़ाव|उच्चावचन]] के रूप में निर्देशित करता है, जो सामान्यतः स्वेक्षा वाली स्थानिक विमाओं की संख्या पर निर्भर करता है।
+अनुमानतः, एमएफटी में कई अंतराक्रियाएं किसी प्रभावी अंतराक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं। इसलिए, यदि क्षेत्र या कण मूल निकाय में कई यादृच्छिक अंतराक्रियाएं प्रदर्शित करते हैं, तो वे एक दूसरे को रद्द करने की प्रवृत्ति रखते हैं, अतः माध्यमिक प्रभावी अंतराक्रिया और एमएफटी अधिक यथार्थ होंगे। यह उच्च विमीयता की स्थितियों में सच है, जब हैमिल्टोनियन में दीर्घ-संबंधी बल होते हैं या कण विस्तारित होते हैं (उदा. [[ पॉलीमर |पॉलीमर]])। [[गिन्ज़बर्ग कसौटी|गिन्जबर्ग मापक]] माध्य क्षेत्र सिद्धांत को अपर्याप्त अनुमानित सन्निकटन बनाने वाले [[थर्मल उतार-चढ़ाव|उच्चावचन]] के रूप में निर्देशित करता है, जो सामान्यतः स्वेक्षा वाली स्थानिक विमाओं की संख्या पर निर्भर करता है।
 == प्रारूपिक दृष्टिकोण (हैमिल्टोनियन) ==
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 : <math>\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),</math>
-जहां <math>\xi_i</math> हमारे सांख्यिकीय सिस्टम के व्यक्तिगत घटकों (परमाणु, स्पिन आदि) की स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, हम असमानता के दाईं ओर को निम्न करके ऊपरी बाध्यता को तीव्र करने का विचार कर सकते हैं। इस असमानता के दाईं ओर को कम करने वाला संदर्भ निकाय अतः "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन है जो गैर-सहसंबद्धता वाले स्वतंत्रता की कोटि का उपयोग करके वास्तविक निकाय के लिए निकटता में सन्निकटित बनाया जाता है और इसे माध्य क्षेत्र सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।
+जहां <math>\xi_i</math> हमारे सांख्यिकीय सिस्टम के व्यक्तिगत घटकों (परमाणु, स्पिन आदि) की स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, हम असमानता के दाईं ओर को निम्न करके ऊपरी बाध्यता को तीव्र करने का विचार कर सकते हैं। इस असमानता के दाईं ओर को कम करने वाला संदर्भ निकाय अतः "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन है जो गैर-सहसंबद्धता वाले स्वतंत्रता की कोटि का उपयोग करके वास्तविक निकाय के लिए निकटता में सन्निकटित बनाया जाता है और इसे '''माध्य क्षेत्र सन्निकटन''' के रूप में जाना जाता है।
 सर्वाधिक साधारण स्थिति के लिए कि टारगेट हैमिल्टनियन में केवल युग्मित अंतःक्रियाएं होती हैं, अर्थात,
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 == अनुप्रयोग ==
-माध्य क्षेत्र सिद्धांत को कई भौतिक प्रणालियों पर लागू किया जा सकता है ताकि चरण संक्रमण जैसी घटनाओं का अध्ययन किया जा सके।<ref name=Stanley>
+माध्य क्षेत्र सिद्धांत को कई भौतिक निकायों पर लागू किया जा सकता है ताकि प्रावस्था संक्रमण जैसे घटनाओं का अध्ययन किया जा सके।<ref name=Stanley>
 {{cite book
   |title=Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena
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   |year=1971
 }}</ref>
+===आइसिंग मॉडल===
+==== प्रारूपिक व्युत्पत्ति ====
-===इसिंग मॉडल===
+उपर्युक्त बोगोलियुबॉव असमानता का उपयोग करके द्वी-विमीय [[इसिंग जाली|आइसिंग जाल]] के माध्य क्षेत्र मॉडल की गतिशीलता का पता लगाया जा सकता है। चुंबकत्व फलन का परिणाम सन्निकटित मुक्त ऊर्जा से प्राप्त किया जा सकती है।<ref>{{cite journal |last1=Sakthivadivel |first1=Dalton A R |title=ईजिंग मॉडल में चुंबकीयकरण और मीन फील्ड थ्योरी|journal=SciPost Physics Lecture Notes |date=Jan 2022 |volume=35 |pages=1–16 |doi=10.21468/SciPostPhysLectNotes.35 |s2cid=237623181 |url=https://scipost.org/SciPostPhysLectNotes.35|doi-access=free }}</ref> प्रथम चरण सत्यापित हैमिल्टोनियन के एक अधिक सम्प्रेक्ष सन्निकटन का चयन करना है। गैर-प्रतिक्रियाशील या प्रभावी क्षेत्रीय हैमिल्टोनियन का उपयोग करके,
-==== औपचारिक व्युत्पत्ति ====
-ऊपर दिखाई गई बोगोलीबॉव असमानता का उपयोग द्वि-आयामी आ[[इसिंग जाली]] के माध्य क्षेत्र मॉडल की गतिशीलता को खोजने के लिए किया जा सकता है। परिणामी अनुमानित हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा से एक चुंबकीयकरण समारोह की गणना की जा सकती है।<ref>{{cite journal |last1=Sakthivadivel |first1=Dalton A R |title=ईजिंग मॉडल में चुंबकीयकरण और मीन फील्ड थ्योरी|journal=SciPost Physics Lecture Notes |date=Jan 2022 |volume=35 |pages=1–16 |doi=10.21468/SciPostPhysLectNotes.35 |s2cid=237623181 |url=https://scipost.org/SciPostPhysLectNotes.35|doi-access=free }}</ref> पहला कदम सही हेमिल्टनियन का एक अधिक सुगम सन्निकटन चुनना है। एक गैर-बातचीत या प्रभावी फ़ील्ड हैमिल्टनियन का उपयोग करना,
 :<math> -m \sum_i s_i </math>,
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 :<math> F_V = F_0 + \left \langle \left( -J \sum s_i s_j - h \sum s_i \right) - \left(-m\sum s_i\right) \right \rangle_0. </math>
-Bogoliubov असमानता द्वारा, इस मात्रा को सरल बनाना और चुंबकीयकरण समारोह की गणना करना कि [[गणितीय अनुकूलन]] भिन्नता मुक्त ऊर्जा वास्तविक चुंबकत्व के लिए सबसे अच्छा सन्निकटन पैदा करती है। न्यूनतम है
+बोगोलियुबॉव असमानता के द्वारा, इस मात्रा को सरल बनाकर और परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा को न्यूनतम करने वाली चुंबकीयता फलन के अनुसार [[गणितीय अनुकूलन|न्यूनतम]] चुंबकीयता तथ्यांकन द्वारा वास्तविक चुंबकीयता के लिए सर्वश्रेष्ठ अनुमान प्राप्त होता है। न्यूनतमीकरण निम्न होता है:
 :<math> m = J\sum\langle s_j \rangle_0 + h, </math>
-जो स्पिन का [[पहनावा औसत (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] है। यह करने के लिए सरल करता है
+जो स्पिन के [[पहनावा औसत (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|एन्सेम्बल का औसत]] है। यह निम्न प्रकार सरलीकृत  होता है:
 :<math> m = \text{tanh}(zJ\beta m) + h. </math>
-सभी स्पिनों द्वारा महसूस किए गए प्रभावी क्षेत्र को औसत स्पिन मान के बराबर करना, उतार-चढ़ाव के दमन के लिए परिवर्तनशील दृष्टिकोण से संबंधित है। मैग्नेटिसेशन फ़ंक्शन की भौतिक व्याख्या तब अलग-अलग स्पिन के लिए माध्य मानों का एक क्षेत्र है।
+सभी स्पिनों द्वारा अनुभव की जाने वाली प्रभावी फ़ील्ड को एक औसत स्पिन मान के समतुल्य करना, परिवर्तनशील दृष्टिकोण को प्रतिवर्तन में उच्चावचन के रोकथाम से संबंधित किया जा सकता है। चुंबकीयता फलन की भौतिक व्याख्या तब एकल स्पिनों के लिए औसत मानों का एक क्षेत्र होती है।
-==== गैर-अंतःक्रियात्मक स्पिन सन्निकटन ====
+==== गैर-प्रतिक्रियाशील स्पिनों का सन्निकटन ====
-एक पर आइसिंग मॉडल पर विचार करें <math>d</math>-आयामी जाली। हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है
+<math>d</math>-विमीय जाल पर आइसिंग मॉडल का विचार करें। हैमिल्टोनियन निम्नरूप से दिया गया है:
 : <math>H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} s_i s_j - h \sum_i s_i,</math>
-जहां <math>\sum_{\langle i, j \rangle}</math> निकटतम पड़ोसियों की जोड़ी पर योग इंगित करता है <math>\langle i, j \rangle</math>, और <math>s_i, s_j = \pm 1</math> पड़ोसी ईज़िंग स्पिन हैं।
+जहां <math>\sum_{\langle i, j \rangle}</math> निकटवर्ती <math>\langle i, j \rangle</math> के युग्म के लिए योग को दर्शाता है, और <math>s_i, s_j = \pm 1</math> निकटवर्ती आइसिंग स्पिन हैं।
-आइए हम अपने स्पिन चर को उसके माध्य मान से उतार-चढ़ाव का परिचय देकर रूपांतरित करें <math>m_i \equiv \langle s_i \rangle</math>. हम हैमिल्टनियन को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं
+आइए हम अपने स्पिन परिवर्तन को इसके माध्य मान <math>m_i \equiv \langle s_i \rangle</math> से उच्चावचन का परिचय देकर रूपांतरित करें। हम हैमिल्टोनियन को फिर से लिख सकते हैं:
 : <math>H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,</math>
-जहां हम परिभाषित करते हैं <math>\delta s_i \equiv s_i - m_i</math>; यह स्पिन का उतार-चढ़ाव है।
+जहां हम <math>\delta s_i \equiv s_i - m_i</math> की परिभाषा करते हैं; यह स्पिन का ''उच्चावचन'' है।
-यदि हम दाईं ओर विस्तार करते हैं, तो हमें एक शब्द मिलता है जो पूरी तरह से स्पिन के औसत मूल्यों पर निर्भर करता है और स्पिन कॉन्फ़िगरेशन से स्वतंत्र होता है। यह तुच्छ शब्द है, जो सिस्टम के सांख्यिकीय गुणों को प्रभावित नहीं करता है। अगला शब्द स्पिन के औसत मूल्य और उतार-चढ़ाव मूल्य के उत्पाद को शामिल करने वाला है। अंत में, अंतिम शब्द में दो उतार-चढ़ाव मूल्यों का उत्पाद शामिल होता है।
+यदि हम दायां तरफ को विस्तारित करें, तो हमें एक ऐसा पद प्राप्त होगा जो पूरी तरह से स्पिन के औसत मानों पर आधारित होता है और स्पिन विन्यास से स्वतंत्र होता है। यह साधारण पद है, जो निकाय के सांख्यिकीय गुणों पर प्रभाव नहीं डालता है। अग्रिम पद ऐसा है जिसमें स्पिन की औसत मान और उच्चावचन मान का गुणनफल होता है। अंत में, अंतिम पद दो उच्चावचन मानों का गुणनफल होता है।
-माध्य क्षेत्र सन्निकटन में इस दूसरे क्रम के उतार-चढ़ाव की अवधि की उपेक्षा करना शामिल है:
+माध्य क्षेत्र सन्निकटन इस द्वितीय-क्रम उच्चावचन पद की अवधि की उपेक्षा करना सम्मिलित है:
 : <math>H \approx H^\text{MF} \equiv -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i m_j + m_i \delta s_j + m_j \delta s_i) - h \sum_i s_i.</math>
-इन उतार-चढ़ावों को कम आयामों पर बढ़ाया जाता है, जिससे एमएफटी उच्च आयामों के लिए बेहतर सन्निकटन बन जाता है।
+निम्न विमाओं पर ये उच्चावचन प्रबलित होता हैं, जो उच्च विमाओं के लिए एमएफटी उत्कृष्ट सन्निकटन प्रदान करती है।
-फिर से, सारांश को फिर से विस्तारित किया जा सकता है। इसके अलावा, हम उम्मीद करते हैं कि प्रत्येक स्पिन का माध्य मान साइट-स्वतंत्र है, क्योंकि ईज़िंग श्रृंखला पारभासी रूप से अपरिवर्तनीय है। यह प्रदान करता है
+फिर से, योगखंड को पुनर्विस्तारित किया जा सकता है। साथ ही, हम यह आशा करते हैं कि प्रत्येक स्पिन की औसत मान स्थान-स्वतंत्र है, क्योंकि आइसिंग श्रृंखला स्थानांतरणीय अपरिवर्तनीय है। इससे हमें निम्न प्राप्त होता है:
 : <math>H^\text{MF} = -J \sum_{\langle i, j \rangle} \big(m^2 + 2m(s_i - m)\big) - h \sum_i s_i.</math>
-पड़ोसी स्पिनों पर योग को फिर से लिखा जा सकता है <math>\sum_{\langle i, j \rangle} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_{j \in nn(i)}</math>, कहाँ <math>nn(i)</math> का मतलब निकटतम पड़ोसी <math>i</math>, और यह <math>1/2</math> प्रीफैक्टर डबल काउंटिंग से बचता है, क्योंकि प्रत्येक बॉन्ड दो स्पिन में भाग लेता है। सरलीकरण अंतिम अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है
+निकटवर्ती स्पिनों के योग को <math>\sum_{\langle i, j \rangle} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_{j \in nn(i)}</math> के रूप में पुनः लिखा जा सकता है, जहां <math>nn(i)</math> का अर्थ होता है " <math>i</math> का निकटवर्ती, और <math>1/2</math> प्रीफैक्टर दोहरी गणना की उपेक्षा करता है, क्योंकि प्रत्येक बंध दो स्पिनों में भाग लेता है। सरलीकरण से अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त होता है:
 : <math>H^\text{MF} = \frac{J m^2 N z}{2} - \underbrace{(h + m J z)}_{h^\text{eff.}} \sum_i s_i,</math>
-कहाँ <math>z</math> [[समन्वय संख्या]] है। इस बिंदु पर, इस्सिंग हैमिल्टनियन को एक प्रभावी माध्य क्षेत्र के साथ एक-निकाय हैमिल्टनियन के योग में अलग कर दिया गया है <math>h^\text{eff.} = h + J z m</math>, जो बाहरी क्षेत्र का योग है <math>h</math> और पड़ोसी स्पिन द्वारा प्रेरित माध्य क्षेत्र का। यह ध्यान देने योग्य है कि यह औसत क्षेत्र सीधे निकटतम पड़ोसियों की संख्या पर निर्भर करता है और इस प्रकार सिस्टम के आयाम पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, आयाम के हाइपरक्यूबिक जाली के लिए <math>d</math>, <math>z = 2 d</math>).
+जहाँ <math>z</math> [[समन्वय संख्या]] है। इस बिंदु पर, आइसिंग हैमिल्टनियन को प्रभावी माध्य क्षेत्र <math>h^\text{eff.} = h + J z m</math> के साथ एकल-निकाय हैमिल्टन के योग में विभाजित किया गया है, जो बाहरी क्षेत्र <math>h</math> का योग है और निकटवर्ती स्पिनों द्वारा ''प्रेरित माध्य क्षेत्र'' का योग है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह औसत क्षेत्र सीधे निकटवर्तों की संख्या पर निर्भर करता है और इस प्रकार निकाय की विमा पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, विमा <math>d</math>, <math>z = 2 d</math> का हाइपरक्यूबिक जाल के लिए)।
-इस हैमिल्टनियन को विभाजन समारोह में प्रतिस्थापित करना और प्रभावी 1D समस्या को हल करना, हम प्राप्त करते हैं
+इस हैमिल्टनियन को विभाजन फलन में प्रतिस्थापित करना और प्रभावी 1D समस्या को हल करना, हमें निम्न प्राप्त होता है
 : <math> Z = e^{-\frac{\beta J m^2 Nz}{2}} \left[2 \cosh\left(\frac{h + m J z}{k_\text{B} T}\right)\right]^N,</math>
-कहाँ <math>N</math> जाली साइटों की संख्या है। यह सिस्टम के विभाजन कार्य के लिए एक बंद और सटीक अभिव्यक्ति है। हम सिस्टम की मुक्त ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण घातांक की गणना कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम चुंबकत्व प्राप्त कर सकते हैं <math>m</math> के एक समारोह के रूप में <math>h^\text{eff.}</math>.
+जहां <math>N</math> जालक स्थलों की संख्या है। यह सिस्टम के विभाजन फलन के लिए एक संवृत और यथार्थ व्यंजक है I हम निकाय की मुफ्त ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण घातांकों की गणना कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम <math>h^\text{eff.}</math> के फलन के रूप में चुंबकीयकरण <math>m</math> प्राप्त कर सकते हैं।
-इस प्रकार हमारे बीच दो समीकरण हैं <math>m</math> और <math>h^\text{eff.}</math>, हमें निर्धारित करने की अनुमति देता है <math>m</math> तापमान के एक समारोह के रूप में। यह निम्नलिखित अवलोकन की ओर जाता है:
+इस प्रकार हमारे पास <math>m</math> और <math>h^\text{eff.}</math> के बीच दो समीकरण हैं, जिससे हम <math>m</math> को तापमान के फलन के रूप में निर्धारित कर सकते हैं। यह निम्नलिखित अवलोकन की ओर जाता है:
-* एक निश्चित मान से अधिक तापमान के लिए <math>T_\text{c}</math>, एक मात्र उपाय है <math>m = 0</math>. सिस्टम पैरामैग्नेटिक है।
+* किसी निश्चित मान <math>T_\text{c}</math> से अधिक तापमान के लिए, केवल <math>m = 0</math> ही हल है। निकाय अनुचुंबकीय (पैरामैग्नेटिक) है।
-* के लिए <math>T < T_\text{c}</math>, दो गैर-शून्य समाधान हैं: <math>m = \pm m_0</math>. सिस्टम फेरोमैग्नेटिक है।
+*<math>T < T_\text{c}</math> के लिए, दो अशून्य हल होता हैं: <math>m = \pm m_0</math>। निकाय लौह-चुंबकीय होता है।
 <math>T_\text{c}</math> निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है: <math>T_\text{c} = \frac{J z}{k_B}</math>.
-इससे पता चलता है कि एमएफटी फेरोमैग्नेटिक फेज ट्रांजिशन के लिए जिम्मेदार हो सकता है।
+इससे यह ज्ञात होता है कि एमएफटी लौह चुम्बकीय प्रावस्था संक्रमण के कारण हो सकता है।
 === अन्य प्रणालियों के लिए आवेदन ===
-इसी प्रकार, निम्नलिखित मामलों में एमएफटी को अन्य प्रकार के हैमिल्टनियन पर लागू किया जा सकता है:
+इसी प्रकार, एमएफटी को अन्य प्रकार के हैमिल्टनियन पर लागू किया जा सकता है जैसा कि निम्नलिखित स्थितियों में है:
-* धातु-अतिचालक संक्रमण का अध्ययन करना। इस मामले में, चुंबकीयकरण का एनालॉग [[सुपरकंडक्टर]] गैप है <math>\Delta</math>.
+* धातु-[[सुपरकंडक्टर|अतिचालक]] संक्रमण का अध्ययन करना। इस स्थिति में, चुंबकीयकरण का एनालॉग अतिचालक अंतराल <math>\Delta</math> है।
-* एक [[ तरल स्फ़टिक ]] का आणविक क्षेत्र जो निदेशक क्षेत्र के [[लाप्लासियन]] गैर-शून्य होने पर उभरता है।
+*[[ तरल स्फ़टिक |तरल क्रिस्टल]] का आणविक क्षेत्र जो निदेशक क्षेत्र के [[लाप्लासियन]] गैर-शून्य होने पर प्रकट होता है।
-* [[प्रोटीन संरचना भविष्यवाणी]] में एक निश्चित [[तृतीयक संरचना]] दी गई इष्टतम [[ एमिनो एसिड ]] [[पक्ष श्रृंखला]] पैकिंग का निर्धारण करने के लिए (स्व-संगत माध्य क्षेत्र (जीव विज्ञान) देखें)।
+* इष्टतम [[ एमिनो एसिड |अमीनो अम्ल]] [[पक्ष श्रृंखला|साइड चेन]] पैकिंग को निर्धारित करने के लिए [[प्रोटीन संरचना भविष्यवाणी|प्रोटीन संरचना पूर्वानुमान]] में निश्चित प्रोटीन पृष्ठवंश दी गई है (देखें स्व-संगत माध्य क्षेत्र (जीव विज्ञान))।
-* एक मिश्रित सामग्री की [[लोच (भौतिकी)]] निर्धारित करने के लिए।
+* मिश्रित सामग्री के [[लोच (भौतिकी)|प्रत्यास्थ गुणों]] का निर्धारण करने के लिए।
 माध्य क्षेत्र सिद्धांत की तरह भिन्न रूप से न्यूनीकरण का उपयोग वैरिएशनल बायेसियन विधियों | सांख्यिकीय अनुमान में भी किया जा सकता है।
-== समय-निर्भर माध्य क्षेत्रों का विस्तार ==
+== समय-पराश्रित माध्य क्षेत्रों का विस्तार ==
-{{Main|Dynamical mean field theory}}
+{{Main|गतिक माध्य क्षेत्र सिद्धांत}}
-माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, एकल-स्थल समस्या में दिखाई देने वाला माध्य क्षेत्र समय-स्वतंत्र अदिश या सदिश मात्रा है। हालांकि, यह हमेशा मामला नहीं होता है: गतिशील औसत क्षेत्र सिद्धांत (डीएमएफटी) नामक औसत क्षेत्र सिद्धांत के एक प्रकार में, औसत क्षेत्र समय-निर्भर मात्रा बन जाता है। उदाहरण के लिए, धातु-मोट-इन्सुलेटर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए डीएमएफटी को [[हबर्ड मॉडल]] पर लागू किया जा सकता है।
+माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, एकल-स्थल समस्या में प्रकट होने वाला माध्य क्षेत्र समय-स्वतंत्र अदिश या सदिश मात्रा है। हालांकि, हमेशा यह स्थिति नहीं होती है: गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत (डीएमएफटी) नामक माध्य क्षेत्र सिद्धांत के एक संस्करण में, माध्य क्षेत्र समय-पराश्रित मात्रा बन जाता है। उदाहरण के लिए, मेटल-मोट-इन्सुलेटर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए डीएमएफटी को [[हबर्ड मॉडल]] पर लागू किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत
+* गतिक माध्य क्षेत्र सिद्धांत
-* मीन फील्ड गेम थ्योरी
+* माध्य क्षेत्र गेम सिद्धांत
-* [[सामान्यीकृत महामारी माध्य क्षेत्र मॉडल]]
+* [[सामान्यीकृत महामारी माध्य क्षेत्र मॉडल|सामान्यीकृत संक्रामक माध्य क्षेत्र मॉडल]]
 ==संदर्भ==

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माध्य-क्षेत्र सिद्धांत: Difference between revisions

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प्रारूपिक दृष्टिकोण (हैमिल्टोनियन)