समूह-योजना कार्रवाई: Difference between revisions

Revision as of 13:18, 31 May 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक समूह योजना की एक क्रिया समूह योजना के लिए एक समूह क्रिया का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, एक समूह S-स्कीम G दिया गया है, एक S-स्कीम एक्स पर G की एक बाईं कार्रवाई एक S-मॉर्फिज्म है

\sigma :G\times _{S}X\to X

यह ऐसा है

(साहचर्य) $\sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})$ , जहाँ $m:G\times _{S}G\to G$ समूह नियम है,
(एकता) $\sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}$ , जहाँ $e:S\to G$ का तत्समक खंड है।

X पर G की एक सही क्रिया को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। एक समूह योजना G की बाएं या दाएं कार्रवाई से सुसज्जित योजना को G-योजना कहा जाता है। G-योजनाओं के बीच एक समान रूपवाद उन योजनाओं का आकार है जो संबंधित जी-कार्यों को आपस में जोड़ता है।

अधिक आम तौर पर, एक समूह फ़ैक्टर की कार्रवाई (कम से कम कुछ विशेष मामले) पर भी विचार कर सकता है: G को एक फ़ंक्टर के रूप में देखते हुए, उपरोक्त के अनुरूप शर्तों को पूरा करने वाले प्राकृतिक परिवर्तन के रूप में एक क्रिया दी जाती है।^[1] वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक समूह कार्रवाई का अध्ययन समूह की भाषा में करते हैं; एक ग्रुप-स्कीम एक्शन तब एक ग्रुपॉइड स्कीम का एक उदाहरण है।

बनाता है

समूह क्रिया (गणित) के लिए सामान्य निर्माण जैसे कक्षाएँ समूह-योजना क्रिया के लिए सामान्यीकृत होती हैं। होने देना $\sigma$ ऊपर के रूप में दी गई समूह-योजना क्रिया हो।

एक टी-वैल्यू पॉइंट दिया गया है $x:T\to X$ , कक्षा का नक्शा $\sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T$ के रूप में दिया जाता है $(\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})$ .
एक्स की कक्षा (समूह सिद्धांत) कक्षा मानचित्र की छवि है $\sigma _{x}$ .
X का स्टेबलाइजर उपसमूह योजना-सैद्धांतिक फाइबर ओवर है $\sigma _{x}$ मानचित्र का $(x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.$

एक भागफल बनाने की समस्या

एक सेट-सैद्धांतिक समूह क्रिया के विपरीत, समूह-योजना क्रिया के लिए भागफल बनाने का कोई सीधा तरीका नहीं है। एक अपवाद वह मामला है जब कार्रवाई मुक्त होती है, एक प्रमुख फाइबर बंडल का मामला।

इस कठिनाई को दूर करने के लिए कई उपाय हैं:

स्तर संरचना (बीजगणितीय ज्यामिति) - शायद सबसे पुराना, दृष्टिकोण एक वस्तु द्वारा एक स्तर संरचना के साथ वर्गीकृत करने के लिए एक वस्तु को प्रतिस्थापित करता है
ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत - खराब कक्षाओं को फेंक दें और फिर भागफल लें। दोष यह है कि खराब कक्षाओं की धारणा को पेश करने का कोई प्रामाणिक तरीका नहीं है; धारणा रैखिककरण के विकल्प पर निर्भर करती है। यह भी देखें: श्रेणीबद्ध भागफल, GIT भागफल।
बोरेल निर्माण - यह अनिवार्य रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी से एक दृष्टिकोण है; इस दृष्टिकोण के लिए व्यक्ति को अनंत-आयामी स्थान के साथ काम करने की आवश्यकता होती है।
विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण, टेकमूलर अंतरिक्ष का सिद्धांत
भागफल ढेर - एक अर्थ में, यह समस्या का अंतिम उत्तर है। मोटे तौर पर, एक भागफल प्रीस्टैक कक्षाओं की श्रेणी है और एक स्टैकिफिकेशन (यानी, एक टॉर्सर की धारणा का परिचय) यह एक भागफल स्टैक प्राप्त करने के लिए है।

अनुप्रयोगों के आधार पर, एक अन्य दृष्टिकोण फोकस को एक स्थान से दूर एक स्थान पर सामान पर स्थानांतरित करना होगा; उदा., topos . तो समस्या कक्षाओं के वर्गीकरण से समभिन्न वस्तुओं के वर्गीकरण में बदल जाती है।

↑ In details, given a group-scheme action $\sigma$ , for each morphism $T\to S$ , $\sigma$ determines a group action $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; i.e., the group $G(T)$ acts on the set of T-points $X(T)$ . Conversely, if for each $T\to S$ , there is a group action $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

[1] In details, given a group-scheme action $\sigma$ , for each morphism $T\to S$ , $\sigma$ determines a group action $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; i.e., the group $G(T)$ acts on the set of T-points $X(T)$ . Conversely, if for each $T\to S$ , there is a group action $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

[1]

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-[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, [[समूह योजना]] की एक क्रिया समूह योजना के लिए [[समूह क्रिया (गणित)]] का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, एक समूह ''एस''-स्कीम ''जी'' दिया गया है, ''एस''-स्कीम ''एक्स'' पर ''जी'' की एक बाईं कार्रवाई एक ''एस'-मोर्फिज्म है
+[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक [[समूह योजना|'''समूह योजना''']] की एक क्रिया समूह योजना के लिए एक [[समूह क्रिया (गणित)|समूह]] क्रिया का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, एक समूह '''''S''-स्कीम''' ''G'' दिया गया है, एक '''''S''-स्कीम''' एक्स पर ''G'' की एक बाईं कार्रवाई एक ''S''-मॉर्फिज्म है
 :<math>\sigma: G \times_S X \to X</math>
-ऐसा है कि
+यह ऐसा है
-* (साहचर्य) <math>\sigma \circ (1_G \times \sigma) = \sigma \circ (m \times 1_X)</math>, कहाँ <math>m: G \times_S G \to G</math> समूह कानून है,
+* (साहचर्य) <math>\sigma \circ (1_G \times \sigma) = \sigma \circ (m \times 1_X)</math>, जहाँ <math>m: G \times_S G \to G</math> समूह नियम है,
-* (एकता) <math>\sigma \circ (e \times 1_X) = 1_X</math>, कहाँ <math>e: S \to G</math> G का पहचान खंड है।
+*(एकता) <math>\sigma \circ (e \times 1_X) = 1_X</math>, जहाँ <math>e: S \to G</math> का तत्समक खंड है।
-एक 'एक्स पर जी की सही कार्रवाई' को समान रूप से परिभाषित किया गया है। एक समूह योजना जी की बाएं या दाएं कार्रवाई से लैस एक योजना को 'जी-स्कीम' कहा जाता है। जी-योजनाओं के बीच एक समान रूपवाद योजनाओं का एक रूपवाद है जो संबंधित जी-क्रियाओं को आपस में जोड़ता है।
+''X'' पर ''G'' की एक सही क्रिया को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। एक समूह योजना ''G'' की बाएं या दाएं कार्रवाई से सुसज्जित योजना को ''G''-योजना कहा जाता है। ''G''-योजनाओं के बीच एक समान रूपवाद उन योजनाओं का आकार है जो संबंधित जी-कार्यों को आपस में जोड़ता है।
-अधिक आम तौर पर, एक समूह फ़ैक्टर की कार्रवाई (कम से कम कुछ विशेष मामला) पर भी विचार कर सकता है: जी को एक फ़ैक्टर के रूप में देखते हुए, उपरोक्त के अनुरूप शर्तों को संतुष्ट करने वाले प्राकृतिक परिवर्तन के रूप में एक क्रिया दी जाती है।<ref>In details, given a group-scheme action <math>\sigma</math>, for each morphism <math>T \to S</math>, <math>\sigma</math> determines a group action <math>G(T) \times X(T) \to X(T)</math>; i.e., the group <math>G(T)</math> acts on the set of ''T''-points <math>X(T)</math>. Conversely, if for each <math>T \to S</math>, there is a group action <math>\sigma_T: G(T) \times X(T) \to X(T)</math> and if those actions are compatible; i.e., they form a [[natural transformation]], then, by the [[Yoneda lemma]], they determine a group-scheme action <math>\sigma: G \times_S X \to X</math>.</ref> वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक ग्रुपाइड की भाषा में ग्रुप एक्शन का अध्ययन करते हैं; एक ग्रुप-स्कीम एक्शन तब [[[[ groupoid ]] योजना]] का एक उदाहरण है।
+अधिक आम तौर पर, एक समूह फ़ैक्टर की कार्रवाई (कम से कम कुछ विशेष मामले) पर भी विचार कर सकता है: ''G'' को एक फ़ंक्टर के रूप में देखते हुए, उपरोक्त के अनुरूप शर्तों को पूरा करने वाले प्राकृतिक परिवर्तन के रूप में एक क्रिया दी जाती है।<ref>In details, given a group-scheme action <math>\sigma</math>, for each morphism <math>T \to S</math>, <math>\sigma</math> determines a group action <math>G(T) \times X(T) \to X(T)</math>; i.e., the group <math>G(T)</math> acts on the set of ''T''-points <math>X(T)</math>. Conversely, if for each <math>T \to S</math>, there is a group action <math>\sigma_T: G(T) \times X(T) \to X(T)</math> and if those actions are compatible; i.e., they form a [[natural transformation]], then, by the [[Yoneda lemma]], they determine a group-scheme action <math>\sigma: G \times_S X \to X</math>.</ref> वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक समूह कार्रवाई का अध्ययन समूह की भाषा में करते हैं; एक ग्रुप-स्कीम एक्शन तब एक ग्रुपॉइड स्कीम का एक उदाहरण है।
 == बनाता है ==
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 * एक्स की [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]] कक्षा मानचित्र की छवि है <math>\sigma_x</math>.
 *X का [[स्टेबलाइजर उपसमूह]] [[योजना-सैद्धांतिक फाइबर]] ओवर है <math>\sigma_x</math> मानचित्र का <math>(x, 1_T): T \to X \times_S T.</math>
 == एक भागफल बनाने की समस्या ==
-{{expand section|date=June 2018}}
 एक सेट-सैद्धांतिक समूह क्रिया के विपरीत, समूह-योजना क्रिया के लिए भागफल बनाने का कोई सीधा तरीका नहीं है। एक अपवाद वह मामला है जब कार्रवाई मुक्त होती है, एक [[प्रमुख फाइबर बंडल]] का मामला।

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