समूह-योजना कार्रवाई

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक समूह योजना की एक क्रिया समूह योजना के लिए एक समूह क्रिया का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, एक समूह S-स्कीम G दिया गया है, एक S-स्कीम एक्स पर G की एक बाईं क्रिया एक S-मॉर्फिज्म है

$\sigma :G\times _{S}X\to X$

यह ऐसा है

• (साहचर्य) $\sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})$, जहाँ $m:G\times _{S}G\to G$ समूह नियम है,
• (एकता) $\sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}$, जहाँ $e:S\to G$ का तत्समक खंड है।

X पर G की एक सही क्रिया को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। एक समूह योजना G की बाएं या दाएं क्रिया से सुसज्जित योजना को G-योजना कहा जाता है। G-योजनाओं के बीच एक समान रूपवाद उन योजनाओं का आकार है जो संबंधित जी-कार्यों को आपस में जोड़ता है।

अधिक आम तौर पर, एक समूह फ़ैक्टर की क्रिया (कम से कम कुछ विशेष स्थिति) पर भी विचार कर सकता है: G को एक फ़ंक्टर के रूप में देखते हुए, उपरोक्त के अनुरूप शर्तों को पूरा करने वाले प्राकृतिक परिवर्तन के रूप में एक क्रिया दी जाती है। वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक समूह क्रिया का अध्ययन समूह की भाषा में करते हैं; एक ग्रुप-स्कीम क्रिया तब एक ग्रुपॉइड स्कीम का एक उदाहरण है।

बनाता है

समूह क्रिया (गणित) के लिए सामान्य निर्माण जैसे कक्षाएँ समूह-योजना क्रिया के लिए सामान्यीकृत होती हैं। होने देना $\sigma$ ऊपर के रूप में दी गई समूह-योजना क्रिया हो।

• एक T-मूल्यवान बिंदु $x:T\to X$ दिया गया है, कक्षा मानचित्र $\sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T$ को $(\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})$ के रूप में दिया गया है।
• x की कक्षा कक्षा मानचित्र $\sigma _{x}$ की छवि है।
• x का स्टेबलाइज़र मैप के $\sigma _{x}$ पर फाइबर है $(x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.$

एक भागफल बनाने की समस्या

एक सेट-सैद्धांतिक समूह क्रिया के विपरीत, समूह-योजना क्रिया के लिए भागफल का निर्माण करने का कोई सीधा तरीका नहीं है। एक अपवाद तब होता है जब कार्रवाई मुक्त होती है, एक प्रमुख फाइबर बंडल की स्थिति है।

• स्तर संरचना - संभवतया सबसे पुराना, दृष्टिकोण एक वस्तु द्वारा वर्गीकृत करने के लिए एक स्तर संरचना के साथ एक वस्तु को प्रतिस्थापित करता है
• ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत - दोषपूर्ण कक्षाओं को फेंक दें और फिर एक अंश लें। दोष यह है कि "दोषपूर्ण कक्षाओं" की धारणा को पेश करने का कोई वैधानिक तरीका नहीं है; धारणा रैखिकरण की पसंद पर निर्भर करती है। यह भी देखें: श्रेणीबद्ध भागफल, GIT भागफल।
• बोरेल निर्माण - यह अनिवार्य रूप से बीजीय सांस्थिति से एक दृष्टिकोण है; इस दृष्टिकोण के लिए एक अनंत-आयामी अंतरिक्ष के साथ काम करने की आवश्यकता होती है।
• विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण, टेकमूलर स्पेसस्पेस का सिद्धांत।
• कोशेंट स्टैक - एक मायने में, यह समस्या का अंतिम उत्तर है। मोटे तौर पर, एक "भाग्य प्रेस्टैक" कक्षाओं की श्रेणी है और एक भागफल ढेर प्राप्त करने के लिए एक स्टैकिफ़ाई (यानी, एक टोरसर की धारणा का परिचय)।

अनुप्रयोगों के आधार पर, एक और दृष्टिकोण फोकस को अंतरिक्ष से दूर और फिर अंतरिक्ष पर सामान पर स्थानांतरित करना होगा; जैसे, टोपोस, इसलिए समस्या कक्षाओं के वर्गीकरण से समतुल्य वस्तुओं के वर्गीकरण में बदल जाती है।