फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया

फजी सेट आपरेशन फ़ज़ी सेट के क्रिस्प सेट संचालन (गणित) का एक सामान्यीकरण होता है। वास्तव में एक से अधिक संभावित सामान्यीकरण होते है। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संचालन को मानक फ़ज़ी सेट संचालन कहा जाता है, इनमें सम्मलित होते है: फ़ज़ी अभिनंदन, फ़ज़ी प्रतिच्छेदन और फ़ज़ी संघ।

मानक फ़ज़ी सेट संचालन

मान लें कि ए और बी फज़ी सेट करते हैं कि ए, बी ⊆ यू, यू यू ब्रह्मांड में कोई तत्व (जैसे मूल्य) है: यू ∈ यू।

मानक पूरक

$\mu _{\lnot {A}}(u)=1-\mu _{A}(u)$

पूरक को कभी-कभी ∁A या AN द्वारा दर्शाया जाता है^{¬A के बजाय ∁}।

मानक चौराहा

$\mu _{A\cap B}(u)=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}$

मानक संघ

$\mu _{A\cup B}(u)=\max\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}$

सामान्य तौर पर, ट्रिपल (i,u,n) को टी-नॉर्म#गैर-मानक नकारात्मक iff कहा जाता है

• मैं एक टी-नॉर्म#परिभाषा|टी-नॉर्म है,
• यू एक टी-नॉर्म#टी-कॉनॉर्म्स|टी-कॉनॉर्म (उर्फ एस-नॉर्म) है,
• n एक टी-मानक#गैर-मानक नकारात्मक है,

ताकि सभी x,y ∈ [0, 1] के लिए निम्नलिखित सत्य हो:

u(x,y) = n(i('n(x),n (य)))

(सामान्यीकृत डी मॉर्गन संबंध)। इसका तात्पर्य विस्तार से नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों से है।

फजी पूरक

μ_A(x) को उस डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे x A से संबंधित है। मान लीजिए कि ∁A प्रकार c के A के अस्पष्ट पूरक को दर्शाता है। फिर μ_∁A(x) वह डिग्री है जिससे x का संबंध ∁A से है, और वह डिग्री जिससे x का संबंध A से नहीं है। (μ_A(x) इसलिए वह डिग्री है जिससे x ∁A से संबंधित नहीं है।) एक पूरक '∁'A को एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाना चाहिए

सी : [0,1] → [0,1]

सभी के लिए x ∈ यू: μ_∁A(एक्स) = सी (एम_A(एक्स))

फ़ज़ी पूरकों के लिए अभिगृहीत

अभिगृहीत c1. सीमारेखा की हालत

c(0) = 1 और c(1) = 0

अभिगृहीत सी2. दिष्टता

सभी a, b ∈ [0, 1] के लिए, यदि a < b, तो c(a) > c(b)

अभिगृहीत c3. निरंतरता

c निरंतर कार्य है।

स्वयंसिद्ध सी 4। निवेश

c एक इनवोल्यूशन (गणित) है, जिसका अर्थ है कि c(c(a)) = a प्रत्येक a ∈ [0,1] के लिए

c एक मजबूत टी-मानक # गैर-मानक नकारात्मक (उर्फ फ़ज़ी पूरक) है।

एक फलन c संतोषजनक अभिगृहीत c1 और c3 में कम से कम एक निश्चित बिन्दु a होता है^* साथ में सी(ए^*) = ए^{*</सुप>, और यदि अभिगृहीत c2 भी पूरा होता है तो ठीक ऐसा ही एक निश्चित बिंदु है। मानक नकारात्मक सी (एक्स) = 1-एक्स के लिए अद्वितीय फिक्सपॉइंट एक है* = 0.5 .}

फजी चौराहों

Main article: T-norm

दो फ़ज़ी सेट ए और बी के चौराहे को सामान्य रूप से यूनिट अंतराल पर बाइनरी संचालन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, फॉर्म का एक फ़ंक्शन

i:[0,1]×[0,1] → [0,1]।

सभी के लिए x ∈ यू: μ_{A ∩ B}(एक्स) = मैं [एम_A(एक्स), एम_B(एक्स)]।

फ़ज़ी चौराहों के लिए अभिगृहीत

अभिगृहीत i1. सीमारेखा की हालत

मैं (ए, 1) = ए

स्वयंसिद्ध i2। दिष्टता

b ≤ d का अर्थ है i(a, b) ≤ i(a, d)

स्वयंसिद्ध i3। क्रमविनिमेयता

मैं (ए, बी) = मैं (बी, ए)

स्वयंसिद्ध i4। संबद्धता

मैं (ए, मैं (बी, डी)) = मैं (मैं (ए, बी), डी)

स्वयंसिद्ध i5। निरंतरता

मैं एक सतत कार्य है

स्वयंसिद्ध i6। सबडिमपोटेंसी

i(a, a) <a सबके लिए 0 <a <1

स्वयंसिद्ध i7। सख्त एकरसता

मैं एक₁, बी₁) <मैं (ए₂, बी₂) यदि एक₁ <ए₂ और बी₁ < ख₂

अभिगृहीत i1 से i4 तक एक टी-मानदंड (उर्फ फ़ज़ी इंटरसेक्शन) को परिभाषित करते हैं। मानक टी-मानदंड न्यूनतम एकमात्र आदर्श टी-मानदंड है (अर्थात, i (a₁, ए₁) = सभी के लिए एक ∈ [0,1])।

फजी यूनियन्स

दो फ़ज़ी सेट ए और बी का संघ सामान्य रूप से फॉर्म के यूनिट अंतराल फ़ंक्शन पर बाइनरी संचालन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

यू: [0,1] × [0,1] → [0,1]।

सभी के लिए x ∈ यू: μ_{A ∪ B}(एक्स) = यू [एम_A(एक्स), एम_B(एक्स)]।

फ़ज़ी यूनियन के लिए अभिगृहीत

अभिगृहीत u1. सीमारेखा की हालत

यू (ए, 0) = यू (0, ए) = ए

अभिगृहीत u2. दिष्टता

बी ≤ डी का अर्थ है यू (ए, बी) ≤ यू (ए, डी)

स्वयंसिद्ध यू3. क्रमविनिमेयता

यू (ए, बी) = यू (बी, ए)

अभिगृहीत यू4. संबद्धता

यू (ए, यू (बी, डी)) = यू (यू (ए, बी), डी)

अभिगृहीत u5. निरंतरता

यू एक निरंतर कार्य है

अभिगृहीत u6. अतिशयोक्ति

यू (ए, ए)> ए सभी 0 <ए <1 के लिए

स्वयंसिद्ध u7. सख्त एकरसता

ए₁ <ए₂ और बी₁ < ख₂ मतलब आप (ए₁, बी₁) <यू (ए₂, बी₂)

अभिगृहीत u1 से u4 तक एक टी-कॉनर्म (उर्फ s-नॉर्म या फ़ज़ी यूनियन) को परिभाषित करते हैं। मानक t-conorm max ही एकमात्र idempotent t-conorm है (यानी u (a1, a1) = a सभी a ∈ [0,1] के लिए)।

एकत्रीकरण संचालन

फ़ज़ी सेट पर एग्रीगेशन ऑपरेशंस ऐसे ऑपरेशंस हैं जिनके द्वारा एक फ़ज़ी सेट बनाने के लिए कई फ़ज़ी सेटों को वांछित तरीके से जोड़ा जाता है।

n फ़ज़ी सेट (2 ≤ n) पर एकत्रीकरण संचालन एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है

एच: [0,1]^एन → [0,1]

एग्रीगेशन ऑपरेशंस फजी सेट के लिए स्वयंसिद्ध

स्वयंसिद्ध h1। सीमारेखा की हालत

एच (0, 0, ..., 0) = 0 और एच (1, 1, ..., 1) = एक

स्वयंसिद्ध h2। दिष्टता

किसी भी जोड़ी के लिए <a₁, ए₂, ..., ए_n> और <बी₁, बी₂, ..., बी_n> एन-टुपल्स जैसे कि a_i, बी_i ∈ [0,1] सभी i ∈ N के लिए_n, यदि एक_i ≤ बी_i सभी के लिए मैं ∈ एन_n, फिर एच (ए₁, ए₂, ...,ए_n) ≤ एच (बी₁, बी₂, ..., बी_n); यानी, एच अपने सभी तर्कों में मोनोटोनिक बढ़ रहा है।

स्वयंसिद्ध h3। निरंतरता

h एक सतत कार्य है।

यह भी देखें

• फजी लॉजिक
• फजी सेट
• टी-मानदंड
• टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम
• डी मॉर्गन बीजगणित

अग्रिम पठन

• Klir, George J.; Bo Yuan (1995). Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. Prentice Hall. ISBN 978-0131011717.

संदर्भ

• L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965