आव्यूह विश्लेषणिक विधि: Difference between revisions

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== विधि विवरण ==
== विधि विवरण ==


एक एम/जी/1-प्रकार स्टोकेस्टिक आव्यूह एक रूप है<ref name="meini" />
एक एम/जी/1-प्रकार के प्रसंभाव्य आव्यूह का रूप निम्नलिखित है<ref name="meini" />


::<math>P = \begin{pmatrix}
::<math>P = \begin{pmatrix}
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       &        & A_0    & A_1    & \cdots \\
       &        & A_0    & A_1    & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math>
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math>
जहां बी<sub>''i''</sub> और ए<sub>''i''</sub> k × k मैट्रिसेस हैं। (ध्यान दें कि अचिह्नित आव्यूह प्रविष्टियाँ शून्य का प्रतिनिधित्व करती हैं।) ऐसा आव्यूहएम/जी/1 कतार में [[एम्बेडेड मार्कोव श्रृंखला]] का वर्णन करता है।<ref>{{cite book|first1=Gunter|last1= Bolch|first2=Stefan |last2= Greiner |first3=Hermann  |last3=de Meer |first4= Kishor |last4= Shridharbhai Trivedi | year=2006| edition=2 | page=250| title=Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications |publisher= John Wiley & Sons, Inc|isbn=978-0471565253}}</ref><ref>{{Cite book | first1 = Jesús R. | last1 =Artalejo | first2 = Antonio | last2 = Gómez-Corral| doi = 10.1007/978-3-540-78725-9_7 | chapter = The Matrix-Analytic Formalism | title = रेट्रियल क्यूइंग सिस्टम| pages = 187–205 | year = 2008 | isbn = 978-3-540-78724-2 }}</ref> यदि P मार्कोव श्रृंखला#Reducibility और सकारात्मक आवर्ती है तो स्थिर वितरण समीकरणों के समाधान द्वारा दिया जाता है<ref name="meini" />
जहां बी<sub>''i''</sub> और ए<sub>''i''</sub> k × k आव्यूह हैं। ऐसा आव्यूह एम/जी/1 कतार में [[एम्बेडेड मार्कोव श्रृंखला|अन्तःस्थापित मार्कोव श्रृंखला]] का वर्णन करता है।<ref>{{cite book|first1=Gunter|last1= Bolch|first2=Stefan |last2= Greiner |first3=Hermann  |last3=de Meer |first4= Kishor |last4= Shridharbhai Trivedi | year=2006| edition=2 | page=250| title=Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications |publisher= John Wiley & Sons, Inc|isbn=978-0471565253}}</ref><ref>{{Cite book | first1 = Jesús R. | last1 =Artalejo | first2 = Antonio | last2 = Gómez-Corral| doi = 10.1007/978-3-540-78725-9_7 | chapter = The Matrix-Analytic Formalism | title = रेट्रियल क्यूइंग सिस्टम| pages = 187–205 | year = 2008 | isbn = 978-3-540-78724-2 }}</ref> यदि P अविभाज्य और सकारात्मक पुनरावृत्ति है, तो स्थायी वितरण निम्नलिखित समीकरणों के समाधान द्वारा दिया जाता है:<ref name="meini" />


::<math>P \pi = \pi \quad \text{ and } \quad \mathbf e^\text{T}\pi = 1</math>
::<math>P \pi = \pi \quad \text{ and } \quad \mathbf e^\text{T}\pi = 1</math>
जहां ई 1 के बराबर सभी मानों के साथ उपयुक्त आयाम के वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है। ''पी'' की संरचना से मेल खाते हुए, ''π'' को ''π'' में विभाजित किया गया है<sub>1</sub>, पाई<sub>2</sub>, पाई<sub>3</sub>, …. इन संभावनाओं की गणना करने के लिए कॉलम स्टोचैस्टिक आव्यूह जी की गणना की जाती है<ref name="meini" />
जहां ई, 1 के समान सभी मानों के साथ उपयुक्त आयाम के सदिशों का प्रतिनिधित्व करता है। P की संरचना के साथ मेल खाते हुए, π को π1, π2, π3, ... में विभाजित किया जाता है। इन संभावनाओं की गणना करने के लिए खंड प्रसंभाव्य आव्यूह जी की गणना की जाती है<ref name="meini" />


::<math> G = \sum_{i=0}^\infty G^i A_i.</math>
::<math> G = \sum_{i=0}^\infty G^i A_i.</math>
G को सहायक आव्यूह कहा जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Riska | first1 = A. | last2 = Smirni | first2 = E. | author2-link= Evgenia Smirni | doi = 10.1145/511399.511346 | title = Exact aggregate solutions for M/G/1-type Markov processes | journal = ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review | volume = 30 | pages = 86 | year = 2002 | citeseerx = 10.1.1.109.2225 }}</ref> मैट्रिसेस परिभाषित हैं<ref name="meini" />
G को सहायक आव्यूह कहा जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Riska | first1 = A. | last2 = Smirni | first2 = E. | author2-link= Evgenia Smirni | doi = 10.1145/511399.511346 | title = Exact aggregate solutions for M/G/1-type Markov processes | journal = ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review | volume = 30 | pages = 86 | year = 2002 | citeseerx = 10.1.1.109.2225 }}</ref> आव्यूहों को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता हैं<ref name="meini" />


::<math>\begin{align}
::<math>\begin{align}
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\overline{B}_i &= \sum_{j=i}^\infty G^{j-i}B_j
\overline{B}_i &= \sum_{j=i}^\infty G^{j-i}B_j
\end{align}</math>
\end{align}</math>
फिर π<sub>0</sub> हल करके पाया जाता है<ref name="meini" />
पुनः π<sub>0</sub> को हल करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त किया जाता है<ref name="meini" />


::<math>\begin{align}
::<math>\begin{align}
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  \quad \left(\mathbf e^{\text{T}} + \mathbf e^{\text{T}}\left(I - \sum_{i=1}^\infty \overline{A}_i\right)^{-1}\sum_{i=1}^\infty \overline{B}_i\right) \pi_0 &= 1
  \quad \left(\mathbf e^{\text{T}} + \mathbf e^{\text{T}}\left(I - \sum_{i=1}^\infty \overline{A}_i\right)^{-1}\sum_{i=1}^\infty \overline{B}_i\right) \pi_0 &= 1
\end{align}</math>
\end{align}</math>
और π<sub>''i''</sub> रामास्वामी के सूत्र द्वारा दिए गए हैं,<ref name="meini" />1988 में वैद्यनाथन रामास्वामी द्वारा पहली बार प्रकाशित एक संख्यात्मक रूप से स्थिर संबंध।<ref>{{Cite journal | last1 = Ramaswami | first1 = V. | doi = 10.1080/15326348808807077 | title = A stable recursion for the steady state vector in markov chains of m/g/1 type | journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 4 | pages = 183–188 | year = 1988 }}</ref>
और πi को रामस्वामी के सूत्र द्वारा दिया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर संबंध है और जिसे 1988 में वैद्यनाथन रामस्वामी ने पहली बार प्रकाशित किया था।<ref name="meini" /><ref>{{Cite journal | last1 = Ramaswami | first1 = V. | doi = 10.1080/15326348808807077 | title = A stable recursion for the steady state vector in markov chains of m/g/1 type | journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 4 | pages = 183–188 | year = 1988 }}</ref>
::<math>\pi_i = (I-\overline{A}_1)^{-1} \left[ \overline{B}_{i+1} \pi_0 + \sum_{j=1}^{i-1} \overline{A}_{i+1-j}\pi_j \right], i \geq 1.</math>
::<math>\pi_i = (I-\overline{A}_1)^{-1} \left[ \overline{B}_{i+1} \pi_0 + \sum_{j=1}^{i-1} \overline{A}_{i+1-j}\pi_j \right], i \geq 1.</math>


 
== 'जी' की गणना ==
== जी == की गणना
,जी' की गणना के लिए दो लोकप्रिय पुनरावृत्त विधियाँ हैं,<ref>{{Cite book | last1 = Bini | first1 = D. A. | last2 = Latouche | first2 = G. | last3 = Meini | first3 = B.|author3-link=Beatrice Meini | doi = 10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001 | title = संरचित मार्कोव जंजीरों के लिए संख्यात्मक तरीके| year = 2005 | isbn = 9780198527688 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Meini | first1 = B. |author1-link=Beatrice Meini| doi = 10.1080/15326349808807483 | title = Solving m/g/l type markov chains: Recent advances and applications | journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 14 | issue = 1–2 | pages = 479–496 | year = 1998 }}</ref>
 
* कार्यात्मक पुनरावृत्तियाँ।
G की गणना के लिए दो लोकप्रिय पुनरावृत्त विधियाँ हैं,<ref>{{Cite book | last1 = Bini | first1 = D. A. | last2 = Latouche | first2 = G. | last3 = Meini | first3 = B.|author3-link=Beatrice Meini | doi = 10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001 | title = संरचित मार्कोव जंजीरों के लिए संख्यात्मक तरीके| year = 2005 | isbn = 9780198527688 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Meini | first1 = B. |author1-link=Beatrice Meini| doi = 10.1080/15326349808807483 | title = Solving m/g/l type markov chains: Recent advances and applications | journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 14 | issue = 1–2 | pages = 479–496 | year = 1998 }}</ref>
* कार्यात्मक पुनरावृत्तियाँ
* [[चक्रीय कमी]]।
* [[चक्रीय कमी]]।


== उपकरण ==
== उपकरण ==
* [http://www.cs.wm.edu/MAMSolver/ MAMSolver]<ref>{{Cite book | last1 = Riska | first1 = A. | last2 = Smirni | first2 = E. | author2-link = Evgenia Smirni | chapter = MAMSolver: A Matrix Analytic Methods Tool | doi = 10.1007/3-540-46029-2_14 | title = Computer Performance Evaluation: Modelling Techniques and Tools | series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 2324 | pages = 205 | year = 2002 | isbn = 978-3-540-43539-6 | citeseerx = 10.1.1.146.2080 }}</ref>
* [http://www.cs.wm.edu/MAMSolver/ एमएएम सॉल्वर]<ref>{{Cite book | last1 = Riska | first1 = A. | last2 = Smirni | first2 = E. | author2-link = Evgenia Smirni | chapter = MAMSolver: A Matrix Analytic Methods Tool | doi = 10.1007/3-540-46029-2_14 | title = Computer Performance Evaluation: Modelling Techniques and Tools | series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 2324 | pages = 205 | year = 2002 | isbn = 978-3-540-43539-6 | citeseerx = 10.1.1.146.2080 }}</ref>




Revision as of 11:27, 11 June 2023

प्रायिकता सिद्धांत में, आव्यूह विश्लेषणिक विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग मार्कॉव श्रृंखला के स्थायी प्रासंगिकता वितरण की गणना के लिए किया जाता है जो किसी निश्चित बिंदु के बाद एक बार पुनरावर्ती संरचना और एकांत्रित स्थिति अंतराल में अंतिम नहीं होता है और न किसी आयाम में असीमित रूप से विकसित होता है।[1][2] ऐसे प्रारूपों को प्रायःएम/जी/1 प्रकार की मार्कोव श्रृंखलाओं के रूप में वर्णित किया जाता है क्योंकि वेएम/जी/1 कतार में परिवर्तन का वर्णन कर सकते हैं।[3][4] विधि आव्यूह ज्यामितीय विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है और एम/जी/1 श्रृंखलाओं के लिए पारंपरिक समाधान विधि है।[5]


विधि विवरण

एक एम/जी/1-प्रकार के प्रसंभाव्य आव्यूह का रूप निम्नलिखित है[3]

जहां बीi और एi k × k आव्यूह हैं। ऐसा आव्यूह एम/जी/1 कतार में अन्तःस्थापित मार्कोव श्रृंखला का वर्णन करता है।[6][7] यदि P अविभाज्य और सकारात्मक पुनरावृत्ति है, तो स्थायी वितरण निम्नलिखित समीकरणों के समाधान द्वारा दिया जाता है:[3]

जहां ई, 1 के समान सभी मानों के साथ उपयुक्त आयाम के सदिशों का प्रतिनिधित्व करता है। P की संरचना के साथ मेल खाते हुए, π को π1, π2, π3, ... में विभाजित किया जाता है। इन संभावनाओं की गणना करने के लिए खंड प्रसंभाव्य आव्यूह जी की गणना की जाती है[3]

G को सहायक आव्यूह कहा जाता है।[8] आव्यूहों को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता हैं[3]

पुनः π0 को हल करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त किया जाता है[3]

और πi को रामस्वामी के सूत्र द्वारा दिया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर संबंध है और जिसे 1988 में वैद्यनाथन रामस्वामी ने पहली बार प्रकाशित किया था।[3][9]

'जी' की गणना

,जी' की गणना के लिए दो लोकप्रिय पुनरावृत्त विधियाँ हैं,[10][11]

उपकरण


संदर्भ

  1. ↑ Harchol-Balter, M. (2012). "Phase-Type Distributions and Matrix-Analytic Methods". प्रदर्शन मॉडलिंग और कंप्यूटर सिस्टम का डिजाइन. pp. 359–379. doi:10.1017/CBO9781139226424.028. ISBN 9781139226424.
  2. ↑ Neuts, M. F. (1984). "क्यूइंग सिद्धांत में मैट्रिक्स-विश्लेषणात्मक तरीके". European Journal of Operational Research. 15: 2–12. doi:10.1016/0377-2217(84)90034-1.
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Meini, B. (1997). "रामास्वामी के फॉर्मूले का एक बेहतर एफएफटी-आधारित संस्करण". Communications in Statistics. Stochastic Models. 13 (2): 223–238. doi:10.1080/15326349708807423.
  4. ↑ Stathopoulos, A.; Riska, A.; Hua, Z.; Smirni, E. (2005). "Bridging ETAQA and Ramaswami's formula for the solution of M/G/1-type processes". Performance Evaluation. 62 (1–4): 331–348. CiteSeerX 10.1.1.80.9473. doi:10.1016/j.peva.2005.07.003.
  5. ↑ Riska, A.; Smirni, E. (2002). "M/G/1-Type Markov Processes: A Tutorial" (PDF). Performance Evaluation of Complex Systems: Techniques and Tools. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2459. pp. 36. doi:10.1007/3-540-45798-4_3. ISBN 978-3-540-44252-3.
  6. ↑ Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Shridharbhai Trivedi, Kishor (2006). Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2 ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 250. ISBN 978-0471565253.
  7. ↑ Artalejo, Jesús R.; Gómez-Corral, Antonio (2008). "The Matrix-Analytic Formalism". रेट्रियल क्यूइंग सिस्टम. pp. 187–205. doi:10.1007/978-3-540-78725-9_7. ISBN 978-3-540-78724-2.
  8. ↑ Riska, A.; Smirni, E. (2002). "Exact aggregate solutions for M/G/1-type Markov processes". ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review. 30: 86. CiteSeerX 10.1.1.109.2225. doi:10.1145/511399.511346.
  9. ↑ Ramaswami, V. (1988). "A stable recursion for the steady state vector in markov chains of m/g/1 type". Communications in Statistics. Stochastic Models. 4: 183–188. doi:10.1080/15326348808807077.
  10. ↑ Bini, D. A.; Latouche, G.; Meini, B. (2005). संरचित मार्कोव जंजीरों के लिए संख्यात्मक तरीके. doi:10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001. ISBN 9780198527688.
  11. ↑ Meini, B. (1998). "Solving m/g/l type markov chains: Recent advances and applications". Communications in Statistics. Stochastic Models. 14 (1–2): 479–496. doi:10.1080/15326349808807483.
  12. ↑ Riska, A.; Smirni, E. (2002). "MAMSolver: A Matrix Analytic Methods Tool". Computer Performance Evaluation: Modelling Techniques and Tools. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2324. p. 205. CiteSeerX 10.1.1.146.2080. doi:10.1007/3-540-46029-2_14. ISBN 978-3-540-43539-6.
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