मध्य केन्द्रीयता

कम से कम (लाल) से सबसे बड़ी (नीला) तक प्रत्येक शीर्ष की बीच की केंद्रीयता के आधार पर रंगीन एक अप्रत्यक्ष ग्राफ।

ग्राफ सिद्धांत में, बीचनेस केन्द्रीयता सबसे छोटा पथ समस्या पर आधारित ग्राफ (असतत गणित) में केंद्रीयता का एक उपाय है। कनेक्टेड ग्राफ़ में हर जोड़े के कोने के लिए, वर्टिकल के बीच कम से कम एक सबसे छोटा रास्ता मौजूद होता है जैसे कि या तो किनारों की संख्या जिससे रास्ता गुजरता है (अनवेटेड ग्राफ़ के लिए) या किनारों के वज़न का योग (भारित ग्राफ़ के लिए) ) न्यूनतम किया गया है। प्रत्येक वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) के लिए बीच की केंद्रीयता इन सबसे छोटे रास्तों की संख्या है जो शीर्ष से होकर गुजरती हैं।

बीच की केंद्रीयता को केंद्रीयता के सामान्य उपाय के रूप में तैयार किया गया था: यह नेटवर्क सिद्धांत में समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू होता है, जिसमें सोशल नेटवर्क थ्योरी, जीव विज्ञान, परिवहन और वैज्ञानिक सहयोग से संबंधित समस्याएं शामिल हैं। हालांकि पहले के लेखकों ने सहज रूप से केंद्रीयता को बीच के आधार पर वर्णित किया है, Freeman (1977) ने बीच की केंद्रीयता की पहली औपचारिक परिभाषा दी।

बीच की केंद्रीयता को नेटवर्क सिद्धांत में व्यापक अनुप्रयोग मिलता है; यह उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर नोड्स एक दूसरे के बीच खड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, एक दूरसंचार नेटवर्क में, उच्च केंद्रीयता वाले नोड का नेटवर्क पर अधिक नियंत्रण होगा, क्योंकि अधिक जानकारी उस नोड से होकर गुजरेगी।

परिभाषा

एक नोड की बीच की केंद्रीयता $v$ अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है:

$g(v)=\sum _{s\neq v\neq t}{\frac {\sigma _{st}(v)}{\sigma _{st}}}$

कहाँ $\sigma _{st}$ नोड से सबसे छोटे रास्तों की कुल संख्या है $s$ नोड करने के लिए $t$ और $\sigma _{st}(v)$ उन रास्तों की संख्या है जिनसे होकर गुजरना पड़ता है $v$ (कहां नहीं $v$ एक अंत बिंदु है)। ध्यान दें कि एक नोड की बीच की केंद्रीयता, नोड्स के जोड़े की संख्या के साथ मापी जाती है, जैसा कि योग सूचकांकों द्वारा सुझाया गया है। इसलिए, गणना को शामिल नहीं करने वाले नोड्स के जोड़े की संख्या से विभाजित करके गणना को फिर से बढ़ाया जा सकता है $v$, ताकि $g\in [0,1]$. विभाजन द्वारा किया जाता है $(N-1)(N-2)$ निर्देशित रेखांकन के लिए और $(N-1)(N-2)/2$ अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए, जहाँ $N$ विशाल घटक में नोड्स की संख्या है। ध्यान दें कि यह उच्चतम संभव मान के लिए मापता है, जहां प्रत्येक सबसे छोटे पथ द्वारा एक नोड को पार किया जाता है। यह अक्सर मामला नहीं होता है, और सटीकता के नुकसान के बिना एक सामान्यीकरण किया जा सकता है

${\mbox{normal}}(g(v))={\frac {g(v)-\min(g)}{\max(g)-\min(g)}}$

जिसके परिणामस्वरूप:

$\max(normal)=1$

$\min(normal)=0$

ध्यान दें कि यह हमेशा एक छोटी श्रेणी से बड़ी श्रेणी में स्केलिंग होगी, इसलिए कोई सटीकता नहीं खोती है।