एकपक्षीय संपर्क: Difference between revisions

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संपर्क यांत्रिकी में, एकपक्षीय संपर्क को एकपक्षीय बाधा भी कहा जाता है, जो यांत्रिक बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी) को दर्शाता है और यह दो कठोर/नम्य निकायों के मध्य प्रवेश को अवरोधित करता है।

इस प्रकार की बाधाएं नॉन-स्मूथ यांत्रिकी अनुप्रयोगों जैसे कणयुक्त प्रवाह^[1], लेग्ड रोबोट, वाहन की गतिशीलता, कण डंपिंग, अपूर्ण जोड़^[2] या रॉकेट लैंडिंग में सर्वव्यापी हैं। इन अनुप्रयोगों में, एकपक्षीय बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव दिखता है, इसलिए इस प्रकार की बाधाओं के समाधान हेतु उपयुक्त विधियों की आवश्यकता होती है।

एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग

एकपक्षीय बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार की विधियाँ उपलब्ध हैं। प्रथम विधि सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियाँ और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने वाली विधियाँ सम्मिलित हैं, यद्यपि द्वितीय विधि संपर्क गतिकी पर आधारित है, जो प्रणाली को एकपक्षीय संपर्कों के साथ परिवर्तनशील असमानताओं के रूप में प्रस्तुत करती है।

स्मूथ संपर्क गतिकी

हर्ट्ज़ संपर्क मॉडल

इस पद्धति में, एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, और अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के रूप में, क्लासिक हर्ट्ज संपर्क मॉडल का चित्र दाईं ओर की आकृति में दर्शाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा समझाया गया है। अधिकांश संपर्क मॉडल कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेखों में प्राप्त हो सकते हैं।^[3]^[4]^[5]

नॉन-स्मूथ संपर्क गतिकी

नॉन-स्मूथ विधि में, निकायों के मध्य एकपक्षीय परस्पर क्रिया को मूल रूप से गैर-प्रवेश के लिए सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है^[6] और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव नियमों का उपयोग किया जाता है।^[7] सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$g\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad \lambda \perp g$ ,

जहाँ $g$ दो निकायों के मध्य की दूरी को दर्शाता है और $\lambda$ एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न संपर्क बल को दर्शाता है, जिस प्रकार नीचे दी गई आकृति में दर्शाया गया है। इसके अतिरिक्त, उत्तल सिद्धांत के समीपस्थ बिंदु की अवधारणा के संदर्भ में, सिग्नोरिनी स्थिति को समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:^[6]^[8]

$\lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)$ ,

जहाँ $\rho >0$ सहायक पैरामीटर को दर्शाता है, और ${\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)$ , समुच्चय $C$ में समीपस्थ बिंदु को चर $x$ के रूप में परिभाषित करता है:^[9]

${\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)={\rm {argmin}}_{y\in C}\|y-x\|$

उपरोक्त दोनों अभिव्यक्तियाँ एकपक्षीय बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करती हैं: जब सामान्य दूरी $g_{\rm {N}}$ शून्य से अधिक होती है तो संपर्क विवृत होता है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के मध्य कोई संपर्क बल नहीं है, $\lambda =0$ ; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी $g_{\rm {N}}$ शून्य के समान होती है, तो संपर्क संवृत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप $\lambda \geq 0$ होता है।

File:Contact dynamics unilateral.jpg

चित्र 2: ए) एकपक्षीय संपर्क, बी) सिग्नोरिनी ग्राफ, सी) निरंतर यांत्रिकी आधारित मॉडल

नॉन-स्मूथ सिद्धांत पर आधारित विधियों को प्रस्तुत करते समय वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में अधिकांश स्थितियों में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:^[6]^[10]

$U_{\rm {N}}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad U^{+}\lambda =0$ ,

जहां $U_{\rm {N}}^{+}$ प्रभाव के पश्चात सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति का पूर्व स्थितियों $g\geq 0,\;\lambda \geq 0,\;\lambda \perp g$ के साथ अध्ययन किया जाना चाहिए। त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति को संवृत संपर्क ( $g=0,U_{\rm {N}}^{+}=0$ ) के रूप में माना जाता है:^[8]

${\ddot {g}}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad {\ddot {g}}\lambda =0$ ,

जहां ओवरडॉट्स समय के सापेक्ष द्वितीय कोटि के अवकलज को दर्शाता है।

दो कठोर निकायों के मध्य एकपक्षीय बाधाओं के लिए, इस पद्धति का उपयोग करते समय केवल सिग्नोरिनी स्थिति प्रभाव प्रक्रिया को मॉडल करने के लिए पर्याप्त नहीं होती है, इसलिए प्रभाव नियम की आवश्यकता होती है, जो प्रभाव से पूर्व और उसके पश्चात स्थितियों के संबंध में सूचना प्रदान करते हैं।^[6] उदाहरण के लिए, जब न्यूटन पुनर्स्थापन नियम नियोजित किया जाता है तो पुनर्स्थापन के गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है- $e=-{U_{\rm {N}}^{+}}/{U_{\rm {N}}^{-}}$ , जहाँ $U_{\rm {N}}^{-}$ प्रभाव से पूर्व सापेक्ष सामान्य वेग को दर्शाता है।

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए सामान्य संपर्क बलों को उपरोक्त विधि द्वारा प्रस्तुत किया जाता है चूँकि घर्षण बलों को सामान्यतः कूलम्ब के घर्षण नियम के माध्यम से वर्णित किया जाता है। कूलम्ब के घर्षण नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: जब स्पर्शरेखा वेग $U_{\rm {T}}$ शून्य के समान नहीं होता है, अर्थात् जब दो पिंड अस्थिर होते हैं, तो घर्षण बल $\lambda _{\rm {T}}$ सामान्य संपर्क बल $\lambda$ के समानुपाती होता है; इसके अतिरिक्त जब स्पर्शरेखा वेग $U_{\rm {T}}$ शून्य के समान होता है, अर्थात् जब दो पिंड अपेक्षाकृत स्थिर होते हैं, तो घर्षण बल $\lambda _{\rm {T}}$ स्थैतिक घर्षण बल के अधिकतम से अधिक नहीं होता है। अधिकतम अपव्यय सिद्धांत का उपयोग करके इस संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है,^[6]

$\lambda _{\rm {T}}\in D(\mu \lambda )~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,$

जहाँ

$D(\mu \lambda )=\{\forall x|-\mu \lambda \leq \|x\|\leq \mu \lambda \}$

घर्षण शंकु का प्रतिनिधित्व करता है, और $\mu$ गतिज घर्षण गुणांक को दर्शाता है। सामान्य संपर्क बल के समान, उपरोक्त सूत्रीकरण को समान रूप से समीपस्थ बिंदु की धारणा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:^[6]

$\lambda _{\rm {T}}={\rm {proj}}_{D(\mu \lambda )}(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}})$ ,

जहाँ $\rho >0$ सहायक पैरामीटर को दर्शाता है।

समाधान तकनीक

यदि एकपक्षीय बाधाओं को सातत्यक यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा प्रस्तुत किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना प्रत्यक्ष रूप से स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके अतिरिक्त नॉन-स्मूथ सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण होते हैं, जिनमें अरैखिक/रैखिक पूरकता समस्या (एन/एलसीपी) सूत्रीकरण और संवर्धित लाग्रंगियन सूत्रीकरण सम्मिलित हैं। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, नॉन-स्मूथ विधि अधिक जटिल है, किन्तु कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से अतिव्ययी नहीं है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और नॉन-स्मूथ सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत रूप से तुलना की गई है।^[11]

एन/एलसीपी सूत्रीकरण

इस दृष्टिकोण के बाद, एकपक्षीय बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान N/LCPs के समाधान में बदल जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकपक्षीय बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या LCPs में बदल जाती है, जबकि घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या NCPs में बदल जाती है। LCPs को हल करने के लिए, Lemek और Dantzig के एल्गोरिथम से उत्पन्न सिम्पलेक्स एल्गोरिथम सबसे लोकप्रिय तरीका है।^[8]दुर्भाग्य से, हालांकि, संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि बड़ी संख्या में एकपक्षीय संपर्कों के साथ सिस्टम को संभालते समय धुरी एल्गोरिथ्म विफल हो सकता है, यहां तक कि सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग भी कर सकता है।^[12] एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के एक सेट में बदल सकता है, जिसे एलसीपी सॉल्वर द्वारा हल किया जा सकता है।^[13] इन तरीकों से परे अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फ़ंक्शंस^[14]^[15]^[16] या शंकु संपूरकता समस्याएँ (CCP) आधारित विधियाँ^[17]^[18] एनसीपी को हल करने के लिए भी कार्यरत हैं।

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण

N/LCP योगों से भिन्न, संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण ऊपर वर्णित समीपस्थ कार्यों का उपयोग करता है, $\lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)$ . डायनेमिक्स समीकरणों के साथ, यह फॉर्मूलेशन रूट-खोज एल्गोरिदम के माध्यम से हल किया जाता है। मशायेखी एट अल द्वारा एलसीपी योगों और संवर्धित लग्रांगियन सूत्रीकरण के मध्य एक तुलनात्मक अध्ययन किया गया था।^[9]

यह भी देखें

संदर्भ

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अग्रिम पठन

ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर

नॉन-स्मूथ आधारित पद्धति का उपयोग करते हुए ओपन-सोर्स कोड और गैर-वाणिज्यिक पैकेज:

Siconos
Chrono, एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट वेबसाइट भी देखें

किताबें और लेख

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श्रेणी:यांत्रिकी

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[13] Xu, Ziyao; Wang, Qi; Wang, Qingyun (December 2017). "द्वि-आयामी कूलम्ब शुष्क घर्षण और गैर-होलोनोमिक बाधाओं के साथ बहु-निकाय प्रणालियों की गतिशीलता के लिए संख्यात्मक विधि". Applied Mathematics and Mechanics (in English). 38 (12): 1733–1752. doi:10.1007/s10483-017-2285-8. ISSN 0253-4827. S2CID 125402414.

[14] Stavroulakis, G.E.; Antes, H. (2000). "Nonlinear equation approach for inequality elastostatics: a two-dimensional BEM implementation". Computers and Structures (in English). 75 (6): 631–646. doi:10.1016/S0045-7949(99)00111-X.

[15] Mangasarian, O. L. (July 1976). "अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए पूरक समस्या की समानता". SIAM Journal on Applied Mathematics (in English). 31 (1): 89–92. doi:10.1137/0131009. ISSN 0036-1399.

[16] Fischer, A. (January 1992). "एक विशेष न्यूटन-प्रकार अनुकूलन विधि". Optimization (in English). 24 (3–4): 269–284. doi:10.1080/02331939208843795. ISSN 0233-1934.

[17] Melanz, Daniel; Fang, Luning; Jayakumar, Paramsothy; Negrut, Dan (June 2017). "अंतर परिवर्तनशील असमानताओं के माध्यम से प्रतिरूपित घर्षण संपर्क के साथ मल्टीबॉडी गतिकी समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों की तुलना". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (in English). 320: 668–693. Bibcode:2017CMAME.320..668M. doi:10.1016/j.cma.2017.03.010.

[18] Negrut, Dan; Serban, Radu; Tasora, Alessandro (2018-01-01). "एक विभेदक पूरक समस्या के रूप में घर्षण और संपर्क के साथ मल्टीबॉडी डायनेमिक्स प्रस्तुत करना". Journal of Computational and Nonlinear Dynamics (in English). 13 (1): 014503. doi:10.1115/1.4037415. ISSN 1555-1415.

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 [[संपर्क यांत्रिकी]] में, एकपक्षीय संपर्क को एकपक्षीय बाधा भी कहा जाता है, जो यांत्रिक [[बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी)]] को दर्शाता है और यह दो कठोर/नम्य निकायों के मध्य प्रवेश को अवरोधित करता है।
-इस प्रकार की बाधाएं [[गैर-चिकनी यांत्रिकी]] अनुप्रयोगों जैसे कणयुक्त प्रवाह<ref name="Flores-2010">{{cite journal |last1=Flores |first1=Paulo |title=मल्टीपल क्लीयरेंस जोड़ों के साथ प्लानर मल्टीबॉडी सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया पर एक पैरामीट्रिक अध्ययन|journal=Nonlinear Dynamics |date=7 March 2010 |volume=61 |issue=4 |pages=633–653 |doi=10.1007/s11071-010-9676-8|hdl=1822/23520 |s2cid=92980088 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00574014/file/PEER_stage2_10.1007%252Fs11071-010-9676-8.pdf |hdl-access=free }}</ref>, [[पैर वाला रोबोट|लेग्ड रोबोट]], [[वाहन की गतिशीलता]], [[कण भिगोना|कण डंपिंग]], अपूर्ण जोड़<ref name="Anitescu-Tasora-2010">{{cite journal |last1=Anitescu |first1=Mihai |last2=Tasora |first2=Alessandro |title=नॉनस्मूथ डायनेमिक्स के लिए शंकु पूरकता समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्त दृष्टिकोण|journal=Computational Optimization and Applications |date=26 November 2008 |volume=47 |issue=2 |pages=207–235 |doi=10.1007/s10589-008-9223-4|s2cid=1107494 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01631636/file/MAATA.pdf }}</ref> या रॉकेट लैंडिंग में सर्वव्यापी हैं। इन अनुप्रयोगों में, एकपक्षीय बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव दिखता है, इसलिए इस प्रकार की बाधाओं के समाधान हेतु उपयुक्त विधियों की आवश्यकता होती है।
+इस प्रकार की बाधाएं [[गैर-चिकनी यांत्रिकी|नॉन-स्मूथ यांत्रिकी]] अनुप्रयोगों जैसे कणयुक्त प्रवाह<ref name="Flores-2010">{{cite journal |last1=Flores |first1=Paulo |title=मल्टीपल क्लीयरेंस जोड़ों के साथ प्लानर मल्टीबॉडी सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया पर एक पैरामीट्रिक अध्ययन|journal=Nonlinear Dynamics |date=7 March 2010 |volume=61 |issue=4 |pages=633–653 |doi=10.1007/s11071-010-9676-8|hdl=1822/23520 |s2cid=92980088 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00574014/file/PEER_stage2_10.1007%252Fs11071-010-9676-8.pdf |hdl-access=free }}</ref>, [[पैर वाला रोबोट|लेग्ड रोबोट]], [[वाहन की गतिशीलता]], [[कण भिगोना|कण डंपिंग]], अपूर्ण जोड़<ref name="Anitescu-Tasora-2010">{{cite journal |last1=Anitescu |first1=Mihai |last2=Tasora |first2=Alessandro |title=नॉनस्मूथ डायनेमिक्स के लिए शंकु पूरकता समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्त दृष्टिकोण|journal=Computational Optimization and Applications |date=26 November 2008 |volume=47 |issue=2 |pages=207–235 |doi=10.1007/s10589-008-9223-4|s2cid=1107494 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01631636/file/MAATA.pdf }}</ref> या रॉकेट लैंडिंग में सर्वव्यापी हैं। इन अनुप्रयोगों में, एकपक्षीय बाधाओं के परिणामस्वरूप प्रभाव दिखता है, इसलिए इस प्रकार की बाधाओं के समाधान हेतु उपयुक्त विधियों की आवश्यकता होती है।
 == एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग ==
 एकपक्षीय बाधाओं को मॉडल करने के लिए मुख्य रूप से दो प्रकार की विधियाँ उपलब्ध हैं। प्रथम विधि सातत्य यांत्रिकी पर आधारित है, जिसमें हर्ट्ज़ के मॉडल, पेनल्टी विधियाँ और कुछ नियमितीकरण बल मॉडल का उपयोग करने वाली विधियाँ सम्मिलित हैं, यद्यपि द्वितीय विधि संपर्क गतिकी पर आधारित है, जो प्रणाली को एकपक्षीय संपर्कों के साथ परिवर्तनशील असमानताओं के रूप में प्रस्तुत करती है।
-=== चिकनी संपर्क गतिकी ===
+=== स्मूथ संपर्क गतिकी ===
 {{See also|संपर्क यांत्रिकी}}[[File:Hertz_contact_animated.gif|thumb|upright|हर्ट्ज़ संपर्क मॉडल|alt=]]इस पद्धति में, एकपक्षीय बाधाओं द्वारा उत्पन्न सामान्य बलों को निकायों के स्थानीय भौतिक गुणों के अनुसार प्रतिरूपित किया जाता है। विशेष रूप से, संपर्क बल मॉडल सातत्य यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं, और अंतर के कार्यों और पिंडों के प्रभाव वेग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के रूप में, क्लासिक हर्ट्ज संपर्क मॉडल का चित्र दाईं ओर की आकृति में दर्शाया गया है। ऐसे मॉडल में, संपर्क को निकायों के स्थानीय विरूपण द्वारा समझाया गया है। अधिकांश संपर्क मॉडल कुछ समीक्षा वैज्ञानिक कार्यों में या संपर्क यांत्रिकी को समर्पित लेखों में प्राप्त हो सकते हैं।<ref name="Machado-Moreira-Flores-Lankarani-2012">{{cite journal |last1=Machado |first1=Margarida |last2=Moreira |first2=Pedro |last3=Flores |first3=Paulo |last4=Lankarani |first4=Hamid M. |title=Compliant contact force models in multibody dynamics: Evolution of the Hertz contact theory |journal=Mechanism and Machine Theory |date=July 2012 |volume=53 |pages=99–121 |doi=10.1016/j.mechmachtheory.2012.02.010|hdl=1822/19623 |hdl-access=free }}</ref><ref name="Gilardi-Sharf-2002">{{cite journal |last1=Gilardi |first1=G. |last2=Sharf |first2=I. |title=संपर्क गतिकी मॉडलिंग का साहित्य सर्वेक्षण|journal=Mechanism and Machine Theory |date=October 2002 |volume=37 |issue=10 |pages=1213–1239 |doi=10.1016/S0094-114X(02)00045-9}}</ref><ref name="Alves-Peixinho-Silva-Flores-Lankarani-2015">{{cite journal |last1=Alves |first1=Janete |last2=Peixinho |first2=Nuno |last3=da Silva |first3=Miguel Tavares |last4=Flores |first4=Paulo |last5=Lankarani |first5=Hamid M. |title=ठोस पदार्थों में घर्षण रहित संपर्क इंटरफेस के लिए विस्कोइलास्टिक संवैधानिक मॉडल का तुलनात्मक अध्ययन|journal=Mechanism and Machine Theory |date=March 2015 |volume=85 |pages=172–188 |doi=10.1016/j.mechmachtheory.2014.11.020|hdl=1822/31823 |hdl-access=free }}</ref>
-=== गैर-चिकनी संपर्क गतिकी ===
+=== नॉन-स्मूथ संपर्क गतिकी ===
 {{See also|संपर्क गतिकी#नॉन-स्मूथ दृष्टिकोण}}
-गैर-चिकनी विधि में, निकायों के मध्य एकपक्षीय परस्पर क्रिया को मूल रूप से गैर-प्रवेश के लिए सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है<ref name="Jean-1999">{{cite journal |last1=Jean |first1=M. |title=गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering |date=July 1999 |volume=177 |issue=3–4 |pages=235–257 |doi=10.1016/S0045-7825(98)00383-1|bibcode=1999CMAME.177..235J |s2cid=120827881 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01390459/file/MJ.pdf }}</ref> और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव नियमों का उपयोग किया जाता है।<ref name="Pfeiffer-2012">{{cite journal |last1=Pfeiffer |first1=Friedrich |title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स पर|journal=Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics |date=14 March 2012 |volume=226 |issue=2 |pages=147–177 |doi=10.1177/1464419312438487|s2cid=123605632 }}</ref> सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
+नॉन-स्मूथ विधि में, निकायों के मध्य एकपक्षीय परस्पर क्रिया को मूल रूप से गैर-प्रवेश के लिए सिग्नोरिनी समस्या द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है<ref name="Jean-1999">{{cite journal |last1=Jean |first1=M. |title=गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering |date=July 1999 |volume=177 |issue=3–4 |pages=235–257 |doi=10.1016/S0045-7825(98)00383-1|bibcode=1999CMAME.177..235J |s2cid=120827881 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01390459/file/MJ.pdf }}</ref> और प्रभाव प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए प्रभाव नियमों का उपयोग किया जाता है।<ref name="Pfeiffer-2012">{{cite journal |last1=Pfeiffer |first1=Friedrich |title=नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स पर|journal=Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics |date=14 March 2012 |volume=226 |issue=2 |pages=147–177 |doi=10.1177/1464419312438487|s2cid=123605632 }}</ref> सिग्नोरिनी स्थिति को पूरकता समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 <math>g  \geq 0, \quad \lambda \geq 0, \quad \lambda \perp g   </math>,
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 उपरोक्त दोनों अभिव्यक्तियाँ एकपक्षीय बाधाओं के गतिशील व्यवहार का प्रतिनिधित्व करती हैं: जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य से अधिक होती है तो संपर्क विवृत होता है, जिसका अर्थ है कि पिंडों के मध्य कोई संपर्क बल नहीं है, <math>\lambda  =0 </math>; दूसरी ओर, जब सामान्य दूरी <math>g_{\rm N} </math> शून्य के समान होती है, तो संपर्क संवृत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>\lambda \geq0</math> होता है।
-[[Image:contact dynamics unilateral.jpg|frame|center|चित्र 2: ए) एकपक्षीय संपर्क, बी) सिग्नोरिनी ग्राफ, सी) निरंतर यांत्रिकी आधारित मॉडल|alt=]]गैर-चिकनी सिद्धांत पर आधारित विधियों को प्रस्तुत करते समय वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में अधिकांश स्थितियों में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:<ref name="Jean-1999" /><ref>{{Cite journal|last1=Tasora|first1=A.|last2=Anitescu|first2=M.|date=January 2011|title=बड़े पैमाने पर, चिकनी, कठोर शरीर की गतिशीलता को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स-मुक्त शंकु पूरकता दृष्टिकोण|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782510001970|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=200|issue=5–8|pages=439–453|doi=10.1016/j.cma.2010.06.030|bibcode=2011CMAME.200..439T }}</ref>
+[[Image:contact dynamics unilateral.jpg|frame|center|चित्र 2: ए) एकपक्षीय संपर्क, बी) सिग्नोरिनी ग्राफ, सी) निरंतर यांत्रिकी आधारित मॉडल|alt=]]नॉन-स्मूथ सिद्धांत पर आधारित विधियों को प्रस्तुत करते समय वेग सिग्नोरिनी स्थिति या त्वरण सिग्नोरिनी स्थिति वास्तव में अधिकांश स्थितियों में नियोजित होती है। वेग सिग्नोरिनी स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:<ref name="Jean-1999" /><ref>{{Cite journal|last1=Tasora|first1=A.|last2=Anitescu|first2=M.|date=January 2011|title=बड़े पैमाने पर, चिकनी, कठोर शरीर की गतिशीलता को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स-मुक्त शंकु पूरकता दृष्टिकोण|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0045782510001970|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=200|issue=5–8|pages=439–453|doi=10.1016/j.cma.2010.06.030|bibcode=2011CMAME.200..439T }}</ref>
 <math>U_{\rm N}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq0,\quad U^{+}\lambda =0</math>,
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 == समाधान तकनीक ==
-यदि एकपक्षीय बाधाओं को सातत्यक यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा प्रस्तुत किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना प्रत्यक्ष रूप से स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके बजाय गैर-चिकनी सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण हैं: गैर-[[रैखिक पूरकता समस्या]]/रैखिक पूरकता समस्या (N/LCP) सूत्रीकरण और संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, गैर-चिकनी विधि अधिक कठिन है, लेकिन कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से कम खर्चीला है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और गैर-चिकनी सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत तुलना की गई।<ref>{{Cite journal|last1=Pazouki|first1=Arman|last2=Kwarta|first2=Michał|last3=Williams|first3=Kyle|last4=Likos|first4=William|last5=Serban|first5=Radu|last6=Jayakumar|first6=Paramsothy|last7=Negrut|first7=Dan|date=2017-10-13|title=Compliant contact versus rigid contact: A comparison in the context of granular dynamics|journal=Physical Review E|language=en|volume=96|issue=4|pages=042905|doi=10.1103/PhysRevE.96.042905|pmid=29347540|bibcode=2017PhRvE..96d2905P |issn=2470-0045|doi-access=free}}</ref>
+यदि एकपक्षीय बाधाओं को सातत्यक यांत्रिकी आधारित संपर्क मॉडल द्वारा प्रस्तुत किया जाता है, तो संपर्क बलों की गणना प्रत्यक्ष रूप से स्पष्ट गणितीय सूत्र के माध्यम से की जा सकती है, जो संपर्क मॉडल पर निर्भर करता है। यदि इसके अतिरिक्त नॉन-स्मूथ सिद्धांत आधारित पद्धति को नियोजित किया जाता है, तो सिग्नोरिनी स्थितियों के समाधान के लिए दो मुख्य सूत्रीकरण होते हैं, जिनमें [[रैखिक पूरकता समस्या|अरैखिक/रैखिक पूरकता समस्या]] (एन/एलसीपी) सूत्रीकरण और संवर्धित लाग्रंगियन सूत्रीकरण सम्मिलित हैं। संपर्क मॉडल के समाधान के संबंध में, नॉन-स्मूथ विधि अधिक जटिल है, किन्तु कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से अतिव्ययी नहीं है। पज़ौकी एट अल द्वारा संपर्क मॉडल और नॉन-स्मूथ सिद्धांत का उपयोग करके समाधान विधियों की अधिक विस्तृत रूप से तुलना की गई है।<ref>{{Cite journal|last1=Pazouki|first1=Arman|last2=Kwarta|first2=Michał|last3=Williams|first3=Kyle|last4=Likos|first4=William|last5=Serban|first5=Radu|last6=Jayakumar|first6=Paramsothy|last7=Negrut|first7=Dan|date=2017-10-13|title=Compliant contact versus rigid contact: A comparison in the context of granular dynamics|journal=Physical Review E|language=en|volume=96|issue=4|pages=042905|doi=10.1103/PhysRevE.96.042905|pmid=29347540|bibcode=2017PhRvE..96d2905P |issn=2470-0045|doi-access=free}}</ref>
-=== एन/एलसीपी योगों ===
+=== एन/एलसीपी सूत्रीकरण ===
 इस दृष्टिकोण के बाद, एकपक्षीय बाधाओं के साथ गतिकी समीकरणों का समाधान N/LCPs के समाधान में बदल जाता है। विशेष रूप से, घर्षण रहित एकपक्षीय बाधाओं या समतलीय घर्षण के साथ एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या LCPs में बदल जाती है, जबकि घर्षण एकपक्षीय बाधाओं के लिए, समस्या NCPs में बदल जाती है। LCPs को हल करने के लिए, Lemek और Dantzig के एल्गोरिथम से उत्पन्न [[सिम्पलेक्स एल्गोरिथम]] सबसे लोकप्रिय तरीका है।<ref name=":0" />दुर्भाग्य से, हालांकि, संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि बड़ी संख्या में एकपक्षीय संपर्कों के साथ सिस्टम को संभालते समय धुरी एल्गोरिथ्म विफल हो सकता है, यहां तक कि सर्वोत्तम अनुकूलन का उपयोग भी कर सकता है।<ref name="Anitescu-Tasora-2008">{{cite journal|last1=Anitescu|first1=Mihai|last2=Tasora|first2=Alessandro|date=26 November 2008|title=नॉनस्मूथ डायनेमिक्स के लिए शंकु पूरकता समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्त दृष्टिकोण|journal=Computational Optimization and Applications|volume=47|issue=2|pages=207–235|doi=10.1007/s10589-008-9223-4|s2cid=1107494|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01631636/file/MAATA.pdf}}</ref> एनसीपी के लिए, पॉलीहेड्रल सन्निकटन का उपयोग एनसीपी को एलसीपी के एक सेट में बदल सकता है, जिसे एलसीपी सॉल्वर द्वारा हल किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Xu|first1=Ziyao|last2=Wang|first2=Qi|last3=Wang|first3=Qingyun|date=December 2017|title=द्वि-आयामी कूलम्ब शुष्क घर्षण और गैर-होलोनोमिक बाधाओं के साथ बहु-निकाय प्रणालियों की गतिशीलता के लिए संख्यात्मक विधि|url=http://link.springer.com/10.1007/s10483-017-2285-8|journal=Applied Mathematics and Mechanics|language=en|volume=38|issue=12|pages=1733–1752|doi=10.1007/s10483-017-2285-8|s2cid=125402414|issn=0253-4827}}</ref> इन तरीकों से परे अन्य दृष्टिकोण, जैसे एनसीपी-फ़ंक्शंस<ref>{{Cite journal|last1=Stavroulakis|first1=G.E.|last2=Antes|first2=H.|date=2000|title=Nonlinear equation approach for inequality elastostatics: a two-dimensional BEM implementation|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0131009|journal=Computers and Structures|language=en|volume=75|issue=6|pages=631–646|doi=10.1016/S0045-7949(99)00111-X}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Mangasarian|first=O. L.|date=July 1976|title=अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए पूरक समस्या की समानता|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0131009|journal=SIAM Journal on Applied Mathematics|language=en|volume=31|issue=1|pages=89–92|doi=10.1137/0131009|issn=0036-1399}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fischer|first=A.|date=January 1992|title=एक विशेष न्यूटन-प्रकार अनुकूलन विधि|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/02331939208843795|journal=Optimization|language=en|volume=24|issue=3–4|pages=269–284|doi=10.1080/02331939208843795|issn=0233-1934}}</ref> या शंकु संपूरकता समस्याएँ (CCP) आधारित विधियाँ<ref>{{Cite journal|last1=Melanz|first1=Daniel|last2=Fang|first2=Luning|last3=Jayakumar|first3=Paramsothy|last4=Negrut|first4=Dan|date=June 2017|title=अंतर परिवर्तनशील असमानताओं के माध्यम से प्रतिरूपित घर्षण संपर्क के साथ मल्टीबॉडी गतिकी समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों की तुलना|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=320|pages=668–693|doi=10.1016/j.cma.2017.03.010|bibcode=2017CMAME.320..668M |doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Negrut|first1=Dan|last2=Serban|first2=Radu|last3=Tasora|first3=Alessandro|date=2018-01-01|title=एक विभेदक पूरक समस्या के रूप में घर्षण और संपर्क के साथ मल्टीबॉडी डायनेमिक्स प्रस्तुत करना|journal=Journal of Computational and Nonlinear Dynamics|language=en|volume=13|issue=1|pages=014503|doi=10.1115/1.4037415|issn=1555-1415|doi-access=free}}</ref> एनसीपी को हल करने के लिए भी कार्यरत हैं।
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 === ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर ===
-गैर-चिकनी आधारित पद्धति का उपयोग करते हुए ओपन-सोर्स कोड और गैर-वाणिज्यिक पैकेज:
+नॉन-स्मूथ आधारित पद्धति का उपयोग करते हुए ओपन-सोर्स कोड और गैर-वाणिज्यिक पैकेज:
 * {{annotated link|Siconos}}
 * [https://github.com/projectchrono/chrono/ Chrono], एक ओपन सोर्स मल्टी-फिजिक्स सिमुलेशन इंजन, प्रोजेक्ट [http://projectchrono.org वेबसाइट] भी देखें
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 *एकरी वी., ब्रोगलीटो बी. न्यूमेरिकल मेथड्स फॉर नॉनस्मूथ डायनामिकल सिस्टम्स। यांत्रिकी और इलेक्ट्रॉनिक्स में अनुप्रयोग। स्प्रिंगर वेरलाग, LNACM 35, हीडलबर्ग, 2008।
 *ब्रोगलीटो बी. नॉनस्मूथ मैकेनिक्स। संचार और नियंत्रण इंजीनियरिंग श्रृंखला स्प्रिंगर-वर्लाग, लंदन, 1999 (2dn संस्करण)।
-* Demyanov, V.F., Stavroulakis, G.E., Polyakova, L.N., Panagiotopoulos, P.D. यांत्रिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र स्प्रिंगर 1996 में अर्धविभेद्यता और गैर-चिकनी मॉडलिंग
+* Demyanov, V.F., Stavroulakis, G.E., Polyakova, L.N., Panagiotopoulos, P.D. यांत्रिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र स्प्रिंगर 1996 में अर्धविभेद्यता और नॉन-स्मूथ मॉडलिंग
 *ग्लोकर, च। डायनेमिक वॉन स्टारकोर्परसिस्टमन मिट रिबंग अंड स्टोएसेन, VDI फोर्टस्क्रिट्सबेरिच्टे मैकेनिक/ब्रुचमैकेनिक का खंड 18/182। VDI Verlag, डसेलडोर्फ, 1995
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-*जीन एम। गैर-चिकनी संपर्क गतिकी विधि। अनुप्रयुक्त यांत्रिकी और इंजीनियरिंग में कंप्यूटर तरीके 177(3-4):235-257, 1999
+*जीन एम। नॉन-स्मूथ संपर्क गतिकी विधि। अनुप्रयुक्त यांत्रिकी और इंजीनियरिंग में कंप्यूटर तरीके 177(3-4):235-257, 1999
-*मोरो जे.जे. परिमित स्वतंत्रता गतिशीलता में एकपक्षीय संपर्क और शुष्क घर्षण, गैर-चिकनी यांत्रिकी और अनुप्रयोग, CISM पाठ्यक्रम और व्याख्यान का खंड 302। स्प्रिंगर, वीन, 1988
+*मोरो जे.जे. परिमित स्वतंत्रता गतिशीलता में एकपक्षीय संपर्क और शुष्क घर्षण, नॉन-स्मूथ यांत्रिकी और अनुप्रयोग, CISM पाठ्यक्रम और व्याख्यान का खंड 302। स्प्रिंगर, वीन, 1988
 *फीफर एफ., फोर्ज एम. और अलब्रिच एच. नॉन-स्मूथ मल्टीबॉडी डायनामिक्स के संख्यात्मक पहलू। गणना। तरीके मेक। इंजीनियरिंग 195(50-51):6891-6908, 2006
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एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग

स्मूथ संपर्क गतिकी

नॉन-स्मूथ संपर्क गतिकी

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

समाधान तकनीक

एन/एलसीपी सूत्रीकरण

संवर्धित Lagrangian सूत्रीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर

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एकपक्षीय बाधाओं की मॉडलिंग

स्मूथ संपर्क गतिकी

नॉन-स्मूथ संपर्क गतिकी

घर्षण एकपक्षीय बाधाएं

समाधान तकनीक

एन/एलसीपी सूत्रीकरण

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