प्रमुख कारकों की तालिका: Difference between revisions

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*k-शक्तिशाली संख्या में सभी p<sup>m</sup> ≤ k होते हैं जहां p बहुलता m वाला अभाज्य गुणनखंड है।
*k-शक्तिशाली संख्या में सभी p<sup>m</sup> ≤ k होते हैं जहां p बहुलता m वाला अभाज्य गुणनखंड है।
* मितव्ययी संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड में अंकों की संख्या से अधिक अंक होते हैं (जब घातांक के रूप में 1 से ऊपर की बहुलताओं के साथ नीचे दी गई तालिकाओं के जैसे लिखा जाता है)। दशमलव में प्रथम: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250 {{OEIS|id=A046759}}.
* मितव्ययी संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड में अंकों की संख्या से अधिक अंक होते हैं (जब घातांक के रूप में 1 से ऊपर की बहुलताओं के साथ नीचे दी गई तालिकाओं के जैसे लिखा जाता है)। दशमलव में प्रथम: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250 {{OEIS|id=A046759}}.
* एक इक्विडिजिटल संख्या में अंकों की संख्या उतनी ही होती है जितनी कि इसके अभाज्य गुणनखंड में। दशमलव में पहला: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17 {{OEIS|id=A046758}}.
* इक्विडिजिटल संख्या में अंकों की संख्या उतनी ही होती है जितनी कि इसके अभाज्य गुणनखंड में दशमलव में प्रथम: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17 {{OEIS|id=A046758}}.
* एक असाधारण संख्या में इसके प्रमुख गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में पहला: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 {{OEIS|id=A046760}}.
* असाधारण संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में प्रथम: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 {{OEIS|id=A046760}}.
*एक किफायती संख्या को एक मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, किंतु यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समअंकीय है।
*इकोनोमिकल संख्या को मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, किंतु यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समान अंकीय है।
*gcd(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक) सभी प्रमुख कारकों का उत्पाद है जो ''m'' और 'दोनों में हैं 'n'' (''m'' और ''n'' के लिए सबसे छोटी बहुलता के साथ)।
*gcd(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक) सभी अभाज्य गुणनखंड का उत्पाद है जो ''m'' और n 'दोनों में हैं'' (''m'' और ''n'' के लिए सबसे छोटी बहुलता के साथ)।
*''m'' और ''n'' coprime हैं (अपेक्षाकृत प्राइम भी कहा जाता है) अगर gcd(''m'', ''n'') = 1 (अर्थात् उनके पास कोई सामान्य प्रमुख कारक नहीं है)।
*''m'' और ''n'' सहअभाज्य हैं (अपेक्षाकृत अभाज्य भी कहा जाता है) यदि gcd(''m'', ''n'') = 1 (अर्थात् उनका कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणक नहीं है)।
*lcm(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का लघुत्तम समापवर्तक) ''m'' या ''n' के सभी प्रमुख कारकों का गुणनफल है ' (''एम'' या ''एन'' के लिए सबसे बड़ी बहुलता के साथ)।
*lcm(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का लघुत्तम समापवर्तक) ''m'' या ''n''' के सभी अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल है ''<nowiki/>' (''m ''या ''n ''के लिए सबसे बड़ी बहुलता के साथ)।''
*gcd(''m'', ''n'') × lcm(''m'', ''n'') = ''m'' × ''n''. अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में प्रमुख कारकों को खोजना अक्सर कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात प्रधान गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है।
*gcd(''m'', ''n'') × lcm(''m'', ''n'') = ''m'' × ''n'' अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में अभाज्य गुणनखंड का परीक्षण प्रायः कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात अभाज्य गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है।
*''m'' ''n'' का विभाजक है (जिसे ''m'' ''n'' को विभाजित करता है, या ''n'' ''m'' से विभाज्य है) यदि सभी प्रमुख कारक हैं ''एम'' की कम से कम ''एन'' में उतनी ही बहुलता है।
*''m,'' ''n'' का भाजक है (जिसे ''m'' विभाजित ''n'' भी कहा जाता है, या ''n,'' ''m'' से विभाज्य है) यदि m के सभी अभाज्य गुणनखंड में ''n'' में कम से कम समान बहुलता है।
''n'' के विभाजक ''n'' के कुछ या सभी अभाज्य गुणनखंडों के सभी गुणनफल हैं (बिना अभाज्य गुणनखंडों के रिक्त गुणनफल 1 सहित)
''n'' के भाजक ''n'' के कुछ या सभी अभाज्य गुणनखंडों के सभी गुणनफल हैं (बिना अभाज्य गुणनखंडों के रिक्त गुणनफल 1 सहित) सभी गुणकों को 1 से बढ़ाकर और फिर उन्हें गुणा करके भाजकों की संख्या की गणना की जा सकती है। भाजक और भाजक से संबंधित गुण भाजक की तालिका में दर्शाए गए हैं।
सभी गुणकों को 1 से बढ़ाकर और फिर उन्हें गुणा करके विभाजकों की संख्या की गणना की जा सकती है।
भाजक और भाजक से संबंधित गुण भाजक की तालिका में दर्शाए गए हैं।


== 1 से 100 ==
== 1 से 100 ==

Revision as of 19:54, 10 June 2023

तालिकाओं में 1 से 1000 तक की प्राकृतिक संख्याओं का पूर्णांक गुणनखंड होता है।

जब n अभाज्य संख्या होती है, तो अभाज्य गुणनखंड केवल n ही होता है, जिसे नीचे 'बोल्ड' में लिखा गया है।

संख्या 1 (संख्या) को इकाई (रिंग थ्योरी) कहा जाता है। इसका कोई अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है और यह न तो अभाज्य संख्या और न ही भाज्य संख्या है।

गुण

प्राकृतिक संख्या n के कई गुणों को देखा जा सकता है या सरलता से n के अभाज्य गुणनखंड से गणना की जा सकती है।

  • n के अभाज्य गुणनखंड p की 'बहुलता' का सबसे बड़ा घातांक m है जिसके लिए pm, n को विभाजित करता है। तालिकाएँ प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए बहुलता दिखाती हैं। यदि कोई घातांक नहीं लिखा जाता है तो बहुलता 1 होती है (क्योंकि p = p1) अभाज्य की बहुलता जो n को विभाजित नहीं करती है उसे 0 कहा जा सकता है या अपरिभाषित माना जा सकता है।
  • Ω(n), बड़ा ओमेगा फलन (अभाज्य गुणनखंड), बहुलता के साथ गिने जाने वाले n के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है (इसलिए यह सभी अभाज्य गुणकों का योग है)।
  • अभाज्य संख्या में Ω(n) = 1 होती है। प्रथम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 (sequence A000040 in the OEIS) कई विशेष प्रकार की अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
  • मिश्रित संख्या में Ω(n) > 1 होता है। प्रथम: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 (sequence A002808 in the OEIS) 1 से ऊपर की सभी संख्याएँ या तो अभाज्य हैं या संयुक्त हैं। 1 भी नहीं है।
  • अर्द्ध अभाज्य में Ω(n) = 2 होता है (इसलिए यह समग्र है)। प्रथम: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34 (sequence A001358 in the OEIS).
  • k- लगभग अभाज्य (प्राकृतिक संख्या k के लिए) में Ω(n) = k होता है (इसलिए यह समग्र है यदि k > 1)।
  • सम संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 होता है। प्रथम: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 (sequence A005843 in the OEIS).
  • विषम संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होता है। प्रथम: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 (sequence A005408 in the OEIS) सभी पूर्णांक या तो सम या विषम होते हैं।
  • वर्ग संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंडों के लिए सम बहुलता होती है (यह कुछ a के लिए a2 के रूप का होता है) प्रथम: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 (sequence A000290 in the OEIS).
  • घन सभी गुणक 3 से विभाज्य हैं (यह कुछ a के लिए a3 के रूप का है) प्रथम: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 (sequence A000578 in the OEIS).
  • संपूर्ण शक्ति में सभी गुणकों के लिए सामान्य भाजक m > 1 होता है (यह कुछ a> 1 और m> 1 के रूप में होता है am के रूप का होता है)। प्रथम: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 (sequence A001597 in the OEIS). 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
  • शक्तिशाली संख्या (जिसे स्क्वायरफुल भी कहा जाता है) में सभी अभाज्य गुणनखंड के लिए 1 से अधिक की बहुलता होती है। प्रथम: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72 (sequence A001694 in the OEIS).
  • अभाज्य शक्ति का केवल अभाज्य गुणनखंड होता है। प्रथम: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 (sequence A000961 in the OEIS) 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
  • एकिलीस संख्या शक्तिशाली है किंतु पूर्ण शक्ति नहीं है। प्रथम: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968 (sequence A052486 in the OEIS).
  • वर्ग-मुक्त पूर्णांक में 1 से अधिक बहुलता वाला कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है। प्रथम: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 (sequence A005117 in the OEIS)) संख्या जहां कुछ किंतु सभी अभाज्य गुणनखंड में 1 से ऊपर की बहुलता नहीं होती है, वह न तो वर्ग-मुक्त होती है और न ही वर्गाकार होती है।
  • लिउविल फलन λ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और -1 है यदि Ω(n) विषम है।
  • मोबियस फ़ंक्शन μ(n) 0 है यदि n वर्ग-मुक्त नहीं है। अन्यथा μ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और −1 है यदि Ω(n) विषम है।
  • स्फेनिक संख्या में Ω(n) = 3 है और यह वर्ग-मुक्त है (इसलिए यह 3 विशिष्ट अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है)। प्रथम: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154 (sequence A007304 in the OEIS).
  • a0(n) n को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्याओं का योग है, जिसे बहुलता के साथ गिना जाता है। यह योगात्मक फलन है।
  • रुथ-आरोन की जोड़ी दो निरन्तर संख्याएं (x, x+1) है जिसमें a0(x) = a0(x+1) है। प्रथम (x मान द्वारा): 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248 (sequence A039752 in the OEIS), परिभाषा ही अभाज्य है यदि इसलिए, प्रथम (x मान द्वारा): 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299 (sequence A006145 in the OEIS)
  • मौलिक x# 2 से x तक सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है। प्रथम: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810 (sequence A002110 in the OEIS) 1# = 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
  • फैक्टोरियल x! 1 से x तक सभी संख्याओं का गुणनफल है। प्रथम: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600 (sequence A000142 in the OEIS) 0! = 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
  • k-स्मूथ संख्या (प्राकृतिक संख्या k के लिए) का सबसे बड़ा अभाज्य गुणक ≤ k होता है (इसलिए यह किसी भी j > k के लिए भी j-स्मूथ है)।
  • m, n की तुलना में 'स्मूथ' है यदि m का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनफल n के सबसे बड़े से कम है।
  • नियमित संख्या में 5 से ऊपर कोई अभाज्य गुणक नहीं होता (इसलिए यह 5-स्मूथ है)। प्रथम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16 (sequence A051037 in the OEIS).
  • k-शक्तिशाली संख्या में सभी pm ≤ k होते हैं जहां p बहुलता m वाला अभाज्य गुणनखंड है।
  • मितव्ययी संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड में अंकों की संख्या से अधिक अंक होते हैं (जब घातांक के रूप में 1 से ऊपर की बहुलताओं के साथ नीचे दी गई तालिकाओं के जैसे लिखा जाता है)। दशमलव में प्रथम: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250 (sequence A046759 in the OEIS).
  • इक्विडिजिटल संख्या में अंकों की संख्या उतनी ही होती है जितनी कि इसके अभाज्य गुणनखंड में दशमलव में प्रथम: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17 (sequence A046758 in the OEIS).
  • असाधारण संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में प्रथम: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 (sequence A046760 in the OEIS).
  • इकोनोमिकल संख्या को मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, किंतु यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समान अंकीय है।
  • gcd(m, n) (m और n का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक) सभी अभाज्य गुणनखंड का उत्पाद है जो m और n 'दोनों में हैं (m और n के लिए सबसे छोटी बहुलता के साथ)।
  • m और n सहअभाज्य हैं (अपेक्षाकृत अभाज्य भी कहा जाता है) यदि gcd(m, n) = 1 (अर्थात् उनका कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणक नहीं है)।
  • lcm(m, n) (m और n का लघुत्तम समापवर्तक) m या n' के सभी अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल है ' (m या n के लिए सबसे बड़ी बहुलता के साथ)।
  • gcd(m, n) × lcm(m, n) = m × n अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में अभाज्य गुणनखंड का परीक्षण प्रायः कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात अभाज्य गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है।
  • m, n का भाजक है (जिसे m विभाजित n भी कहा जाता है, या n, m से विभाज्य है) यदि m के सभी अभाज्य गुणनखंड में n में कम से कम समान बहुलता है।

n के भाजक n के कुछ या सभी अभाज्य गुणनखंडों के सभी गुणनफल हैं (बिना अभाज्य गुणनखंडों के रिक्त गुणनफल 1 सहित) सभी गुणकों को 1 से बढ़ाकर और फिर उन्हें गुणा करके भाजकों की संख्या की गणना की जा सकती है। भाजक और भाजक से संबंधित गुण भाजक की तालिका में दर्शाए गए हैं।

1 से 100

1 − 20
1
2 2
3 3
4 22
5 5
6 2·3
7 7
8 23
9 32
10 2·5
11 11
12 22·3
13 13
14 2·7
15 3·5
16 24
17 17
18 2·32
19 19
20 22·5
21 − 40
21 3·7
22 2·11
23 23
24 23·3
25 52
26 2·13
27 33
28 22·7
29 29
30 2·3·5
31 31
32 25
33 3·11
34 2·17
35 5·7
36 22·32
37 37
38 2·19
39 3·13
40 23·5
41 − 60
41 41
42 2·3·7
43 43
44 22·11
45 32·5
46 2·23
47 47
48 24·3
49 72
50 2·52
51 3·17
52 22·13
53 53
54 2·33
55 5·11
56 23·7
57 3·19
58 2·29
59 59
60 22·3·5
61 − 80
61 61
62 2·31
63 32·7
64 26
65 5·13
66 2·3·11
67 67
68 22·17
69 3·23
70 2·5·7
71 71
72 23·32
73 73
74 2·37
75 3·52
76 22·19
77 7·11
78 2·3·13
79 79
80 24·5
81 − 100
81 34
82 2·41
83 83
84 22·3·7
85 5·17
86 2·43
87 3·29
88 23·11
89 89
90 2·32·5
91 7·13
92 22·23
93 3·31
94 2·47
95 5·19
96 25·3
97 97
98 2·72
99 32·11
100 22·52

101 से 200

101 − 120
101 101
102 2·3·17
103 103
104 23·13
105 3·5·7
106 2·53
107 107
108 22·33
109 109
110 2·5·11
111 3·37
112 24·7
113 113
114 2·3·19
115 5·23
116 22·29
117 32·13
118 2·59
119 7·17
120 23·3·5
121 − 140
121 112
122 2·61
123 3·41
124 22·31
125 53
126 2·32·7
127 127
128 27
129 3·43
130 2·5·13
131 131
132 22·3·11
133 7·19
134 2·67
135 33·5
136 23·17
137 137
138 2·3·23
139 139
140 22·5·7
141 − 160
141 3·47
142 2·71
143 11·13
144 24·32
145 5·29
146 2·73
147 3·72
148 22·37
149 149
150 2·3·52
151 151
152 23·19
153 32·17
154 2·7·11
155 5·31
156 22·3·13
157 157
158 2·79
159 3·53
160 25·5
161 − 180
161 7·23
162 2·34
163 163
164 22·41
165 3·5·11
166 2·83
167 167
168 23·3·7
169 132
170 2·5·17
171 32·19
172 22·43
173 173
174 2·3·29
175 52·7
176 24·11
177 3·59
178 2·89
179 179
180 22·32·5
181 − 200
181 181
182 2·7·13
183 3·61
184 23·23
185 5·37
186 2·3·31
187 11·17
188 22·47
189 33·7
190 2·5·19
191 191
192 26·3
193 193
194 2·97
195 3·5·13
196 22·72
197 197
198 2·32·11
199 199
200 23·52

201 से 300

201 − 220
201 3·67
202 2·101
203 7·29
204 22·3·17
205 5·41
206 2·103
207 32·23
208 24·13
209 11·19
210 2·3·5·7
211 211
212 22·53
213 3·71
214 2·107
215 5·43
216 23·33
217 7·31
218 2·109
219 3·73
220 22·5·11
221 − 240
221 13·17
222 2·3·37
223 223
224 25·7
225 32·52
226 2·113
227 227
228 22·3·19
229 229
230 2·5·23
231 3·7·11
232 23·29
233 233
234 2·32·13
235 5·47
236 22·59
237 3·79
238 2·7·17
239 239
240 24·3·5
241 − 260
241 241
242 2·112
243 35
244 22·61
245 5·72
246 2·3·41
247 13·19
248 23·31
249 3·83
250 2·53
251 251
252 22·32·7
253 11·23
254 2·127
255 3·5·17
256 28
257 257
258 2·3·43
259 7·37
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890 2·5·89
891 34·11
892 22·223
893 19·47
894 2·3·149
895 5·179
896 27·7
897 3·13·23
898 2·449
899 29·31
900 22·32·52

901 से 1000

901 - 920
901 17·53
902 2·11·41
903 3·7·43
904 23·113
905 5·181
906 2·3·151
907 907
908 22·227
909 32·101
910 2·5·7·13
911 911
912 24·3·19
913 11·83
914 2·457
915 3·5·61
916 22·229
917 7·131
918 2·33·17
919 919
920 23·5·23
921 - 940
921 3·307
922 2·461
923 13·71
924 22·3·7·11
925 52·37
926 2·463
927 32·103
928 25·29
929 929
930 2·3·5·31
931 72·19
932 22·233
933 3·311
934 2·467
935 5·11·17
936 23·32·13
937 937
938 2·7·67
939 3·313
940 22·5·47
941 - 960
941 941
942 2·3·157
943 23·41
944 24·59
945 33·5·7
946 2·11·43
947 947
948 22·3·79
949 13·73
950 2·52·19
951 3·317
952 23·7·17
953 953
954 2·32·53
955 5·191
956 22·239
957 3·11·29
958 2·479
959 7·137
960 26·3·5
961 - 980
961 312
962 2·13·37
963 32·107
964 22·241
965 5·193
966 2·3·7·23
967 967
968 23·112
969 3·17·19
970 2·5·97
971 971
972 22·35
973 7·139
974 2·487
975 3·52·13
976 24·61
977 977
978 2·3·163
979 11·89
980 22·5·72
981 - 1000
981 32·109
982 2·491
983 983
984 23·3·41
985 5·197
986 2·17·29
987 3·7·47
988 22·13·19
989 23·43
990 2·32·5·11
991 991
992 25·31
993 3·331
994 2·7·71
995 5·199
996 22·3·83
997 997
998 2·499
999 33·37
1000 23·53

यह भी देखें


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