कारण फ़िल्टर: Difference between revisions

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[[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में, एक कारण फ़िल्टर एक LTI प्रणाली सिद्धांत है। रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय [[कारण प्रणाली]]। 'कारण' शब्द इंगित करता है कि फ़िल्टर आउटपुट केवल पिछले और वर्तमान इनपुट पर निर्भर करता है। एक [[फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] जिसका आउटपुट भी भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, गैर-कारण है, जबकि एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट भविष्य के इनपुट पर ''केवल'' निर्भर करता है, कारण विरोधी है। सिस्टम (फ़िल्टर सहित) जो 'प्राप्त करने योग्य' हैं (अर्थात जो [[रीयल-टाइम कंप्यूटिंग]] में काम करते हैं) कारणात्मक होने चाहिए क्योंकि ऐसी प्रणालियाँ भविष्य के इनपुट पर कार्य नहीं कर सकती हैं। असल में इसका मतलब है कि आउटपुट नमूना जो समय पर इनपुट का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है <math>t,</math> थोड़ी देर बाद बाहर आता है। [[डिजिटल फिल्टर]] के लिए एक सामान्य डिजाइन अभ्यास एक गैर-कारण आवेग प्रतिक्रिया को छोटा और/या समय-स्थानांतरित करके एक वास्तविक फिल्टर बनाना है। यदि छोटा करना आवश्यक है, तो इसे अक्सर [[खिड़की समारोह]] के साथ आवेग-प्रतिक्रिया के उत्पाद के रूप में पूरा किया जाता है।


एंटी-कारण फ़िल्टर का एक उदाहरण [[अधिकतम चरण]] फ़िल्टर है, जिसे [[बीआईबीओ स्थिरता]], एंटी-कारण फ़िल्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका व्युत्क्रम भी स्थिर और विरोधी कारण है।
 
सिग्नल प्रोसेसिंग में एक कारण फ़िल्टर एक रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय कारण प्रणाली है। कारण शब्द इंगित करता है कि फ़िल्टर आउटपुट केवल पिछले और वर्तमान इनपुट पर निर्भर करता है। एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट भविष्य के इनपुट पर भी निर्भर करता है, गैर-कारण है, जबकि एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट केवल भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, विरोधी कारण है। प्रणाली (फ़िल्टर सहित) जो  'प्राप्त करने योग्य हैं (अर्थात जो वास्तविक समय में काम करते हैं) कारणात्मक होने चाहिए क्योंकि ऐसी प्रणालियाँ भविष्य के इनपुट पर कार्य नहीं कर सकती हैं। वास्तव में इसका अर्थ है कि आउटपुट नमूना जो समय <math>t,</math> पर इनपुट का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है थोड़ी देर बाद बाहर आता है। डिजिटल फिल्टर के लिए एक सामान्य डिजाइन अभ्यास एक गैर-कारण आवेग प्रतिक्रिया को छोटा और/या समय-स्थानांतरित करके एक वास्तविक फिल्टर बनाना है। यदि छोटा करना आवश्यक है तो इसे अधिकांशतः विंडो कार्य के साथ आवेग-प्रतिक्रिया के उत्पाद के रूप में पूरा किया जाता है।
 
एंटी-कारण फ़िल्टर का एक उदाहरण [[अधिकतम चरण]] फ़िल्टर है जिसे [[बीआईबीओ स्थिरता]], एंटी-कारण फ़िल्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका व्युत्क्रम भी स्थिर और विरोधी कारण है।


[[Image:Illustration of causal and non-causal filters.svg|thumb|300px|right|कारण फ़िल्टर आउटपुट का प्रत्येक घटक तब शुरू होता है जब इसकी उत्तेजना शुरू होती है। उत्तेजना शुरू होने से पहले गैर-कारण फ़िल्टर के आउटपुट शुरू होते हैं।]]
[[Image:Illustration of causal and non-causal filters.svg|thumb|300px|right|कारण फ़िल्टर आउटपुट का प्रत्येक घटक तब शुरू होता है जब इसकी उत्तेजना शुरू होती है। उत्तेजना शुरू होने से पहले गैर-कारण फ़िल्टर के आउटपुट शुरू होते हैं।]]


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
निम्नलिखित परिभाषा इनपुट डेटा का स्लाइडिंग या [[ औसत चलन ]] है <math>s(x)\,</math>. का एक स्थिर कारक {{Fraction|1|2}} सादगी के लिए छोड़ा गया है:
निम्नलिखित परिभाषा इनपुट डेटा <math>s(x)\,</math> का स्लाइडिंग या [[ औसत चलन ]]  है। सादगी के लिए {{Fraction|1|2}} का एक स्थिर कारक छोड़ा गया है:


:<math>f(x) = \int_{x-1}^{x+1} s(\tau)\, d\tau\ = \int_{-1}^{+1} s(x + \tau) \,d\tau\,</math>
:<math>f(x) = \int_{x-1}^{x+1} s(\tau)\, d\tau\ = \int_{-1}^{+1} s(x + \tau) \,d\tau\,</math>
कहाँ <math>x</math> छवि प्रसंस्करण के रूप में एक स्थानिक समन्वय का प्रतिनिधित्व कर सकता है। लेकिन अगर <math>x</math> समय का प्रतिनिधित्व करता है <math>(t)\,</math>, तो एक मूविंग एवरेज परिभाषित करता है कि जिस तरह से गैर-कारणात्मक है (जिसे ''गैर-वसूली योग्य'' भी कहा जाता है), क्योंकि <math>f(t)\,</math> भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, जैसे <math>s(t+1)\,</math>. एक वसूली योग्य आउटपुट है
जहाँ <math>x</math> एक स्थानिक समन्वय का प्रतिनिधित्व कर सकता है जैसा कि इमेज प्रोसेसिंग में होता है। किंतु यदि <math>x</math> समय <math>(t)\,</math> का प्रतिनिधित्व करता है तो एक सामान्य गति परिभाषित किया गया है जो गैर-कारणात्मक है (जिसे गैर-प्राप्य योग्य भी कहा जाता है), क्योंकि <math>f(t)\,</math> भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, जैसे कि <math>s(t+1)\,</math> एक प्राप्य योग्य आउटपुट है


:<math>f(t-1) = \int_{-2}^{0} s(t + \tau)\, d\tau = \int_{0}^{+2} s(t - \tau) \, d\tau\,</math>
:<math>f(t-1) = \int_{-2}^{0} s(t + \tau)\, d\tau = \int_{0}^{+2} s(t - \tau) \, d\tau\,</math>
जो गैर-वसूली योग्य आउटपुट का विलंबित संस्करण है।
जो गैर-प्राप्य योग्य आउटपुट का विलंबित संस्करण है।


किसी भी रेखीय फिल्टर (जैसे एक चलती औसत) को एक फ़ंक्शन एच (टी) द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे इसकी [[आवेग प्रतिक्रिया]] कहा जाता है। इसका आउटपुट [[कनवल्शन]] है
किसी भी रेखीय फिल्टर (जैसे एक चलती औसत) को एक कार्य ''h''(''t'') द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे इसकी [[आवेग प्रतिक्रिया]] कहा जाता है। इसका आउटपुट [[कनवल्शन]] है


:<math>
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f(t) = (h*s)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) s(t - \tau)\, d\tau. \,
f(t) = (h*s)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) s(t - \tau)\, d\tau. \,
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उन शब्दों में, कार्य-कारण की आवश्यकता होती है
उन शब्दों में कार्य-कारण की आवश्यकता होती है


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और इन दो भावों की सामान्य समानता के लिए सभी t < 0 के लिए h(t) = 0 की आवश्यकता होती है।
और इन दो भावों की सामान्य समानता के लिए सभी t < 0 के लिए h(t) = 0 की आवश्यकता होती है।


== फ़्रीक्वेंसी डोमेन == में कारण फ़िल्टर का लक्षण वर्णन
=== आवृत्ति डोमेन में कारण फ़िल्टर का लक्षण वर्णन ===
एच (टी) को इसी फूरियर ट्रांसफॉर्म एच (ω) के साथ एक कारण फ़िल्टर होने दें। फलन को परिभाषित कीजिए
''h''(''t'') को इसी फूरियर रूपांतरण ''H''(ω) के साथ एक कारण फ़िल्टर होने दें। फलन को परिभाषित कीजिए


:<math>
:<math>
g(t) = {h(t) + h^{*}(-t) \over 2}
g(t) = {h(t) + h^{*}(-t) \over 2}
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जो अकारण है। दूसरी ओर, जी (टी) [[हर्मिटियन फ़ंक्शन]] है और इसके परिणामस्वरूप, इसका फूरियर रूपांतरण जी (ω) वास्तविक-मूल्यवान है। अब हमारा निम्नलिखित संबंध है
जो अकारण है। दूसरी ओर ''g''(''t'') [[हर्मिटियन फ़ंक्शन|हर्मिटियन]] कार्य है और इसके परिणामस्वरूप इसका फूरियर रूपांतरण ''G''(ω) वास्तविक-मूल्यवान है। अब हमारा निम्नलिखित संबंध है


:<math>
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h(t) = 2\, \Theta(t) \cdot g(t)\,
h(t) = 2\, \Theta(t) \cdot g(t)\,
</math>
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जहां Θ(टी) [[हेविसाइड फ़ंक्शन]] है।
जहां Θ(''t'') [[हेविसाइड फ़ंक्शन|हेविसाइड]] कार्य है।


इसका अर्थ है कि h(t) और g(t) के फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार संबंधित हैं
इसका अर्थ है कि h(t) और g(t) के फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार संबंधित हैं
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G(\omega) - i\cdot \widehat G(\omega) \,
G(\omega) - i\cdot \widehat G(\omega) \,
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कहाँ <math>\widehat G(\omega)\,</math> फ़्रीक्वेंसी डोमेन (टाइम डोमेन के बजाय) में किया गया [[हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म]] है। का चिह्न <math>\widehat G(\omega)\,</math> फूरियर रूपांतरण की परिभाषा पर निर्भर हो सकता है।
जहाँ <math>\widehat G(\omega)\,</math> आवृत्ति डोमेन (टाइम डोमेन के अतिरिक्त ) में किया गया [[हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म|हिल्बर्ट]] रूपांतरण है। का चिह्न <math>\widehat G(\omega)\,</math> फूरियर रूपांतरण की परिभाषा पर निर्भर हो सकता है।


उपरोक्त समीकरण के हिल्बर्ट रूपांतरण को लेने से H और उसके हिल्बर्ट रूपांतरण के बीच यह संबंध प्राप्त होता है:
उपरोक्त समीकरण के हिल्बर्ट रूपांतरण को लेने से H और उसके हिल्बर्ट रूपांतरण के बीच यह संबंध प्राप्त होता है:
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'''<br />ए क्योंकि ऐसी प्रणालियाँ भविष्य के इनपुट पर कार्य नहीं कर सकती हैं। वास्तव में इसका अर्थ है कि आउटपुट नमूना जो समय <math>t,</math> पर इनपुट का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है थोड़ी'''
==संदर्भ==
==संदर्भ==
*{{citation|title=[[Numerical Recipes]] | edition=3rd | first1=William H. | last1=Press | first2=Saul A. | last2=Teukolsky | first3=William T. | last3=Vetterling | first4=Brian P. | last4=Flannery | isbn=9780521880688 | date=September 2007 | publisher=Cambridge University Press | page=767 }}
*{{citation|title=[[Numerical Recipes]] | edition=3rd | first1=William H. | last1=Press | first2=Saul A. | last2=Teukolsky | first3=William T. | last3=Vetterling | first4=Brian P. | last4=Flannery | isbn=9780521880688 | date=September 2007 | publisher=Cambridge University Press | page=767 }}

Revision as of 09:18, 7 June 2023


सिग्नल प्रोसेसिंग में एक कारण फ़िल्टर एक रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय कारण प्रणाली है। कारण शब्द इंगित करता है कि फ़िल्टर आउटपुट केवल पिछले और वर्तमान इनपुट पर निर्भर करता है। एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट भविष्य के इनपुट पर भी निर्भर करता है, गैर-कारण है, जबकि एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट केवल भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, विरोधी कारण है। प्रणाली (फ़िल्टर सहित) जो 'प्राप्त करने योग्य हैं (अर्थात जो वास्तविक समय में काम करते हैं) कारणात्मक होने चाहिए क्योंकि ऐसी प्रणालियाँ भविष्य के इनपुट पर कार्य नहीं कर सकती हैं। वास्तव में इसका अर्थ है कि आउटपुट नमूना जो समय पर इनपुट का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है थोड़ी देर बाद बाहर आता है। डिजिटल फिल्टर के लिए एक सामान्य डिजाइन अभ्यास एक गैर-कारण आवेग प्रतिक्रिया को छोटा और/या समय-स्थानांतरित करके एक वास्तविक फिल्टर बनाना है। यदि छोटा करना आवश्यक है तो इसे अधिकांशतः विंडो कार्य के साथ आवेग-प्रतिक्रिया के उत्पाद के रूप में पूरा किया जाता है।

एंटी-कारण फ़िल्टर का एक उदाहरण अधिकतम चरण फ़िल्टर है जिसे बीआईबीओ स्थिरता, एंटी-कारण फ़िल्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका व्युत्क्रम भी स्थिर और विरोधी कारण है।

कारण फ़िल्टर आउटपुट का प्रत्येक घटक तब शुरू होता है जब इसकी उत्तेजना शुरू होती है। उत्तेजना शुरू होने से पहले गैर-कारण फ़िल्टर के आउटपुट शुरू होते हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित परिभाषा इनपुट डेटा का स्लाइडिंग या औसत चलन है। सादगी के लिए 12 का एक स्थिर कारक छोड़ा गया है:

जहाँ एक स्थानिक समन्वय का प्रतिनिधित्व कर सकता है जैसा कि इमेज प्रोसेसिंग में होता है। किंतु यदि समय का प्रतिनिधित्व करता है तो एक सामान्य गति परिभाषित किया गया है जो गैर-कारणात्मक है (जिसे गैर-प्राप्य योग्य भी कहा जाता है), क्योंकि भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, जैसे कि एक प्राप्य योग्य आउटपुट है

जो गैर-प्राप्य योग्य आउटपुट का विलंबित संस्करण है।

किसी भी रेखीय फिल्टर (जैसे एक चलती औसत) को एक कार्य h(t) द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे इसकी आवेग प्रतिक्रिया कहा जाता है। इसका आउटपुट कनवल्शन है

उन शब्दों में कार्य-कारण की आवश्यकता होती है

और इन दो भावों की सामान्य समानता के लिए सभी t < 0 के लिए h(t) = 0 की आवश्यकता होती है।

आवृत्ति डोमेन में कारण फ़िल्टर का लक्षण वर्णन

h(t) को इसी फूरियर रूपांतरण H(ω) के साथ एक कारण फ़िल्टर होने दें। फलन को परिभाषित कीजिए

जो अकारण है। दूसरी ओर g(t) हर्मिटियन कार्य है और इसके परिणामस्वरूप इसका फूरियर रूपांतरण G(ω) वास्तविक-मूल्यवान है। अब हमारा निम्नलिखित संबंध है

जहां Θ(t) हेविसाइड कार्य है।

इसका अर्थ है कि h(t) और g(t) के फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार संबंधित हैं

जहाँ आवृत्ति डोमेन (टाइम डोमेन के अतिरिक्त ) में किया गया हिल्बर्ट रूपांतरण है। का चिह्न फूरियर रूपांतरण की परिभाषा पर निर्भर हो सकता है।

उपरोक्त समीकरण के हिल्बर्ट रूपांतरण को लेने से H और उसके हिल्बर्ट रूपांतरण के बीच यह संबंध प्राप्त होता है:


ए क्योंकि ऐसी प्रणालियाँ भविष्य के इनपुट पर कार्य नहीं कर सकती हैं। वास्तव में इसका अर्थ है कि आउटपुट नमूना जो समय पर इनपुट का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है थोड़ी

संदर्भ

  • Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (September 2007), Numerical Recipes (3rd ed.), Cambridge University Press, p. 767, ISBN 9780521880688
  • Rowell (January 2009), Determining a System’s Causality from its Frequency Response (PDF), MIT OpenCourseWare