डिजाइन प्रभाव: Difference between revisions

Revision as of 12:34, 22 June 2023

सर्वेक्षण पद्धति में, डिजाइन प्रभाव (सामान्यतः डिजाइन प्रभाव परिभाषाओं के रूप में $D_{eff}$ या $D_{eft}^{2}$ ) कुछ मापदंड के लिए अनुमानक के भिन्नता पर प्रतिदर्शी डिजाइन के अपेक्षित प्रभाव का एक उपाय है। इसकी गणना किसी (अधिकांशतः) जटिल प्रतिदर्शी डिजाइन से प्रतिदर्शी के आधार पर एक अनुमानक के समान संख्या में तत्वों के एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी (एसआरएस) के आधार पर वैकल्पिक अनुमानक के भिन्नता के अनुपात के रूप में की जाती है।^[1]^: 258 डेफ़ (चाहे यह अनुमान लगाया गया हो, या पूर्व-ज्ञात हो) का उपयोग उन प्रकरणों में एक अनुमानक के प्रसरण को समायोजित करने के लिए किया जा सकता है जहाँ सरल अनियमित प्रतिदर्शी का उपयोग करके प्रतिदर्शी तैयार नहीं किया जाता है। यह प्रतिदर्शी आकार की गणना में और प्रतिदर्शी की प्रतिनिधित्व क्षमता को मापने के लिए भी उपयोगी हो सकता है। शब्द डिजाइन प्रभाव 1965 में लेस्ली किश द्वारा गढ़ा गया था।

डिजाइन प्रभाव एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है जो एक मुद्रास्फीति ( $D_{eff}>1$ ) को इंगित करता है, या अपस्फीति ( $D_{eff}<1$ ) कुछ मापदंड के लिए एक अनुमानक के विचरण में, जो कि अध्ययन के कारण एसआरएस (के साथ) का उपयोग नहीं कर रहा है, जब प्रसरण समान हैं अर्थात $D_{eff}=1$ )।^[2]^: 53, 54

कुछ संभावित जटिल प्रतिदर्शी जो 1 से भिन्न डेफ़ को प्रस्तुत कर सकते हैं उनमें सम्मिलित हैं: सामूहिक प्रतिदर्शी (जैसे कि जब टिप्पणियों के बीच सहसंबंध होता है), स्तरीकृत प्रतिदर्शी, सामूहिक अनियमित नियंत्रित परीक्षण, अनुपातहीन (असमान संभावना) प्रतिदर्शी, गैर-कवरेज, गैर-प्रतिक्रिया, सांख्यिकीय डिजाइन प्रभाव,असमान चयन संभावनाओं के स्रोत आदि।

डेफ का उपयोग प्रतिदर्शी आकार की गणना में किया जा सकता है, प्रतिदर्शी के प्रतिनिधि (लक्षित आबादी के लिए) को मापने के साथ-साथ कुछ अनुमानक के भिन्नता को समायोजित करने के लिए ऐसे प्रकरणों में जब हम एसआरएस मानते हुए अनुमानक के भिन्नता की गणना कर सकते हैं।^[3]

डिजाइन प्रभाव शब्द को 1965 में लेस्ली किश द्वारा गढ़ा गया था।^[1]^{: 88, 258} कई डिजाइन प्रभाव प्रसिद्ध प्रतिदर्शी डिजाइनों के लिए डिजाइन प्रभाव साहित्य में गणना द्वारा (और अनुमानक) प्रस्तावित किए गए हैं, रुचि के अनुमानकों के भिन्नता में वृद्धि/कमी पर ज्ञात प्रतिदर्शी डिजाइन के प्रभाव का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है जो कि सामान्यतः, डिजाइन प्रभाव हितों के आंकड़ों के बीच भिन्न होता है, जैसे कि कुल या अनुपात वितरण अनियमित अनुपात के साधन और भिन्नताएं यह भी मायने रखता है कि क्या डिजाइन (जैसे: चयन संभावनाएँ) रुचि के परिणाम के साथ सहसंबद्ध हैं और अंत में, यह परिणाम के वितरण से ही प्रभावित होता है। व्यवहार में डिजाइन प्रभाव का आकलन और उपयोग करते समय इन सभी पर विचार किया जाना चाहिए।^[4]^: 13

परिभाषाएँ

डेफ

डिजाइन प्रभाव (डेफ, या $D_{eff}$ ) कुछ सांख्यिकीय मापदंड के अनुमानकों के लिए दो सैद्धांतिक भिन्नताओं का अनुपात ( $\theta$ ) है:^[1]^[5]

* अंश में कुछ मापदंड के अनुमानक के लिए वास्तविक भिन्नता (

{\hat {\theta }}_{w}

) है, दिए गए प्रतिदर्शी के डिजाइन में

p

प्रतिदर्शी है।

* भाजक में एक ही प्रतिदर्शी आकार मानने वाला विचरण है, लेकिन यदि अनुमानक का उपयोग करके प्रतिदर्शी प्राप्त किया गया था तो हम प्रतिस्थापन के बिना एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी के लिए (

{\hat {\theta }}_{srswor}

) उपयोग करेंगे।

जिससे कि:

Deff_{p}({\hat {\theta }})={\frac {var({\hat {\theta }}_{w})}{var({\hat {\theta }}_{srswor})}}

$D_{eff}$ कितना अधिक विचरण बढ़ा था (या कुछ प्रकरणों में घट गया था), क्योंकि हमारा प्रतिदर्शी तैयार किया गया था और एक विशिष्ट प्रतिदर्शी डिजाइन (जैसे: वजन, या अन्य उपायों का उपयोग करके) के लिए समायोजित किया गया था, क्योंकि यह तब संभव होगा जब प्रतिदर्शी एक से सरल था। प्रतिदर्शी डिजाइनों में बड़ी विविधता के कारण (असमान चयन संभावनाओं पर प्रभाव के साथ या बिना) संभावित डिजाइन प्रभाव को पकड़ने के साथ-साथ अनुमानकों के सही विचलन का अनुमान लगाने के लिए विभिन्न सूत्र विकसित किए गए हैं। सरल अनियमित प्रतिदर्शी (प्रतिस्थापन के बिना) गणना $D_{eff}$ के कई तरीके हैं, ब्याज के मापदंड के आधार पर (जैसे: जनसंख्या कुल, जनसंख्या माध्य, मात्राएँ, मात्राओं का अनुपात आदि) उपयोग किया गया अनुमानक और प्रतिदर्शी डिज़ाइन (जैसे: सामूहिक प्रतिदर्शी, स्तरीकृत प्रतिदर्शी, पोस्ट-स्तरीकरण, बहु-चरण प्रतिदर्शी) इत्यादि)।

समष्टि माध्य का अनुमान लगाने के लिए डेफ (कुछ प्रतिदर्श डिजाइन p के लिए) है:^[4]^: 4^[2]^: 54

Deff_{p}={\frac {var_{p}({\bar {y}}_{p})}{(1-f)S_{y}^{2}/n}}

जहाँ n प्रतिदर्शी आकार है, f जनसंख्या से प्रतिदर्शी का अंश है (n/N), (1-f) मानक त्रुटि परिमित जनसंख्या सुधार (पांचवें वेतन आयोग) (पांचवें वेतन आयोग) है, और $S_{y}^{2}=$ प्रतिदर्शी प्रसरण है।

इकाई विचरण (या तत्व विचरण) का अनुमान तब होता है जब डेफ को तत्व के विचरण से गुणा किया जाता है, जिससे कि प्रतिदर्शी डिजाइन की सभी जटिलताओं को सम्मिलित किया जा सके।^[1]^: 259

ध्यान दें कि डेफ की परिभाषा जनसंख्या के उन मापदंडों पर कैसे आधारित है जिन्हें हम अधिकांशतः नहीं जानते हैं (अर्थात, दो अलग-अलग प्रतिदर्शी डिजाइनों के अनुसार अनुमानकों के प्रसरण)। विशिष्ट डिजाइनों के लिए डीईएफ़ का आकलन करने की प्रक्रिया को डिज़ाइन प्रभाव प्रसिद्ध प्रतिदर्शी डिज़ाइनों के लिए डिज़ाइन प्रभाव में वर्णित किया जाएगा।^[6]^: 98

कुछ डिज़ाइन के लिए कुल (माध्य नहीं) का अनुमान लगाने के (सैद्धांतिक) डिज़ाइन प्रभाव के लिए एक सामान्य सूत्र कोचरन 1977 में दिया गया है।^[2]^: 54

डेफ्ट

1995 में किश द्वारा प्रस्तावित डेफ से संबंधित मात्रा को डेफ्ट (डिजाइन इफेक्ट फैक्टर) कहा जाता है।^[7]^: 56^[4]इसे विचरण अनुपात के वर्गमूल पर परिभाषित किया गया है, और भाजक बिना प्रतिस्थापन के अतिरिक्त प्रतिस्थापन के साथ एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी का उपयोग करता है:

$D_{eft}={\sqrt {\frac {var({\hat {\theta }}_{w})}{var({\hat {\theta }}_{srswr})}}}$

इसके बाद की परिभाषा में (1995 बनाम 1965 में प्रस्तावित) यह तर्क दिया गया था कि प्रतिस्थापन के बिना एसआरएस (विचरण पर इसके सकारात्मक प्रभाव के साथ) को डिजाइन प्रभाव की परिभाषा में सम्मिलित किया जाना चाहिए, क्योंकि यह प्रतिदर्शी डिजाइन का हिस्सा है। यह अनुमान में उपयोग से अधिक प्रत्यक्ष रूप से संबंधित है (चूंकि हम अधिकांशतः विश्वास अंतराल बनाते समय +Z*DE*SE का उपयोग करते हैं, न कि +Z*DE*VAR का)। साथ ही चूंकि मानक त्रुटि परिमित जनसंख्या सुधार (पांचवें वेतन आयोग) भी कुछ स्थितियों में गणना करना कठिन होता है। लेकिन कई प्रकरणों में जब जनसंख्या बहुत बड़ी होती है, तो डेफ्ट (लगभग) का वर्गमूल ( $D_{eft}\approx {\sqrt {D_{eff}}}$ ) होता है।

डेफ़्ट का मूल उद्देश्य यह था कि वह मौलिक परिवर्तनशीलता से परे प्रतिदर्शी डिज़ाइन के प्रभावों को व्यक्त करे। ${\frac {S_{m}^{2}}{m}}$ , माप की इकाई और प्रतिदर्शी आकार दोनों को विचलित मापदंडों के रूप में हटाकर यह एक ही सर्वेक्षण के अंतर्गत (और यहां तक कि सर्वेक्षणों के बीच भी) कई आँकड़ों और चरों के लिए डिजाइन प्रभाव को सामान्य बनाने योग्य (प्रासंगिक) निर्मित के लिए किया जाता है।^[7]^: 55 हालांकि, अनुवर्ती फलनों ने दिखाया है कि डिजाइन प्रभाव की गणना जनसंख्या कुल या माध्य जैसे मापदंडों के लिए परिणाम माप की परिवर्तनशीलता पर निर्भर है, जो इस माप के लिए किश की मूल आकांक्षा को सीमित करता है। हालाँकि यह कथन शिथिल हो सकता है (अर्थात: कुछ शर्तों के अनुसार) और भारित माध्य के लिए सही हो सकता है।^[4]^: 5

प्रभावी प्रतिदर्शी आकार

प्रभावी प्रतिदर्शी आकार, जिसे 1965 में किश द्वारा भी परिभाषित किया गया था, डिजाइन प्रभाव से विभाजित मूल प्रतिदर्शी आकार है।^[1]^{: 162, 259}^[8]^{: 190, 192} यह मात्रा दर्शाती है कि सम्मिलित डिज़ाइन के साथ अनुमानक (कुछ मापदंड के लिए) के वर्तमान भिन्नता को प्राप्त करने के लिए आवश्यक प्रतिदर्शी आकार क्या होगा, यदि प्रतिदर्शी डिज़ाइन (और इसके प्रासंगिक मापदंड अनुमानक) एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी पर आधारित थे।^[9]

अर्थात्:

n_{\text{eff}}={\frac {n}{D_{eff}}}

दूसरे तरीके से कहें तो यह निर्धारित करता है कि एक आकलक का उपयोग करते समय हमारे पास कितनी प्रतिक्रियाएं बची हैं जो प्रतिदर्शी डिजाइन के डिजाइन प्रभाव के लिए सही ढंग से समायोजित करता है। उदाहरण के लिए, साधारण अंकगणितीय माध्य के अतिरिक्त व्युत्क्रम संभाव्यता भार के साथ भारित अंकगणितीय माध्य का उपयोग करना मूल प्रतिदर्शी आकार है।

डेफ़ का व्युत्क्रम लेकर प्रभावी प्रतिदर्शी आकार अनुपात प्राप्त करना भी संभव है (अर्थात: ${\frac {n_{eff}}{n}}={\frac {1}{D_{eff}}}$ ).

असमान वजन के लिए किश के डिजाइन प्रभाव का उपयोग करते समय, आप लेस्ली किश के प्रभावी प्रतिदर्शी आकार के लिए निम्न सरल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं^[10]^[1]^{: 162, 259}

n_{\text{eff}}={\frac {n}{D_{\text{eff}}}}={\frac {n}{\frac {\overline {w^{2}}}{{\overline {w}}^{2}}}}={\frac {n}{\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}}={\frac {n}{\frac {n\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}}={\frac {(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}}

प्रसिद्ध प्रतिदर्शी डिजाइनों के लिए डिजाइन प्रभाव

प्रतिदर्शी डिजाइन तय करता है कि डिजाइन प्रभाव की गणना कैसे की जानी चाहिए

अलग-अलग प्रतिदर्शी डिज़ाइन उनके पूर्वाग्रह और विचरण के संदर्भ में अनुमानकों (जैसे माध्य) पर उनके प्रभाव में काफी भिन्न होते हैं।

उदाहरण के लिए, सामूहिक प्रतिदर्शी प्रकरण में इकाइयों द्वारा समान या असमान चयन संभावनाएँ हो सकती हैं, भले ही उनका इंट्रा-क्लास सहसंबंध (और हमारे अनुमानकों के विचरण को बढ़ाने का उनका नकारात्मक प्रभाव) हो। स्तरीकृत प्रतिदर्शी के प्रकरण में, संभावनाएं बराबर (ईपीएसईएम) या असमान हो सकती हैं। लेकिन इसकी परवाह किए बिना प्रतिदर्शी चरण के समय जनसंख्या में स्तर के आकार पर पूर्व सूचना का उपयोग हमारे अनुमानकों की सांख्यिकीय दक्षता प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए: यदि हम जानते हैं कि लिंगानुपात हमारी रुचि के परिणाम से संबंधित है, और यह भी जानते हैं कि कुछ जनसंख्या के लिए पुरुष-महिला अनुपात 50%-50% है। फिर यदि हमने सुनिश्चित किया कि प्रत्येक लिंगानुपात का ठीक आधा प्रतिदर्शी लिया जाए, तो हमने अनुमानकों के विचलन को कम कर दिया है क्योंकि हमने अपने प्रतिदर्शी में पुरुषों-महिलाओं के असमान अनुपात के कारण होने वाली परिवर्तनशीलता को हटा दिया है।

अंत में, गैर-कवरेज, गैर-प्रतिक्रिया या आबादी के कुछ स्तर विभाजन (प्रतिदर्शी चरण के समय अनुपलब्ध) में समायोजन के प्रकरण में, हम सांख्यिकीय प्रक्रियाओं (जैसे: पोस्ट-स्तरीकरण और अन्य) का उपयोग कर सकते हैं। ऐसी प्रक्रियाओं के परिणाम से प्रतिदर्शी की संभावनाओं का अनुमान लगाया जा सकता है जो इकाइयों की वास्तविक प्रतिदर्शी संभावनाओं की तुलना में समान या बहुत भिन्न हैं। इन अनुमानकों की गुणवत्ता सहायक जानकारी की गुणवत्ता और उन्हें बनाने में उपयोग की जाने वाली अनियमित धारणाओं पर लापता डेटा गुम होने पर निर्भर करती है। यहां तक कि जब ये प्रतिदर्शी संभाव्यता अनुमानक (प्रवृत्ति स्कोर) उन अधिकांश घटनाओं को पकड़ने में कामयाब होते हैं जो उन्हें उत्पन्न करते हैं तो अनुमानकों पर परिवर्तनीय चयन संभावनाओं का प्रभाव डेटा (अगले खंड में विवरण) के आधार पर छोटा या बड़ा हो सकता है।

प्रतिदर्शी डिजाइनों में बड़ी विविधता के कारण (असमान चयन संभावनाओं पर प्रभाव के साथ या बिना) संभावित डिजाइन प्रभाव को पकड़ने के साथ-साथ अनुमानकों के सही विचलन का अनुमान लगाने के लिए विभिन्न सूत्र विकसित किए गए हैं। कभी-कभी, इन विभिन्न डिज़ाइन प्रभावों को एक साथ मिश्रित किया जा सकता है (जैसा कि असमान चयन संभावना और सामूहिक प्रतिदर्शी के प्रकरण में, निम्न अनुभागों में अधिक विवरण)। इन फ़ार्मुलों का उपयोग करना है या नहीं, या केवल एसआरएस मान लें, यह अनुमानक भिन्नता में वृद्धि बनाम पूर्वाग्रह की अपेक्षित मात्रा पर निर्भर करता है (और पद्धतिगत और तकनीकी जटिलता के ऊपरी हिस्से में)।^[1]^: 426

असमान चयन संभावनाएं

असमान चयन संभावनाओं के स्रोत

इकाइयों का प्रतिदर्शी लेने के विभिन्न तरीके हैं जिससे कि प्रत्येक इकाई के चयन की निर्धारित समान संभावना हो। ऐसी पद्धतियों को सरल अनियमित प्रतिदर्शी समान प्रायिकता प्रतिदर्शी (एपीएसईएम) (ईपीएसईएम) विधियाँ कहा जाता है। अधिक बुनियादी तरीकों में से कुछ सरल अनियमित प्रतिदर्शी (एसआरएस, या तो प्रतिस्थापन के साथ या बिना) और एक निश्चित प्रतिदर्शी आकार प्राप्त करने के लिए व्यवस्थित प्रतिदर्शी सम्मिलित हैं। एक अनियमित प्रतिदर्शी आकार के साथ बर्नौली प्रतिदर्शी भी है। स्तरीकृत प्रतिदर्शी और सामूहिक प्रतिदर्शी जैसी अधिक उन्नत तकनीकों को भी ईपीएसईएम के रूप में डिजाइन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामूहिक प्रतिदर्शी में हम प्रत्येक सामूहिक को प्रायिकता के साथ प्रतिदर्शी लेना सुनिश्चित कर सकते हैं जो उसके आकार के समानुपाती है, और फिर सामूहिक के अंदर सभी इकाइयों को मापें। सामूहिक प्रतिदर्शी के लिए एक अधिक जटिल विधि एक दो-चरण प्रतिदर्शी का उपयोग करना है जिसके द्वारा हम पहले चरण में सामूहिक का प्रतिदर्शी लेते हैं (पहले की तरह, सामूहिक आकार के आनुपातिक), और दूसरे चरण में प्रत्येक सामूहिक से एक निश्चित अनुपात के साथ एसआरएस का उपयोग करके प्रतिदर्शी लेते हैं (उदाहरण: सामूहिक का प्रतिदर्शी आधा)।^[11]^: 3–8

अपने फलनों में, लेस्ली किश और अन्य कई ज्ञात कारणों पर प्रकाश डालते हैं जो असमान चयन संभावनाओं को उत्पन्न करते हैं:^[1]^: 425^[8]^: 185^[7]^: 69^[12]^{: 50, 395}^[13]^: 306

चयन फ्रेम या प्रक्रिया के कारण अनुपातहीन प्रतिदर्शी के कारण ऐसा तब होता है जब एक शोधकर्ता उद्देश्यपूर्ण तरीके से अपने प्रतिदर्शी को प्रतिदर्शी विशिष्ट उप-आबादी या समूहों के ऊपर/नीचे डिज़ाइन करता है। ऐसे कई प्रकरण हैं जिनमें ऐसा हो सकता है। उदाहरण के लिए:
- स्तरीकृत प्रतिदर्शी में स्तरीकृत प्रतिदर्शी रणनीतियाँ जब कुछ स्तरों की इकाइयों को अन्य स्तरों की तुलना में बड़ा विचरण करने के लिए जाना जाता है। ऐसे प्रकरणों में, शोधकर्ता का उद्देश्य स्ट्रैटम के बीच भिन्नता के बारे में इस पूर्व ज्ञान का उपयोग करना हो सकता है जिससे कि ब्याज के कुछ जनसंख्या स्तर के मापदंड के अनुमानक के समग्र भिन्नता को कम किया जा सके (जैसे: माध्य)। इसे प्रतिदर्शी आकार निर्धारण स्तरीकृत प्रतिदर्शी आकार नामक रणनीति द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें एक स्तर $h$ उच्च मानक विचलन और कम प्रतिदर्शी लागत के अनुपात में अधिक प्रतिदर्शी लिया गया है (अर्थात: $f_{h}\propto {\frac {S_{h}}{\sqrt {C_{h}}}}$ , जहाँ $S_{h}$ में परिणाम का मानक विचलन $h$ है, और $C_{h}$ से एक तत्व की नियुक्ति की लागत से संबंधित $h$ है). इष्टतम आवंटन का एक उदाहरण नेमैन का इष्टतम आवंटन है, जब प्रत्येक स्तर की नियुक्ति के लिए लागत तय की जाती है, तो प्रतिदर्शी आकार $n_{h}=n{\frac {W_{h}S_{Uh}}{\sum _{h}W_{h}S_{Uh}}}$ होता है, जहां योग सभी स्तरों पर है; n कुल प्रतिदर्शी आकार है; $n_{h}$ स्ट्रैटम h के लिए प्रतिदर्शी आकार है। $W_{h}={\frac {N_{h}}{N}}$ समूची जनसंख्या N की तुलना में संस्तर h का सापेक्षिक आकार; और $S_{Uh}$ स्ट्रैटम h में मानक त्रुटि है। इष्टतम डिजाइन से संबंधित अवधारणा इष्टतम डिजाइन है।
- यदि दो स्तरों (जैसे: दो विशिष्ट सामाजिक-जनसांख्यिकीय समूहों के लोग, या दो क्षेत्रों, आदि) की तुलना करने में रुचि है, तो इस प्रकरण में छोटे समूह का अधिक प्रतिदर्शी लिया जा सकता है। इस तरह, दो समूहों की तुलना करने वाले अनुमानक का प्रसरण कम हो जाता है।
- सामूहिक प्रतिदर्शी में विभिन्न आकारों के सामूहिक हो सकते हैं, लेकिन सरल रैंडम सैंपल का उपयोग करके सभी सामूहिक्स से प्रक्रिया के प्रतिदर्शी लिए जाते हैं, और सामूहिक में सभी तत्वों को मापा जाता है (उदाहरण के लिए, यदि सामूहिक आकार प्रतिदर्शी के चरण में पहले से ज्ञात नहीं हैं ).
- दो-चरण के प्रतिदर्शी का उपयोग करते समय जिससे कि पहले चरण में समूहों को उनके आकार के अनुपात में प्रतिदर्शी लिया जाए (उर्फ: 'पीपीएस' आकार के अनुपात में संभावना), लेकिन फिर दूसरे चरण में केवल इकाइयों की एक विशिष्ट निश्चित संख्या ( उदाहरण: एक या दो) प्रत्येक सामूहिक से चुने गए हैं, यह सुविधा/बजट विचारों के कारण हो सकता है। इसी तरह का प्रकरण तब होता है जब पहले चरण में पीपीएस का उपयोग करके प्रतिदर्शी लेने का प्रयास किया जाता है, लेकिन प्रत्येक इकाई में तत्वों की संख्या गलत होती है (जिससे कि कुछ छोटे सामूहिक में चयन होने की संभावना अधिक हो सकती है और इसके विपरीत बड़े समूह जिनमें प्रतिदर्शी लेने की बहुत कम संभावना होती है)। तो पोस्ट-स्तरीकरण (कुछ सहायक जानकारी का उपयोग करके) एक अनुमानक प्रदान नहीं करता है जो केवल एक भारित अनुमानक से समान रूप से बेहतर है। हालाँकि, इसे अधिक मजबूत अनुमानक के रूप में देखा जा सकता है। ऐसे प्रकरणों में, पहले चरण में प्रतिदर्शी के फ्रेम में जितनी बड़ी त्रुटियां होंगी उतनी ही बड़ी आवश्यक असमान चयन संभावनाएं होंगी।^[6]^: 109
- जब प्रतिदर्शी के लिए उपयोग किए जाने वाले फ्रेम में कुछ वस्तुओं का दोहराव सम्मिलित होता है, इस प्रकार कुछ वस्तुओं के प्रतिदर्शी लेने की संभावना दूसरों की तुलना में अधिक होती है (उदाहरण: यदि प्रतिदर्शी फ्रेम कई सूचियों को मिलाकर बनाया गया था। या यदि उपयोगकर्ताओं को नियुक्ति किया गया था। कई विज्ञापन चैनल - जिनमें कुछ उपयोगकर्ता कई चैनलों से नियुक्ति के लिए उपलब्ध हैं, जबकि अन्य केवल एक चैनल से नियुक्ति होने के लिए उपलब्ध हैं)। इनमें से प्रत्येक प्रकरण में - अलग-अलग इकाइयों में अलग-अलग प्रतिदर्शी लेने की संभावना होगी, इस प्रकार यह प्रतिदर्शी प्रक्रिया ईपीएसईएम नहीं होगी।^[11]^: 3–8^[8]^: 186
- जब कई अलग-अलग प्रतिदर्शी/फ्रेम संयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि उत्तरदाताओं की नियुक्ति के लिए विभिन्न विज्ञापन अभियान चला रहे हैं। या जब अलग-अलग शोधकर्ताओं और/या अलग-अलग समय पर किए गए कई अध्ययनों के परिणामों को जोड़ते हैं (अर्थात: मेटा-विश्लेषण)।^[8]^: 188
जब अनुपातहीन प्रतिदर्शी होता है, प्रतिदर्शी डिजाइन निर्णयों के कारण, शोधकर्ता (कभी-कभी) निर्णय का पता लगाने में सक्षम हो सकता है और निर्धारित समावेशन संभावना की निर्धारित गणना कर सकता है। जब इन चयन संभावनाओं का पता लगाना कठिन होता है, तो सहायक चर (जैसे: आयु, लिंगानुपात, आदि) से जानकारी के साथ संयुक्त कुछ प्रवृत्ति स्कोर मॉडल का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है।
गैर-कवरेज^[1]^{: 527, 528} ऐसा होता है, उदाहरण के लिए, यदि लोगों को कुछ पूर्व-निर्धारित सूची के आधार पर प्रतिदर्शी लिया जाता है जिसमें जनसंख्या में सभी लोग सम्मिलित नहीं होते हैं (उदाहरण: एक फ़ोन बुक या किसी सर्वेक्षण में लोगों को नियुक्ति करने के लिए विज्ञापनों का उपयोग करना)। कुछ लोगों के जानबूझकर बहिष्करण के विरोध में प्रतिदर्शी फ्रेम बनाने में कुछ विफलता के कारण ये लापता इकाइयां गायब हैं (उदाहरण के लिए: नाबालिग, लोग जो वोट नहीं दे सकते हैं, आदि)। प्रतिदर्शी संभावना पर गैर-कवरेज के प्रभाव को विभिन्न सर्वेक्षण स्थितियों में मापने (और समायोजित करने) के लिए मुश्किल माना जाता है, जब तक कि मजबूत धारणा नहीं बनाई जाती।
गैर-प्रतिक्रिया, यह उन प्रतिदर्शी इकाइयों पर माप प्राप्त करने में विफलता को संदर्भित करता है जिन्हें मापने का उद्देश्य है। गैर-प्रतिक्रिया के कारण विविध हैं और संदर्भ पर निर्भर करते हैं। एक व्यक्ति अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो सकता है, उदाहरण के लिए यदि वे सर्वेक्षण पूरा होने पर फोन उठाने के लिए उपलब्ध नहीं हैं। एक व्यक्ति कई कारणों से सर्वेक्षण का उत्तर देने से इंकार भी कर सकता है, जैसे: विभिन्न जातीय/जनसांख्यिकीय/सामाजिक-आर्थिक समूहों के लोगों की सामान्य रूप से प्रतिक्रिया देने की विभिन्न प्रवृत्तियाँ; समय व्यतीत करने या डेटा साझा करने के लिए अपर्याप्त प्रोत्साहन; सर्वेक्षण चलाने वाली संस्था की पहचान; जवाब देने में असमर्थता (जैसे: बीमारी, निरक्षरता, या भाषा बाधा के कारण); प्रतिवादी नहीं मिला (उदाहरण: उन्होंने एक अपार्टमेंट स्थानांतरित कर दिया है); एन्कोडिंग या ट्रांसमिशन (अर्थात: माप त्रुटि) के समय प्रतिक्रिया खो गई/नष्ट हो गई। सर्वेक्षणों के संदर्भ में, ये कारण पूरे सर्वेक्षण के उत्तर देने या केवल विशिष्ट प्रश्नों से संबंधित हो सकते हैं।^[1]^: 532^[8]^: 186
सांख्यिकीय समायोजन, इनमें प्रतिदर्शी (सांख्यिकी) स्तरीकृत प्रतिदर्शी|पोस्ट-स्तरीकरण, रेकिंग, या प्रवृत्ति स्कोर मिलान प्रवृत्ति स्कोर प्रवृत्ति स्कोर (अनुमान) मॉडल जैसी विधियाँ सम्मिलित हो सकती हैं - कुछ ज्ञात के लिए प्रतिदर्शी का तदर्थ समायोजन करने के लिए उपयोग किया जाता है ( या अनुमानित) स्तर आकार इस तरह की प्रक्रियाओं का उपयोग प्रतिदर्शी त्रुटि से लेकर प्रतिदर्शी त्रुटि के अंडर-कवरेज से लेकर गैर-प्रतिक्रिया तक के मुद्दों को कम करने के लिए किया जाता है।^[14]^: 45^[15] उदाहरण के लिए, यदि एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी का उपयोग किया जाता है, तो पोस्ट-स्तरीकरण (कुछ सहायक जानकारी का उपयोग करके) एक अनुमानक प्रदान नहीं करता है जो केवल एक भारित अनुमानक से समान रूप से बेहतर है। हालाँकि, इसे अधिक मजबूत अनुमानक के रूप में देखा जा सकता है।^[16] वैकल्पिक रूप से, इन विधियों का उपयोग प्रतिदर्शी को कुछ लक्ष्य नियंत्रणों (अर्थात: ब्याज की जनसंख्या) के समान बनाने के लिए किया जा सकता है, एक प्रक्रिया जिसे मानकीकरण के रूप में भी जाना जाता है।^[8]^: 187 ऐसे प्रकरणों में, ये समायोजन निष्पक्ष अनुमानक प्रदान करने में मदद करते हैं (अधिकांशतः बढ़े हुए प्रसरण की लागत के साथ, जैसा कि निम्नलिखित अनुभागों में देखा गया है)। यदि मूल प्रतिदर्शी एक गैर-संभाव्यता प्रतिदर्शी है, तो स्तरीकरण के बाद के समायोजन बिल्कुल तदर्थ कोटा प्रतिदर्शी के समान हैं।^[8]^{: 188, 189}

जब प्रतिदर्शी डिजाइन पूरी तरह से ज्ञात हो (कुछ के लिए अग्रणी $p_{h}$ स्ट्रैट h से कुछ तत्वों के चयन की संभावना), और गैर-प्रतिक्रिया मापने योग्य है (अर्थात: हम जानते हैं कि केवल $r_{h}$ प्रेक्षणों का उत्तर स्ट्रैटा h में दिया गया है), तो एक निर्धारित रूप से ज्ञात व्युत्क्रम संभाव्यता भार की गणना स्ट्रैटा h से प्रत्येक तत्व के लिए की जा सकती है: $w_{i}={\frac {1}{p_{h}r_{h}}}$ .^[8]^: 186 कभी-कभी एक सांख्यिकीय समायोजन, जैसे पोस्ट-स्तरीकरण या रेकिंग, चयन संभावना का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण: प्रतिदर्शी की तुलना करते समय हमारे पास एक ही लक्षित आबादी है, जिसे नियंत्रणों से मिलान के रूप में भी जाना जाता है। अनुमान प्रक्रिया केवल सम्मिलित आबादी को वैकल्पिक आबादी में समायोजित करने पर केंद्रित हो सकती है (उदाहरण के लिए, यदि कई क्षेत्रों से पूरे देश में खींचे गए पैनल से एक्सट्रपलेशन करने का प्रयास किया जा रहा है)। ऐसी स्थिति में, समायोजन कुछ अंशांकन कारक $c_{i}$ पर केंद्रित हो सकता है और वजन के रूप में $w_{i}={\frac {c_{i}}{p_{h}r_{h}}}$ गणना की जाएगी।^[8]^: 187 हालांकि, अन्य प्रकरणों में, कम-कवरेज और गैर-प्रतिक्रिया दोनों को सांख्यिकीय समायोजन के हिस्से के रूप में एक ही बार में तैयार किया जाता है, जो समग्र प्रतिदर्शी संभावना का अनुमान लगाता है (मान लीजिए $p_{i}'$ ). ऐसे प्रकरण में, वजन $w_{i}={\frac {1}{p_{i}'}}$ हैं: ध्यान दें कि जब सांख्यिकीय समायोजन $w_{i}$ का उपयोग किया जाता है, तो ऐसे में अधिकांशतः किसी मॉडल के आधार पर अनुमान लगाया जाता है। निम्नलिखित खंडों में सूत्रीकरण यह मानता है कि $w_{i}$ ज्ञात है, जो सांख्यिकीय समायोजन के लिए सही नहीं है (क्योंकि हमारे पास केवल ${\widehat {w}}_{i}$ है). हालांकि, यदि यह माना जाता है कि अनुमान त्रुटि ${\widehat {w}}_{i}$ बहुत छोटा है तो निम्नलिखित वर्गों का उपयोग किया जा सकता है जैसे कि यह ज्ञात था। इस धारणा का सही होना मॉडलिंग के लिए उपयोग किए गए प्रतिदर्शी के आकार पर निर्भर करता है, और विश्लेषण के समय ध्यान में रखने योग्य है।

जब चयन संभावनाएँ भिन्न हो सकती हैं, तो प्रतिदर्शी आकार अनियमित होता है, और युग्मित चयन संभावनाएँ स्वतंत्र होती हैं, हम इसे पॉइसन प्रतिदर्शी कहते हैं।^[17]

अनुमानकों के गुणों का वर्णन करने के लिए डिजाइन आधारित बनाम मॉडल आधारित

अलग-अलग केस वेट के माध्यम से असमान संभाव्यता चयन के लिए समायोजन करते समय (उदाहरण: व्युत्क्रम संभाव्यता भार), हमें ब्याज की मात्रा के लिए विभिन्न प्रकार के अनुमानक मिलते हैं। हॉर्विट्ज़-थॉम्पसन अनुमानक जैसे अनुमानक कुल और जनसंख्या के माध्य के लिए निष्पक्ष अनुमानक (यदि चयन संभावनाएं वास्तव में ज्ञात हैं, या लगभग ज्ञात हैं) प्राप्त करते हैं। Deville और Särndal (1992) ने वजन का उपयोग करने वाले अनुमानकों के लिए "अंशांकन अनुमानक" शब्द गढ़ा, जैसे कि वे कुछ शर्तों को पूरा करते हैं, जैसे कि जनसंख्या के आकार के बराबर वजन का योग। और अधिक सामान्यतः, वजन का भारित योग एक सहायक चर की कुछ मात्रा के बराबर होता है: $\sum w_{i}x_{i}=X$ (उदाहरण: कि उत्तरदाताओं की भारित आयु का योग प्रत्येक आयु बकेट में जनसंख्या के आकार के बराबर है)।^[18]^[15]^: 132^[19]^: 1

अंशांकन अनुमानकों के गुणों के बारे में बहस करने के दो प्राथमिक तरीके हैं:^[15]^{: 133–134}^[20]

अनियमितरण आधारित (या, प्रतिदर्शी डिजाइन आधारित) - इन प्रकरणों में, भार ( $w_{i}$ ) और ब्याज के परिणाम के मूल्य $y_{i}$ प्रतिदर्शी में मापे गए सभी को ज्ञात माना जाता है। इस ढांचे में, परिणाम (Y) के (ज्ञात) मूल्यों में परिवर्तनशीलता है। हालांकि, केवल अनियमितता जनसंख्या में से किस तत्व से प्रतिदर्शी में ली गई थी (अधिकांशतः के रूप में निरूपित किया जाता है $I_{i}$ , 1 if तत्व प्राप्त करना $i$ प्रतिदर्शी में है और 0 यदि यह नहीं है)। एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी के लिए, प्रत्येक $I_{i}$ कुछ मापदंड के साथ एक स्वतंत्र और समान रूप से वितरित अनियमित चर | i.i.d बर्नौली वितरण होगा $p$ . सामान्य EPSEM के लिए (समान संभावना प्रतिदर्शी) $I_{i}$ अभी भी कुछ मापदंड के साथ बरनौली होगा $p$ , लेकिन वे अब स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) अनियमित चर नहीं होंगे। पोस्ट स्तरीकरण जैसी किसी चीज़ के लिए, प्रत्येक स्तर पर तत्वों की संख्या को अलग-अलग बहुराष्ट्रीय वितरण के रूप में तैयार किया जा सकता है $p_{h}$ कुछ स्तरों से संबंधित प्रत्येक तत्व के लिए समावेशन संभावनाएँ $h$ . इन प्रकरणों में प्रतिदर्शी आकार ही एक अनियमित चर हो सकता है।
मॉडल आधारित - इन प्रकरणों में प्रतिदर्शी तय होता है, वज़न तय होता है, लेकिन ब्याज के परिणाम को एक अनियमित चर के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, पोस्ट-स्तरीकरण के प्रकरण में, परिणाम को कुछ रेखीय प्रतिगमन फलन के रूप में तैयार किया जा सकता है जहां स्वतंत्र चर सूचक चर होते हैं जो प्रत्येक अवलोकन को उसके प्रासंगिक स्तर पर मैप करते हैं, और परिवर्तनशीलता त्रुटि शब्द के साथ आती है।

जैसा कि हम बाद में देखेंगे, साहित्य में कुछ प्रमाण अनियमितकरण-आधारित रूपरेखा पर निर्भर करते हैं, जबकि अन्य मॉडल-आधारित परिप्रेक्ष्य पर ध्यान केंद्रित करते हैं। माध्य से भारित माध्य की ओर बढ़ते समय, अधिक जटिलता जुड़ जाती है। उदाहरण के लिए, सर्वेक्षण पद्धति के संदर्भ में अधिकांशतः जनसंख्या के आकार को ही एक अज्ञात मात्रा माना जाता है जिसका अनुमान लगाया जाता है। इसलिए भारित माध्य की गणना वास्तव में एक अनुपात अनुमानक पर आधारित है, जिसमें अंश पर कुल का एक अनुमानक और भाजक में जनसंख्या के आकार का एक अनुमानक होता है (विचरण की गणना को और अधिक जटिल बनाने के लिए)।^[21]

सामान्य प्रकार के बाट

वज़न के कई प्रकार (और उपप्रकार) हैं, जिनका उपयोग करने और उनकी व्याख्या करने के विभिन्न तरीके हैं। कुछ भारों के साथ उनके निरपेक्ष मूल्य का कुछ महत्वपूर्ण अर्थ होता है, जबकि अन्य भारों के साथ महत्वपूर्ण भाग एक दूसरे से भारों के सापेक्ष मूल्य होते हैं। यह खंड कुछ अधिक सामान्य प्रकार के वज़न प्रस्तुत करता है जिससे कि उन्हें अनुवर्ती अनुभागों में संदर्भित किया जा सके।

आवृत्ति वेट एक बुनियादी प्रकार का वेटिंग है, जिसे सांख्यिकी पाठ्यक्रमों के परिचय में प्रस्तुत किया गया है। इनके साथ, प्रत्येक भार एक पूर्णांक संख्या है जो प्रतिदर्शी में किसी वस्तु की आवृत्ति (आँकड़े) को इंगित करता है। इन्हें कभी-कभी दोहराव (या घटना) भार भी कहा जाता है। विशिष्ट मान का एक निरपेक्ष अर्थ होता है जो वजन बदलने पर खो जाता है (उदाहरण: स्केलिंग (ज्यामिति))। उदाहरण के लिए: यदि हमारे पास 2 और 3 के आवृत्ति भार मानों के साथ 10 और 20 की संख्याएँ हैं, तो हमारे डेटा को फैलाते समय यह है: 10,10, 20, 20, 20 (इनमें से प्रत्येक आइटम के लिए 1 के भार के साथ)। फ़्रीक्वेंसी वेट में डेटासमुच्चय में निहित जानकारी की मात्रा सम्मिलित होती है, और इस प्रकार बेसेल के सुधार का उपयोग करके वेटेड अंकगणितीय माध्य फ़्रिक्वेंसी वेट अनुमान बनाने जैसी चीज़ों की अनुमति देता है। ध्यान दें कि इस तरह के वजन अधिकांशतः अनियमित चर होते हैं, क्योंकि डेटासमुच्चय में प्रत्येक मान से विशिष्ट वस्तुओं की संख्या अनियमित होती है।
व्युत्क्रम-विचरण भार तब होता है जब प्रत्येक तत्व को एक भार सौंपा जाता है जो उसके (ज्ञात) विचरण का व्युत्क्रम होता है।^[22]^[8]^: 187 जब सभी तत्वों की समान प्रत्याशा होती है, तो भारित औसत की गणना के लिए ऐसे वज़न का उपयोग करने से सभी भारित औसतों में सबसे कम भिन्नता होती है। सामान्य सूत्रीकरण में, ये भार ज्ञात हैं और अनियमित नहीं हैं (यह विश्वसनीयता भार से संबंधित प्रतीत होता है^{[definition needed]}).
सामान्यीकृत (उत्तल) वज़न वज़न का एक समुच्चय है जो एक उत्तल संयोजन बनाता है। अर्थात: प्रत्येक वजन 0 और 1 के बीच की एक संख्या है, और सभी भारों का योग 1 के बराबर है। (गैर-ऋणात्मक) भारों के किसी भी समुच्चय को प्रत्येक भार को सभी भारों के योग से विभाजित करके सामान्यीकृत भार में बदला जा सकता है, जिससे ये बनते हैं वजन 1 के योग के लिए सामान्यीकृत समुच्चय है।

एक संबंधित प्रपत्र प्रतिदर्शी आकार (n) के योग के लिए सामान्य किए गए भार हैं। ये (गैर-ऋणात्मक) वजन प्रतिदर्शी आकार (एन) के बराबर हैं, और उनका मतलब 1 है। वजन के किसी भी समुच्चय को सभी वजन के औसत के साथ प्रत्येक वजन को विभाजित करके प्रतिदर्शी आकार में सामान्यीकृत किया जा सकता है। इन भारों की एक अच्छी सापेक्ष व्याख्या होती है जहां 1 से अधिक वजन वाले तत्व अधिक महत्वपूर्ण होते हैं (उनके सापेक्ष प्रभाव के संदर्भ में, कहते हैं, भारित औसत) फिर औसत अवलोकन, जबकि 1 से छोटे वजन औसत अवलोकन से कम महत्वपूर्ण होते हैं।

व्युत्क्रम संभाव्यता भार तब होता है जब प्रत्येक तत्व को एक भार दिया जाता है जो उस तत्व के चयन की व्युत्क्रम संभावना के लिए (आनुपातिक) होता है। जैसे, प्रयोग करके $w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$ .^[8]^: 185 व्युत्क्रम संभाव्यता भार के साथ, हम सीखते हैं कि लक्षित आबादी में प्रत्येक तत्व कितनी वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, ऐसे भारों का योग ब्याज की लक्षित आबादी का आकार लौटाता है। व्युत्क्रम संभाव्यता भार को 1 के योग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है या प्रतिदर्शी आकार (n) के योग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और निम्न अनुभागों से कई गणनाओं से समान परिणाम प्राप्त होंगे।

जब एक प्रतिदर्शी सरल अनियमित प्रतिदर्शी समान संभाव्यता प्रतिदर्शी (ईपीएसएम) होता है तो सभी संभावनाएं समान होती हैं और चयन संभावना के व्युत्क्रम उपज वजन जो एक दूसरे के बराबर होते हैं (वे सभी बराबर होते हैं)

{\frac {N}{n}}={\frac {1}{f}}

, जहाँ

n

प्रतिदर्शी आकार है और

N

जनसंख्या का आकार है)। ऐसे प्रतिदर्शी को सेल्फ वेटिंग सैंपल कहा जाता है।^[8]^: 193

भारित समायोजनों को लागू करने के अप्रत्यक्ष तरीके भी हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिलित प्रकरणों को इम्प्यूटेशन (सांख्यिकी) लापता टिप्पणियों (जैसे: गैर-प्रतिक्रिया से) के लिए डुप्लिकेट किया जा सकता है, विचरण के साथ इंप्यूटेशन (सांख्यिकी) इंप्यूटेशन जैसे तरीकों का उपयोग करके अनुमान लगाया गया है। डेटा का एक पूरक व्यवहार कुछ प्रकरणों को हटाना (0 का भार देना) है। उदाहरण के लिए, जब अधिक-प्रतिदर्शी वाले समूहों के प्रभाव को कम करना चाहते हैं जो कुछ विश्लेषण के लिए कम आवश्यक हैं। दोनों प्रकरणों की प्रकृति व्युत्क्रम संभाव्यता भार के समान है, लेकिन व्यवहार में आवेदन वजन के एक अतिरिक्त कॉलम को लागू करने के अतिरिक्त डेटा की अधिक/कम पंक्तियाँ देता है (इनपुट को कुछ सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन में उपयोग करने के लिए संभावित रूप से सरल बनाता है)। फिर भी, इस तरह के कार्यान्वयन के परिणाम केवल वज़न का उपयोग करने के समान हैं। इसलिए अवलोकनों को हटाने के प्रकरण में डेटा को सामान्य सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन द्वारा आसानी से नियंत्रित किया जा सकता है, पंक्तियों को जोड़ने के प्रकरण में अनिश्चितता के अनुमानों के लिए विशेष समायोजन की आवश्यकता होती है। ऐसा नहीं करने से गलत निष्कर्ष निकल सकते हैं (अर्थात: अंतर्निहित मुद्दों के वैकल्पिक प्रतिनिधित्व का उपयोग करते समय कोई मुफ्त लंच प्रमेय नहीं है)।^[8]^{: 189, 190}

किश द्वारा गढ़ा गया हापज़र्ड वेट शब्द का उपयोग उन वेट को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो असमान चयन संभावनाओं के लिए डिज़ाइन प्रभाव स्रोत के अनुरूप होते हैं, लेकिन वे जो चयनित तत्वों की अपेक्षा या विचरण से संबंधित नहीं होते हैं।^[8]^{: 190, 191}

अनुमानित अनुपात के साथ बेतरतीब वजन-माध्य ( ${\hat {\bar {Y}}}$ ) - किश का डिजाइन प्रभाव

सूत्र

का अप्रतिबंधित प्रतिदर्शी लेते समय $n$ तत्वों, फिर हम इन तत्वों को बेतरतीब ढंग से $H$ विभाजित कर सकते हैं, अलग करना समुच्चय स्ट्रैटम उनमें से प्रत्येक में कुछ आकार होता है, $n_{h}$ तत्व जिससे कि $\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}=n$ . प्रत्येक स्तर में सभी तत्व $h$ उन्हें कुछ (ज्ञात) गैर-नकारात्मक भार ( $w_{h}$ ) सौंपा गया है, भार $w_{h}$ कुछ डिजाइन प्रभाव के व्युत्क्रम द्वारा उत्पादित किया जा सकता है प्रत्येक स्तर में तत्वों के लिए असमान चयन संभावनाओं के स्रोत $h$ (अर्थात: पोस्ट-स्तरीकरण जैसी किसी चीज़ के बाद व्युत्क्रम संभाव्यता भार)। इस समुच्चयिंग में, किश का डिज़ाइन प्रभाव, इस डिज़ाइन के कारण प्रतिदर्शी भारित अंकगणितीय माध्य के विचरण में वृद्धि के लिए (भार में परिलक्षित), बनाम कुछ परिणाम चर y का सरल अनियमित प्रतिदर्शी (जब वज़न और के बीच कोई संबंध नहीं है) परिणाम, अर्थात: बेतरतीब वजन) है:^[1]^: 427^[8]^: 191(4.2)

D_{eff}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h})^{2}}}

प्रत्येक वस्तु को उसके अपने स्तर से आने से उपचारित करके $\forall h:n_{h}=1$ , किश (1992 में) ने उपरोक्त सूत्र को (जाने-माने) निम्नलिखित संस्करण में सरलीकृत किया:^[8]^: 191(4.3)^[23]^: 318^[4]^: 8

D_{eff}={\frac {n\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}={\frac {\overline {w^{2}}}{{\overline {w}}^{2}}}

सूत्र का यह संस्करण तब मान्य होता है जब एक स्तर से कई अवलोकन लिए जाते हैं (अर्थात: प्रत्येक का वजन समान होता है), या जब बहुत सारे स्तर होते हैं तो उनमें से प्रत्येक का एक अवलोकन होता है, लेकिन उनमें से कई का समान होता है चयन की संभावना जबकि व्याख्या कुछ अलग है, दो परिदृश्यों की गणना समान होती है।

ध्यान दें कि डिज़ाइन प्रभाव की किश की परिभाषा वज़न के भिन्नता के गुणांक (जिसे सापेक्ष भिन्नता, प्रासंगिकता या रिलावर भी कहा जाता है) से निकटता से जुड़ी हुई है (मानक विचलन का उपयोग करते समय असंशोधित प्रतिदर्शी मानक विचलन असंशोधित (जनसंख्या स्तर) प्रतिदर्शी मानक विचलन भिन्नता के गुणांक अनुमान के लिए) साहित्य में इसकी कई सूचनाएं हैं:^[8]^: 191^[12]^: 396

D_{eff}=1+L=1+{C_{V}}^{2}=1+relvar(w)=1+{\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}

.

जहाँ $V(w)={\frac {\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}}{n}}$ का जनसंख्या विचरण है $w$ , और ${\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}$ मतलब है। जब वज़न को प्रतिदर्शी आकार के लिए सामान्यीकृत किया जाता है (जिससे कि उनका योग n के बराबर हो और उनका माध्य 1 के बराबर हो), तब ${C_{V}}^{2}=V(w)$ और सूत्र कम हो जाता है $D_{eff}=1+V(w)$ . हालांकि यह सच है कि हम मानते हैं कि वजन तय हो गया है, हम उनके भिन्नता के बारे में सोच सकते हैं क्योंकि प्रतिदर्शी (समान संभावना के साथ) वजन के हमारे समुच्चय से एक वजन (इसी तरह हम सहसंबंध के बारे में कैसे सोचेंगे) द्वारा परिभाषित एक अनुभवजन्य वितरण फलन के भिन्नता के रूप में एक साधारण रेखीय प्रतिगमन में x और y का प्रतिगमन रेखा को स्थिर करना)।

[Proof]

${C_{V}}^{2}=\left({\frac {s_{w}}{\bar {w}}}\right)^{2}={\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}(w_{i}-{\bar {w}})^{2}}{n}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}^{2}-n{\bar {w}}^{2}}{n}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {{\overline {w}}^{2}-{\bar {w}}^{2}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {{\overline {w}}^{2}}{{\bar {w}}^{2}}}-1=D_{eff}-1\implies D_{eff}=1+{C_{V}}^{2}$

अनुमान और प्रमाण

उपरोक्त सूत्र डिजाइन प्रभाव सामान्य प्रकार के वजन के आधार पर भारित माध्य के भिन्नता में वृद्धि देता है| उदाहरण के लिए, भारित अंकगणितीय माध्य भारित प्रतिदर्शी प्रसरण का उपयोग करना बेहतर हो सकता है। अव्यवस्थित भार, जो दर्शाता है कि जब y का चयन डिज़ाइन प्रभाव असमान चयन संभावनाओं के लिए स्रोतों का उपयोग करके किया गया है (बिना सामूहिक के अंतर्गत कोई संबंध नहीं है, और परिणाम माप की प्रत्याशा या विचरण से कोई संबंध नहीं है);^[8]^{: 190, 191} और y' वे प्रेक्षण हैं जो हमें प्राप्त होते यदि हम उन्हें सरल अनियमित प्रतिदर्शी से प्राप्त करते, तो:

$D_{eff(kish)}={\frac {var\left({\bar {y}}_{w}\right)}{var\left({\bar {y}}'\right)}}={\frac {var\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)}{var\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}'}{n}}\right)}}$ एक डिजाइन प्रभाव से डिजाइन आधारित बनाम मॉडल अनुमानकों के गुणों का वर्णन करने के लिए आधारित,^[24] यह सूत्र तब मान्य होता है जब सभी n अवलोकन ( $y_{1},...,y_{n}$ ) हैं (कम से कम लगभग) असंबद्धता (संभावना सिद्धांत) ( $\forall (i\neq j):cor(y_{i},y_{j})=0$ ), समान विचरण के साथ ( $\sigma ^{2}$ ) ब्याज की प्रतिक्रिया चर (y) में। यह यह भी मानता है कि वजन स्वयं एक अनियमित चर नहीं है, बल्कि कुछ ज्ञात स्थिरांक हैं (उदाहरण: चयन की संभावना का व्युत्क्रम, कुछ पूर्व-निर्धारित और ज्ञात प्रतिदर्शी (सांख्यिकी) के लिए)।

[Proof]

निम्नलिखित के लिए एक सरलीकृत सबूत है जब कोई क्लस्टर नहीं है (यानी: नमूने के तत्व के बीच कोई इंट्राक्लास सहसंबंध नहीं) और प्रत्येक स्तर में केवल एक अवलोकन शामिल है:^[24]

${\begin{aligned}var\left({\bar {y}}_{w}\right)&{\stackrel {1}{=}}var\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right){\stackrel {2}{=}}var\left(\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'y_{i}\right){\stackrel {3}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}var\left(w_{i}'y_{i}\right)\\&{\stackrel {4}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}var\left(y_{i}\right){\stackrel {5}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}\sigma ^{2}{\stackrel {6}{=}}\sigma ^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}{\stackrel {7}{=}}\sigma ^{2}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}\\&{\stackrel {8}{=}}\sigma ^{2}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {n}{n}}\right)^{2}}}{\stackrel {9}{=}}\sigma ^{2}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}\right)^{2}n^{2}}}{\stackrel {10}{=}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}{\frac {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{n}}{\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}\right)^{2}}}{\stackrel {11}{=}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}{\frac {\overline {w^{2}}}{{\bar {w}}^{2}}}{\stackrel {12}{=}}var\left({\bar {y}}'\right)D_{eff}\\&\implies D_{eff(kish)}={\frac {var\left({\bar {y}}_{w}\right)}{var\left({\bar {y}}'\right)}}\\\end{aligned}}$ संक्रमण:

भारित माध्य की परिभाषा से।
डिजाइन प्रभाव का उपयोग करना # सामान्य प्रकार के वजन | सामान्यीकृत (उत्तल) वजन की परिभाषा (वजन जो 1 के बराबर है): $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}$ .
प्रसरण#असंबद्ध चरों का योग (Bienaymé सूत्र)।
यदि भार स्थिर हैं (प्रसरण से # प्रसरण के मूल गुण)। इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि भार प्रत्येक प्रेक्षण के लिए पहले से ही जाना जाता है i। अर्थात् हम वास्तव में गणना कर रहे हैं $var\left({\bar {y}}_{w}|w\right)$
जब सभी अवलोकनों में समान भिन्नता हो ( $\sigma ^{2}$ ).

यदि y प्रेक्षण स्वतंत्र हैं और समान रूप से वितरित रैंडम वेरिएबल्स i.i.d समान अपेक्षित मूल्य और भिन्नता के साथ हैं, तो y पर स्थितियां तुच्छ रूप से आयोजित की जाती हैं। ऐसे में हमारे पास है $y=y'$ , और हम अनुमान लगा सकते हैं, $var\left({\bar {y}}_{w}\right)$ का उपयोग करके ${\overline {var\left({\bar {y}}_{w}\right)}}={\overline {var\left({\bar {y}}\right)}}\times D_{eff}$ .^[8]^[25] यदि y सभी समान अपेक्षाओं के साथ नहीं हैं तो हम गणना के लिए अनुमानित भिन्नता का उपयोग नहीं कर सकते हैं, क्योंकि यह अनुमान मानता है कि सभी $y_{i}$ की एक ही अपेक्षा है। विशेष रूप से, यदि वजन और परिणाम चर y के बीच एक संबंध है, तो इसका मतलब है कि y की अपेक्षा सभी टिप्पणियों के लिए समान नहीं है (बल्कि, प्रत्येक अवलोकन के लिए विशिष्ट वजन मान पर निर्भर है)। ऐसे प्रकरण में, जबकि डिज़ाइन प्रभाव सूत्र अभी भी सही हो सकता है (यदि अन्य शर्तों को पूरा किया जाता है), भारित माध्य के भिन्नता के लिए इसे एक अलग अनुमानक की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, भारित अंकगणितीय माध्य भारित प्रतिदर्शी प्रसरण का उपयोग करना बेहतर हो सकता है।

यदि अलग हो तो $y_{i}$ s के अलग-अलग प्रसरण हैं, तो जबकि भारित प्रसरण सही जनसंख्या-स्तर विचरण को पकड़ सकता है, डिजाइन प्रभाव के लिए किश का सूत्र अब सत्य नहीं हो सकता है।

इसी तरह की समस्या तब होती है जब नमूनों में कुछ सहसंबंध संरचना होती है (जैसे सामूहिक प्रतिदर्शी का उपयोग करते समय)।

साहित्य में वैकल्पिक परिभाषाएँ

यह ध्यान देने योग्य है कि साहित्य के कुछ स्रोत किश के डिजाइन प्रभाव के लिए निम्नलिखित वैकल्पिक परिभाषा देते हैं, जिसमें कहा गया है: भारित सर्वेक्षण के विचरण का अनुपात अनुपातहीन स्तरीकृत प्रतिदर्शी के अनुसार स्तरीकृत प्रतिदर्शी स्तरीकृत प्रतिदर्शी रणनीतियों के अनुसार भिन्नता का अनुपात है अर्थात स्तर इकाई प्रसरण बराबर हैं।^[23]^: 318^[12]^: 396

यह परिभाषा कुछ भ्रामक हो सकती है, क्योंकि इसका अर्थ यह लगाया जा सकता है कि स्तरीकृत प्रतिदर्शी के माध्यम से आनुपातिक स्तरीकृत प्रतिदर्शी प्राप्त किया गया था, जिसमें प्रत्येक स्तर से इकाइयों की पूर्व-निर्धारित संख्या का चयन किया जाता है। इस तरह के चयन से विचरण में कमी आएगी (सरल अनियमित प्रतिदर्शी की तुलना में), क्योंकि यह प्रति स्ट्रैटम में तत्वों की विशिष्ट संख्या में कुछ अनिश्चितता को दूर करता है। यह किश की मूल परिभाषा से भिन्न है, जिसने डिजाइन के विचरण की तुलना एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी से की थी (जो प्रतिदर्शी के अनुपात में लगभग संभाव्यता उत्पन्न करेगा, लेकिन बिल्कुल नहीं प्रत्येक स्तर में प्रतिदर्शी आकार में भिन्नता के कारण)। पार्क और ली (2006) यह कहते हुए इस पर प्रतिबिंबित करते हैं कि उपरोक्त व्युत्पत्ति के पीछे तर्क यह है कि अव्यवस्थित असमान भार के कारण [भारित माध्य] की निर्धारितता में हानि को अनुपातहीन स्तरीकृत प्रतिदर्शी के अनुसार विचरण के अनुपात से अनुमानित किया जा सकता है। आनुपातिक स्तरीकृत प्रतिदर्शी के अनुसार^[4]^: 8 ये दोनों परिभाषाएँ एक-दूसरे से कितनी दूर हैं, साहित्य में इसका उल्लेख नहीं है।^{[citation needed]} 1977 से अपनी पुस्तक में, कोचरन इष्टतम आवंटन से विचलन के कारण प्रसरण में आनुपातिक वृद्धि के लिए एक सूत्र प्रदान करता है (किश के सूत्रों को एल कहा जाएगा)।^[2]^: 116 हालांकि, किश के L से उस सूत्र का संबंध स्पष्ट नहीं है।^{[citation needed]}

वैकल्पिक नामकरण परंपराएं

पहले के प्रेक्षण इस शब्द $Deff$ का प्रयोग करते थे,^[8]^: 192 जैसा कि डिज़ाइन प्रभाव की अधिक परिभाषाएँ सामने आईं, डिज़ाइन प्रभाव किश का डिज़ाइन प्रभाव असमान चयन संभावनाओं के लिए किश $Deff_{kish}$ का डिज़ाइन प्रभाव निरूपित किया गया (या $Deft_{kish}^{2}$ ) या केवल छोटे $deff_{K}$ के लिए^[4]^: 8^[12]^: 396^[23]^: 318 किश के डिजाइन प्रभाव को असमान भार प्रभाव (या सिर्फ यूडब्ल्यूई) के रूप में भी जाना जाता है, जिसे लियू एट अल द्वारा कहा जाता है।^[26]^: 2124

जब परिणाम चयन संभावनाओं से संबंधित होता है

अनुमानित कुल के लिए स्पेंसर का डेफ ( ${\hat {Y}}$ )

कुल के लिए अनुमानक प्रतिस्थापन अनुमानक के साथ पी-विस्तारित है (उर्फ: pwr-अनुमानक या हॉर्विट्ज़-थॉम्पसन अनुमानक)। यह एम मदों के एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी (प्रतिस्थापन के साथ, निरूपित SIR) पर आधारित है ( $y_{k}$ ) आकार एम की आबादी से। प्रत्येक आइटम की संभावना है $p_{k}$ (k से 1 से N) को एक ड्रॉ में निकाला जाना है ( $\sum _{U}p_{k}=1$ , अर्थात: यह एक बहुराष्ट्रीय वितरण है)। संभावना है कि एक विशिष्ट $y_{k}$ हमारे प्रतिदर्शी में दिखाई देगा $p_{k}$ . प्रतिस्थापन मूल्य के साथ पी-विस्तार है $Z_{i}={\frac {y_{k}}{p_{k}}}$ निम्नलिखित प्रत्याशा के साथ: $E[Z_{i}]=E[I_{i}{\frac {y_{k}}{p_{k}}}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}E[I_{i}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}p_{k}=y_{k}$ . इस तरह ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{m}}\sum _{i}^{m}Z_{i}$ , pwr-आकलक, y के कुल योग के लिए एक निष्पक्ष अनुमानक है।^[2]^: 51

2000 में, ब्रूस डी. स्पेंसर ने कुछ मात्रा के कुल (माध्य नहीं) के आकलन के विचरण के लिए डिजाइन प्रभाव का अनुमान लगाने के लिए एक सूत्र प्रस्तावित किया ( ${\hat {Y}}$ ), जब तत्वों की चयन संभावनाओं और ब्याज के परिणाम चर के बीच संबंध होता है।^[27] इस समुच्चयअप में, आकार n का एक प्रतिदर्शी आकार N की आबादी से (प्रतिस्थापन के साथ) तैयार किया जाता है। प्रत्येक आइटम को संभाव्यता के साथ खींचा जाता है $P_{i}$ (जहाँ $\sum _{i=1}^{N}P_{i}=1$ , अर्थात: बहुराष्ट्रीय वितरण)। डिजाइन प्रभाव को परिभाषित करने के लिए चयन संभावनाओं का उपयोग किया जाता है सामान्य प्रकार के वजन | सामान्यीकृत (उत्तल) वजन: $w_{i}={\frac {1}{nP_{i}}}$ . ध्यान दें कि n मदों के कुछ अनियमित समुच्चय के लिए, वजन का योग केवल प्रत्याशा के आधार पर 1 के बराबर होगा ( $E[w_{i}]=1$ ) इसके चारों ओर योग की कुछ परिवर्तनशीलता के साथ (अर्थात: पॉइसन द्विपद वितरण से तत्वों का योग)। बीच के रिश्ते $y_{i}$ और $P_{i}$ निम्नलिखित (जनसंख्या) सरल रेखीय प्रतिगमन द्वारा परिभाषित किया गया है:

y_{i}=\alpha +\beta P_{i}+\epsilon _{i}

जहाँ $y_{i}$ तत्व i का परिणाम है, जो रैखिक रूप से निर्भर करता है $P_{i}$ अवरोधन के साथ $\alpha$ और ढलान $\beta$ . फिट लाइन से अवशिष्ट है $\epsilon _{i}=y_{i}-(\alpha +\beta P_{i})$ . हम परिणाम और अवशिष्ट के जनसंख्या प्रसरण को भी परिभाषित कर सकते हैं $\sigma _{y}^{2}$ और $\sigma _{\epsilon }^{2}$ . के बीच संबंध $P_{i}$ और $y_{i}$ है $\rho _{y,P}$ .

कुल y का अनुमान लगाने के लिए स्पेंसर का (अनुमानित) डिजाइन प्रभाव है:^[27]^: 138^[28]^: 4^[12]^: 401

Deff_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+L)+\left({\frac {\hat {\alpha }}{{\hat {\sigma }}_{y}}}\right)^{2}L

जहाँ:

${\hat {\rho }}_{y,P}^{2}$ अनुमान $\rho _{y,P}^{2}$
${\hat {\alpha }}$ ढलान का अनुमान है $\alpha$
${\hat {\sigma }}_{y}$ जनसंख्या विचरण का अनुमान लगाता है $\sigma _{y}$ , और
L वज़न का सापेक्षिक प्रसरण है, जैसा कि डिज़ाइन प्रभाव फ़ॉर्मूला किश के फ़ॉर्मूले में परिभाषित किया गया है: : $L=cv_{w}^{2}=relvar(w)={\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}$ .

यह मानता है कि प्रतिगमन मॉडल अच्छी तरह से फिट बैठता है जिससे कि चयन की संभावना और अवशिष्ट स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) हो, क्योंकि यह अवशिष्टों की ओर जाता है, और वर्ग अवशिष्ट, वजन के साथ असंबद्ध होने के लिए। अर्थात: वह $\rho _{\epsilon ,W}=0$ और भी $\rho _{\epsilon ^{2},W}=0$ .^[27]^: 138

जब जनसंख्या का आकार (N) बहुत बड़ा हो, तो सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:^[23]^: 319

Deff_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+\left({\frac {1}{cv_{Y}^{2}}}\right)^{2}cv_{w}^{2}

(तब से $\alpha ={\bar {Y}}-\beta \times {\bar {P}}={\bar {Y}}-\beta \times {\frac {1}{N}}\approx {\bar {Y}}$ , जहाँ $cv_{Y}^{2}={\frac {\sigma _{Y}^{2}}{\bar {Y}}}$ )

यह सन्निकटन मानता है कि P और y के बीच रैखिक संबंध रखता है। और यह भी कि त्रुटियों के साथ वज़न का सहसंबंध, और त्रुटियों का वर्ग, दोनों शून्य हैं। अर्थात।: $\rho _{w,e}=0$ और $\rho _{w,e^{2}}=0$ .^[28]^: 4

हम देखते हैं कि यदि ${\hat {\rho }}_{y,P}\approx 0$ , तब ${\hat {\alpha }}\approx {\bar {y}}$ (अर्थात: y का औसत)। ऐसे प्रकरण में सूत्र कम हो जाता है

Deff_{Spencer}=(1+L)+\left({\frac {1}{relvar(y)}}\right)^{2}L

केवल यदि y का प्रसरण इसके माध्य से बहुत बड़ा है तो सबसे दाहिना पद 0 के करीब है (अर्थात: $relvar(y)={\frac {\sigma _{y}}{\bar {Y}}}\approx 0$ ), जो स्पेंसर के डिज़ाइन प्रभाव (अनुमानित कुल के लिए) को किश के डिज़ाइन प्रभाव के बराबर कम कर देता है (अनुपात के लिए):^[28]^: 5 $Deff_{Spencer}\approx (1+L)=Deff_{Kish}$ . अन्यथा, दो सूत्र अलग-अलग परिणाम देंगे, जो कुल बनाम एक माध्य के डिजाइन प्रभाव के बीच अंतर को दर्शाता है।

अनुमानित अनुपात-माध्य के लिए पार्क और ली की डेफ ( ${\hat {\bar {Y}}}$ )

2001 में, पार्क और ली ने स्पेंसर के सूत्र को अनुपात-माध्य के प्रकरण में विस्तारित किया (अर्थात: जनसंख्या के आकार के अनुमानक के साथ कुल के अनुमानक को विभाजित करके माध्य का अनुमान लगाना)। यह है:^[28]^: 4

Deff_{Park\&Lee}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+{\frac {{\hat {\rho }}_{y,P}^{2}}{cv_{P}^{2}}}cv_{w}^{2}

जहाँ:

$cv_{P}^{2}$ चयन की संभावनाओं की भिन्नता का (अनुमानित) गुणांक है।

पार्क और ली का सूत्र किश के सूत्र के बराबर है जब ${\hat {\rho }}_{y,P}^{2}=0$ . दोनों सूत्र y के माध्य के डिजाइन प्रभाव से संबंधित हैं (जबकि स्पेंसर का डेफ कुल के अनुमान से संबंधित है)। सामान्यतः, कुल के लिए डेफ ( ${\hat {Y}}$ ) अनुपात माध्य के लिए डेफ की तुलना में कम कुशल होता है ( ${\hat {\bar {Y}}}$ ) कब $\rho _{y,P}$ छोटा है। और सामान्यतः, $\rho _{y,P}$ दोनों डिजाइन प्रभावों की दक्षता को प्रभावित करता है।^[4]^: 8

सामूहिक प्रतिदर्शी

सामूहिक प्रतिदर्शी का उपयोग करके एकत्र किए गए डेटा के लिए हम निम्नलिखित संरचना को मानते हैं:

$n_{k}$ प्रत्येक सामूहिक और K सामूहिक में अवलोकन, और कुल के साथ $n=\sum n_{k}$ टिप्पणियों।
प्रेक्षणों में एक ब्लॉक मैट्रिक्स सहसंबंध मैट्रिक्स होता है जिसमें एक ही सामूहिक से टिप्पणियों के प्रत्येक जोड़े को एक इंट्राक्लास सहसंबंध के साथ सहसंबद्ध किया जाता है आधुनिक ICC परिभाषाएँ: सरल सूत्र लेकिन सकारात्मक पूर्वाग्रह इंट्रा-क्लास सहसंबंध $\rho$ , जबकि अंतर समूहों से प्रत्येक युग्म असंबंधित है।^[29] अर्थात, प्रेक्षणों के प्रत्येक जोड़े के लिए, $i$ और $j$ , यदि वे एक ही सामूहिक से संबंधित हैं $k$ , हम पाते हैं $cov(y_{i},y_{j})=\rho \sigma ^{2}$ . और दो अलग-अलग समूहों से दो आइटम सहसंबद्ध नहीं हैं, अर्थात: $cov(y_{i},y_{j})=0$ .
किसी भी सामूहिक से एक तत्व को समान विचरण माना जाता है: $var(y_{i})=\sigma _{h}^{2}=\sigma ^{2}$ .

जब सभी समूह समान आकार के हों $n^{*}$ डिजाइन प्रभाव डी_eff1965 में किश द्वारा प्रस्तावित (और बाद में दूसरों द्वारा पुनः दौरा किया गया), इसके द्वारा दिया गया है:^[1]^: 162^[12]^: 399^[4]^: 9^[30]^[31]^[13]^: 241

D_{\text{eff}}=1+(n^{*}-1)\rho .

इसे कभी-कभी के रूप में भी निरूपित किया जाता है $Deff_{C}$ .^[26]^: 2124

विभिन्न पत्रों में, जब सामूहिक आकार समान नहीं होते हैं, तो उपरोक्त सूत्र का भी उपयोग किया जाता है $n^{*}$ औसत सामूहिक आकार के रूप में (इसे कभी-कभी इस रूप में भी निरूपित किया जाता है ${\bar {b}}$ ).^[32]^[24]^: 105 ऐसे प्रकरणों में, किश का सूत्र (औसत सामूहिक वजन का उपयोग करके) निर्धारित डिजाइन प्रभाव के रूढ़िवादी (ऊपरी सीमा) के रूप में कार्य करता है।^[24]^: 106

असमान सामूहिक आकार के लिए वैकल्पिक सूत्र सम्मलित हैं।^[1]^: 193 अनुवर्ती कार्य ने विभिन्न अनुमानों के साथ औसत सामूहिक आकार का उपयोग करने की संवेदनशीलता पर चर्चा की थी।^[33]

असमान चयन संभावनाएं $\times$ सामूहिक प्रतिदर्शी

1987 से अपने प्रेक्षण में, किश ने एक संयुक्त डिजाइन प्रभाव का प्रस्ताव दिया जिसमें भार के कारण दोनों प्रभाव सम्मिलित हैं जो असमान चयन संभावनाओं के साथ-साथ सामूहिक प्रतिदर्शी के लिए समानता रखते हैं:^[32]^[24]^: 105^[34]^: 4^[28]^: 2

Deff_{Kish}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h})^{2}}}\left(1+(n^{*}-1)\rho \right)=deff_{k}\times deff_{C}

ऊपर के समान अंकन के साथ गैबलर एट अल द्वारा 1999 में प्रस्तावित अनुमानकों के औचित्य के गुणों का वर्णन करने के लिए इस सूत्र को एक डिजाइन प्रभाव डिजाइन आधारित बनाम मॉडल आधारित प्राप्त हुआ।^[24]

स्तरीकृत प्रतिदर्शी $\times$ असमान चयन संभावनाएं $\times$ सामूहिक प्रतिदर्शी

2000 में, लियू और आरागॉन ने स्तरीकृत प्रतिदर्शी में विभिन्न स्तरों के लिए असमान चयन संभावनाओं के डिजाइन प्रभाव का एक अपघटन प्रस्तावित किया।^[35] 2002 में, लियू एट अल विस्तारित स्तरीकृत प्रतिदर्शी के लिए समानता रखते हुए काम करना प्रत्येक स्तर के अंतर्गत असमान चयन संभावना भार का एक समुच्चय है। सामूहिक प्रतिदर्शी या तो वैश्विक या प्रति स्तर है।^[26]इसी तरह का काम पार्क एट अल द्वारा भी 2003 में किया गया था।^[36]

उपयोग

डेफ मुख्य रूप से कई उद्देश्यों के लिए प्रयोग किया जाता है:^[13]^: 85

डिजाइन विकसित करते समय इसकी दक्षता का मूल्यांकन करने के लिए अर्थात: यदि किसी निर्णय के कारण विचरण में संभावित रूप से बहुत अधिक वृद्धि हुई है, या यदि नया डिज़ाइन अधिक कुशल है (जैसे: स्तरीकृत प्रतिदर्शी के रूप में)।
प्रतिदर्शी आकार (समग्र, प्रति स्तर, प्रति सामूहिक, आदि) के मार्गदर्शन के लिए एक मार्ग के रूप में, और पोस्ट-हॉक वेटिंग विश्लेषण के साथ संभावित समस्याओं का मूल्यांकन करते समय (उदाहरण: गैर-प्रतिक्रिया समायोजन से)।^[6]थंब का कोई सार्वभौमिक नियम नहीं है जिसके लिए डिजाइन प्रभाव मूल्य बहुत अधिक है, लेकिन साहित्य यह इंगित करता है कि $Deff>1.5$ कुछ ध्यान देने की संभावना है।^[12]^: 396

अपने 1995 के प्रेक्षण में, किश ने निम्नलिखित वर्गीकरण का प्रस्ताव दिया था कि डेफ कब उपयोगी है और कब उपयोगी नहीं है:^[7]^: 57–62

डिज़ाइन प्रभाव तब अनावश्यक होता है जब स्रोत जनसंख्या बारीकी से स्वतंत्र होती है और अनियमित चर समान रूप से वितरित होती है, i.i.d, या जब डेटा का प्रतिदर्शी डिज़ाइन एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी के रूप में तैयार किया गया था। यह तब भी कम उपयोगी होता है जब प्रतिदर्शी आकार अपेक्षाकृत छोटा होता है (व्यावहारिक कारणों से कम से कम आंशिक रूप से) और यह भी कि यदि केवल वर्णनात्मक आँकड़े रुचि के हैं (अर्थात: बिंदु अनुमान) तो ऐसे में यह भी सुझाव दिया जाता है कि यदि केवल कुछ आँकड़ों के लिए मानक त्रुटियों की आवश्यकता है, तो यह ठीक हो सकता है। किश की परिभाषा के अग्रदूतों में से एक 1951 में कॉर्नफील्ड द्वारा किया गया कार्य था। डेफ को नजरअंदाज करने के लिए डिज़ाइन प्रभाव तब आवश्यक होता है जब एक ही सर्वेक्षण पर मापे गए विभिन्न चरों के लिए औसत प्रतिदर्शी त्रुटियां या जब समय की अवधि में कई सर्वेक्षणों से समान मापी गई मात्रा का औसत निकाला जाता है। जब सरल आँकड़ों की त्रुटि (जैसे: माध्य) से अधिक जटिल वाले (जैसे: प्रतिगमन गुणांक) की त्रुटि से एक्सट्रपलेशन करते हैं तो ऐसे में भविष्य के सर्वेक्षण को डिजाइन करते समय (लेकिन उचित सावधानी के साथ) डेटा या इसके विश्लेषण के साथ स्पष्ट मुद्दों की पहचान करने के लिए सहायक आंकड़े के रूप में (उदाहरण के लिए: गलतियों से लेकर ग़ैर की उपस्थिति तक) यह ठीक हो सकता है।^[8]^: 191

प्रतिदर्शी आकार की योजना बनाते समय, डिज़ाइन प्रभाव को ठीक करने के लिए काम किया गया है जिससे कि प्रतिदर्शी विचरण पर प्रतिदर्शी डिज़ाइन के प्रभाव से साक्षात्कारकर्ता प्रभाव (माप त्रुटि) को अलग किया जा सके।^[37]जबकि किश को मूल रूप से उम्मीद थी कि डिजाइन प्रभाव डेटा के अंतर्निहित वितरण, प्रतिदर्शी की संभावनाओं, उनके सहसंबंधों और ब्याज के आंकड़ों के लिए संभव के रूप में अज्ञेयवादी होने में सक्षम होगा - अनुवर्ती शोध से पता चला है कि ये डिजाइन प्रभाव को प्रभावित करते हैं। इसलिए, इन गुणों पर सावधानीपूर्वक ध्यान दिया जाना चाहिए कि किस डेफ गणना का उपयोग करना है और इसका उपयोग कैसे करना है।^[4]^: 13^[28]^: 6

सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन

किश का डिजाइन प्रभाव विभिन्न सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर में लागू किया गया है:

आर: सर्वेसमरी से सर्वे/index.html सर्वे।
पायथन: design_effect balance।

इतिहास

डिजाइन प्रभाव शब्द को लेस्ली किश ने 1965 में अपनी पुस्तक सर्वे प्रतिदर्शी में प्रस्तुत किया था।^[1]^{: 88, 258} 1995 से अपने प्रेक्षण में,^[7]^: 73 किश ने उल्लेख किया है कि एक समान अवधारणा, जिसे लेक्सिस अनुपात कहा जाता है, को 19वीं शताब्दी के अंत में वर्णित किया गया था। 1950 में रोनाल्ड फिशर द्वारा बारीकी से संबंधित इंट्राक्लास सहसंबंध का वर्णन किया गया था, जबकि किश और अन्य लोगों द्वारा 40 के दशक के अंत से 50 के दशक तक भिन्नताओं के अनुपात की गणना पहले ही प्रकाशित कर दी गई थी। किश की परिभाषा के अग्रदूतों में से एक 1951 में कॉर्नफील्ड द्वारा किया गया कार्य था।^[38]^[4] 1965 से अपनी मूल पुस्तक में, किश ने डिज़ाइन प्रभाव के लिए सामान्य परिभाषा प्रस्तावित की (दो अनुमानकों के प्रसरण का अनुपात, एक कुछ डिज़ाइन वाले प्रतिदर्शी से और दूसरा एक साधारण अनियमित प्रतिदर्शी से)। अपनी पुस्तक में, किश ने डिजाइन प्रभाव के लिए क्लस्टर प्रतिदर्शी (इंट्राक्लास सहसंबंध के साथ) के लिए सूत्र प्रस्तावित किया;^[1]^: 162 साथ ही प्रसिद्ध डिजाइन प्रभाव किश का डिजाइन प्रभाव^[1]^: 427 इन्हें अधिकांशतः किश के डिजाइन प्रभाव के रूप में जाना जाता है, और बाद में एक सूत्र में विलय कर दिया गया है।

यह भी देखें

भिन्नता मुद्रास्फीति कारक (वीआईएफ) वीआईएफ और डेफ समान अवधारणाएं हैं जिसमें वे वैकल्पिक मॉडल के अनुसार कुछ मापदंड का आकलन करने के भिन्नता के अनुपात हैं।
प्रभावी प्रतिदर्शी आकार

संदर्भ

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अग्रिम पठन

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Contents

परिभाषाएँ

डेफ

डेफ्ट

प्रभावी प्रतिदर्शी आकार

प्रसिद्ध प्रतिदर्शी डिजाइनों के लिए डिजाइन प्रभाव

प्रतिदर्शी डिजाइन तय करता है कि डिजाइन प्रभाव की गणना कैसे की जानी चाहिए

असमान चयन संभावनाएं

असमान चयन संभावनाओं के स्रोत

अनुमानकों के गुणों का वर्णन करने के लिए डिजाइन आधारित बनाम मॉडल आधारित

सामान्य प्रकार के बाट

अनुमानित अनुपात के साथ बेतरतीब वजन-माध्य ( ${\hat {\bar {Y}}}$ ) - किश का डिजाइन प्रभाव

सूत्र

अनुमान और प्रमाण

साहित्य में वैकल्पिक परिभाषाएँ

वैकल्पिक नामकरण परंपराएं

जब परिणाम चयन संभावनाओं से संबंधित होता है

अनुमानित कुल के लिए स्पेंसर का डेफ ( ${\hat {Y}}$ )

अनुमानित अनुपात-माध्य के लिए पार्क और ली की डेफ ( ${\hat {\bar {Y}}}$ )

सामूहिक प्रतिदर्शी

असमान चयन संभावनाएं $\times$ सामूहिक प्रतिदर्शी

स्तरीकृत प्रतिदर्शी $\times$ असमान चयन संभावनाएं $\times$ सामूहिक प्रतिदर्शी

उपयोग

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परिभाषाएँ

डेफ

डेफ्ट

प्रभावी प्रतिदर्शी आकार

प्रसिद्ध प्रतिदर्शी डिजाइनों के लिए डिजाइन प्रभाव

प्रतिदर्शी डिजाइन तय करता है कि डिजाइन प्रभाव की गणना कैसे की जानी चाहिए

असमान चयन संभावनाएं

असमान चयन संभावनाओं के स्रोत

अनुमानकों के गुणों का वर्णन करने के लिए डिजाइन आधारित बनाम मॉडल आधारित

सामान्य प्रकार के बाट

अनुमानित अनुपात के साथ बेतरतीब वजन-माध्य (Y¯^{\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}}) - किश का डिजाइन प्रभाव

सूत्र

अनुमान और प्रमाण

साहित्य में वैकल्पिक परिभाषाएँ

वैकल्पिक नामकरण परंपराएं

जब परिणाम चयन संभावनाओं से संबंधित होता है

अनुमानित कुल के लिए स्पेंसर का डेफ (Y^{\displaystyle {\hat {Y}}})

अनुमानित अनुपात-माध्य के लिए पार्क और ली की डेफ (Y¯^{\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}})

सामूहिक प्रतिदर्शी

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स्तरीकृत प्रतिदर्शी ×{\displaystyle \times } असमान चयन संभावनाएं ×{\displaystyle \times } सामूहिक प्रतिदर्शी

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अनुमानित अनुपात के साथ बेतरतीब वजन-माध्य ( ${\hat {\bar {Y}}}$ ) - किश का डिजाइन प्रभाव

अनुमानित कुल के लिए स्पेंसर का डेफ ( ${\hat {Y}}$ )

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