प्रतिनिधित्व (गणित): Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, निरूपण बहुत ही सामान्य संबंध है जो गणितीय वस्तुओं या [[गणितीय संरचना]] के बीच समानताओं (या समताओं) को व्यक्त करता है। सामान्यतः, गणितीय वस्तुओं के संग्रह 'Y' को वस्तुओं के दूसरे संग्रह 'X' का 'प्रतिनिधित्व' करने के लिए कहा जा सकता है, बशर्ते कि प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुओं के बीच उपस्थित गुण और संबंध 'y'<sub>i</sub>अनुरूप, कुछ सुसंगत तरीके से, संबंधित प्रतिनिधित्व वाली वस्तुओं x के बीच विद्यमान हैं<sub>i</sub>. अधिक विशेष रूप से, गुणों और [[संबंध (गणित)]] के सेट Π को देखते हुए, कुछ संरचना X का Π-प्रतिनिधित्व संरचना Y है जो [[समरूपता]] के तहत X की छवि है जो Π को संरक्षित करता है। लेबल प्रतिनिधित्व कभी-कभी समरूपता पर भी लागू होता है (जैसे [[समूह सिद्धांत]] में [[समूह समरूपता]])।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/GroupRepresentation.html|title=समूह प्रतिनिधित्व|last=Weisstein|first=Eric W.|authorlink = Eric Weisstein|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-07}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf|title=प्रतिनिधित्व सिद्धांत|last=Teleman|first=Constantin|date=|website=math.berkeley.edu|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2019-12-07}}</ref> | ||
== [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] == | == [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] == | ||
संभवतः इस सामान्य धारणा का सबसे अच्छी तरह से विकसित उदाहरण [[सार बीजगणित]] का उपक्षेत्र है जिसे प्रतिनिधित्व सिद्धांत कहा जाता है, जो [[वेक्टर रिक्त स्थान]] के [[रैखिक परिवर्तन]] द्वारा बीजगणितीय संरचनाओं के तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है।<ref name=":0" /> | संभवतः इस सामान्य धारणा का सबसे अच्छी तरह से विकसित उदाहरण [[सार बीजगणित]] का उपक्षेत्र है जिसे प्रतिनिधित्व सिद्धांत कहा जाता है, जो [[वेक्टर रिक्त स्थान]] के [[रैखिक परिवर्तन]] द्वारा बीजगणितीय संरचनाओं के तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है।<ref name=":0" /> | ||
== अन्य उदाहरण == | == अन्य उदाहरण == | ||
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=== [[ग्राफ सिद्धांत]] === | === [[ग्राफ सिद्धांत]] === | ||
ग्राफ़ सिद्धांत का | ग्राफ़ सिद्धांत का सक्रिय क्षेत्र ग्राफ़ (असतत गणित) और अन्य संरचनाओं के बीच समरूपताओं का अन्वेषण है। ऐसी समस्याओं का प्रमुख वर्ग इस तथ्य से उपजा है कि, अप्रत्यक्ष रेखांकन में आसन्न संबंध की तरह, समुच्चयों का प्रतिच्छेदन (गणित) (या, अधिक सटीक रूप से, विसंधित समुच्चय, गैर-असंबद्धता) [[सममित संबंध]] है। यह समुच्चयों के असंख्य परिवारों के लिए प्रतिच्छेदन रेखांकन के अध्ययन को जन्म देता है।<ref>{{citation | ||
| last1 = McKee | first1 = Terry A. | last2 = McMorris | first2 = F. R. | | last1 = McKee | first1 = Terry A. | last2 = McMorris | first2 = F. R. | ||
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| isbn = 978-0-89871-430-2 |mr=1672910 | doi=10.1137/1.9780898719802}}</ref> पॉल | | isbn = 978-0-89871-430-2 |mr=1672910 | doi=10.1137/1.9780898719802}}</ref> यहां एक मूलभूत परिणाम है, जो पॉल एर्डोश और उनके सहकर्मियों के द्वारा है, उसका यह है कि प्रत्येक n-संकेत ग्राफ को अधिक से अधिक ''n''<sup>2</sup>/4 के आकार के संचयों के बीच समिश्रण के माध्यम से प्रतिष्ठित किया जा सकता है।<ref>{{citation | ||
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इस तरह के बीजगणितीय संरचनाओं द्वारा इसके आसन्न मैट्रिक्स और [[लाप्लासियन मैट्रिक्स]] के रूप में | इस तरह के बीजगणितीय संरचनाओं द्वारा इसके आसन्न मैट्रिक्स और [[लाप्लासियन मैट्रिक्स]] के रूप में ग्राफ का प्रतिनिधित्व [[वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत]] के क्षेत्र की उत्पत्ति होती है।<ref>{{citation | ||
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=== आदेश सिद्धांत === | === आदेश सिद्धांत === | ||
उपरोक्त अवलोकन के लिए दोहरी (गणित) तथ्य यह है कि प्रत्येक ग्राफ | उपरोक्त अवलोकन के लिए दोहरी (गणित) तथ्य यह है कि प्रत्येक ग्राफ चौराहे वाला ग्राफ है, यह तथ्य है कि प्रत्येक [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] (जिसे पॉसेट भी कहा जाता है) [[सबसेट]] (या रोकथाम) संबंध ⊆ द्वारा आदेशित सेटों के संग्रह के लिए आइसोमोर्फिक है। वस्तुओं के प्राकृतिक वर्गों के [[समावेशन आदेश]] के रूप में उत्पन्न होने वाले कुछ पॉसेट्स में [[बूलियन जाली]] और ऑर्डर आयाम सम्मलित हैं।<ref>{{citation | ||
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[[ज्यामिति]] वस्तुओं के संग्रह से कई आंशिक आदेश उत्पन्न होते हैं (और इस प्रकार इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है)। इनमें n-sphere#n-ball|n-ball ऑर्डर हैं। 1-बॉल ऑर्डर अंतराल-रोकथाम ऑर्डर हैं, और 2-बॉल ऑर्डर तथाकथित सर्कल ऑर्डर हैं - विमान में डिस्क के बीच रोकथाम के संदर्भ में प्रतिनिधित्व करने योग्य पोसेट। इस क्षेत्र में | [[ज्यामिति]] वस्तुओं के संग्रह से कई आंशिक आदेश उत्पन्न होते हैं (और इस प्रकार इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है)। इनमें n-sphere#n-ball|n-ball ऑर्डर हैं। 1-बॉल ऑर्डर अंतराल-रोकथाम ऑर्डर हैं, और 2-बॉल ऑर्डर तथाकथित सर्कल ऑर्डर हैं - विमान में डिस्क के बीच रोकथाम के संदर्भ में प्रतिनिधित्व करने योग्य पोसेट। इस क्षेत्र में विशेष रूप से अच्छा परिणाम [[ प्लेनर ग्राफ |प्लेनर ग्राफ]] का लक्षण वर्णन है, क्योंकि वे ग्राफ़ जिनके वर्टेक्स-एज घटना संबंध सर्कल ऑर्डर हैं।<ref>{{citation | ||
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ऐसे ज्यामितीय निरूपण भी हैं जो समावेशन पर आधारित नहीं हैं। दरअसल, इनमें से सबसे अच्छी तरह से अध्ययन की जाने वाली कक्षाओं में से | ऐसे ज्यामितीय निरूपण भी हैं जो समावेशन पर आधारित नहीं हैं। दरअसल, इनमें से सबसे अच्छी तरह से अध्ययन की जाने वाली कक्षाओं में से अंतराल आदेश हैं,<ref>{{citation | ||
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=== तर्क === | === तर्क === | ||
[[गणितीय तर्क]] में, [[संबंधपरक संरचना]]ओं के रूप में [[सार्वभौमिक बीजगणित]] की प्रतिनिधित्व क्षमता का उपयोग अधिकांशतः [[बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क)]] और [[संबंधपरक शब्दार्थ]] की समानता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसके उदाहरणों में स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय | सेट के क्षेत्र के रूप में [[बूलियन बीजगणित]] का स्टोन का प्रतिनिधित्व सम्मलित है,<ref>[[Marshall H. Stone]] (1936) "[https://www.jstor.org/stable/1989664 The Theory of Representations of Boolean Algebras]," ''[[Transactions of the American Mathematical Society]] 40'': 37-111.</ref> एसाकिया द्वैत | सेट के [[हेटिंग बीजगणित]] के रूप में हेटिंग बीजगणित का एसाकिया का प्रतिनिधित्व,<ref>{{cite journal|last=Esakia|first=Leo|date=1974|authorlink = Leo Esakia|title=टोपोलॉजिकल क्रिपके मॉडल|journal=Soviet Math|volume=15|issue=1|pages=147-151}}</ref> और प्रतिनिधित्व योग्य [[संबंध बीजगणित]] और प्रतिनिधित्व योग्य [[बेलनाकार बीजगणित]] का अध्ययन।<ref>{{cite book|last1=Hirsch|first1=R.|last2=Hodkinson|first2=I.|year=2002|title=खेलों द्वारा संबंध बीजगणित|volume=147|series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|publisher=Elsevier Science}}</ref> | [[गणितीय तर्क]] में, [[संबंधपरक संरचना]]ओं के रूप में [[सार्वभौमिक बीजगणित]] की प्रतिनिधित्व क्षमता का उपयोग अधिकांशतः [[बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क)]] और [[संबंधपरक शब्दार्थ]] की समानता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसके उदाहरणों में स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय | सेट के क्षेत्र के रूप में [[बूलियन बीजगणित]] का स्टोन का प्रतिनिधित्व सम्मलित है,<ref>[[Marshall H. Stone]] (1936) "[https://www.jstor.org/stable/1989664 The Theory of Representations of Boolean Algebras]," ''[[Transactions of the American Mathematical Society]] 40'': 37-111.</ref> एसाकिया द्वैत | सेट के [[हेटिंग बीजगणित]] के रूप में हेटिंग बीजगणित का एसाकिया का प्रतिनिधित्व,<ref>{{cite journal|last=Esakia|first=Leo|date=1974|authorlink = Leo Esakia|title=टोपोलॉजिकल क्रिपके मॉडल|journal=Soviet Math|volume=15|issue=1|pages=147-151}}</ref> और प्रतिनिधित्व योग्य [[संबंध बीजगणित]] और प्रतिनिधित्व योग्य [[बेलनाकार बीजगणित]] का अध्ययन।<ref>{{cite book|last1=Hirsch|first1=R.|last2=Hodkinson|first2=I.|year=2002|title=खेलों द्वारा संबंध बीजगणित|volume=147|series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|publisher=Elsevier Science}}</ref> | ||
=== पोलीसेमी === | === पोलीसेमी === | ||
कुछ निश्चित परिस्थितियों में, | कुछ निश्चित परिस्थितियों में, एकल फलन f : X → Y साथ X पर कई गणितीय संरचनाओं से समरूपता है। चूंकि उन संरचनाओं में से प्रत्येक के बारे में सोचा जा सकता है, सहज रूप से, छवि Y के अर्थ के रूप में (चीजों में से जो Y हमें बताने की कोशिश कर रहा है), इस घटना को '[[अनेक मतलब का गुण|अनेक तात्पर्य का गुण]]' कहा जाता है - पॉलीसेमी। पोलीसेमी के कुछ उदाहरणों में सम्मलित हैं: | ||
* 'इंटरसेक्शन पोलीसेमी'—ग्राफ़ के जोड़े G<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> | * 'इंटरसेक्शन पोलीसेमी'—ग्राफ़ के जोड़े G<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> सामान्य शीर्ष समुच्चय V पर जिसे साथ समुच्चय S<sub>v</sub> के एकल संग्रह द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जैसे कि V में कोई भी भिन्न शीर्ष u और w G<sub>1</sub> में आसन्न हैं, यदि और केवल यदि उनके संबंधित सेट प्रतिच्छेद करते हैं ( ''S<sub>u</sub>'' ∩ ''S<sub>w</sub>'' ≠ Ø ), और G<sub>2</sub> में आसन्न हैं यदि और केवल यदि [[सेट पूरक]] करते हैं ( ( ''S<sub>u</sub>''<sup>C</sup> ∩ ''S<sub>w</sub>''<sup>C</sup> ≠ Ø )<sup><sup>.<ref>{{citation | last = Tanenbaum | first = Paul J. | title = Simultaneous intersection representation of pairs of graphs | journal = [[Journal of Graph Theory]] | volume = 32 | issue = 2 | year = 1999 | pages = 171–190 |mr=1709659 | doi = 10.1002/(SICI)1097-0118(199910)32:2<171::AID-JGT7>3.0.CO;2-N}}</ref> | ||
| last = Tanenbaum | first = Paul J. | * प्रतियोगिता पोलीसेमी-पारिस्थितिकी खाद्य जाल के अध्ययन से प्रेरित है, जिसमें प्रजातियों के जोड़े सामान्यतः शिकार कर सकते हैं या शिकारियों में आम हो सकते हैं। रेखांकन की जोड़ी G<sub>1</sub> और G<sub>2</sub> वर्टेक्स सेट पर प्रतियोगिता पोलीसेमिक है, यदि और केवल यदि ही वर्टेक्स सेट पर एकल [[निर्देशित ग्राफ]] डी उपस्थित है, जैसे कि कोई भी अलग कोने u और v G<sub>1</sub> में आसन्न हैं<sub>,</sub> यदि और केवल यदि वहाँ शीर्ष w है जैसे कि uw और vw दोनों D में [[चाप (ग्राफ सिद्धांत)]] हैं, और G<sub>2</sub> में आसन्न हैं<sub>,</sub> यदि और केवल यदि कोई शीर्ष w है जैसे कि w और wv दोनों D में चाप हैं।<ref>{{citation | ||
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* प्रतियोगिता पोलीसेमी-पारिस्थितिकी खाद्य जाल के अध्ययन से प्रेरित है, जिसमें प्रजातियों के जोड़े सामान्यतः शिकार कर सकते हैं या शिकारियों में आम हो सकते हैं। रेखांकन की | |||
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Revision as of 00:11, 20 June 2023
गणित में, निरूपण बहुत ही सामान्य संबंध है जो गणितीय वस्तुओं या गणितीय संरचना के बीच समानताओं (या समताओं) को व्यक्त करता है। सामान्यतः, गणितीय वस्तुओं के संग्रह 'Y' को वस्तुओं के दूसरे संग्रह 'X' का 'प्रतिनिधित्व' करने के लिए कहा जा सकता है, बशर्ते कि प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुओं के बीच उपस्थित गुण और संबंध 'y'iअनुरूप, कुछ सुसंगत तरीके से, संबंधित प्रतिनिधित्व वाली वस्तुओं x के बीच विद्यमान हैंi. अधिक विशेष रूप से, गुणों और संबंध (गणित) के सेट Π को देखते हुए, कुछ संरचना X का Π-प्रतिनिधित्व संरचना Y है जो समरूपता के तहत X की छवि है जो Π को संरक्षित करता है। लेबल प्रतिनिधित्व कभी-कभी समरूपता पर भी लागू होता है (जैसे समूह सिद्धांत में समूह समरूपता)।[1][2]
प्रतिनिधित्व सिद्धांत
संभवतः इस सामान्य धारणा का सबसे अच्छी तरह से विकसित उदाहरण सार बीजगणित का उपक्षेत्र है जिसे प्रतिनिधित्व सिद्धांत कहा जाता है, जो वेक्टर रिक्त स्थान के रैखिक परिवर्तन द्वारा बीजगणितीय संरचनाओं के तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है।[2]
अन्य उदाहरण
यद्यपि शब्द प्रतिनिधित्व सिद्धांत ऊपर चर्चा किए गए बीजगणितीय अर्थों में अच्छी तरह से स्थापित है, पूरे गणित में शब्द प्रतिनिधित्व के कई अन्य उपयोग हैं।
ग्राफ सिद्धांत
ग्राफ़ सिद्धांत का सक्रिय क्षेत्र ग्राफ़ (असतत गणित) और अन्य संरचनाओं के बीच समरूपताओं का अन्वेषण है। ऐसी समस्याओं का प्रमुख वर्ग इस तथ्य से उपजा है कि, अप्रत्यक्ष रेखांकन में आसन्न संबंध की तरह, समुच्चयों का प्रतिच्छेदन (गणित) (या, अधिक सटीक रूप से, विसंधित समुच्चय, गैर-असंबद्धता) सममित संबंध है। यह समुच्चयों के असंख्य परिवारों के लिए प्रतिच्छेदन रेखांकन के अध्ययन को जन्म देता है।[3] यहां एक मूलभूत परिणाम है, जो पॉल एर्डोश और उनके सहकर्मियों के द्वारा है, उसका यह है कि प्रत्येक n-संकेत ग्राफ को अधिक से अधिक n2/4 के आकार के संचयों के बीच समिश्रण के माध्यम से प्रतिष्ठित किया जा सकता है।[4]
इस तरह के बीजगणितीय संरचनाओं द्वारा इसके आसन्न मैट्रिक्स और लाप्लासियन मैट्रिक्स के रूप में ग्राफ का प्रतिनिधित्व वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत के क्षेत्र की उत्पत्ति होती है।[5]
आदेश सिद्धांत
उपरोक्त अवलोकन के लिए दोहरी (गणित) तथ्य यह है कि प्रत्येक ग्राफ चौराहे वाला ग्राफ है, यह तथ्य है कि प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित सेट (जिसे पॉसेट भी कहा जाता है) सबसेट (या रोकथाम) संबंध ⊆ द्वारा आदेशित सेटों के संग्रह के लिए आइसोमोर्फिक है। वस्तुओं के प्राकृतिक वर्गों के समावेशन आदेश के रूप में उत्पन्न होने वाले कुछ पॉसेट्स में बूलियन जाली और ऑर्डर आयाम सम्मलित हैं।[6]
ज्यामिति वस्तुओं के संग्रह से कई आंशिक आदेश उत्पन्न होते हैं (और इस प्रकार इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है)। इनमें n-sphere#n-ball|n-ball ऑर्डर हैं। 1-बॉल ऑर्डर अंतराल-रोकथाम ऑर्डर हैं, और 2-बॉल ऑर्डर तथाकथित सर्कल ऑर्डर हैं - विमान में डिस्क के बीच रोकथाम के संदर्भ में प्रतिनिधित्व करने योग्य पोसेट। इस क्षेत्र में विशेष रूप से अच्छा परिणाम प्लेनर ग्राफ का लक्षण वर्णन है, क्योंकि वे ग्राफ़ जिनके वर्टेक्स-एज घटना संबंध सर्कल ऑर्डर हैं।[7]
ऐसे ज्यामितीय निरूपण भी हैं जो समावेशन पर आधारित नहीं हैं। दरअसल, इनमें से सबसे अच्छी तरह से अध्ययन की जाने वाली कक्षाओं में से अंतराल आदेश हैं,[8] जो वास्तविक रेखा पर अंतरालों की असंयुक्त पूर्वता कहलाने के संदर्भ में आंशिक क्रम का प्रतिनिधित्व करता है: पोसेट के प्रत्येक तत्व x को अंतराल [x1, x2] द्वारा दर्शाया गया है, जैसे कि पोसेट में किसी भी y और z के लिए, y z से नीचे है यदि और केवल यदि y2 < z1.
तर्क
गणितीय तर्क में, संबंधपरक संरचनाओं के रूप में सार्वभौमिक बीजगणित की प्रतिनिधित्व क्षमता का उपयोग अधिकांशतः बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) और संबंधपरक शब्दार्थ की समानता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसके उदाहरणों में स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय | सेट के क्षेत्र के रूप में बूलियन बीजगणित का स्टोन का प्रतिनिधित्व सम्मलित है,[9] एसाकिया द्वैत | सेट के हेटिंग बीजगणित के रूप में हेटिंग बीजगणित का एसाकिया का प्रतिनिधित्व,[10] और प्रतिनिधित्व योग्य संबंध बीजगणित और प्रतिनिधित्व योग्य बेलनाकार बीजगणित का अध्ययन।[11]
पोलीसेमी
कुछ निश्चित परिस्थितियों में, एकल फलन f : X → Y साथ X पर कई गणितीय संरचनाओं से समरूपता है। चूंकि उन संरचनाओं में से प्रत्येक के बारे में सोचा जा सकता है, सहज रूप से, छवि Y के अर्थ के रूप में (चीजों में से जो Y हमें बताने की कोशिश कर रहा है), इस घटना को 'अनेक तात्पर्य का गुण' कहा जाता है - पॉलीसेमी। पोलीसेमी के कुछ उदाहरणों में सम्मलित हैं:
- 'इंटरसेक्शन पोलीसेमी'—ग्राफ़ के जोड़े G1 और जी2 सामान्य शीर्ष समुच्चय V पर जिसे साथ समुच्चय Sv के एकल संग्रह द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जैसे कि V में कोई भी भिन्न शीर्ष u और w G1 में आसन्न हैं, यदि और केवल यदि उनके संबंधित सेट प्रतिच्छेद करते हैं ( Su ∩ Sw ≠ Ø ), और G2 में आसन्न हैं यदि और केवल यदि सेट पूरक करते हैं ( ( SuC ∩ SwC ≠ Ø ).[12]
- प्रतियोगिता पोलीसेमी-पारिस्थितिकी खाद्य जाल के अध्ययन से प्रेरित है, जिसमें प्रजातियों के जोड़े सामान्यतः शिकार कर सकते हैं या शिकारियों में आम हो सकते हैं। रेखांकन की जोड़ी G1 और G2 वर्टेक्स सेट पर प्रतियोगिता पोलीसेमिक है, यदि और केवल यदि ही वर्टेक्स सेट पर एकल निर्देशित ग्राफ डी उपस्थित है, जैसे कि कोई भी अलग कोने u और v G1 में आसन्न हैं, यदि और केवल यदि वहाँ शीर्ष w है जैसे कि uw और vw दोनों D में चाप (ग्राफ सिद्धांत) हैं, और G2 में आसन्न हैं, यदि और केवल यदि कोई शीर्ष w है जैसे कि w और wv दोनों D में चाप हैं।[13]
- अंतराल पोलीसेमी-पॉसेट्स P1 के जोड़े और P2 सामान्य ग्राउंड सेट पर जिसे साथ वास्तविक अंतरालों के एकल संग्रह द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो कि P1 का अंतराल-क्रम प्रतिनिधित्व है और P2 का अंतराल-रोकथाम प्रतिनिधित्व.[14]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Weisstein, Eric W. "समूह प्रतिनिधित्व". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-07.
- ↑ 2.0 2.1 Teleman, Constantin. "प्रतिनिधित्व सिद्धांत" (PDF). math.berkeley.edu. Retrieved 2019-12-07.
{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link) - ↑ McKee, Terry A.; McMorris, F. R. (1999), Topics in Intersection Graph Theory, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, doi:10.1137/1.9780898719802, ISBN 978-0-89871-430-2, MR 1672910
- ↑ Erdős, Paul; Goodman, A. W.; Pósa, Louis (1966), "The representation of a graph by set intersections", Canadian Journal of Mathematics, 18 (1): 106–112, CiteSeerX 10.1.1.210.6950, doi:10.4153/cjm-1966-014-3, MR 0186575
- ↑ Biggs, Norman (1994), Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45897-9, MR 1271140
- ↑ Trotter, William T. (1992), Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory, Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences, Baltimore: The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-4425-6, MR 1169299
- ↑ Scheinerman, Edward (1991), "A note on planar graphs and circle orders", SIAM Journal on Discrete Mathematics, 4 (3): 448–451, doi:10.1137/0404040, MR 1105950
- ↑ Fishburn, Peter C. (1985), Interval Orders and Interval Graphs: A Study of Partially Ordered Sets, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-81284-5, MR 0776781
- ↑ Marshall H. Stone (1936) "The Theory of Representations of Boolean Algebras," Transactions of the American Mathematical Society 40: 37-111.
- ↑ Esakia, Leo (1974). "टोपोलॉजिकल क्रिपके मॉडल". Soviet Math. 15 (1): 147–151.
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- ↑ Tanenbaum, Paul J. (1999), "Simultaneous intersection representation of pairs of graphs", Journal of Graph Theory, 32 (2): 171–190, doi:10.1002/(SICI)1097-0118(199910)32:2<171::AID-JGT7>3.0.CO;2-N, MR 1709659
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