तार्किक विच्छेदन: Difference between revisions

Logical disjunction
OR
Definition
Truth table
Logic gate
Normal forms
Disjunctive
Conjunctive
Zhegalkin polynomial
Post's lattices
0-preserving	yes
1-preserving	yes
Monotone	yes
Affine	no
	v; t; e;

Revision as of 11:04, 21 June 2023

का वेन आरेख

\scriptstyle A\lor B\lor C

तर्क में, संयोजन एक तार्किक संयोजक है जिसे सामान्यतः $\lor$ के रूप में नोट किया जाता है और "या" के रूप में जोर से पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, अंग्रेज़ी भाषा के वाक्य "इट इज सननी ऑर इट इज वार्म" को वियोगात्मक सूत्र $S\lor W$ का उपयोग करके तर्क में प्रस्तुत किया जा सकता है, यह मानते हुए कि $S$ "इट इज सनी" को संक्षिप्त करता है और $W$ "इट इज वार्म" को संक्षिप्त करता है। "।

मौलिक तर्क में विच्छेदन को एक सत्य फंक्शन सिमेंटिक्स दिया जाता है जिसके अनुसार एक सूत्र $\phi \lor \psi$ तब तक सत्य होता है जब तक कि दोनों $\phi$ और $\psi$ झूठे हैं। क्योंकि यह शब्दार्थ एक वियोगात्मक सूत्र को सत्य होने की अनुमति देता है जब इसके दोनों असंबद्ध सत्य होते हैं, यह वियोग की एक समावेशी व्याख्या है, अनन्य या के विपरीत। मौलिक प्रमाण सिद्धांत उपचार अधिकांशतः नियमों के संदर्भ में दिए जाते हैं जैसे विच्छेदन परिचय और संयोजन उन्मूलन विच्छेदन को कई गैर-मौलिक तर्क भी दिए गए हैं। गैर-मौलिक उपचार अरस्तू के समुद्री युद्ध तर्क हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत साथ ही मौलिक संयोजन और प्राकृतिक भाषाओं में इसके निकटतम समकक्षों के बीच कई बेमेल सहित समस्याओं से प्रेरित हैं।^[1]^[2]

समावेशी और अनन्य संयोजन

क्योंकि तार्किक या साधन सूत्र तब होता है जब कोई या दोनों सत्य होते हैं इसे एक समावेशी संयोजन के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह एक अनन्य या के विपरीत है जो तब सत्य होता है जब एक या अन्य तर्क सत्य होते हैं, किंतु दोनों नहीं (अनन्य या , या एक्सओआर के रूप में संदर्भित)।

जब यह स्पष्ट करना आवश्यक होता है कि समावेशी या अनन्य जिसका आशय है तो अंग्रेजी बोलने वाले कभी-कभी वाक्यांश और/या का उपयोग करते हैं। तर्क के संदर्भ में यह वाक्यांश या के समान है किंतु दोनों के सम्मिलित होने को स्पष्ट रूप से स्पष्ट करता है।

संकेतन

तर्क और संबंधित क्षेत्रों में, संयोजन को सामान्यतः एक इन्फिक्स ऑपरेटर $\lor$ के साथ नोट किया जाता है।.^[1] वैकल्पिक नोटेशन में $+$ सम्मिलित हैं मुख्य रूप से इलेक्ट्रानिक्स में उपयोग किया जाता है, साथ ही साथ $\vert$ और $\vert \!\vert$ कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में अंग्रेजी शब्द या कभी-कभी बड़े अक्षरों में भी प्रयोग किया जाता है। Jan Łukasiewicz के पोलिश संकेतन या तर्क के लिए पोलिश संकेतन में ऑपरेटर A है जो पोलिश alternatywa (अंग्रेजी: वैकल्पिक) के लिए छोटा है।^[3]

/या का उपयोग करते हैं। तर्क के संदर्भ में यह वाक्यांश या के समान है

मौलिक संयोजन

शब्दार्थ

तर्क के शब्दार्थ में मौलिक वियोग एक सत्य कार्यात्मक तार्किक संचालन है जो सत्य मान को सत्य लौटाता है जब तक कि इसके दोनों तर्क गलत न हों इसकी शब्दार्थ प्रविष्टि मानक रूप से निम्नानुसार दी गई है:^[4]

\models \phi \lor \psi

अगर

\models \phi

या

\models \psi

अथवा दोनों

यह शब्दार्थ निम्नलिखित सत्य तालिका से मेल खाता है:^[1]

$A$	$B$	$A\lor B$
True	True	True
True	False	True
False	True	True
False	False	False

अन्य ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित

मौलिक तर्क प्रणालियों में जहां तार्किक संयोजन आदिम नहीं है, इसे आदिम "और" ( $\land$ ) और "नहीं" ( $\lnot$ ) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

A\lor B=\neg ((\neg A)\land (\neg B))

.

वैकल्पिक रूप से, इसे भौतिक नियम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है ( $\to$ ) और इस रूप में नहीं:^[5]

A\lor B=(\lnot A)\to B

.

उत्तरार्द्ध को निम्न सत्य तालिका द्वारा जांचा जा सकता है:

$A$	$B$	$\neg A$	$\neg A\to B$	$A\lor B$
True	True	False	True	True
True	False	False	True	True
False	True	True	True	True
False	False	True	False	False

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Aloni, Maria (2016), "Disjunction", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2020-09-03
↑ "Disjunction | logic". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2020-09-03.
↑ Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim.
↑ For the sake of generality across classical systems, this entry suppresses the parameters of evaluation. The "double turnstile" symbol $\models$ here is intended to mean "semantically entails".
↑ Walicki, Michał (2016). Introduction to Mathematical Logic. WORLD SCIENTIFIC. p. 150. doi:10.1142/9783. ISBN 978-9814343879.

[:1-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Aloni, Maria (2016), "Disjunction", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2020-09-03

[2] "Disjunction | logic". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2020-09-03.

[3] Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim.

[4] For the sake of generality across classical systems, this entry suppresses the parameters of evaluation. The "double turnstile" symbol $\models$ here is intended to mean "semantically entails".

[5] Walicki, Michał (2016). Introduction to Mathematical Logic. WORLD SCIENTIFIC. p. 150. doi:10.1142/9783. ISBN 978-9814343879.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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 तर्क में, संयोजन एक तार्किक संयोजक है जिसे सामान्यतः <math> \lor </math> के रूप में नोट किया जाता है और "या" के रूप में जोर से पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, अंग्रेज़ी भाषा के वाक्य "इट इज सननी ऑर इट इज वार्म" को वियोगात्मक सूत्र <math> S \lor W </math> का उपयोग करके तर्क में प्रस्तुत किया जा सकता है, यह मानते हुए कि <math>S</math> "इट इज सनी" को संक्षिप्त करता है और <math>W</math> "इट इज वार्म" को संक्षिप्त करता है। "।
-[[ शास्त्रीय तर्क |मौलिक तर्क]] में विच्छेदन को एक [[सत्य समारोह|सत्य फंक्शन]] सिमेंटिक्स दिया जाता है जिसके अनुसार एक सूत्र <math>\phi \lor \psi</math> तब तक सत्य होता है जब तक कि दोनों <math>\phi</math> और <math>\psi</math> झूठे हैं। क्योंकि यह शब्दार्थ एक वियोगात्मक सूत्र को सत्य होने की अनुमति देता है जब इसके दोनों असंबद्ध सत्य होते हैं, यह वियोग की एक समावेशी व्याख्या है, अनन्य या के विपरीत। मौलिक [[ सबूत सिद्धांत |प्रमाण सिद्धांत]] उपचार  अधिकांशतः नियमों के संदर्भ में दिए जाते हैं जैसे [[ विच्छेदन परिचय |विच्छेदन परिचय]] और [[ संयोजन उन्मूलन |संयोजन उन्मूलन]]  विच्छेदन को कई गैर-मौलिक तर्क भी दिए गए हैं। गैर-मौलिक उपचार अरस्तू के समुद्री युद्ध तर्क [[हाइजेनबर्ग]] के अनिश्चितता सिद्धांत साथ ही मौलिक संयोजन और [[प्राकृतिक भाषा]]ओं में इसके निकटतम समकक्षों के बीच कई बेमेल सहित समस्याओं से प्रेरित हैं।<ref name=":1">{{Citation|last=Aloni|first=Maria|author-link=Maria Aloni|title=Disjunction|date=2016|url=https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/disjunction/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Winter 2016|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2020-09-03}}</ref><ref>{{Cite web|title=Disjunction {{!}} logic|url=https://www.britannica.com/topic/disjunction-logic|access-date=2020-09-03|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>
+[[ शास्त्रीय तर्क |मौलिक तर्क]] में विच्छेदन को एक [[सत्य समारोह|सत्य फंक्शन]] सिमेंटिक्स दिया जाता है जिसके अनुसार एक सूत्र <math>\phi \lor \psi</math> तब तक सत्य होता है जब तक कि दोनों <math>\phi</math> और <math>\psi</math> झूठे हैं। क्योंकि यह शब्दार्थ एक वियोगात्मक सूत्र को सत्य होने की अनुमति देता है जब इसके दोनों असंबद्ध सत्य होते हैं, यह वियोग की एक समावेशी व्याख्या है, अनन्य या के विपरीत। मौलिक [[ सबूत सिद्धांत |प्रमाण सिद्धांत]] उपचार अधिकांशतः नियमों के संदर्भ में दिए जाते हैं जैसे [[ विच्छेदन परिचय |विच्छेदन परिचय]] और [[ संयोजन उन्मूलन |संयोजन उन्मूलन]] विच्छेदन को कई गैर-मौलिक तर्क भी दिए गए हैं। गैर-मौलिक उपचार अरस्तू के समुद्री युद्ध तर्क [[हाइजेनबर्ग]] के अनिश्चितता सिद्धांत साथ ही मौलिक संयोजन और [[प्राकृतिक भाषा]]ओं में इसके निकटतम समकक्षों के बीच कई बेमेल सहित समस्याओं से प्रेरित हैं।<ref name=":1">{{Citation|last=Aloni|first=Maria|author-link=Maria Aloni|title=Disjunction|date=2016|url=https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/disjunction/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Winter 2016|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2020-09-03}}</ref><ref>{{Cite web|title=Disjunction {{!}} logic|url=https://www.britannica.com/topic/disjunction-logic|access-date=2020-09-03|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>
 == समावेशी और अनन्य संयोजन ==
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 == संकेतन ==
-तर्क और संबंधित क्षेत्रों में, संयोजन को सामान्यतः  एक इन्फिक्स ऑपरेटर <math>\lor</math> के साथ नोट किया जाता है।.<ref name=":1"/> वैकल्पिक नोटेशन में <math>+</math> सम्मिलित हैं  मुख्य रूप से [[ इलेक्ट्रानिक्स |इलेक्ट्रानिक्स]] में उपयोग किया जाता है, साथ ही साथ <math>\vert</math> और <math>\vert\!\vert</math> कई [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में अंग्रेजी शब्द या कभी-कभी बड़े अक्षरों में भी प्रयोग किया जाता है। Jan Łukasiewicz के पोलिश संकेतन या  तर्क के लिए पोलिश संकेतन में ऑपरेटर A है जो पोलिश ''alternatywa'' (अंग्रेजी: वैकल्पिक) के लिए छोटा है।<ref>[[Józef Maria Bocheński]] (1959), ''A Précis of Mathematical Logic'', translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland:  D. Reidel, passim.</ref>
+तर्क और संबंधित क्षेत्रों में, संयोजन को सामान्यतः एक इन्फिक्स ऑपरेटर <math>\lor</math> के साथ नोट किया जाता है।.<ref name=":1"/> वैकल्पिक नोटेशन में <math>+</math> सम्मिलित हैं मुख्य रूप से [[ इलेक्ट्रानिक्स |इलेक्ट्रानिक्स]] में उपयोग किया जाता है, साथ ही साथ <math>\vert</math> और <math>\vert\!\vert</math> कई [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में अंग्रेजी शब्द या कभी-कभी बड़े अक्षरों में भी प्रयोग किया जाता है। Jan Łukasiewicz के पोलिश संकेतन या तर्क के लिए पोलिश संकेतन में ऑपरेटर A है जो पोलिश ''alternatywa'' (अंग्रेजी: वैकल्पिक) के लिए छोटा है।<ref>[[Józef Maria Bocheński]] (1959), ''A Précis of Mathematical Logic'', translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland:  D. Reidel, passim.</ref>
-'''/या का उपयोग करते हैं। तर्क के संदर्भ में यह वाक्यांश या के समान है किंतु दोनों के सम्मिलित होने को स्पष्ट रूप से स्पष्ट करता'''
+'''/या का उपयोग करते हैं। तर्क के संदर्भ में यह वाक्यांश या के समान है'''
 == मौलिक संयोजन                                           ==
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 === अन्य ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित ===
-मौलिक तर्क प्रणालियों में जहां तार्किक संयोजन आदिम नहीं है, इसे आदिम "और" (<math>\land</math>)  और "नहीं"  (<math>\lnot</math>) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
+मौलिक तर्क प्रणालियों में जहां तार्किक संयोजन आदिम नहीं है, इसे आदिम "और" (<math>\land</math>) और "नहीं" (<math>\lnot</math>) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 :<math>A \lor B =  \neg ((\neg A) \land (\neg B)) </math>.

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