फलनिक समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 22:08, 24 June 2023

गणित में, फलनिक समीकरण ^[1]^[2]^{[irrelevant citation]} व्यापक अर्थ में, एक समीकरण है जिसमें एक या अनेक फलन अज्ञात (गणित) के रूप में होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलनिक समीकरण हैं। यद्यपि अधिक प्रतिबंधित अर्थ का उपयोग प्रायः किया जाता है, जहाँ फलनिक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फलन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन अनिवार्य रूप से लघुगणक फलनिक समीकरण $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$ द्वारा चित्रित किया जाता है।

यदि अज्ञात फलन का डोमेन प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो फलन को सामान्यतः अनुक्रम (गणित) के रूप में देखा जाता है तथा इस स्थिति में, फलनिक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है। इस प्रकार फलनिक समीकरण पद का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक फलन और सम्मिश्र फलन के लिए किया जाता है । इसके अलावा समाधानों के लिए प्रायः सहजता की स्थिति स्वीकृत की जाती है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना अधिकांश फलनिक समीकरणों में अधिक अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक फलन है जो फलनिक समीकरण $f(x+1)=xf(x)$ और प्रारंभिक मान $f(1)=1.$ को संतुष्ट करता है। ऐसे कई फलन हैं जो इन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन गामा फलन अद्वितीय है जो संपूर्ण सम्मिश्र समतल में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और $x$ वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय) के लिए लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

उदाहरण

पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं के फलनों में फलनिक समीकरण समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है जिसमें पदों के सूचकांकों के मध्य अंतर को शिफ्ट ऑपरेटर के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्या $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ को परिभाषित करने वाला पुनरावृत्ति संबंध जहाँ $F_{0}=0$ तथा $F_{1}=1$ है।
$f(x+P)=f(x)$ , जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

$f(x)=f(-x)$ , जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से $f(x)=-f(-x)$ जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

$f(f(x))=g(x)$ , जो फलन g के फलनात्मक वर्गमूल की विशेषता प्रदर्शित करता है।

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए हेमल आधार से सिद्ध किया जा सकता है।
$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ सभी घातांकीय फलनों से संतुष्ट है। कॉची के योज्य फलनात्मक समीकरण के समान इसमें भी तर्कहीन असंतत हल हो सकते हैं।
$f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$ , सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
$f(xy)=f(x)f(y)\,\!$ , सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)।
$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ (जेन्सेन का फलनिक समीकरण)।
$g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!$ (डी'अलेम्बर्ट का फलनिक समीकरण)।
$f(h(x))=h(x+1)\,\!$ (हाबिल समीकरण)
$f(h(x))=cf(x)\,\!$ (श्रोडर का समीकरण)।
$f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!$ (बॉटर का समीकरण)।
$f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!$ (जूलिया का समीकरण)।
$f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!$ (लेवी-सिविटा),
$f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ (साइन योगात्मक सूत्र और अतिपरवलीय साइन योगात्मक सूत्र)।
$g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ (कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
$g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!$ (अतिपरवलीय कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम फलनिक समीकरण हैं। अपने परिचित रूप में साहचर्य नियम को मध्यप्रत्यय संकेतन में द्विचर प्रचालन लिखकर व्यक्त किया जाता है, $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,$ किन्तु यदि हम $a ○ b$ के स्थान पर f(a,-b) लिखते हैं, तो साहचर्य नियम एक पारंपरिक फलनिक समीकरण के समान दिखता है, $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!$
फलनिक समीकरण $f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$ रीमैन जीटा फ़ंक्शन से संतुष्ट है।^{[citation needed]} कैपिटल $Γ$ गामा फलन को दर्शाता है।

गामा फलन तीन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का अद्वितीय हल है:^{[citation needed]}
- $f(x)={f(x+1) \over x}$
- $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$
- $f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$ (यूलर का प्रतिबिंब सूत्र)
फलनिक समीकरण $f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ जहाँ $a, b, c, d$ पूर्णांक हैं जो $ad-bc=1$ ,को संतुष्ट करते हैं, अर्थात ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ = 1, $f$ को क्रम $k$ का एक मॉड्यूलर रूप परिभाषित करता है।

एक विशेषता जो ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरणों^{[clarification needed]} में समान रूप से साझा की गई है, वह यह है कि, प्रत्येक स्थिति में, दो या दो से अधिक ज्ञात फलन (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चरों का योग, कभी-कभी तत्समक फलन) अज्ञात फलनों के तर्क के आंतरिक भाग में होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।^{[citation needed]}

जब सभी समाधान पूछने की बात आती है, तो हो सकता है कि गणितीय विश्लेषण की शर्तों को लागू किया जाए; उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित कॉची समीकरण के मामले में, जो समाधान निरंतर कार्य हैं वे 'उचित' हैं, जबकि अन्य समाधान जिनके व्यावहारिक अनुप्रयोग होने की संभावना नहीं है, का निर्माण किया जा सकता है (वास्तविक संख्याओं के लिए हैमल आधार का उपयोग करके) परिमेय संख्याओं पर सदिश स्थान के रूप में)। बोह्र-मोलेरुप प्रमेय एक और प्रसिद्ध उदाहरण है।

अंतर्वलन

अंतर्वलन (गणित) को फलनिक समीकरण $f(f(x))=x$ द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के फलनिक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,^[3]

f(f(x))=1-(1-x)=x\,.

समीकरण के अन्य अंतर्वलन और समाधान सम्मिलित हैं

$f(x)=a-x\,,$
$f(x)={\frac {a}{x}}\,,$ तथा
$f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,$

जिसमें पूर्ववर्ती तीन को विशेष स्थितियों या सीमाओं के रूप में सम्मिलित किया गया है।

समाधान

प्रारंभिक फलनिक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।^{[citation needed]}

फलनिक समीकरणों के कुछ समाधानों ने प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण, विचित्रता और समता का उपयोग किया है।^{[citation needed]}

कुछ फलनिक समीकरणों को गणितीय प्रेरण तथा एन्सैटेज़ के प्रयोग से हल किया गया है।^{[citation needed]}

फलनिक समीकरणों के कुछ वर्गों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है।^[vague]^[4]

गतिक क्रमादेशन में बेलमैन के फलनिक समीकरण को हल करने के लिए विभिन्न प्रकार की क्रमिक सन्निकटन विधियों^[5]^[6] का उपयोग किया जाता है, जिसमें निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों पर आधारित विधियाँ भी सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

↑ Rassias, Themistocles M. (2000). कार्यात्मक समीकरण और असमानताएँ. 3300 AA Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. p. 335. ISBN 0-7923-6484-8.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
↑ Czerwik, Stephan (2002). Functional Equations and Inequalities in Several Variables. P O Box 128, Farrer Road, Singapore 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410. ISBN 981-02-4837-7.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
↑ Ritt, J. F. (1916). "बैबेज के कार्यात्मक समीकरण के कुछ वास्तविक समाधानों पर". The Annals of Mathematics. 17 (3): 113–122. doi:10.2307/2007270. JSTOR 2007270.
↑ Házy, Attila (2004-03-01). "कंप्यूटर के साथ रैखिक दो चर कार्यात्मक समीकरणों को हल करना". Aequationes Mathematicae (in English). 67 (1): 47–62. doi:10.1007/s00010-003-2703-9. ISSN 1420-8903. S2CID 118563768.
↑ Bellman, R. (1957). Dynamic Programming, Princeton University Press.
↑ Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles, Taylor & Francis.

संदर्भ

János Aczél, Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, 1966, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232.
János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, 1989.
C. Efthimiou, Introduction to Functional Equations, AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; online.
Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009.
Marek Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups, first edition, World Scientific Publishing, 2013.
Christopher G. Small (3 April 2007). Functional Equations and How to Solve Them. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

बाहरी संबंध

Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
IMO Compendium text (archived) on functional equations in problem solving.

[rassias-1] Rassias, Themistocles M. (2000). कार्यात्मक समीकरण और असमानताएँ. 3300 AA Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. p. 335. ISBN 0-7923-6484-8.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

[rassias4-2] Czerwik, Stephan (2002). Functional Equations and Inequalities in Several Variables. P O Box 128, Farrer Road, Singapore 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410. ISBN 981-02-4837-7.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

[3] Ritt, J. F. (1916). "बैबेज के कार्यात्मक समीकरण के कुछ वास्तविक समाधानों पर". The Annals of Mathematics. 17 (3): 113–122. doi:10.2307/2007270. JSTOR 2007270.

[4] Házy, Attila (2004-03-01). "कंप्यूटर के साथ रैखिक दो चर कार्यात्मक समीकरणों को हल करना". Aequationes Mathematicae (in English). 67 (1): 47–62. doi:10.1007/s00010-003-2703-9. ISSN 1420-8903. S2CID 118563768.

[5] Bellman, R. (1957). Dynamic Programming, Princeton University Press.

[6] Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles, Taylor & Francis.

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 {{Short description|Equation whose unknown is a function}}
-{{distinguish|कार्यात्मक मॉडल}}
+{{distinguish|फलनात्मक मॉडल}}
-गणित में, एक कार्यात्मक समीकरण
-<ref name="rassias">{{cite book | title=कार्यात्मक समीकरण और असमानताएँ| last=Rassias | first=Themistocles M. | year=2000 | publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] | location=3300 AA Dordrecht, The Netherlands | isbn=0-7923-6484-8 | page= 335 | url=https://books.google.com/books?id=tFTFBAAAQBAJ&q=%22Introduction+to+the+Theory+of+Functional+Equations+and+Inequalities%22 }}</ref><ref name="rassias4"> {{cite book |title=Functional Equations and Inequalities in Several Variables |last=Czerwik |first=Stephan |year=2002 |publisher=[[World Scientific Publishing Co.]] |location=P O Box 128, Farrer Road, Singapore 912805 |isbn=981-02-4837-7 |page= [https://archive.org/details/functionalequati00czer_083/page/n419 410] |url=https://archive.org/details/functionalequati00czer_083 |url-access=limited }}</ref>{{irrelevant citation|reason=What fact or sentence is being cited here? These citations don't make any sense.|date=March 2022}} व्यापक अर्थ में, एक [[समीकरण]] है जिसमें एक या कई कार्य [[अज्ञात (गणित)]] के रूप में प्रकट होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलन समीकरण हैं। हालांकि, एक अधिक प्रतिबंधित अर्थ का अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां एक कार्यात्मक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फ़ंक्शन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन हैं लघुगणक#लक्षण लघुगणक क्रियात्मक समीकरण द्वारा उत्पाद सूत्र द्वारा अभिलक्षणन <math>\log(xy)=\log(x) + \log(y).</math>
+गणित में, '''फलनिक समीकरण''' <ref name="rassias">{{cite book | title=कार्यात्मक समीकरण और असमानताएँ| last=Rassias | first=Themistocles M. | year=2000 | publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] | location=3300 AA Dordrecht, The Netherlands | isbn=0-7923-6484-8 | page= 335 | url=https://books.google.com/books?id=tFTFBAAAQBAJ&q=%22Introduction+to+the+Theory+of+Functional+Equations+and+Inequalities%22 }}</ref><ref name="rassias4"> {{cite book |title=Functional Equations and Inequalities in Several Variables |last=Czerwik |first=Stephan |year=2002 |publisher=[[World Scientific Publishing Co.]] |location=P O Box 128, Farrer Road, Singapore 912805 |isbn=981-02-4837-7 |page= [https://archive.org/details/functionalequati00czer_083/page/n419 410] |url=https://archive.org/details/functionalequati00czer_083 |url-access=limited }}</ref>{{irrelevant citation|reason=What fact or sentence is being cited here? These citations don't make any sense.|date=March 2022}} व्यापक अर्थ में, एक [[समीकरण]] है जिसमें एक या अनेक फलन [[अज्ञात (गणित)]] के रूप में होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलनिक समीकरण हैं। यद्यपि अधिक प्रतिबंधित अर्थ का उपयोग प्रायः किया जाता है, जहाँ फलनिक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फलन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन अनिवार्य रूप से लघुगणक फलनिक समीकरण <math>\log(xy)=\log(x) + \log(y).</math> द्वारा चित्रित किया जाता है।
-यदि अज्ञात फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का डोमेन [[प्राकृतिक संख्या]] माना जाता है, तो फ़ंक्शन को आम तौर पर [[अनुक्रम (गणित)]] के रूप में देखा जाता है, और, इस मामले में, एक कार्यात्मक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को [[पुनरावृत्ति संबंध]] कहा जाता है . इस प्रकार कार्यात्मक समीकरण शब्द का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक कार्यों और जटिल कार्यों के लिए किया जाता है। इसके अलावा, समाधान के लिए अक्सर एक सहज कार्य माना जाता है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना, अधिकांश कार्यात्मक समीकरणों में बहुत अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक ऐसा फलन है जो फलनात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है <math>f (x + 1) = x f (x)</math> और प्रारंभिक मूल्य <math>f (1) = 1.</math> ऐसे कई कार्य हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं, लेकिन गामा फ़ंक्शन अद्वितीय है जो पूरे जटिल विमान में [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] है, और [[लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्य]] करता है {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय)।
+यदि अज्ञात फलन का डोमेन [[प्राकृतिक संख्या]] माना जाता है, तो फलन को सामान्यतः [[अनुक्रम (गणित)]] के रूप में देखा जाता है तथा इस स्थिति में, फलनिक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को [[पुनरावृत्ति संबंध]] कहा जाता है। इस प्रकार फलनिक समीकरण पद का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक फलन और सम्मिश्र फलन के लिए किया जाता है । इसके अलावा समाधानों के लिए प्रायः सहजता की स्थिति स्वीकृत की जाती है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना अधिकांश फलनिक समीकरणों में अधिक अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक फलन है जो फलनिक समीकरण <math>f (x + 1) = x f (x)</math> और प्रारंभिक मान <math>f (1) = 1.</math> को संतुष्ट करता है। ऐसे कई फलन हैं जो इन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन गामा फलन अद्वितीय है जो संपूर्ण सम्मिश्र समतल में [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] है, और {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय) के लिए [[लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्य|लघुगणकीय रूप से उत्तल]] है।
 == उदाहरण ==
-*पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं पर कार्यों में कार्यात्मक समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें शब्दों के सूचकांक के बीच के अंतर को [[शिफ्ट ऑपरेटर]] के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं को परिभाषित करने वाला पुनरावर्तन संबंध, <math>F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2}</math>, कहाँ पे <math>F_0=0</math> तथा <math>F_1=1</math>
+*पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं के फलनों में फलनिक समीकरण समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है जिसमें पदों के सूचकांकों के मध्य अंतर को [[शिफ्ट ऑपरेटर]] के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[फाइबोनैचि संख्या]] <math>F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2}</math> को परिभाषित करने वाला पुनरावृत्ति संबंध जहाँ <math>F_0=0</math> तथा <math>F_1=1</math> है।
-*<math>f(x+P) = f(x)</math>, जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है
+*<math>f(x+P) = f(x)</math>, जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है।
-*<math>f(x) = f(-x)</math>, जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से <math>f(x) = -f(-x)</math> जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है
+*<math>f(x) = f(-x)</math>, जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से <math>f(x) = -f(-x)</math> जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है।
-*<math>f(f(x)) = g(x)</math>, जो फलन g के [[कार्यात्मक वर्गमूल]] की विशेषता प्रदर्शित करता है
+*<math>f(f(x)) = g(x)</math>, जो फलन g के [[कार्यात्मक वर्गमूल|फलनात्मक वर्गमूल]] की विशेषता प्रदर्शित करता है।
 *<math>f(x + y) = f(x) + f(y)\,\!</math> (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए [[हेमल आधार]] से सिद्ध किया जा सकता है।
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 *<math>f(xy) = f(x) + f(y)\,\!</math>, सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
 *<math>f(xy) = f(x) f(y)\,\!</math>, सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
-*<math>f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\!</math> (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)
+*<math>f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\!</math> (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)।
-*<math>f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\!</math> (जेन्सेन का फलनिक समीकरण)
+*<math>f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\!</math> (जेन्सेन का फलनिक समीकरण)।
-*<math>g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\!</math> (डी'अलेम्बर्ट का फलनिक समीकरण)
+*<math>g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\!</math> (डी'अलेम्बर्ट का फलनिक समीकरण)।
 *<math>f(h(x)) = h(x + 1)\,\!</math> ([[हाबिल समीकरण]])
 *<math>f(h(x)) = cf(x)\,\!</math> (श्रोडर का समीकरण)।
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 *<math>f(h(x)) = h'(x)f(x)\,\!</math> (जूलिया का समीकरण)।
 *<math>f(xy) = \sum g_l(x) h_l(y)\,\!</math> (लेवी-सिविटा),
-*<math>f(x+y) = f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!</math> (साइन योगात्मक सूत्र और [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिपरवलीय]] साइन योगात्मक सूत्र),
+*<math>f(x+y) = f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!</math> (साइन योगात्मक सूत्र और [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिपरवलीय]] साइन योगात्मक सूत्र)।
-*<math>g(x+y) = g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!</math> (कोसाइन योगात्मक सूत्र)
+*<math>g(x+y) = g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!</math> (कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
 *<math>g(x+y) = g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!</math> ([[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिपरवलीय]] कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
 *[[विनिमेय कानून|क्रमविनिमेय]] और साहचर्य नियम फलनिक समीकरण हैं। अपने परिचित रूप में साहचर्य नियम को [[इंफिक्स नोटेशन|मध्यप्रत्यय संकेतन]] में [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विचर प्रचालन]] लिखकर व्यक्त किया जाता है, <math display="block">(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)~,</math>किन्तु यदि हम {{math|''a'' ○ ''b''}} के स्थान पर f(a,-b) लिखते हैं, तो साहचर्य नियम एक पारंपरिक फलनिक समीकरण के समान दिखता है,<math display="block">f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c)).\,\!</math>
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 **<math>f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}</math>{{spaces|10}}(यूलर का प्रतिबिंब सूत्र)
 * फलनिक समीकरण <math display="block">f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>जहाँ {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} [[पूर्णांक]] हैं जो <math>ad - bc = 1</math>,को संतुष्ट करते हैं, अर्थात <math>
-\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}</math> = 1, {{mvar|f}}  को क्रम {{mvar|k}} का एक [[मॉड्यूलर रूप]] परिभाषित करता है।.
+\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}</math> = 1, {{mvar|f}}  को क्रम {{mvar|k}} का एक [[मॉड्यूलर रूप]] परिभाषित करता है।
 एक विशेषता जो ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरणों{{clarify|reason=Which examples does this refer to?|date=March 2022}} में समान रूप से साझा की गई है, वह यह है कि, प्रत्येक स्थिति में, दो या दो से अधिक ज्ञात फलन (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चरों का योग, कभी-कभी तत्समक फलन) अज्ञात फलनों के तर्क के आंतरिक भाग में होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।{{citation needed|date=March 2022}}
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 === अंतर्वलन ===
-[[इनवोल्यूशन (गणित)|अंतर्वलन (गणित)]] को कार्यात्मक समीकरण<math>f(f(x)) = x</math> द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के कार्यात्मक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,<ref>{{Cite journal | doi = 10.2307/2007270| jstor = 2007270| title = बैबेज के कार्यात्मक समीकरण के कुछ वास्तविक समाधानों पर| journal = The Annals of Mathematics| volume = 17| issue = 3| pages = 113–122| year = 1916| last1 = Ritt | first1 = J. F.}}</ref>
+[[इनवोल्यूशन (गणित)|अंतर्वलन (गणित)]] को फलनिक समीकरण<math>f(f(x)) = x</math> द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के फलनिक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,<ref>{{Cite journal | doi = 10.2307/2007270| jstor = 2007270| title = बैबेज के कार्यात्मक समीकरण के कुछ वास्तविक समाधानों पर| journal = The Annals of Mathematics| volume = 17| issue = 3| pages = 113–122| year = 1916| last1 = Ritt | first1 = J. F.}}</ref>
 : <math>f(f(x)) = 1-(1-x) = x \, .</math>
 समीकरण के अन्य अंतर्वलन और समाधान सम्मिलित हैं
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 == समाधान ==
-प्रारंभिक कार्यात्मक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।{{citation needed|date=March 2022}}
+प्रारंभिक फलनिक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।{{citation needed|date=March 2022}}
-कार्यात्मक समीकरणों के कुछ समाधानों ने '''प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण,''' विचित्रता और समता का उपयोग किया है।{{citation needed|date=March 2022}}
+फलनिक समीकरणों के कुछ समाधानों ने '''प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण,''' विचित्रता और समता का उपयोग किया है।{{citation needed|date=March 2022}}
-कुछ प्रकार्यात्मक समीकरणों को गणितीय प्रेरण तथा [[ansatz|एन्सैटेज़]] के प्रयोग से हल किया गया है।{{citation needed|date=March 2022}}
+कुछ फलनिक समीकरणों को गणितीय प्रेरण तथा [[ansatz|एन्सैटेज़]] के प्रयोग से हल किया गया है।{{citation needed|date=March 2022}}
-कार्यात्मक समीकरणों के कुछ वर्गों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है।{{vague|reason="Computer assisted" is far too vague. What kinds of techniques were these?|date=March 2022}}<ref>{{Cite journal|last=Házy|first=Attila| date=2004-03-01| title=कंप्यूटर के साथ रैखिक दो चर कार्यात्मक समीकरणों को हल करना|journal=Aequationes Mathematicae| language=en| volume=67|issue=1|pages=47–62|doi=10.1007/s00010-003-2703-9|s2cid=118563768|issn=1420-8903}}</ref>
+फलनिक समीकरणों के कुछ वर्गों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है।{{vague|reason="Computer assisted" is far too vague. What kinds of techniques were these?|date=March 2022}}<ref>{{Cite journal|last=Házy|first=Attila| date=2004-03-01| title=कंप्यूटर के साथ रैखिक दो चर कार्यात्मक समीकरणों को हल करना|journal=Aequationes Mathematicae| language=en| volume=67|issue=1|pages=47–62|doi=10.1007/s00010-003-2703-9|s2cid=118563768|issn=1420-8903}}</ref>
-[[गतिशील प्रोग्रामिंग|गतिक क्रमादेशन]] में बेलमैन के कार्यात्मक समीकरण को हल करने के लिए विभिन्न प्रकार की क्रमिक सन्निकटन विधियों<ref>Bellman, R. (1957). Dynamic Programming, [[Princeton University Press]].</ref><ref>Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles, [[Taylor & Francis]].</ref> का उपयोग किया जाता है, जिसमें [[निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति]]यों पर आधारित विधियाँ भी सम्मिलित हैं।
+[[गतिशील प्रोग्रामिंग|गतिक क्रमादेशन]] में बेलमैन के फलनिक समीकरण को हल करने के लिए विभिन्न प्रकार की क्रमिक सन्निकटन विधियों<ref>Bellman, R. (1957). Dynamic Programming, [[Princeton University Press]].</ref><ref>Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles, [[Taylor & Francis]].</ref> का उपयोग किया जाता है, जिसमें [[निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति]]यों पर आधारित विधियाँ भी सम्मिलित हैं।
 == यह भी देखें ==
-* [[कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)]]
+* [[कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)|फलनिक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)]]
 * [[बेलमैन समीकरण]]
 *[[गतिशील प्रोग्रामिंग|गतिक क्रमादेशन]]
 * [[निहित कार्य|अंतर्निहित फलन]]
-* [[कार्यात्मक अंतर समीकरण|कार्यात्मक अवकल समीकरण]]
+* [[कार्यात्मक अंतर समीकरण|फलनिक अवकल समीकरण]]
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