नॉनलाइनियर सिस्टम आइडेंटिफिकेशन: Difference between revisions

Revision as of 10:04, 26 June 2023

प्रणाली अभिनिर्धारण प्रणाली इनपुट और आउटपुट के माप से किसी प्रणाली के गणितीय मॉडल को पहचानने या मापने की एक विधि है। प्रणाली अभिनिर्धारण के एप्लीकेशन में कोई भी प्रणाली सम्मिलित है जहां इनपुट और आउटपुट को मापा जा सकता है और इसमें औद्योगिक प्रक्रियाएं, नियंत्रण प्रणाली, आर्थिक डेटा, जीव विज्ञान और जीवन विज्ञान, चिकित्सा, सामाजिक प्रणाली और कई अन्य सम्मिलित हैं।

एक गैर-रैखिक प्रणाली को किसी भी प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक नहीं है, अर्थात कोई भी प्रणाली जो अधिस्थापन सिद्धांत को पूरा नहीं करती है। यह ऋणात्मक परिभाषा अस्पष्ट हो जाती है कि बहुत से विभिन्न प्रकार के गैर-रैखिक प्रणाली हैं। ऐतिहासिक रूप से, गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए प्रणाली की पहचान^[1]^[2] प्रणाली के विशिष्ट वर्गों पर ध्यान केंद्रित करके विकसित किया गया है और सामान्य रूप से पांच मूल दृष्टिकोणों में वर्गीकृत किया जा सकता है, प्रत्येक को एक मॉडल वर्ग द्वारा परिभाषित किया गया है:

वोल्टेरा श्रृंखला मॉडल,
ब्लॉक-संरचित मॉडल,
तंत्रिका नेटवर्क मॉडल,
एनएआरएमएएक्स मॉडल, और
अवस्था-समष्‍टि मॉडल।

प्रणाली अभिनिर्धारण के लिए चार चरणों डेटा एकत्र करना, मॉडल अभिधारणा, पैरामीटर पहचान और मॉडल सत्यापन का अनुसरण किया जाना चाहिए। डेटा संग्रह को पहचान शब्दावली में पहला और आवश्यक भाग माना जाता है, जिसे बाद में तैयार किए गए मॉडल के लिए इनपुट के रूप में उपयोग किया जाता है। इसमें एक उपयुक्त डेटा समुच्चय का चयन, प्री-प्रोसेसिंग और प्रोसेसिंग सम्मिलित है। इसमें उड़ान टेप के प्रतिलेखन, डेटा भंडारण और डेटा प्रबंधन, अंशांकन, प्रोसेसिंग, विश्लेषण और प्रस्तुति के साथ ज्ञात एल्गोरिदम का कार्यान्वयन सम्मिलित है। इसके अतिरिक्त, किसी विशेष मॉडल में विश्वास प्राप्त करने या अस्वीकार करने के लिए मॉडल सत्यापन आवश्यक है। विशेष रूप से, पैरामीटर अनुमान और मॉडल सत्यापन प्रणाली अभिनिर्धारण के अभिन्न अंग हैं। सत्यापन वैचारिक मॉडल की पुष्टि करने और मॉडल के संगणनात्मक परिणामों और वास्तविक डेटा के बीच पर्याप्त समानता प्रदर्शित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है।^[3]

वोल्टेरा श्रृंखला के तरीके

प्रारंभिक कार्य में वोल्टेरा श्रृंखला पर आधारित विधियों से प्रभावित था, जिसे असतत समय की स्थितियों में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

{\begin{aligned}y(k)&=h_{0}+\sum \limits _{m_{1}=1}^{M}h_{1}(m_{1})u(k-m_{1})+\sum \limits _{m_{1}=1}^{M}\sum \limits _{m_{2}=1}^{M}h_{2}(m_{1},m_{2})u(k-m_{1})u(k-m_{2})\\&{}\quad {}+\sum \limits _{m_{1}=1}^{M}\sum \limits _{m_{2}=1}^{M}\sum \limits _{m_{3}=1}^{M}h_{3}(m_{1},m_{2},m_{3})u(k-m_{1})u(k-m_{2})u(k-m_{3})+\cdots \end{aligned}}

जहाँ u(k), y(k); k = 1, 2, 3, ... क्रमशः मापा इनपुट और आउटपुट हैं और $h_{\ell }(m_{1},\ldots ,m_{\ell })$ lवाँ क्रम वोल्टेरा कर्नेल, या lवाँ क्रम अरैखिक आवेग प्रतिक्रिया है। वोल्टेरा श्रृंखला रैखिक संवहन समाकल का एक विस्तार है। पहले के अधिकांश अभिनिर्धारण एल्गोरिदम ने माना था कि केवल पहले दो, रैखिक और द्विघात, वोल्टेरा कर्नेल सम्मिलित हैं और दो वोल्टेरा कर्नेल की पहचान करने के लिए गाऊसी श्वेत रव और सहसंबंध विधियों जैसे विशेष इनपुट का उपयोग किया गया था। इनमें से अधिकांश तरीकों में इनपुट गॉसियन और श्वेत होना चाहिए जो कई वास्तविक प्रक्रियाओं के लिए एक महत्वपूर्ण प्रतिबंध है। इन परिणामों को बाद में पहले तीन वोल्टेरा कर्नेल को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया गया, ताकि विभिन्न इनपुट और वीनर श्रृंखला सहित अन्य संबंधित विकासों की स्वीकृति मिल सके। 1940 से 1960 के दशक तक एमआईटी में वीनर, ली, बोस और उनके सहयोगियों द्वारा प्रसिद्ध ली और शेटज़ेन विधि सहित एक बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य निकाय विकसित किया गया था।^[4]^[5] हालाँकि इन विधियों का आज भी सक्रिय रूप से अध्ययन किया जाता है, फिर भी कई मूल प्रतिबंध हैं। इनमें वोल्टेरा श्रृंखला के शब्दों की संख्या को प्राथमिकता से जानने की आवश्यकता, विशेष इनपुट का उपयोग और बड़ी संख्या में अनुमानों की पहचान करना सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी प्रणाली के लिए जहां पहले क्रम वोल्टेरा कर्नेल का वर्णन 30 प्रतिदर्शों द्वारा किया जाता है, दूसरे क्रम कर्नेल के लिए 30x30 अंक की आवश्यकता होगी, तीसरे क्रम के लिए 30x30x30 और इसी तरह और इसलिए अच्छे अनुमान प्रदान करने के लिए आवश्यक डेटा की मात्रा अत्यधिक बड़ी हो जाती है।^[6] कुछ समरूपताओं का उपयोग करके इन संख्याओं को कम किया जा सकता है, लेकिन अभिनिर्धारण के लिए किसी भी एल्गोरिदम का उपयोग किए जाने के बाद भी आवश्यकताएं अभी भी अत्यधिक हैं।

ब्लॉक-संरचित प्रणाली

वोल्टेरा मॉडल की पहचान की समस्याओं के कारण गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए सिस्टम पहचान के आधार के रूप में अन्य मॉडल रूपों की जांच की गई। ब्लॉक संरचित गैर-रेखीय मॉडल के विभिन्न रूपों को प्रस्तुत या पुनः स्थापित किया गया है।^[6]^[7] हैमरस्टीन मॉडल में एक स्थिर एकल मान गैर-रैखिक तत्व होता है जिसके बाद एक रैखिक गतिशील तत्व होता है।^[8] वीनर मॉडल इस संयोजन के विपरीत है ताकि रैखिक तत्व स्थैतिक गैर-रैखिक विशेषता से पहले हो।^[9] वीनर-हैमरस्टीन मॉडल में दो गतिशील रैखिक तत्वों के बीच एक स्थिर गैर-रैखिक तत्व होता है, और कई अन्य मॉडल रूप उपलब्ध हैं। हैमरस्टीन-वीनर मॉडल में एक रैखिक गतिशील ब्लॉक होता है जो दो स्थिर गैर-रेखीय ब्लॉकों के बीच मध्यवर्ती होता है।^[10] उरीसोहन मॉडल ^[11]^[12] अन्य ब्लॉक मॉडल से अलग है, इसमें अनुक्रम रैखिक और गैर-रैखिक ब्लॉक सम्मिलित नहीं हैं, लेकिन एक संक्रियक के कर्नेल की अभिव्यक्ति में गतिशील और स्थिर गैर-रैखिक दोनों का वर्णन करता है।^[13] इन सभी मॉडलों को वोल्टेरा श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है लेकिन इस स्थितियों में वोल्टेरा कर्नेल प्रत्येक स्थितियों में एक विशेष रूप लेती है। अभिनिर्धारण में सहसंबंध आधारित और पैरामीटर आकलन विधियां सम्मिलित हैं। सहसंबंध के तरीके इन प्रणालियों के कुछ गुणों का लाभ उठाते हैं, जिसका अर्थ है कि यदि विशिष्ट इनपुट का उपयोग किया जाता है, प्रायः श्वेत गॉसियन रव, व्यक्तिगत तत्वों को एक समय में पहचाना जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप प्रबंधनीय डेटा आवश्यकताएं होती हैं और अलग-अलग ब्लॉक कभी-कभी अध्ययन के अंतर्गत प्रणाली में घटकों से संबंधित हो सकते हैं।

अधिक हाल के परिणाम पैरामीटर अनुमान और तंत्रिका नेटवर्क आधारित समाधान पर आधारित हैं। कई परिणाम प्रस्तुत किए गए हैं और इन प्रणालियों का गहनता से अध्ययन जारी है। एक समस्या यह है कि ये विधियाँ प्रत्येक स्थितियों में केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार के मॉडल पर प्रयुक्त होती हैं और सामान्य रूप से इस मॉडल प्ररूप को अभिनिर्धारण से पहले जाना जाता है।

तंत्रिका नेटवर्क

कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क मस्तिष्क में तंत्रिका के नेटवर्क के अनुकरण करने की प्रयास करते हैं जहां बड़ी संख्या में सरल प्रोसेसिंग तत्वों के माध्यम से गणना होती है। एक विशिष्ट तंत्रिका नेटवर्क में एक जटिल नेटवर्क बनाने के लिए परस्पर जुड़ी कई सरल प्रोसेसिंग इकाइयाँ होती हैं। ऐसी इकाइयों की परतों को व्यवस्थित किया जाता है ताकि इनपुट परत पर डेटा प्रकाशित किया जा सके और आउटपुट परत तक पहुंचने से पहले एक या कई मध्यवर्ती परतों से गुजर सके। पर्यवेक्षित शिक्षण में नेटवर्क को नोड्स के बीच संयोजन की सामर्थ्य को बदलने के लिए नेटवर्क के वास्तविक आउटपुट और वांछित आउटपुट, पूर्वकथन त्रुटि के बीच अंतर पर काम करके प्रशिक्षित किया जाता है। जब तक आउटपुट त्रुटि स्वीकार्य स्तर तक नहीं पहुंच जाती, तब तक पुनरावृत्ति द्वारा भार को तब तक संशोधित किया जाता है। इस प्रक्रिया को यंत्र अधिगम कहा जाता है क्योंकि नेटवर्क भार को समायोजित करता है ताकि आउटपुट पैटर्न को पुन: प्रस्तुत किया जा सके। तंत्रिका नेटवर्क का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है और इस विषय पर सामान्य रूप से समर्पित कई उत्कृष्ट पाठ्यपुस्तकें हैं,^[1]^[14] और अधिक केंद्रित पाठ्यपुस्तकें जो नियंत्रण और प्रणाली एप्लीकेशन पर बल देती हैं।^[1]^[15] समस्या के दो मुख्य प्रकार स्थैतिक समस्याएँ और गतिशील समस्याएँ हैं जिनका तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। स्थिर समस्याओं में पैटर्न पहचान, वर्गीकरण (समुच्चय सिद्धांत) और सन्निकटन सम्मिलित हैं। गतिशील समस्याओं में विलंबित वेरिएबल्स सम्मिलित होते हैं और प्रणाली अभिनिर्धारण और संबंधित एप्लीकेशन के लिए अधिक उपयुक्त होते हैं। नेटवर्क के संरचना के आधार पर प्रशिक्षण समस्या या तो पैरामीटर मे गैर-रेखीय हो सकती है जिसमें अनुकूलन या पैरामीटर मे रैखिक सम्मिलित होते हैं जिन्हें उत्कृष्ट दृष्टिकोण का उपयोग करके संशोधित किया जा सकता है। प्रशिक्षण एल्गोरिदम को पर्यवेक्षित, अनुपयोगी, या सुदृढीकरण सीखने में वर्गीकृत किया जा सकता है। तंत्रिका नेटवर्क में उत्कृष्ट सन्निकटन गुण होते हैं, लेकिन ये सामान्य रूप से मानक फलन सन्निकटन परिणामों पर आधारित होते हैं, उदाहरण के लिए वीयरस्ट्रैस प्रमेय जो बहुपदों, परिमेय फलन और अन्य प्रसिद्ध मॉडलों पर समान रूप से प्रयुक्त होता है। तंत्रिका नेटवर्क को प्रणाली की पहचान की समस्याओं के लिए बड़े पैमाने पर प्रयुक्त किया गया है जिसमें गैर-रैखिक और गतिशील संबंध सम्मिलित हैं। हालाँकि, उत्कृष्ट तंत्रिका नेटवर्क विशुद्ध रूप से स्थूल स्थैतिक सन्निकटन मशीन हैं। नेटवर्क के अंदर कोई गतिशीलता नहीं है। इसलिए जब गतिशील मॉडल को निर्धारित किया जाता है तो सभी गतिशील विलंबित इनपुट और आउटपुट को नेटवर्क की इनपुट लेयर पर आवंटित करके उत्पन्न होते हैं। प्रशिक्षण प्रक्रिया तब सबसे अच्छा स्थैतिक सन्निकटन उत्पन्न करती है जो इनपुट नोड्स को आउटपुट के लिए सौंपे गए विलंबित वेरिएबल्स से संबंधित है। आवर्ती नेटवर्क सहित अधिक जटिल नेटवर्क संरचना हैं,^[1]जो इनपुट नोड्स में विलंबित वेरिएबल्स के बढ़ते क्रम को प्रारंभ करके गतिशीलता उत्पन्न करता है। लेकिन इन स्थितियों में अंतराल को अधिक निर्दिष्ट करना बहुत आसान है और इससे अधिक उपयुक्त और विकृत सामान्यीकरण गुण हो सकते हैं। तंत्रिका नेटवर्क के कई लाभ हैं; वे वैचारिक रूप से सरल, प्रशिक्षित करने और उपयोग करने में आसान हैं, उत्कृष्ट सन्निकटन गुण हैं, स्थानीय और पैरेलल प्रोसेसिंग की अवधारणा महत्वपूर्ण है और यह अखंडता और दोष सहिष्णु व्यवहार प्रदान करती है। उत्कृष्ट तंत्रिका नेटवर्क मॉडल की सबसे बड़ी आलोचना यह है कि निर्मित मॉडल पूरी तरह से अपारदर्शी हैं और सामान्य रूप से इन्हें लिखा या विश्लेषण नहीं किया जा सकता है। इसलिए यह जानना अधिक कठिन है कि क्या कारण है, मॉडल का विश्लेषण करना या मॉडल से गतिशील विशेषताओं की गणना करना। इनमें से कुछ बिंदु सभी एप्लीकेशन के लिए प्रासंगिक नहीं होंगे लेकिन वे गतिशील मॉडलिंग के लिए हैं।

एनएआरएमएएक्स (एक्सोजेनस इनपुट के साथ गैर-रेखीय स्वप्रतिगामी गतिमान माध्य मॉडल) विधियाँ

एक्सोजेनस (बहिर्जात) इनपुट के साथ गैर-रेखीय स्वप्रतिगामी गतिमान माध्य मॉडल गैर-रेखीय प्रणाली की एक विस्तृत श्रेणी का प्रतिनिधित्व कर सकता है,^[2] और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

{\begin{aligned}y(k)&=F[y(k-1),y(k-2),\ldots ,y(k-n_{y}),u(k-d),u(k-d-1),\ldots ,u(k-d-n_{u}),\\&{}\quad e(k-1),e(k-2),\ldots ,e(k-n_{e})]+e(k)\end{aligned}}

जहां y(k), u(k) और e(k) क्रमशः सिस्टम आउटपुट, इनपुट और शोर अनुक्रम हैं; $n_{y}$ , $n_{u}$ , और $n_{e}$ प्रणाली आउटपुट, इनपुट और रव के लिए अधिकतम अंतराल हैं; F[•] कुछ अरेखीय फलन है, d एक समय विलंब है जो सामान्य रूप से d = 1 पर निर्धारित किया जाता है। मॉडल अनिवार्य रूप से पूर्व इनपुट, आउटपुट और रव शर्तों का विस्तार है। क्योंकि रव को स्पष्ट रूप से प्रतिरूपित किया गया है, प्रणाली मॉडल के निष्पक्ष अनुमानों को अप्रतिबंधित अत्यधिक सहसंबद्ध और अरैखिक रव की उपस्थिति में प्राप्त किया जा सकता है। वोल्टेरा, ब्लॉक संरचित मॉडल और कई तंत्रिका नेटवर्क संरचना सभी एनएआरएमएएक्स मॉडल को उपसमुच्चय के रूप में माना जा सकता है। चूंकि एनएआरएमएएक्स प्रस्तुत किया गया था, यह प्रमाणित करके कि इस मॉडल द्वारा गैर-रैखिक प्रणालियों के किस वर्ग का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, इस विवरण के आधार पर कई परिणाम और एल्गोरिदम प्राप्त किए गए हैं। अधिकांश प्रारंभिक कार्य एनएआरएमएएक्स मॉडल के बहुपद विस्तार पर आधारित थे। ये आज भी सबसे लोकप्रिय तरीके हैं लेकिन तरंगिकाओं और अन्य विस्तार के आधार पर अन्य अधिक जटिल रूपों को महत्वपूर्ण रूप से गैर-रैखिक और अत्यधिक जटिल गैर-रैखिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रस्तुत किया गया है। गैर-रैखिक प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण अनुपात एक एनएआरएमएएक्स मॉडल द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें अव्यवस्था सिद्धांत, द्विभाजन सिद्धांत और अवसंनादी जैसे अद्वितीय व्यवहार वाली प्रणाली सम्मिलित हैं। जबकि एनएआरएमएएक्स एक मॉडल के नाम के रूप में प्रारंभ हुआ था, अब यह गैर-रैखिक प्रणाली अभिनिर्धारण के दर्शन में विकसित हो गया है।^[2] एनएआरएमएएक्स दृष्टिकोण में कई चरण सम्मिलित होते हैं:

संरचना का पता लगाना: मॉडल में कौन से पद हैं
पैरामीटर अनुमान: मॉडल गुणांक निर्धारित करें
मॉडल सत्यापन: मॉडल निष्पक्ष और सही है
पूर्वानुमान: भविष्य में किसी समय आउटपुट क्या होगा
विश्लेषण: प्रणाली के गतिशील गुण क्या हैं

संरचना का पता लगाना एनएआरएमएएक्स का सबसे मूलभूत भाग है। उदाहरण के लिए, एक एनएआरएमएएक्स मॉडल जिसमें एक विलंबित इनपुट और एक विलंबित आउटपुट पद, तीन विलंबित शोर शब्द शामिल हैं, एक घन बहुपद के रूप में विस्तारित में बयासी संभावित पदान्वेषी शब्द सम्मिलित होंगे। पदान्वेषी की यह संख्या इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि परिभाषा के अनुसार विस्तार में घन विस्तार के अंदर सभी संभावित संयोजन सम्मिलित हैं। एक ऐसे मॉडल का अनुमान लगाने के लिए आगे बढ़ना जिसमें ये सभी शब्द सम्मिलित हैं और फिर प्रुनिंग संख्यात्मक और संगणनात्मक समस्याओं का कारण बनेगी और इससे सदैव संरक्षण चाहिए। हालांकि, मॉडल में केवल कुछ शब्द प्रायः महत्वपूर्ण होते हैं। संरचना का पता लगाना, जिसका उद्देश्य एक समय में एक शब्द का चयन करना है, इसलिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। लांबिक न्यूनतम वर्ग का उपयोग करके इन उद्देश्यों को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है ^[2] एक समय में एक एनएआरएमएएक्स मॉडल शर्तों का चयन करने के लिए एल्गोरिदम और इसके अवकल द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इन विचारों को पैटर्न पहचान और अभिलक्षण चयन के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है और प्रमुख घटक विश्लेषण के लिए एक विकल्प प्रदान करता है, लेकिन इस लाभ के साथ कि सुविधाओं को आधार फलन के रूप में प्रकट किया जाता है जो आसानी से मूल समस्या से संबंधित होते हैं।

एनएआरएमएएक्स विधियों को सर्वोत्तम अनुमानित मॉडल खोजने से अधिक कुछ करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्रणाली अभिनिर्धारण को दो उद्देश्यों में विभाजित किया जा सकता है। पहले में सन्निकटन सम्मिलित है जहाँ मुख्य उद्देश्य एक मॉडल विकसित करना है जो डेटा समुच्चय का अनुमान लगाता है ताकि अच्छी भविष्यवाणियाँ की जा सकें। ऐसे कई एप्लीकेशन हैं जहां यह दृष्टिकोण उपयुक्त है, उदाहरण के लिए मौसम की समय श्रृंखला की भविष्यवाणी, शेयर की कीमतें, भाषण, लक्ष्य अनुपथन, पैटर्न वर्गीकरण आदि सम्मिलित है। ऐसे एप्लीकेशन में मॉडल का रूप उतना महत्वपूर्ण नहीं होता है। उद्देश्य एक सन्निकटन योजना खोजना है जो न्यूनतम पूर्वकथन त्रुटियों का उत्पादन करती है। प्रणाली की पहचान का दूसरा उद्देश्य, जिसमें एक उपसमुच्चय के रूप में पहला उद्देश्य सम्मिलित है, जिसमें केवल सर्वोत्तम औसत वर्ग त्रुटियों को प्राप्त करने के लिए मॉडल खोजने से कहीं अधिक सम्मिलित है। यह दूसरा उद्देश्य है कि एनएआरएमएएक्स दर्शन क्यों विकसित किया गया था और यह सबसे सरल मॉडल संरचना खोजने के विचार से जुड़ा हुआ है। यहां उद्देश्य उन मॉडलों को विकसित करना है जो अंतर्निहित प्रणाली की गतिशील विशेषताओं को पुन: उत्पन्न करते हैं, सबसे सरल संभव मॉडल खोजने के लिए, और यदि संभव हो तो इसे अध्ययन के अंतर्गत प्रणाली के घटकों और व्यवहारों से संबंधित करना है। इसलिए पहचान के इस दूसरे दृष्टिकोण का मुख्य उद्देश्य उस नियम को पहचानना और प्रकट करना है जो प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है। ये उद्देश्य मॉडल अनुकरण और नियंत्रण प्रणाली के डिजाइन के लिए प्रासंगिक हैं, लेकिन तेजी से चिकित्सा, तंत्रिका विज्ञान और जीवन विज्ञान में एप्लीकेशन के लिए है। यहाँ उद्देश्य उन मॉडलों की पहचान करना है, जो प्रायः अरेखीय होते हैं, जिनका उपयोग मूल तंत्र को समझने के लिए किया जा सकता है कि ये प्रणाली कैसे संचालित और व्यवहार करते हैं ताकि हम इनका प्रकलित और उपयोग कर सकें। एनएआरएमएएक्स विधियों को आवृत्ति और अनुपात-अस्थायी प्रक्षेत्र में भी विकसित किया गया है।

प्रसंभाव्यता गैर-रेखीय मॉडल

एक सामान्य स्थिति में, ऐसा हो सकता है कि कुछ बहिर्जात अनिश्चित बाधा अरेखीय गतिशीलता से गुजरती है और आउटपुट को प्रभावित करती है। एक मॉडल वर्ग जो इस स्थिति को प्रग्रहण करने के लिए पर्याप्त सामान्य है वह प्रसंभाव्यता गैर-रेखीय अवस्था-समष्‍टि मॉडल का वर्ग है। एक अवस्था-समष्‍टि मॉडल आमतौर पर पहले सिद्धांत कानूनों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,^[16] जैसे यांत्रिक, विद्युत, या ऊष्मप्रवैगिकी भौतिक नियम, और पहचाने जाने वाले मापदंडों का सामान्य रूप से कुछ भौतिक अर्थ या महत्व होता है।

एक असतत-समय अवस्था-समष्‍टि मॉडल को अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

{\begin{aligned}x_{t+1}&=f(x_{t},u_{t},w_{t};\theta ),\\y_{t}&=g(x_{t},u_{t},v_{t};\theta ),\quad t=1,2,\dots \end{aligned}}

जिसमें t समय को संदर्भित करने वाला एक धनात्मक पूर्णांक है। फलन f और g सामान्य अरेखीय फलन हैं। पहले समीकरण को अवस्था समीकरण के रूप में जाना जाता है और दूसरे को आउटपुट समीकरण के रूप में जाना जाता है। सभी सिग्नल प्रसंभाव्यता प्रक्रियाओं का उपयोग करके तैयार किए गए हैं। प्रक्रिया $x_{t}$ अवस्था प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है, अतः $w_{t}$ और $v_{t}$ सामान्य रूप से मुक्त (प्रायिकता सिद्धांत) और पारस्परिक रूप से निष्पक्ष माना जाता है जैसे कि $w_{t}\sim p(w;\theta ),\;v_{t}\sim p(v;\theta )$ होता है। पैरामीटर $\theta$ सामान्य रूप से एक परिमित-आयामी (वास्तविक) पैरामीटर होता है जिसका (प्रायोगिक डेटा का उपयोग करके) अनुमान लगाया जाता है। निरीक्षण करें कि अवस्था प्रक्रिया को एक भौतिक संकेत नहीं होना चाहिए, और यह सामान्य रूप से अप्रमाणित (मापा नहीं गया) है। डेटा समुच्चय को कुछ परिमित धनात्मक पूर्णांक मान $N$ के लिए इनपुट-आउटपुट युग्म $(y_{t},u_{t})$ के लिए $t=1,\dots ,N$ के समुच्चय के रूप में दिया गया है।

फलस्वरूप, बिना देखे हुए यादृच्छिक वेरिएबल्स के गैर-रैखिक परिवर्तन के कारण, आउटपुट की संभावना फलन विश्लेषणात्मक रूप से कठिन है; यह एक बहुआयामी प्रभावहीनता समाकल के संदर्भ में दिया गया है। परिणामस्वरूप, सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले पैरामीटर आकलन के तरीके जैसे कि अधिकतम संभावना अनुमान या पूर्वकथन त्रुटि विधि इष्टतम पद आगे भविष्यवक्ता के आधार पर^[16] विश्लेषणात्मक रूप से कठिन हैं। हाल ही में, अनुक्रमिक मोंटे कार्लो विधियों पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग आउटपुट के सशर्त माध्य का अनुमान लगाने के लिए या, अपेक्षा-अधिकतमीकरण एल्गोरिथ्म के साथ मिलकर, अधिकतम संभावना अनुमानक का अनुमान लगाने के लिए किया गया है।^[17] ये विधियाँ, यद्यपि असम्बद्ध रूप से इष्टतम हैं, संगणनात्मक रूप से अपेक्षा कर रही हैं और उनका उपयोग विशिष्ट स्थितियों तक सीमित है जहाँ नियोजित कण फ़िल्टर की मूलभूत सीमाओं से संरक्षित रहा जा सकता है। एक वैकल्पिक समाधान एक उप-इष्टतम पूर्व सूचक का उपयोग करके पूर्वकथन त्रुटि विधि को प्रयुक्त करना है।^[18]^[19]^[20] परिणामी अनुमानक को दृढ़ता से सुसंगत और विषम रूप से सामान्य दिखाया जा सकता है और अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम का उपयोग करके मूल्यांकन किया जा सकता है।^[21]^[20]

यह भी देखें

संदर्भ

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[3] Nesaei, Sepehr; Raissi, Kamran (2011-12-01). Das, Vinu V.; Ariwa, Ezendu; Rahayu, Syarifah Bahiyah (eds.). उड़ान वाहन प्रणाली पहचान में डाटा प्रोसेसिंग विचार और मॉडल सत्यापन. Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences, Social Informatics and Telecommunications Engineering. Springer Berlin Heidelberg. pp. 269–274. doi:10.1007/978-3-642-32573-1_46. ISBN 978-3-642-32572-4.

[4] Schetzen M. "The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems". Wiley, 1980

[5] Rugh W.J. "Nonlinear System Theory – The Volterra Wiener Approach". Johns Hopkins University Press,1981

[SAB2-6] 6.0 ^6.1 Billings S.A. "Identification of Nonlinear Systems: A Survey". IEE Proceedings Part D 127(6), 272–285,1980

[7] Haber R., Keviczky L "Nonlinear System Identification-Input Output Modeling Approach". Vols I & II, Kluwer,1980

[8] Hammerstein (Acta Math 1930) was not concerned with system analysis but with boundary-value problems and eigenvalues of nonlinear operators

[9] This term is in common use but it is quite inaccurate as Wiener never used this simple model. His model was that given immediately after p.50 in Billings 1980 survey referred to in the references below.

[10] A.Wills, T.Schön, L.Ljung, B.Ninness, Identification of Hammerstein–Wiener models, Automatica 29 (2013), 70-81

[11] M.Poluektov and A.Polar. Modelling non-linear control systems using the discrete urysohn operator. 2018. Submitted arXiv:1802.01700.

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[13] M.Poluektov and A.Polar. Urysohn Adaptive Filter. 2019.

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[17] Schön, Thomas B.; Lindsten, Fredrik; Dahlin, Johan; Wågberg, Johan; Naesseth, Christian A.; Svensson, Andreas; Dai, Liang (2015). "Sequential Monte Carlo Methods for System Identification**This work was supported by the projects Learning of complex dynamical systems (Contract number: 637-2014-466) and Probabilistic modeling of dynamical systems (Contract number: 621-2013-5524), both funded by the Swedish Research Council". IFAC-PapersOnLine. 48 (28): 775–786. arXiv:1503.06058. doi:10.1016/j.ifacol.2015.12.224. S2CID 11396163.

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[19] Abdalmoaty, Mohamed Rasheed; Hjalmarsson, Håkan (2017). "नकली छद्म अधिकतम संभावना गैर रेखीय मॉडल की पहचान". IFAC-PapersOnLine. 50 (1): 14058–14063. doi:10.1016/j.ifacol.2017.08.1841.

[:1-20] 20.0 ^20.1 Abdalmoaty, Mohamed (2019). "अनुमानित कार्यों का उपयोग करते हुए स्टोचैस्टिक नॉनलाइनियर डायनेमिक मॉडल की पहचान". Diva.

[21] Abdalmoaty, Mohamed Rasheed-Hilmy; Hjalmarsson, Håkan (2019). "स्टोचैस्टिक नॉनलाइनियर मॉडल के लिए रैखिक भविष्यवाणी त्रुटि विधियाँ". Automatica (in English). 105: 49–63. doi:10.1016/j.automatica.2019.03.006. S2CID 132768104.

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-सिस्टम आइडेंटिफिकेशन सिस्टम इनपुट और आउटपुट के माप [[सामाजिक व्यवस्था]] के गणितीय मॉडल को पहचानने या मापने की एक विधि है। [[सिस्टम पहचान]] के अनुप्रयोगों में कोई भी सिस्टम शामिल है जहां इनपुट और आउटपुट को मापा जा सकता है और इसमें [[औद्योगिक प्रक्रिया]]एं, नियंत्रण [[प्रणाली]], [[आर्थिक डेटा]], जीव विज्ञान और [[जीवन विज्ञान]], चिकित्सा, सामाजिक प्रणाली और बहुत कुछ शामिल हैं।
+प्रणाली अभिनिर्धारण प्रणाली इनपुट और आउटपुट के माप से किसी प्रणाली के गणितीय मॉडल को पहचानने या मापने की एक विधि है। प्रणाली अभिनिर्धारण के एप्लीकेशन में कोई भी प्रणाली सम्मिलित है जहां इनपुट और आउटपुट को मापा जा सकता है और इसमें औद्योगिक प्रक्रियाएं, नियंत्रण प्रणाली, आर्थिक डेटा, जीव विज्ञान और जीवन विज्ञान, चिकित्सा, सामाजिक प्रणाली और कई अन्य सम्मिलित हैं।
-एक गैर-रैखिक प्रणाली को किसी भी प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक नहीं है, अर्थात कोई भी प्रणाली जो सुपरपोज़िशन सिद्धांत को पूरा नहीं करती है। यह नकारात्मक परिभाषा अस्पष्ट हो जाती है कि बहुत से विभिन्न प्रकार के गैर-रैखिक सिस्टम हैं। ऐतिहासिक रूप से, गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए प्रणाली की पहचान<ref name="Nelles">Nelles O. "Nonlinear System Identification: From Classical Approaches to Neural Networks". Springer Verlag,2001</ref><ref name="SAB1">Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013</ref> प्रणाली के विशिष्ट वर्गों पर ध्यान केंद्रित करके विकसित किया गया है और मोटे तौर पर पांच बुनियादी दृष्टिकोणों में वर्गीकृत किया जा सकता है, प्रत्येक को एक मॉडल वर्ग द्वारा परिभाषित किया गया है:
+एक गैर-रैखिक प्रणाली को किसी भी प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक नहीं है, अर्थात कोई भी प्रणाली जो अधिस्थापन सिद्धांत को पूरा नहीं करती है। यह ऋणात्मक परिभाषा अस्पष्ट हो जाती है कि बहुत से विभिन्न प्रकार के गैर-रैखिक प्रणाली हैं। ऐतिहासिक रूप से, गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए प्रणाली की पहचान<ref name="Nelles">Nelles O. "Nonlinear System Identification: From Classical Approaches to Neural Networks". Springer Verlag,2001</ref><ref name="SAB1">Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013</ref> प्रणाली के विशिष्ट वर्गों पर ध्यान केंद्रित करके विकसित किया गया है और सामान्य रूप से पांच मूल दृष्टिकोणों में वर्गीकृत किया जा सकता है, प्रत्येक को एक मॉडल वर्ग द्वारा परिभाषित किया गया है:
 # [[वोल्टेरा श्रृंखला]] मॉडल,
 # ब्लॉक-संरचित मॉडल,
 # [[तंत्रिका नेटवर्क]] मॉडल,
-# नारमैक्स मॉडल, और
+# एनएआरएमएएक्स मॉडल, और
-# [[राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व]]|राज्य-अंतरिक्ष मॉडल।
+# अवस्था-समष्‍टि मॉडल।
-सिस्टम पहचान के लिए चार चरणों का पालन किया जाना चाहिए: डेटा एकत्र करना, मॉडल अभिधारणा, पैरामीटर पहचान और मॉडल सत्यापन। डेटा संग्रह को पहचान शब्दावली में पहला और आवश्यक हिस्सा माना जाता है, जिसे बाद में तैयार किए गए मॉडल के लिए इनपुट के रूप में उपयोग किया जाता है। इसमें एक उपयुक्त डेटा सेट, प्री-प्रोसेसिंग और प्रोसेसिंग का चयन होता है। इसमें फ्लाइट टेप के ट्रांसक्रिप्शन, डेटा स्टोरेज और डेटा प्रबंधन, अंशांकन, प्रसंस्करण, विश्लेषण और प्रस्तुति के साथ ज्ञात एल्गोरिदम का कार्यान्वयन शामिल है। इसके अलावा, किसी विशेष मॉडल में विश्वास हासिल करने या अस्वीकार करने के लिए मॉडल सत्यापन आवश्यक है। विशेष रूप से, पैरामीटर अनुमान और मॉडल सत्यापन सिस्टम पहचान के अभिन्न अंग हैं। सत्यापन वैचारिक मॉडल की पुष्टि करने और मॉडल के कम्प्यूटेशनल परिणामों और वास्तविक डेटा के बीच पर्याप्त पत्राचार प्रदर्शित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है।<ref>{{Cite book|title = उड़ान वाहन प्रणाली पहचान में डाटा प्रोसेसिंग विचार और मॉडल सत्यापन|publisher = Springer Berlin Heidelberg|date = 2011-12-01|isbn = 978-3-642-32572-4|pages = 269–274|series = Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences, Social Informatics and Telecommunications Engineering|doi = 10.1007/978-3-642-32573-1_46|first1 = Sepehr|last1 = Nesaei|first2 = Kamran|last2 = Raissi|editor-first = Vinu V.|editor-last = Das|editor-first2 = Ezendu|editor-last2 = Ariwa|editor-first3 = Syarifah Bahiyah|editor-last3 = Rahayu}}</ref>
+प्रणाली अभिनिर्धारण के लिए चार चरणों डेटा एकत्र करना, मॉडल अभिधारणा, पैरामीटर पहचान और मॉडल सत्यापन का अनुसरण किया जाना चाहिए। डेटा संग्रह को पहचान शब्दावली में पहला और आवश्यक भाग माना जाता है, जिसे बाद में तैयार किए गए मॉडल के लिए इनपुट के रूप में उपयोग किया जाता है। इसमें एक उपयुक्त डेटा समुच्चय का चयन, प्री-प्रोसेसिंग और प्रोसेसिंग सम्मिलित है। इसमें उड़ान टेप के प्रतिलेखन, डेटा भंडारण और डेटा प्रबंधन, अंशांकन, प्रोसेसिंग, विश्लेषण और प्रस्तुति के साथ ज्ञात एल्गोरिदम का कार्यान्वयन सम्मिलित है। इसके अतिरिक्त, किसी विशेष मॉडल में विश्वास प्राप्त करने या अस्वीकार करने के लिए मॉडल सत्यापन आवश्यक है। विशेष रूप से, पैरामीटर अनुमान और मॉडल सत्यापन प्रणाली अभिनिर्धारण के अभिन्न अंग हैं। सत्यापन वैचारिक मॉडल की पुष्टि करने और मॉडल के संगणनात्मक परिणामों और वास्तविक डेटा के बीच पर्याप्त समानता प्रदर्शित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है।<ref>{{Cite book|title = उड़ान वाहन प्रणाली पहचान में डाटा प्रोसेसिंग विचार और मॉडल सत्यापन|publisher = Springer Berlin Heidelberg|date = 2011-12-01|isbn = 978-3-642-32572-4|pages = 269–274|series = Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences, Social Informatics and Telecommunications Engineering|doi = 10.1007/978-3-642-32573-1_46|first1 = Sepehr|last1 = Nesaei|first2 = Kamran|last2 = Raissi|editor-first = Vinu V.|editor-last = Das|editor-first2 = Ezendu|editor-last2 = Ariwa|editor-first3 = Syarifah Bahiyah|editor-last3 = Rahayu}}</ref>
 == वोल्टेरा श्रृंखला के तरीके ==
-प्रारंभिक कार्य में वोल्टेरा श्रृंखला पर आधारित विधियों का प्रभुत्व था, जिसे असतत समय के मामले में व्यक्त किया जा सकता है
+प्रारंभिक कार्य में वोल्टेरा श्रृंखला पर आधारित विधियों से प्रभावित था, जिसे असतत समय की स्थितियों में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 : <math>\begin{align}
@@ Line 19: / Line 19: @@
 & {}\quad{}+\sum\limits_{m_1=1}^M \sum\limits_{m_2=1}^M \sum\limits_{m_3=1}^M h_3(m_1,m_2,m_3)u(k-m_1)u(k-m_2)u(k-m_3) + \cdots
 \end{align}</math>
-जहां यू (के), वाई (के); k = 1, 2, 3, ... क्रमशः मापा इनपुट और आउटपुट हैं और <math>h_\ell(m_1,\ldots ,m_\ell)</math> lवें क्रम Volterra कर्नेल, या lth क्रम अरैखिक आवेग प्रतिक्रिया है। Volterra सीरीज़ लीनियर [[कनवल्शन]] इंटीग्रल का एक विस्तार है। पहले के अधिकांश पहचान एल्गोरिदम ने माना कि केवल पहले दो, रैखिक और द्विघात, वोल्टेरा गुठली मौजूद हैं और दो वोल्टेरा गुठली की पहचान करने के लिए गॉसियन सफेद शोर और सहसंबंध विधियों जैसे विशेष इनपुट का उपयोग किया। इनमें से अधिकतर विधियों में इनपुट गॉसियन और सफेद होना चाहिए जो कई वास्तविक प्रक्रियाओं के लिए एक गंभीर प्रतिबंध है। इन परिणामों को बाद में पहले तीन वोल्टेरा गुठली को शामिल करने के लिए बढ़ाया गया, ताकि विभिन्न इनपुट और [[वीनर श्रृंखला]] सहित अन्य संबंधित विकास की अनुमति दी जा सके। 1940 से 1960 के दशक में एमआईटी में वीनर, ली, बोस और उनके सहयोगियों द्वारा प्रसिद्ध ली और शेटजेन पद्धति सहित एक बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य विकसित किया गया था।<ref>Schetzen M. "The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems". Wiley, 1980</ref><ref>Rugh W.J. "Nonlinear System Theory – The Volterra Wiener Approach". Johns Hopkins University Press,1981</ref> हालांकि इन तरीकों का आज भी सक्रिय रूप से अध्ययन किया जा रहा है, लेकिन कई बुनियादी प्रतिबंध हैं। इनमें Volterra शृंखला की शर्तों की संख्या जानने की आवश्यकता शामिल है, विशेष इनपुट का उपयोग, और बड़ी संख्या में अनुमान जिन्हें पहचाना जाना है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी प्रणाली के लिए जहां पहले क्रम के वोल्टेरा कर्नेल का वर्णन 30 नमूनों द्वारा किया जाता है, दूसरे क्रम के कर्नेल के लिए 30x30 अंक की आवश्यकता होगी, तीसरे क्रम के लिए 30x30x30 और इसी तरह और इसलिए अच्छा अनुमान प्रदान करने के लिए आवश्यक डेटा की मात्रा बन जाती है अत्यधिक बड़ा।<ref name="SAB2">Billings S.A. "[http://eprints.whiterose.ac.uk/75753/1/report%20112.pdf Identification of Nonlinear Systems: A Survey]". IEE Proceedings Part D 127(6), 272–285,1980</ref> कुछ समरूपताओं का दोहन करके इन संख्याओं को कम किया जा सकता है, लेकिन पहचान के लिए उपयोग किए जाने वाले एल्गोरिदम के बावजूद आवश्यकताएं अभी भी अत्यधिक हैं।
+जहाँ u(k), y(k); k = 1, 2, 3, ... क्रमशः मापा इनपुट और आउटपुट हैं और <math>h_\ell(m_1,\ldots ,m_\ell)</math> lवाँ क्रम वोल्टेरा कर्नेल, या lवाँ क्रम अरैखिक आवेग प्रतिक्रिया है। वोल्टेरा श्रृंखला रैखिक संवहन समाकल का एक विस्तार है। पहले के अधिकांश अभिनिर्धारण एल्गोरिदम ने माना था कि केवल पहले दो, रैखिक और द्विघात, वोल्टेरा कर्नेल सम्मिलित हैं और दो वोल्टेरा कर्नेल की पहचान करने के लिए गाऊसी श्वेत रव और सहसंबंध विधियों जैसे विशेष इनपुट का उपयोग किया गया था। इनमें से अधिकांश तरीकों में इनपुट गॉसियन और श्वेत होना चाहिए जो कई वास्तविक प्रक्रियाओं के लिए एक महत्वपूर्ण प्रतिबंध है। इन परिणामों को बाद में पहले तीन वोल्टेरा कर्नेल को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया गया, ताकि विभिन्न इनपुट और वीनर श्रृंखला सहित अन्य संबंधित विकासों की स्वीकृति मिल सके। 1940 से 1960 के दशक तक एमआईटी में वीनर, ली, बोस और उनके सहयोगियों द्वारा प्रसिद्ध ली और शेटज़ेन विधि सहित एक बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य निकाय विकसित किया गया था।<ref>Schetzen M. "The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems". Wiley, 1980</ref><ref>Rugh W.J. "Nonlinear System Theory – The Volterra Wiener Approach". Johns Hopkins University Press,1981</ref> हालाँकि इन विधियों का आज भी सक्रिय रूप से अध्ययन किया जाता है, फिर भी कई मूल प्रतिबंध हैं। इनमें वोल्टेरा श्रृंखला के शब्दों की संख्या को प्राथमिकता से जानने की आवश्यकता, विशेष इनपुट का उपयोग और बड़ी संख्या में अनुमानों की पहचान करना सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी प्रणाली के लिए जहां पहले क्रम वोल्टेरा कर्नेल का वर्णन 30 प्रतिदर्शों द्वारा किया जाता है, दूसरे क्रम कर्नेल के लिए 30x30 अंक की आवश्यकता होगी, तीसरे क्रम के लिए 30x30x30 और इसी तरह और इसलिए अच्छे अनुमान प्रदान करने के लिए आवश्यक डेटा की मात्रा अत्यधिक बड़ी हो जाती है।<ref name="SAB2">Billings S.A. "[http://eprints.whiterose.ac.uk/75753/1/report%20112.pdf Identification of Nonlinear Systems: A Survey]". IEE Proceedings Part D 127(6), 272–285,1980</ref> कुछ समरूपताओं का उपयोग करके इन संख्याओं को कम किया जा सकता है, लेकिन अभिनिर्धारण के लिए किसी भी एल्गोरिदम का उपयोग किए जाने के बाद भी आवश्यकताएं अभी भी अत्यधिक हैं।
-== ब्लॉक-संरचित सिस्टम ==
+== ब्लॉक-संरचित प्रणाली ==
-Volterra मॉडल की पहचान करने की समस्याओं के कारण अन्य मॉडल रूपों की गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए सिस्टम पहचान के आधार के रूप में जांच की गई। ब्लॉक स्ट्रक्चर्ड नॉनलाइनियर मॉडल के विभिन्न रूपों को पेश या फिर से पेश किया गया है।<ref name="SAB2" /><ref>Haber R., Keviczky L "Nonlinear System Identification-Input Output Modeling Approach". Vols I & II, Kluwer,1980</ref> हैमरस्टीन मॉडल में एक स्थिर एकल मूल्यवान गैर-रैखिक तत्व होता है जिसके बाद एक रैखिक गतिशील तत्व होता है।<ref>Hammerstein (Acta Math 1930) was not concerned with system analysis but with boundary-value problems and eigenvalues of nonlinear operators</ref> वीनर मॉडल इस संयोजन के विपरीत है ताकि रैखिक तत्व स्थैतिक गैर-रैखिक विशेषता से पहले हो।<ref>This term is in common use but it is quite inaccurate as Wiener never used this simple  model. His model was that given immediately after p.50 in Billings 1980 survey referred to in the references below.</ref> वीनर-हैमरस्टीन मॉडल में दो गतिशील रैखिक तत्वों के बीच एक स्थिर गैर-रैखिक तत्व होता है, और कई अन्य मॉडल रूप उपलब्ध हैं। हैमरस्टीन-वीनर मॉडल में एक रैखिक गतिशील ब्लॉक होता है जो दो स्थिर नॉनलाइनियर ब्लॉकों के बीच सैंडविच होता है।<ref>
+वोल्टेरा मॉडल की पहचान की समस्याओं के कारण गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए सिस्टम पहचान के आधार के रूप में अन्य मॉडल रूपों की जांच की गई। ब्लॉक संरचित गैर-रेखीय मॉडल के विभिन्न रूपों को प्रस्तुत या पुनः स्थापित किया गया है।<ref name="SAB2" /><ref>Haber R., Keviczky L "Nonlinear System Identification-Input Output Modeling Approach". Vols I & II, Kluwer,1980</ref> हैमरस्टीन मॉडल में एक स्थिर एकल मान गैर-रैखिक तत्व होता है जिसके बाद एक रैखिक गतिशील तत्व होता है।<ref>Hammerstein (Acta Math 1930) was not concerned with system analysis but with boundary-value problems and eigenvalues of nonlinear operators</ref> वीनर मॉडल इस संयोजन के विपरीत है ताकि रैखिक तत्व स्थैतिक गैर-रैखिक विशेषता से पहले हो।<ref>This term is in common use but it is quite inaccurate as Wiener never used this simple  model. His model was that given immediately after p.50 in Billings 1980 survey referred to in the references below.</ref> वीनर-हैमरस्टीन मॉडल में दो गतिशील रैखिक तत्वों के बीच एक स्थिर गैर-रैखिक तत्व होता है, और कई अन्य मॉडल रूप उपलब्ध हैं। हैमरस्टीन-वीनर मॉडल में एक रैखिक गतिशील ब्लॉक होता है जो दो स्थिर गैर-रेखीय ब्लॉकों के बीच मध्यवर्ती होता है।<ref>
-A.Wills, T.Schön, L.Ljung, B.Ninness, Identification of Hammerstein–Wiener models, Automatica 29 (2013), 70-81</ref> उरीसोहन मॉडल <ref>M.Poluektov and A.Polar. [https://arxiv.org/abs/1802.01700 Modelling non-linear control systems using the discrete urysohn operator]. 2018. Submitted arXiv:1802.01700.</ref><ref>A.Polar. http://ezcodesample.com/urysohn/urysohn.html</ref> अन्य ब्लॉक मॉडल से अलग है, इसमें अनुक्रम रैखिक और गैर-रैखिक ब्लॉक शामिल नहीं हैं, लेकिन एक ऑपरेटर के कर्नेल की अभिव्यक्ति में गतिशील और स्थिर गैर-रैखिक दोनों का वर्णन करता है।<ref>M.Poluektov and A.Polar. [http://ezcodesample.com/UAF/UAF.html Urysohn Adaptive Filter]. 2019.</ref> इन सभी मॉडलों को वोल्टेरा श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है लेकिन इस मामले में वोल्टेरा गुठली प्रत्येक मामले में एक विशेष रूप लेती है। पहचान में सहसंबंध आधारित और पैरामीटर आकलन विधियां शामिल हैं। सहसंबंध के तरीके इन प्रणालियों के कुछ गुणों का फायदा उठाते हैं, जिसका अर्थ है कि यदि विशिष्ट इनपुट का उपयोग किया जाता है, अक्सर सफेद गॉसियन शोर, व्यक्तिगत तत्वों को एक समय में पहचाना जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप प्रबंधनीय डेटा आवश्यकताएं होती हैं और अलग-अलग ब्लॉक कभी-कभी अध्ययन के तहत सिस्टम में घटकों से संबंधित हो सकते हैं।
+A.Wills, T.Schön, L.Ljung, B.Ninness, Identification of Hammerstein–Wiener models, Automatica 29 (2013), 70-81</ref> उरीसोहन मॉडल <ref>M.Poluektov and A.Polar. [https://arxiv.org/abs/1802.01700 Modelling non-linear control systems using the discrete urysohn operator]. 2018. Submitted arXiv:1802.01700.</ref><ref>A.Polar. http://ezcodesample.com/urysohn/urysohn.html</ref> अन्य ब्लॉक मॉडल से अलग है, इसमें अनुक्रम रैखिक और गैर-रैखिक ब्लॉक सम्मिलित नहीं हैं, लेकिन एक संक्रियक के कर्नेल की अभिव्यक्ति में गतिशील और स्थिर गैर-रैखिक दोनों का वर्णन करता है।<ref>M.Poluektov and A.Polar. [http://ezcodesample.com/UAF/UAF.html Urysohn Adaptive Filter]. 2019.</ref> इन सभी मॉडलों को वोल्टेरा श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है लेकिन इस स्थितियों में वोल्टेरा कर्नेल प्रत्येक स्थितियों में एक विशेष रूप लेती है। अभिनिर्धारण में सहसंबंध आधारित और पैरामीटर आकलन विधियां सम्मिलित हैं। सहसंबंध के तरीके इन प्रणालियों के कुछ गुणों का लाभ उठाते हैं, जिसका अर्थ है कि यदि विशिष्ट इनपुट का उपयोग किया जाता है, प्रायः श्वेत गॉसियन रव, व्यक्तिगत तत्वों को एक समय में पहचाना जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप प्रबंधनीय डेटा आवश्यकताएं होती हैं और अलग-अलग ब्लॉक कभी-कभी अध्ययन के अंतर्गत प्रणाली में घटकों से संबंधित हो सकते हैं।
-अधिक हाल के परिणाम पैरामीटर अनुमान और तंत्रिका नेटवर्क आधारित समाधान पर आधारित हैं। कई परिणाम पेश किए गए हैं और इन प्रणालियों का गहराई से अध्ययन जारी है। एक समस्या यह है कि ये विधियाँ प्रत्येक मामले में केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार के मॉडल पर लागू होती हैं और आमतौर पर इस मॉडल फॉर्म को पहचान से पहले जाना जाता है।
+अधिक हाल के परिणाम पैरामीटर अनुमान और तंत्रिका नेटवर्क आधारित समाधान पर आधारित हैं। कई परिणाम प्रस्तुत किए गए हैं और इन प्रणालियों का गहनता से अध्ययन जारी है। एक समस्या यह है कि ये विधियाँ प्रत्येक स्थितियों में केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार के मॉडल पर प्रयुक्त होती हैं और सामान्य रूप से इस मॉडल प्ररूप को अभिनिर्धारण से पहले जाना जाता है।
 == तंत्रिका नेटवर्क ==
-कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क मस्तिष्क में न्यूरॉन्स के नेटवर्क की नकल करने की कोशिश करते हैं जहां बड़ी संख्या में सरल प्रसंस्करण तत्वों के माध्यम से गणना होती है। एक विशिष्ट तंत्रिका नेटवर्क में एक जटिल नेटवर्क बनाने के लिए परस्पर जुड़ी कई सरल प्रसंस्करण इकाइयाँ होती हैं। ऐसी इकाइयों की परतों को व्यवस्थित किया जाता है ताकि इनपुट परत पर डेटा दर्ज किया जा सके और आउटपुट परत तक पहुंचने से पहले एक या कई मध्यवर्ती परतों से गुजर सके। पर्यवेक्षित सीखने में नेटवर्क को वास्तविक आउटपुट और नेटवर्क के वांछित आउटपुट के बीच अंतर पर काम करके प्रशिक्षित किया जाता है, नोड्स के बीच कनेक्शन की ताकत को बदलने के लिए भविष्यवाणी की त्रुटि। जब तक आउटपुट त्रुटि स्वीकार्य स्तर तक नहीं पहुंच जाती, तब तक वजन को संशोधित करके संशोधित किया जाता है। इस प्रक्रिया को मशीन लर्निंग कहा जाता है क्योंकि नेटवर्क वज़न को समायोजित करता है ताकि आउटपुट पैटर्न को पुन: पेश किया जा सके।
+कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क मस्तिष्क में तंत्रिका के नेटवर्क के अनुकरण करने की प्रयास करते हैं जहां बड़ी संख्या में सरल प्रोसेसिंग तत्वों के माध्यम से गणना होती है। एक विशिष्ट तंत्रिका नेटवर्क में एक जटिल नेटवर्क बनाने के लिए परस्पर जुड़ी कई सरल प्रोसेसिंग इकाइयाँ होती हैं। ऐसी इकाइयों की परतों को व्यवस्थित किया जाता है ताकि इनपुट परत पर डेटा प्रकाशित किया जा सके और आउटपुट परत तक पहुंचने से पहले एक या कई मध्यवर्ती परतों से गुजर सके। पर्यवेक्षित शिक्षण में नेटवर्क को नोड्स के बीच संयोजन की सामर्थ्य को बदलने के लिए नेटवर्क के वास्तविक आउटपुट और वांछित आउटपुट, पूर्वकथन त्रुटि के बीच अंतर पर काम करके प्रशिक्षित किया जाता है। जब तक आउटपुट त्रुटि स्वीकार्य स्तर तक नहीं पहुंच जाती, तब तक पुनरावृत्ति द्वारा भार को तब तक संशोधित किया जाता है। इस प्रक्रिया को यंत्र अधिगम कहा जाता है क्योंकि नेटवर्क भार को समायोजित करता है ताकि आउटपुट पैटर्न को पुन: प्रस्तुत किया जा सके। तंत्रिका नेटवर्क का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है और इस विषय पर सामान्य रूप से समर्पित कई उत्कृष्ट पाठ्यपुस्तकें हैं,<ref name="Nelles" /><ref>Haykin S. "Neural Networks: A Comprehensive Foundation". McMillan,1999</ref> और अधिक केंद्रित पाठ्यपुस्तकें जो नियंत्रण और प्रणाली एप्लीकेशन पर बल देती हैं।<ref name="Nelles" /><ref>Warwick K, Irwin G.W., Hunt K.J. "Neural Networks for Control and Systems". Peter Peregrinus, 1992</ref> समस्या के दो मुख्य प्रकार स्थैतिक समस्याएँ और गतिशील समस्याएँ हैं जिनका तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। स्थिर समस्याओं में पैटर्न पहचान, [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्गीकरण (समुच्चय सिद्धांत)]] और [[सन्निकटन]] सम्मिलित हैं। गतिशील समस्याओं में विलंबित वेरिएबल्स सम्मिलित होते हैं और प्रणाली अभिनिर्धारण और संबंधित एप्लीकेशन के लिए अधिक उपयुक्त होते हैं। नेटवर्क के संरचना के आधार पर प्रशिक्षण समस्या या तो पैरामीटर मे गैर-रेखीय हो सकती है जिसमें अनुकूलन या पैरामीटर मे रैखिक सम्मिलित होते हैं जिन्हें उत्कृष्ट दृष्टिकोण का उपयोग करके संशोधित किया जा सकता है। प्रशिक्षण एल्गोरिदम को पर्यवेक्षित, अनुपयोगी, या सुदृढीकरण सीखने में वर्गीकृत किया जा सकता है। तंत्रिका नेटवर्क में उत्कृष्ट सन्निकटन गुण होते हैं, लेकिन ये सामान्य रूप से मानक फलन सन्निकटन परिणामों पर आधारित होते हैं, उदाहरण के लिए [[विअरस्ट्रास|वीयरस्ट्रैस]] प्रमेय जो बहुपदों, परिमेय फलन और अन्य प्रसिद्ध मॉडलों पर समान रूप से प्रयुक्त होता है। तंत्रिका नेटवर्क को प्रणाली की पहचान की समस्याओं के लिए बड़े पैमाने पर प्रयुक्त किया गया है जिसमें गैर-रैखिक और गतिशील संबंध सम्मिलित हैं। हालाँकि, उत्कृष्ट तंत्रिका नेटवर्क विशुद्ध रूप से स्थूल स्थैतिक सन्निकटन मशीन हैं। नेटवर्क के अंदर कोई गतिशीलता नहीं है। इसलिए जब गतिशील मॉडल को निर्धारित किया जाता है तो सभी गतिशील विलंबित इनपुट और आउटपुट को नेटवर्क की इनपुट लेयर पर आवंटित करके उत्पन्न होते हैं। प्रशिक्षण प्रक्रिया तब सबसे अच्छा स्थैतिक सन्निकटन उत्पन्न करती है जो इनपुट नोड्स को आउटपुट के लिए सौंपे गए विलंबित वेरिएबल्स से संबंधित है। आवर्ती नेटवर्क सहित अधिक जटिल नेटवर्क संरचना हैं,<ref name="Nelles" />जो इनपुट नोड्स में विलंबित वेरिएबल्स के बढ़ते क्रम को प्रारंभ करके गतिशीलता उत्पन्न करता है। लेकिन इन स्थितियों में अंतराल को अधिक निर्दिष्ट करना बहुत आसान है और इससे अधिक उपयुक्त और विकृत सामान्यीकरण गुण हो सकते हैं। तंत्रिका नेटवर्क के कई लाभ हैं; वे वैचारिक रूप से सरल, प्रशिक्षित करने और उपयोग करने में आसान हैं, उत्कृष्ट सन्निकटन गुण हैं, स्थानीय और पैरेलल प्रोसेसिंग की अवधारणा महत्वपूर्ण है और यह अखंडता और दोष सहिष्णु व्यवहार प्रदान करती है। उत्कृष्ट तंत्रिका नेटवर्क मॉडल की सबसे बड़ी आलोचना यह है कि निर्मित मॉडल पूरी तरह से अपारदर्शी हैं और सामान्य रूप से इन्हें लिखा या विश्लेषण नहीं किया जा सकता है। इसलिए यह जानना अधिक कठिन है कि क्या कारण है, मॉडल का विश्लेषण करना या मॉडल से गतिशील विशेषताओं की गणना करना। इनमें से कुछ बिंदु सभी एप्लीकेशन के लिए प्रासंगिक नहीं होंगे लेकिन वे गतिशील मॉडलिंग के लिए हैं।
-तंत्रिका नेटवर्क का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है और इस विषय पर सामान्य रूप से समर्पित कई उत्कृष्ट पाठ्यपुस्तकें हैं,<ref name="Nelles" /><ref>Haykin S. "Neural Networks: A Comprehensive Foundation". McMillan,1999</ref> और अधिक केंद्रित पाठ्यपुस्तकें जो नियंत्रण और सिस्टम अनुप्रयोगों पर जोर देती हैं।<ref name="Nelles" /><ref>Warwick K, Irwin G.W., Hunt K.J. "Neural Networks for Control and Systems". Peter Peregrinus, 1992</ref>
-समस्या के दो मुख्य प्रकार हैं जिनका तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है: स्थैतिक समस्याएँ और गतिशील समस्याएँ। स्थिर समस्याओं में पैटर्न पहचान, [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]]करण और [[सन्निकटन]] शामिल हैं। गतिशील समस्याओं में पिछड़े चर शामिल होते हैं और सिस्टम पहचान और संबंधित अनुप्रयोगों के लिए अधिक उपयुक्त होते हैं। नेटवर्क के आर्किटेक्चर के आधार पर प्रशिक्षण समस्या या तो नॉनलाइनियर-इन-द-पैरामीटर हो सकती है जिसमें अनुकूलन या रैखिक-इन-द-पैरामीटर शामिल होते हैं जिन्हें शास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। प्रशिक्षण एल्गोरिदम को पर्यवेक्षित, अनुपयोगी, या सुदृढीकरण सीखने में वर्गीकृत किया जा सकता है। तंत्रिका नेटवर्क में उत्कृष्ट सन्निकटन गुण होते हैं, लेकिन ये आमतौर पर मानक फ़ंक्शन सन्निकटन परिणामों पर आधारित होते हैं, उदाहरण के लिए [[विअरस्ट्रास]] प्रमेय जो बहुपदों, तर्कसंगत कार्यों और अन्य प्रसिद्ध मॉडलों पर समान रूप से लागू होता है।
-तंत्रिका नेटवर्क को सिस्टम की पहचान की समस्याओं के लिए बड़े पैमाने पर लागू किया गया है जिसमें गैर-रैखिक और गतिशील संबंध शामिल हैं। हालाँकि, शास्त्रीय तंत्रिका नेटवर्क विशुद्ध रूप से सकल स्थैतिक सन्निकटन मशीन हैं। नेटवर्क के भीतर कोई गतिशीलता नहीं है। इसलिए जब डायनेमिक मॉडल को फिट किया जाता है तो सभी डायनेमिक्स लैग्ड इनपुट और आउटपुट को नेटवर्क की इनपुट लेयर पर आवंटित करके उत्पन्न होते हैं। प्रशिक्षण प्रक्रिया तब सबसे अच्छा स्थैतिक सन्निकटन उत्पन्न करती है जो इनपुट नोड्स को आउटपुट के लिए सौंपे गए लैग्ड चर से संबंधित है। आवर्ती नेटवर्क सहित अधिक जटिल नेटवर्क आर्किटेक्चर हैं,<ref name="Nelles" />जो इनपुट नोड्स में लैग्ड वेरिएबल्स के बढ़ते क्रम को शुरू करके डायनामिक्स उत्पन्न करता है। लेकिन इन मामलों में लैग को अधिक निर्दिष्ट करना बहुत आसान है और इससे ओवर फिटिंग और खराब सामान्यीकरण गुण हो सकते हैं।
-तंत्रिका नेटवर्क के कई फायदे हैं; वे वैचारिक रूप से सरल, प्रशिक्षित करने और उपयोग करने में आसान हैं, उत्कृष्ट सन्निकटन गुण हैं, स्थानीय और समानांतर प्रसंस्करण की अवधारणा महत्वपूर्ण है और यह अखंडता और दोष सहिष्णु व्यवहार प्रदान करती है। शास्त्रीय तंत्रिका नेटवर्क मॉडल की सबसे बड़ी आलोचना यह है कि निर्मित मॉडल पूरी तरह से अपारदर्शी हैं और आमतौर पर इन्हें लिखा या विश्लेषण नहीं किया जा सकता है। इसलिए यह जानना बहुत मुश्किल है कि क्या कारण है, मॉडल का विश्लेषण करना या मॉडल से गतिशील विशेषताओं की गणना करना। इनमें से कुछ बिंदु सभी अनुप्रयोगों के लिए प्रासंगिक नहीं होंगे लेकिन वे गतिशील मॉडलिंग के लिए हैं।
-== NARMAX विधियाँ ==
+== एनएआरएमएएक्स (एक्सोजेनस इनपुट के साथ गैर-रेखीय स्वप्रतिगामी गतिमान माध्य मॉडल) विधियाँ ==
-एक्सोजेनस इनपुट्स (NARMAX मॉडल) के साथ नॉनलाइनियर ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल नॉनलाइनियर सिस्टम की एक विस्तृत श्रेणी का प्रतिनिधित्व कर सकता है,<ref name="SAB1" />और के रूप में परिभाषित किया गया है
+एक्सोजेनस (बहिर्जात) इनपुट के साथ गैर-रेखीय स्वप्रतिगामी गतिमान माध्य मॉडल गैर-रेखीय प्रणाली की एक विस्तृत श्रेणी का प्रतिनिधित्व कर सकता है,<ref name="SAB1" /> और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 : <math>\begin{align}
@@ Line 44: / Line 40: @@
 & {}\quad e(k-1),e(k-2),\ldots ,e(k-n_e)]+e(k)
 \end{align}</math>
-जहां y(k), u(k) और e(k) क्रमशः सिस्टम आउटपुट, इनपुट और शोर अनुक्रम हैं; <math>n_y</math>, <math>n_u</math>, और <math>n_e</math> सिस्टम आउटपुट, इनपुट और [[शोर]] के लिए अधिकतम अंतराल हैं; F[•] कुछ अरेखीय कार्य है, d एक समय विलंब है जो आमतौर पर d = 1 पर सेट होता है। मॉडल अनिवार्य रूप से पिछले इनपुट, आउटपुट और शोर शर्तों का विस्तार है। क्योंकि शोर को स्पष्ट रूप से प्रतिरूपित किया गया है, सिस्टम मॉडल के निष्पक्ष अनुमानों को अप्रतिबंधित अत्यधिक सहसंबद्ध और अरैखिक शोर की उपस्थिति में प्राप्त किया जा सकता है।
+जहां y(k), u(k) और e(k) क्रमशः सिस्टम आउटपुट, इनपुट और शोर अनुक्रम हैं; <math>n_y</math>, <math>n_u</math>, और <math>n_e</math> प्रणाली आउटपुट, इनपुट और [[शोर|रव]] के लिए अधिकतम अंतराल हैं; F[•] कुछ अरेखीय फलन है, d एक समय विलंब है जो सामान्य रूप से d = 1 पर निर्धारित किया जाता है। मॉडल अनिवार्य रूप से पूर्व इनपुट, आउटपुट और रव शर्तों का विस्तार है। क्योंकि रव को स्पष्ट रूप से प्रतिरूपित किया गया है, प्रणाली मॉडल के निष्पक्ष अनुमानों को अप्रतिबंधित अत्यधिक सहसंबद्ध और अरैखिक रव की उपस्थिति में प्राप्त किया जा सकता है। वोल्टेरा, ब्लॉक संरचित मॉडल और कई तंत्रिका नेटवर्क संरचना सभी एनएआरएमएएक्स मॉडल को उपसमुच्चय के रूप में माना जा सकता है। चूंकि एनएआरएमएएक्स प्रस्तुत किया गया था, यह प्रमाणित करके कि इस मॉडल द्वारा गैर-रैखिक प्रणालियों के किस वर्ग का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, इस विवरण के आधार पर कई परिणाम और एल्गोरिदम प्राप्त किए गए हैं। अधिकांश प्रारंभिक कार्य एनएआरएमएएक्स मॉडल के बहुपद विस्तार पर आधारित थे। ये आज भी सबसे लोकप्रिय तरीके हैं लेकिन [[ तरंगिकाएँ |तरंगिकाओं]] और अन्य विस्तार के आधार पर अन्य अधिक जटिल रूपों को महत्वपूर्ण रूप से गैर-रैखिक और अत्यधिक जटिल गैर-रैखिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रस्तुत किया गया है। गैर-रैखिक प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण अनुपात एक एनएआरएमएएक्स मॉडल द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें अव्यवस्था सिद्धांत, [[द्विभाजन सिद्धांत]] और [[subharmonics|अवसंनादी]] जैसे अद्वितीय व्यवहार वाली प्रणाली सम्मिलित हैं। जबकि एनएआरएमएएक्स एक मॉडल के नाम के रूप में प्रारंभ हुआ था, अब यह गैर-रैखिक प्रणाली अभिनिर्धारण के दर्शन में विकसित हो गया है।<ref name="SAB1" /> एनएआरएमएएक्स दृष्टिकोण में कई चरण सम्मिलित होते हैं:
-Volterra, ब्लॉक स्ट्रक्चर्ड मॉडल और कई न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर सभी को NARMAX मॉडल के सबसेट के रूप में माना जा सकता है। चूंकि NARMAX पेश किया गया था, यह साबित करके कि इस मॉडल द्वारा गैर-रैखिक प्रणालियों के किस वर्ग का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, इस विवरण के आधार पर कई परिणाम और एल्गोरिदम प्राप्त किए गए हैं। अधिकांश प्रारंभिक कार्य NARMAX मॉडल के बहुपद विस्तार पर आधारित थे। ये आज भी सबसे लोकप्रिय तरीके हैं लेकिन [[ तरंगिकाएँ ]] और अन्य विस्तार के आधार पर अन्य अधिक जटिल रूपों को गंभीर रूप से गैर-रैखिक और अत्यधिक जटिल गैर-रैखिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए पेश किया गया है। गैर-रैखिक प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण अनुपात एक NARMAX मॉडल द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें कैओस सिद्धांत, [[द्विभाजन सिद्धांत]] और [[subharmonics]] जैसे विदेशी व्यवहार वाले सिस्टम शामिल हैं।
-जबकि NARMAX एक मॉडल के नाम के रूप में शुरू हुआ था, अब यह गैर-रैखिक प्रणाली पहचान के दर्शन में विकसित हो गया है।<ref name="SAB1" />NARMAX दृष्टिकोण में कई चरण होते हैं:
-* संरचना का पता लगाना: मॉडल में कौन से शब्द हैं
+* संरचना का पता लगाना: मॉडल में कौन से पद हैं
 * पैरामीटर अनुमान: मॉडल गुणांक निर्धारित करें
 * मॉडल सत्यापन: मॉडल निष्पक्ष और सही है
-* भविष्यवाणी: भविष्य के कुछ समय में आउटपुट क्या है
+* पूर्वानुमान: भविष्य में किसी समय आउटपुट क्या होगा
-* विश्लेषण: सिस्टम के गतिशील गुण क्या हैं
+* विश्लेषण: प्रणाली के गतिशील गुण क्या हैं
-संरचना का पता लगाना NARMAX का सबसे मूलभूत हिस्सा है। उदाहरण के लिए, एक NARMAX मॉडल जिसमें एक लैग्ड इनपुट और एक लैग्ड आउटपुट टर्म, तीन लैग्ड नॉइज़ टर्म्स होते हैं, जो एक क्यूबिक पॉलीनोमियल के रूप में विस्तारित होते हैं, इसमें बयासी संभावित कैंडिडेट टर्म्स शामिल होंगे। उम्मीदवारों की यह संख्या इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि परिभाषा के अनुसार विस्तार में क्यूबिक विस्तार के भीतर सभी संभावित संयोजन शामिल हैं। एक ऐसे मॉडल का अनुमान लगाने के लिए आगे बढ़ना जिसमें ये सभी शब्द शामिल हैं और फिर छंटाई संख्यात्मक और कम्प्यूटेशनल समस्याओं का कारण बनेगी और इससे हमेशा बचना चाहिए। हालांकि, मॉडल में केवल कुछ शब्द अक्सर महत्वपूर्ण होते हैं। संरचना का पता लगाना, जिसका उद्देश्य एक समय में एक शब्द का चयन करना है, इसलिए गंभीर रूप से महत्वपूर्ण है। ऑर्थोगोनल लीस्ट स्क्वायर का उपयोग करके इन उद्देश्यों को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है <ref name="SAB1" />  एक समय में एक NARMAX मॉडल शर्तों का चयन करने के लिए एल्गोरिदम और इसके डेरिवेटिव। इन विचारों को पैटर्न पहचान और [[फीचर चयन]] के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है और प्रमुख घटक विश्लेषण के लिए एक विकल्प प्रदान करता है, लेकिन इस लाभ के साथ कि सुविधाओं को आधार कार्यों के रूप में प्रकट किया जाता है जो आसानी से मूल समस्या से संबंधित होते हैं। <br />
+संरचना का पता लगाना एनएआरएमएएक्स का सबसे मूलभूत भाग है। उदाहरण के लिए, एक एनएआरएमएएक्स मॉडल जिसमें एक विलंबित इनपुट और एक विलंबित आउटपुट पद, तीन विलंबित शोर शब्द शामिल हैं, एक घन बहुपद के रूप में विस्तारित में बयासी संभावित पदान्वेषी शब्द सम्मिलित होंगे। पदान्वेषी की यह संख्या इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि परिभाषा के अनुसार विस्तार में घन विस्तार के अंदर सभी संभावित संयोजन सम्मिलित हैं। एक ऐसे मॉडल का अनुमान लगाने के लिए आगे बढ़ना जिसमें ये सभी शब्द सम्मिलित हैं और फिर प्रुनिंग संख्यात्मक और संगणनात्मक समस्याओं का कारण बनेगी और इससे सदैव संरक्षण चाहिए। हालांकि, मॉडल में केवल कुछ शब्द प्रायः महत्वपूर्ण होते हैं। संरचना का पता लगाना, जिसका उद्देश्य एक समय में एक शब्द का चयन करना है, इसलिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। लांबिक न्यूनतम वर्ग का उपयोग करके इन उद्देश्यों को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है <ref name="SAB1" /> एक समय में एक एनएआरएमएएक्स मॉडल शर्तों का चयन करने के लिए एल्गोरिदम और इसके अवकल द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इन विचारों को पैटर्न पहचान और [[फीचर चयन|अभिलक्षण चयन]] के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है और प्रमुख घटक विश्लेषण के लिए एक विकल्प प्रदान करता है, लेकिन इस लाभ के साथ कि सुविधाओं को आधार फलन के रूप में प्रकट किया जाता है जो आसानी से मूल समस्या से संबंधित होते हैं। <br />
-NARMAX विधियों को सर्वोत्तम अनुमानित मॉडल खोजने से ज्यादा कुछ करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। सिस्टम पहचान को दो उद्देश्यों में विभाजित किया जा सकता है। पहले में सन्निकटन शामिल है जहाँ मुख्य उद्देश्य एक मॉडल विकसित करना है जो डेटा सेट का अनुमान लगाता है ताकि अच्छी भविष्यवाणियाँ की जा सकें। ऐसे कई अनुप्रयोग हैं जहां यह दृष्टिकोण उपयुक्त है, उदाहरण के लिए मौसम की समय श्रृंखला की भविष्यवाणी, स्टॉक की कीमतें, भाषण, लक्ष्य ट्रैकिंग, पैटर्न वर्गीकरण आदि। ऐसे अनुप्रयोगों में मॉडल का रूप उतना महत्वपूर्ण नहीं होता है। उद्देश्य एक सन्निकटन योजना खोजना है जो न्यूनतम भविष्यवाणी त्रुटियों का उत्पादन करती है। सिस्टम की पहचान का दूसरा उद्देश्य, जिसमें एक सबसेट के रूप में पहला उद्देश्य शामिल है, में केवल सर्वोत्तम औसत वर्ग त्रुटियों को प्राप्त करने के लिए मॉडल खोजने से कहीं अधिक शामिल है। यह दूसरा उद्देश्य है कि NARMAX दर्शन क्यों विकसित किया गया था और यह सबसे सरल मॉडल संरचना खोजने के विचार से जुड़ा हुआ है। यहां उद्देश्य उन मॉडलों को विकसित करना है जो अंतर्निहित प्रणाली की गतिशील विशेषताओं को पुन: उत्पन्न करते हैं, सबसे सरल संभव मॉडल खोजने के लिए, और यदि संभव हो तो इसे अध्ययन के तहत प्रणाली के घटकों और व्यवहारों से संबंधित करना है। इसलिए पहचान के इस दूसरे दृष्टिकोण का मुख्य उद्देश्य उस नियम को पहचानना और प्रकट करना है जो सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है। ये उद्देश्य मॉडल सिमुलेशन और नियंत्रण प्रणाली के डिजाइन के लिए प्रासंगिक हैं, लेकिन तेजी से चिकित्सा, तंत्रिका विज्ञान और जीवन विज्ञान में अनुप्रयोगों के लिए। यहाँ उद्देश्य उन मॉडलों की पहचान करना है, जो अक्सर अरेखीय होते हैं, जिनका उपयोग बुनियादी तंत्र को समझने के लिए किया जा सकता है कि ये सिस्टम कैसे संचालित और व्यवहार करते हैं ताकि हम इनका हेरफेर और उपयोग कर सकें। NARMAX विधियों को आवृत्ति और अनुपात-अस्थायी डोमेन में भी विकसित किया गया है।
+एनएआरएमएएक्स विधियों को सर्वोत्तम अनुमानित मॉडल खोजने से अधिक कुछ करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्रणाली अभिनिर्धारण को दो उद्देश्यों में विभाजित किया जा सकता है। पहले में सन्निकटन सम्मिलित है जहाँ मुख्य उद्देश्य एक मॉडल विकसित करना है जो डेटा समुच्चय का अनुमान लगाता है ताकि अच्छी भविष्यवाणियाँ की जा सकें। ऐसे कई एप्लीकेशन हैं जहां यह दृष्टिकोण उपयुक्त है, उदाहरण के लिए मौसम की समय श्रृंखला की भविष्यवाणी, शेयर की कीमतें, भाषण, लक्ष्य अनुपथन, पैटर्न वर्गीकरण आदि सम्मिलित है। ऐसे एप्लीकेशन में मॉडल का रूप उतना महत्वपूर्ण नहीं होता है। उद्देश्य एक सन्निकटन योजना खोजना है जो न्यूनतम पूर्वकथन त्रुटियों का उत्पादन करती है। प्रणाली की पहचान का दूसरा उद्देश्य, जिसमें एक उपसमुच्चय के रूप में पहला उद्देश्य सम्मिलित है, जिसमें केवल सर्वोत्तम औसत वर्ग त्रुटियों को प्राप्त करने के लिए मॉडल खोजने से कहीं अधिक सम्मिलित है। यह दूसरा उद्देश्य है कि एनएआरएमएएक्स दर्शन क्यों विकसित किया गया था और यह सबसे सरल मॉडल संरचना खोजने के विचार से जुड़ा हुआ है। यहां उद्देश्य उन मॉडलों को विकसित करना है जो अंतर्निहित प्रणाली की गतिशील विशेषताओं को पुन: उत्पन्न करते हैं, सबसे सरल संभव मॉडल खोजने के लिए, और यदि संभव हो तो इसे अध्ययन के अंतर्गत प्रणाली के घटकों और व्यवहारों से संबंधित करना है। इसलिए पहचान के इस दूसरे दृष्टिकोण का मुख्य उद्देश्य उस नियम को पहचानना और प्रकट करना है जो प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है। ये उद्देश्य मॉडल अनुकरण और नियंत्रण प्रणाली के डिजाइन के लिए प्रासंगिक हैं, लेकिन तेजी से चिकित्सा, तंत्रिका विज्ञान और जीवन विज्ञान में एप्लीकेशन के लिए है। यहाँ उद्देश्य उन मॉडलों की पहचान करना है, जो प्रायः अरेखीय होते हैं, जिनका उपयोग मूल तंत्र को समझने के लिए किया जा सकता है कि ये प्रणाली कैसे संचालित और व्यवहार करते हैं ताकि हम इनका प्रकलित और उपयोग कर सकें। एनएआरएमएएक्स विधियों को आवृत्ति और अनुपात-अस्थायी प्रक्षेत्र में भी विकसित किया गया है।
-== स्टोकेस्टिक नॉनलाइनियर मॉडल ==
+== प्रसंभाव्यता गैर-रेखीय मॉडल ==
-एक सामान्य स्थिति में, यह मामला हो सकता है कि कुछ बहिर्जात अनिश्चित अशांति अरैखिक गतिकी से गुजरती है और आउटपुट को प्रभावित करती है। एक मॉडल वर्ग जो इस स्थिति को पकड़ने के लिए पर्याप्त सामान्य है, वह स्टोकेस्टिक नॉनलाइनियर स्टेट-स्पेस प्रतिनिधित्व | स्टेट-स्पेस मॉडल का वर्ग है। एक राज्य-अंतरिक्ष मॉडल आमतौर पर प्रथम सिद्धांत कानूनों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,<ref name=":0">{{Cite book|title=System identification : theory for the user|last=Lennart.|first=Ljung|date=1999|publisher=Prentice Hall PTR|isbn=978-0136566953|edition=2nd|location=Upper Saddle River, NJ|oclc=38884169}}</ref> जैसे यांत्रिक, विद्युत, या थर्मोडायनामिक भौतिक नियम, और पहचाने जाने वाले मापदंडों का आमतौर पर कुछ भौतिक अर्थ या महत्व होता है।
+एक सामान्य स्थिति में, ऐसा हो सकता है कि कुछ बहिर्जात अनिश्चित बाधा अरेखीय गतिशीलता से गुजरती है और आउटपुट को प्रभावित करती है। एक मॉडल वर्ग जो इस स्थिति को प्रग्रहण करने के लिए पर्याप्त सामान्य है वह प्रसंभाव्यता गैर-रेखीय अवस्था-समष्‍टि मॉडल का वर्ग है। एक अवस्था-समष्‍टि मॉडल आमतौर पर पहले सिद्धांत कानूनों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,<ref name=":0">{{Cite book|title=System identification : theory for the user|last=Lennart.|first=Ljung|date=1999|publisher=Prentice Hall PTR|isbn=978-0136566953|edition=2nd|location=Upper Saddle River, NJ|oclc=38884169}}</ref> जैसे यांत्रिक, विद्युत, या ऊष्मप्रवैगिकी भौतिक नियम, और पहचाने जाने वाले मापदंडों का सामान्य रूप से कुछ भौतिक अर्थ या महत्व होता है।
-एक असतत-समय राज्य-अंतरिक्ष मॉडल को अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
+एक असतत-समय अवस्था-समष्‍टि मॉडल को अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
 :<math>
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 \end{aligned}
 </math>
-जिसमें <math>t</math> समय का जिक्र करते हुए एक सकारात्मक पूर्णांक है। कार्य <math>f</math> और <math>g</math> सामान्य अरेखीय कार्य हैं। पहले समीकरण को राज्य समीकरण के रूप में जाना जाता है और दूसरे को आउटपुट समीकरण के रूप में जाना जाता है। सभी संकेतों को स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्रतिरूपित किया जाता है। प्रक्रिया <math>x_t</math> राज्य प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है,  <math>w_t</math> और <math>v_t</math> आमतौर पर स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) और पारस्परिक रूप से स्वतंत्र माना जाता है <math>w_t \sim p(w; \theta),\; v_t \sim p(v; \theta)</math>. पैरामीटर <math>\theta</math> आमतौर पर एक परिमित-आयामी (वास्तविक) पैरामीटर होता है जिसका अनुमान लगाया जाता है (प्रायोगिक डेटा का उपयोग करके)। निरीक्षण करें कि राज्य प्रक्रिया को एक भौतिक संकेत नहीं होना चाहिए, और यह सामान्य रूप से अप्रमाणित (मापा नहीं गया) है। डेटा सेट को इनपुट-आउटपुट जोड़े के सेट के रूप में दिया जाता है <math>(y_t, u_t)</math> के लिए <math>t = 1, \dots, N</math> कुछ परिमित सकारात्मक पूर्णांक मान के लिए <math>N</math>.
+जिसमें t समय को संदर्भित करने वाला एक धनात्मक पूर्णांक है। फलन f और g सामान्य अरेखीय फलन हैं। पहले समीकरण को अवस्था समीकरण के रूप में जाना जाता है और दूसरे को आउटपुट समीकरण के रूप में जाना जाता है। सभी सिग्नल प्रसंभाव्यता प्रक्रियाओं का उपयोग करके तैयार किए गए हैं। प्रक्रिया <math>x_t</math> अवस्था प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है, अतः <math>w_t</math> और <math>v_t</math> सामान्य रूप से मुक्त (प्रायिकता सिद्धांत) और पारस्परिक रूप से निष्पक्ष माना जाता है जैसे कि <math>w_t \sim p(w; \theta),\; v_t \sim p(v; \theta)</math> होता है। पैरामीटर <math>\theta</math> सामान्य रूप से एक परिमित-आयामी (वास्तविक) पैरामीटर होता है जिसका (प्रायोगिक डेटा का उपयोग करके) अनुमान लगाया जाता है। निरीक्षण करें कि अवस्था प्रक्रिया को एक भौतिक संकेत नहीं होना चाहिए, और यह सामान्य रूप से अप्रमाणित (मापा नहीं गया) है। डेटा समुच्चय को कुछ परिमित धनात्मक पूर्णांक मान <math>N</math> के लिए इनपुट-आउटपुट युग्म <math>(y_t, u_t)</math> के लिए <math>t = 1, \dots, N</math> के समुच्चय के रूप में दिया गया है।
-दुर्भाग्य से, बिना देखे हुए यादृच्छिक चर के गैर-रैखिक परिवर्तन के कारण, आउटपुट की संभावना कार्य विश्लेषणात्मक रूप से अट्रैक्टिव है; यह एक बहुआयामी हाशियाकरण अभिन्न के संदर्भ में दिया गया है। नतीजतन, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले पैरामीटर आकलन के तरीके जैसे कि [[अधिकतम संभावना अनुमान]] या भविष्यवाणी त्रुटि विधि इष्टतम एक-कदम आगे भविष्यवक्ता के आधार पर<ref name=":0" />विश्लेषणात्मक रूप से अट्रैक्टिव हैं। हाल ही में, कण फ़िल्टर विधियों पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग आउटपुट के सशर्त माध्य का अनुमान लगाने के लिए किया गया है या, अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिथ्म के संयोजन के साथ। अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिथ्म, अधिकतम संभावना अनुमानक का अनुमान लगाने के लिए।<ref>{{Cite journal|last1=Schön|first1=Thomas B.|last2=Lindsten|first2=Fredrik|last3=Dahlin|first3=Johan|last4=Wågberg|first4=Johan|last5=Naesseth|first5=Christian A.|last6=Svensson|first6=Andreas|last7=Dai|first7=Liang|title=Sequential Monte Carlo Methods for System Identification**This work was supported by the projects Learning of complex dynamical systems (Contract number: 637-2014-466) and Probabilistic modeling of dynamical systems (Contract number: 621-2013-5524), both funded by the Swedish Research Council.|journal=IFAC-PapersOnLine|volume=48|issue=28|pages=775–786|doi=10.1016/j.ifacol.2015.12.224|year=2015|arxiv=1503.06058|s2cid=11396163}}</ref> ये विधियाँ, यद्यपि असम्बद्ध रूप से इष्टतम हैं, कम्प्यूटेशनल रूप से मांग कर रही हैं और उनका उपयोग विशिष्ट मामलों तक सीमित है जहाँ नियोजित कण फ़िल्टर की मूलभूत सीमाओं से बचा जा सकता है। एक वैकल्पिक समाधान एक उप-इष्टतम भविष्यवक्ता का उपयोग करके भविष्यवाणी त्रुटि विधि को लागू करना है।<ref>M. Abdalmoaty, [http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Akth%3Adiva-218100 ‘Learning Stochastic Nonlinear Dynamical Systems Using Non-stationary Linear Predictors’], Licentiate dissertation, Stockholm, Sweden, 2017. [http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Akth%3Adiva-218100 Urn:nbn:se:kth:diva-218100]</ref><ref>{{Cite journal|last1=Abdalmoaty|first1=Mohamed Rasheed|last2=Hjalmarsson|first2=Håkan|author2-link= Håkan Hjalmarsson |title=नकली छद्म अधिकतम संभावना गैर रेखीय मॉडल की पहचान|journal=IFAC-PapersOnLine|volume=50|issue=1|pages=14058–14063|doi=10.1016/j.ifacol.2017.08.1841|year=2017|url=http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-216419|doi-access=free}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last=Abdalmoaty|first=Mohamed|date=2019|title=अनुमानित कार्यों का उपयोग करते हुए स्टोचैस्टिक नॉनलाइनियर डायनेमिक मॉडल की पहचान|journal=Diva|url=http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-256020}}</ref> परिणामी अनुमानक को दृढ़ता से सुसंगत और विषम रूप से सामान्य दिखाया जा सकता है और अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम का उपयोग करके मूल्यांकन किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Abdalmoaty|first1=Mohamed Rasheed-Hilmy|last2=Hjalmarsson|first2=Håkan|author2-link= Håkan Hjalmarsson |date=2019|title=स्टोचैस्टिक नॉनलाइनियर मॉडल के लिए रैखिक भविष्यवाणी त्रुटि विधियाँ|journal=Automatica|language=en|volume=105|pages=49–63|doi=10.1016/j.automatica.2019.03.006|s2cid=132768104|url=http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-235340}}</ref><ref name=":1" />
+फलस्वरूप, बिना देखे हुए यादृच्छिक वेरिएबल्स के गैर-रैखिक परिवर्तन के कारण, आउटपुट की संभावना फलन विश्लेषणात्मक रूप से कठिन है; यह एक बहुआयामी प्रभावहीनता समाकल के संदर्भ में दिया गया है। परिणामस्वरूप, सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले पैरामीटर आकलन के तरीके जैसे कि [[अधिकतम संभावना अनुमान]] या पूर्वकथन त्रुटि विधि इष्टतम पद आगे भविष्यवक्ता के आधार पर<ref name=":0" /> विश्लेषणात्मक रूप से कठिन हैं। हाल ही में, अनुक्रमिक मोंटे कार्लो विधियों पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग आउटपुट के सशर्त माध्य का अनुमान लगाने के लिए या, अपेक्षा-अधिकतमीकरण एल्गोरिथ्म के साथ मिलकर, अधिकतम संभावना अनुमानक का अनुमान लगाने के लिए किया गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Schön|first1=Thomas B.|last2=Lindsten|first2=Fredrik|last3=Dahlin|first3=Johan|last4=Wågberg|first4=Johan|last5=Naesseth|first5=Christian A.|last6=Svensson|first6=Andreas|last7=Dai|first7=Liang|title=Sequential Monte Carlo Methods for System Identification**This work was supported by the projects Learning of complex dynamical systems (Contract number: 637-2014-466) and Probabilistic modeling of dynamical systems (Contract number: 621-2013-5524), both funded by the Swedish Research Council.|journal=IFAC-PapersOnLine|volume=48|issue=28|pages=775–786|doi=10.1016/j.ifacol.2015.12.224|year=2015|arxiv=1503.06058|s2cid=11396163}}</ref> ये विधियाँ, यद्यपि असम्बद्ध रूप से इष्टतम हैं, संगणनात्मक रूप से अपेक्षा कर रही हैं और उनका उपयोग विशिष्ट स्थितियों तक सीमित है जहाँ नियोजित कण फ़िल्टर की मूलभूत सीमाओं से संरक्षित रहा जा सकता है। एक वैकल्पिक समाधान एक उप-इष्टतम पूर्व सूचक का उपयोग करके पूर्वकथन त्रुटि विधि को प्रयुक्त करना है।<ref>M. Abdalmoaty, [http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Akth%3Adiva-218100 ‘Learning Stochastic Nonlinear Dynamical Systems Using Non-stationary Linear Predictors’], Licentiate dissertation, Stockholm, Sweden, 2017. [http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Akth%3Adiva-218100 Urn:nbn:se:kth:diva-218100]</ref><ref>{{Cite journal|last1=Abdalmoaty|first1=Mohamed Rasheed|last2=Hjalmarsson|first2=Håkan|author2-link= Håkan Hjalmarsson |title=नकली छद्म अधिकतम संभावना गैर रेखीय मॉडल की पहचान|journal=IFAC-PapersOnLine|volume=50|issue=1|pages=14058–14063|doi=10.1016/j.ifacol.2017.08.1841|year=2017|url=http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-216419|doi-access=free}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last=Abdalmoaty|first=Mohamed|date=2019|title=अनुमानित कार्यों का उपयोग करते हुए स्टोचैस्टिक नॉनलाइनियर डायनेमिक मॉडल की पहचान|journal=Diva|url=http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-256020}}</ref> परिणामी अनुमानक को दृढ़ता से सुसंगत और विषम रूप से सामान्य दिखाया जा सकता है और अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम का उपयोग करके मूल्यांकन किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Abdalmoaty|first1=Mohamed Rasheed-Hilmy|last2=Hjalmarsson|first2=Håkan|author2-link= Håkan Hjalmarsson |date=2019|title=स्टोचैस्टिक नॉनलाइनियर मॉडल के लिए रैखिक भविष्यवाणी त्रुटि विधियाँ|journal=Automatica|language=en|volume=105|pages=49–63|doi=10.1016/j.automatica.2019.03.006|s2cid=132768104|url=http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-235340}}</ref><ref name=":1" />
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 * R. Pintelon, J. Schoukens, System Identification: A Frequency Domain Approach, IEEE Press, New York, 2001. {{ISBN|978-0-7803-6000-6}}
 * T. Söderström, P. Stoica, System Identification, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1989. {{ISBN|0-13-881236-5}}
-* R. K. Pearson:  [https://books.google.com/books?id=Os7nCwAAQBAJ Discrete-Time Dynamic Models]. Oxford University Press, 1999.
+* R. K. Pearson: [https://books.google.com/books?id=Os7nCwAAQBAJ Discrete-Time Dynamic Models]. Oxford University Press, 1999.
 * P. Marmarelis, V. Marmarelis, V. [https://books.google.com/books?id=1O7lBwAAQBAJ Analysis of Physiological Systems], Plenum, 1978.
 * K. Worden, G. R. Tomlinson, Nonlinearity in Structural Dynamics, Institute of Physics Publishing, 2001.

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ब्लॉक-संरचित प्रणाली

तंत्रिका नेटवर्क

एनएआरएमएएक्स (एक्सोजेनस इनपुट के साथ गैर-रेखीय स्वप्रतिगामी गतिमान माध्य मॉडल) विधियाँ

प्रसंभाव्यता गैर-रेखीय मॉडल

यह भी देखें

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