संचयी पदानुक्रम

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धान्त, एक संचयी पदानुक्रम समुच्चय $W_{\alpha }$ का एक परिवार है जिसे क्रमसूचक $\alpha$ द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जैसे कि

• $W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}$
• यदि $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक है, तब ${\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}$

संक्षेप में कुछ लेखकों को इसकी आवश्यकता होती है $W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ या कि $W_{0}\neq \emptyset$.

संचयी पदानुक्रम के समुच्चय का संघ ${\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }}$ प्रायः समुच्चय सिद्धांत के प्रारूप के रूप में उपयोग किया जाता है।

वाक्यांश "संचयी पदानुक्रम" आम तौर पर वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड के मानक संचयी पदानुक्रम $\mathrm {V} _{\alpha }$ को संदर्भित करता है जिसमें $\mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ ज़र्मेलो (1930) द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

परावर्तन सिद्धांत

एक संचयी पदानुक्रम परावर्तन सिद्धांत के एक रूप को संतुष्ट करता है: समुच्चय सिद्धांत की भाषा में कोई भी सूत्र जो पदानुक्रम के संघ $W$ में रहता है, कुछ चरणों में भी $W_{\alpha }$ होता है।

उदाहरण

• वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड एक संचयी पदानुक्रम से बनाया गया है $\mathrm {V} _{\alpha }$.
• समुच्चय $\mathrm {L} _{\alpha }$ रचनात्मक ब्रह्मांड का एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं।
• फोर्सिंग (गणित) द्वारा निर्मित बूलियन-मूल्यवान मॉडल एक संचयी पदानुक्रम का उपयोग करके बनाए गए हैं।
• समुच्चय थ्योरी के एक मॉडल में अच्छी तरह से स्थापित समुच्चय (संभवतः नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करते) एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं जिसका संघ नींव के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है।

संदर्भ

• Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002.
• Zermelo, Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre". Fundamenta Mathematicae. 16: 29–47. doi:10.4064/fm-16-1-29-47.